高三数学培优资料用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题(教师版)

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拉格朗日中值定理与高考数学.doc

拉格朗日中值定理与高考数学[1]拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：（ i ） f 在闭区间 [ a, b] 上连续；（ ii ） f 在开区间 (a,b) 内可导；则在 a,b 内至少存在一点，使得 f'f bf a b.a1、证明f x f x a 成立（其中 x0 ）xa 或x[2]例：（ 2007年高考全国卷 I 第 20题）设函数 fxe x e x .（Ⅰ）证明：f x 的导数 f ' x2 ；（Ⅱ）证明：若对所有 x 0 ，都有 f xax ，则 a 的取值范围是 (, 2] .（Ⅰ）略 .（Ⅱ）证明：（ i ）当 x0 时，对任意的 a ，都有 fx ax(ii) 当 x0时，问题即转化为 e x e x对所有 x0 恒成立 .ax令 G xe xe xf x f 0，由拉格朗日中值定理知0,x 内至少存在一点（从xx 0而0），使得 f'f xf 0，即 Gxf 'ee，由于xf ''e ee 0 e 0 0，故 f ' 在 0,x 上是增函数，让 x 0 得Gxminf 'e ef ' 02 ，所以 a 的取值范围是 (, 2] .评注：第 (2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令 gx f x ax ，再分a 2 和 a 2 两种情况讨论 .其中， a 2又要去解方程 g ' x 0 .但这有两个缺点：首先，为什么 a 的取值范围要以2 为分界展开 .其次，方程 g ' x0 求解较为麻烦 .但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明 g ag b2g a b(b a), ba 成立2 例：（ 2004年四川卷第 22题）已知函数 fx ln(1 x) x, g xx ln x .（Ⅰ）求函数f x 的最大值；（Ⅱ）设0 a b 2a ，证明： g ag b2g a b(ba)ln 2 .2（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有g ' xln x 1g ag b2 gabg b ga bga b g a222由拉格朗日中值定理得，存在a,a b,a b,b ，使得22g b ga bg a b g ag 'g'? b alnln ?b a2222ln ?b aln b ?b aln 4a ? b ab a ln 22a2a2评注：对于不等式中含有 g a , g b , ga b a b 的形式，我们往往可以把2g a bg a 和g bg a b ，分别对 g a bg a 和g bg a b 两次222 2运用拉格朗日中值定理 .三、证明f x 1 f x 2x 1 x 2 成立[3] [4]例： (2OO6 年四川卷理第 22题)已知函数f x x22a ln x(x 0), f x 的导函数是 f ' x ，对任意两个不相等的正x数 x 1 , x 2 ，证明：（１）当 a时，f x 1f x 2f x 1 x 222（２）当 a4 时， f ' x 1 f ' x 2x 1 x 2 .证明：（１）不妨设 x 1x 2 ，即证 f x 2x 1 x 2fx 1 x 2 fx 1 ．由拉格f22朗日中值定理知，存在1 x 1 ,x 1x2, 2x 1x 2, x 2 ，则 12且22f x 2f x 1x 2f '2 ?x 2 x1 ，fx 1 x 2 f x 1f'1 ? x2 2 x1 又222f ' (x) 2x2a ， f ''x2 4a .当 a 0 时， f '' x 0 .所以 f ' ( x) 是一个单x 2xx 3 x 2调递减函数，故 f '1f '2从而 fx 2f x 1 x 2f x 1x 2f x 1 成立，因2 2此命题获证．（２）由 fxx 22a ln x 得， f '(x) 2x2 a，令 g x f ' x 则由拉xx 2x格朗日中值定理得：g x 1 g x 2g '(x 1 x 2 )下面只要证明：当 a4 时，任意0 ,都有 g '1 ，则有 g ' x2 4a 1，44x 3 x 2即证 a 4 时， ax 2 恒成立 .这等价于证明 x 2 的最小值大于 4 .x x由于 x 24x 2 2 2 33 4 ，当且仅当 x 32 时取到最小值，又 a4 33 4 ，xx x 故 a 4 时， 24 a 1 恒成立 .x 3 x 2所以由拉格朗日定理得：g x 1g x 2g '( x 1 x 2 )g 'x 1 x 2 x 1 x 2 .评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强 .因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到 .相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性 .四、证明 fx 1 f x 2x 1 x 2 或 f x 1f x 2 x 1 x 2 成立例：（ 2008年全国卷Ⅱ 22题）设函数 fxsin x .2 cosx（Ⅰ）求 fx 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x 0 ，都有 f x ax ，求 a 的取值范围 .