高三数学培优资料用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题(教师版)
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2012级高三数学培优资料（10）教师版
周基俊2014.11.16
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用
泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式
()n p x ,去逼近一个已知的函数f x ，而且这种
逼近有很好的性质：
()n p x 与f x 在x 点具有相同的直到阶
n 的导数
]
31[.所以泰勒
公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用
.运用泰勒公式，对不等式问题
进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟
在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法.
泰勒公式知识：设函数f x 在点0
x 处的某邻域内具有
1n 阶导数，则对该邻域内
异于
x 的任意点x ，在0
x 与x 之间至少存在一点
，使得：f x =0
f x +0
'
f
x 0
(x -x )+
f''x 2!
2
(x -x )+
+
n
f
x
n!
n
(x -x )+n R x ，
其中n R x
(1)
(1)!
n f
n 1
0)
(n x x
称为余项，上式称为
n 阶泰勒公式；
若0
x
0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，
即
f x = 0f +0'
f x +
02!
f''2
x +
+
!
n
f
n n x +0
()n
x .
利用泰勒公式证明不等式：
若函数)(x f 在含有
0x 的某区间有定义
,并且有
直到)1(n 阶的各阶导数,又在点
0x 处有n 阶的导数)(0)
(x f
n ,则有公式
)
()
(!
)
()
(!
2)
()
(!
1)()
()()
(00)
(2
00000x R x x
n x f
x x
x f x x x f x f x f n n n 在上述公式中若
0)
(x R n (或0)
(x R n ),
则可得
)
(00)
(2
00000)(!
)()(!
2)()(!1)()()
(n n x x n x f x x
x f x x
x f x f x f 或)
(00)
(200000)
(!
)
()
(!
2)()
(!
1)()
()
(n n x x
n x f
x x
x f x x x f x f x f
1、证明: ).
11(,32)1ln(3
2
x
x
x x
x 证明
设)
11
)1
ln()(x
x x f （
则)(x f 在
0x 处有带有拉格朗日
余项三阶泰勒公式
)
11
()
1
(432)
1ln(4
4
3
2
x x
x
x
x 0
)
1
(44
4
x
3
2
)1ln(3
2
x x x
x 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点
0x 在0
x 处展开,然后判断余项
)(x R n 的正负
,从而证明不等式.
对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，
要充分利用泰勒公式在
0x
时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的
的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.
2、证明不等式：
3
16
x x ≤sin x .
2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系
。
这时我们可用sin x 在0
0x
的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者
的大小关系。
证明
3
1()sin 6
f x x x
x ,(0)
0f ,2
1'()cos 1
2
f x x x ,'(0)
0f ,
''()
sin f x x x ,''(0)0f ,'''()
cos 1f x x ,'''()cos
1f 当3
n
时，()f x 的泰勒展式为：
3
3
1()
000
(1cos )()
3!
f x x x
o x ()f x 3
3
1(1cos )()6
x x
o x ≥0
(
x ≥0,
≤
x ,0＜
＜1)所以
x ≥0,，有3
16
x
x ≤sin x .
在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小
关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.
3、证明不等式：2
1
2
8
x x ＜1x ，（x ＞0）.
对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但
x 的次数却提高