（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当x 0 时，显然对任何 a ，都有 f xax ；当 x 0 时，f x fx f 0 xx 0由拉格朗日中值定理，知存在0,x ，使得fxf x f 0 f '.由（Ⅰ）知xx 0f 'x2cos x 12 ，从而 f''x2sin x 2 cos x cos x 1 .令 f ''x0 得，2cos x 22 cos xx2k 1 , 2k 2；令 f ''x0 得， x2k , 2k 1.所以在2k 1, 2k 2上， f 'x 的最大值 f'xmaxf '2k 21 在312k , 2k 1上， f''xf ' 2k .从而函数 f 'xx 的最大值 fmax在31'xmax0 时， f '2k , 2k 2上的最大值是f.由 k N 知，当 x x 的最大值13 1'xmax.所以， f '的最大值 f '.为了使 f '为 fmaxa 恒成立，应有33f 'maxa .所以 a 的取值范围是 1 ,.3评注：这道题的参考答案的解法是令g x ax f x ,再去证明函数 g x 的最小值g x这与上述的思路是一样的但首先参考答案的解法中有个参数a 要对参数 a 进min0 ..,行分类讨论 ;其次为了判断 g x 的单调性 ,还要求 g 'x0 和 g ' x 0 的解 ,这个求解涉及到反余弦 arccos3a ,较为复杂 .而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论 .再次体现了高观点解题的优越性 . 五、证明 f x 0,( x a) 成立，（其中 f a0 ）例：（ 2007年安徽卷18题）设 a 0, f x x 1 ln 2 x 2a ln x x 0 .（Ⅰ）令 Fx xf ' x ，讨论 F x 在 0,内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当 x 1 时，恒有 x ln 2 x 2a ln x1 .（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：即证 fx 0 ，由于 x 1 ，则f x f xf 1x 1 x1 .由拉格朗日中值定理得，存在1,x ，使得 f xf 1f '.由（Ⅰ）的解题过程知 f 'x1 2ln x 2a ，x 1x x所以 f ''x222a2ln x 1 a. 令 f ''x1 ax 2 x 2 ln x x 2x2 0 得， x e. 令f ''x0 得， 1 xe 1 a .故f ' x 在 x 1,上最小值 f ' x min fe 1a12 1 a2a e 1 a20 .所以 f 'f 'xmin0 .从而f x 0 .又 x 1 ，1 a1 a1 ax1e ee则 fx0 成立，从而当 x0时， x ln 2x 2a ln x 1 成立 .评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中F x 在 0,内的极小值F 2 0 得到 F xxf ' x 0 .又 x 1 ，所以 f ' x0 .从而 f x 在 1, 上单调递增 ,故 fx 的最小值 f xminf 10 ，所以 x ln 2 x 2a ln x 1 .但是如果没有（Ⅰ），很难想到利用 Fxxf ' x 来判断 f x 的单调性 .而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.f x 1f x 2f x 1f x 2（其中 x 1x 2 ）六、证明 x 1 x 2或x 1 x 2例：（ 2009年辽宁卷理21题）已知函数 f ( x)1 x2 ax (a 1)ln x,a 12（Ⅰ）讨论函数 f ( x) 的单调性；（Ⅱ）证明：若a5 ，则对任意 x 1 , x 2 0,， x 1f (x 1) f (x 2 ) 1.x 2 ，有x 1 x 2（Ⅰ）略；（Ⅱ）f ( x 1)f ( x 2 ) f ' .由（Ⅰ）得， f 'xx a a 1 .所以要证x 1x 2xf ( x 1 ) f ( x 2 )1成立，即证 f 'a a 11 .下面即证之 .x 1 x 2令 g2(a 1) a 1，则a 1 2a 1 a 5 .由于 1a 5 ，4 a 1所以 0 .从而 g在 R 恒成立 .也即 2aa1.又x 1 , x 2 ，2a a 1 1 ，即 f ' a 1x1, x2 0,，故0 .则 a 1 ，也即f ( x1 ) f ( x2 )x1 1.x2评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量x1, x2 ；其次 a 的值是变化的. 参考答案的解法是考虑函数g x f x x .为什么考虑函数g x f x x ？很多考生一下子不易想到 .而且g' x 的放缩也不易想到 .拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具. 近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决 .充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用 .近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要 .参考文献[1]华东师范大学数学系编 .数学分析（上册） [M]. 北京：高等教育出版社， 2007[2]陈素贞 .一道高考题的别解 [J]. 福建中学数学， 2009（ 4）[3]李惟峰 . 拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]. 数学教学通讯， 2008（ 8）[4]管雪冲，王颖 . 站”高”再看高考题 [J]. 高等数学研究， 2009（ 1）。

以高等数学中有关定理(公式)为背景的高考题例析

以高等数学中有关定理(公式)为背景的高考题例析高等数学中有关定理和公式是高考中不可忽视的重要内容，它们直接影响着考生的成绩。

下面以一些高等数学中常见的定理和公式为例子，来分析一下高考中可能会涉及的相关题目。

1.拉格朗日中值定理在高等数学中，拉格朗日中值定理是一个重要的定理。

它的含义是，如果函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，则存在一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。

在高考中，常会考察这个定理的应用。

例题：函数f(x)=ln(x+1)，x∈[0,1]。

证明：|f(x)-f(y)|≤|x-y|，其中x,y∈[0,1]。

解析：因为f(x)在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，所以根据拉格朗日中值定理，对于任意的x,y∈[0,1]，存在c∈(x,y)，使得f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)。

由于f'(x)=1/(x+1)>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增。

因此，|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|≤1|x-y|=|x-y|。

因此，原命题得证。

2.泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的公式，它可以将函数在某个点附近展开成一个无穷级数。

在高考中，考生需要掌握泰勒公式的基本形式和应用。

例题：设f(x)=ln(x+1)，Pn(x)为f(x)在x=0处的n阶泰勒多项式，求当n趋于无穷大时，Pn(1)-f(1)的极限。

解析：由于f(x)在x=0处的泰勒级数为f(x)=x-x^2/2+x^3/3-...，因此它的n阶泰勒多项式为Pn(x)=x-x^2/2+...+(-1)^(n-1)x^n/n。

因此，Pn(1)-f(1)=1/2-1/3+1/4-1/5+...+(-1)^(n-1)/n-(ln2-1)。

根据莱布尼兹判别法可知，当n趋于无穷大时，Pn(1)-f(1)的极限为ln2-1。

3.极限定义极限是高等数学中的一个重要概念，它与函数的连续性及导数的求解密切相关。

拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用

拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用作者：左代丽来源：《新校园(下)》2016年第03期摘要：本文首先介绍了拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用形式和应用范围，对拉格朗日中值定理予以三种方式证明，并结合相关证明不等式例题，介绍了拉格朗日中值定理在高中不等式证明中的巧妙运用。

关键词：拉格朗日中值定理；不等式；证明；应用拉格朗日中值定理是微积分中值定理（包含罗尔定理、柯西定理以及拉格朗日定理）中的一种，对于微积分理论构造有重要的作用。

不等式的证明作为高中数学中较为常见的题型，也是高考中较为常见的题型。

对于不等式证明的解题方式有很多，利用中值定理解不等式是一种常见的方式。

但高中生并没有深入学习微积分，对此种方法的理解不够深入，应用起来稍显笨拙。

一、拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用1.极限问题的求解。

极限问题是高中数学中极限学习的考察重点，在高中数学教学中，许多教师都向学生介绍了洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式等解题方式。

这些解题方式原理简单，解题思路顺畅，解题效果较好，极容易被学生吸收。

而利用拉格朗日中值定理来求解极限问题的教学比较少见，一方面，拉格朗日中值定理相对复杂，通常用来解决复杂的极限问题，另一方面，学生对于复杂的极限题目往往具有畏难心理，常常在解题过程中选择放弃。

实际上，利用拉格朗日中值定理来解决复杂的极限问题，其实质在于分解题目，实现对题型的转变，运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联，寻找两者之间的连接点，做好式子的简化，这样才能快速解题。

2.不等式证明的求解。

不等式证明题是不等式教学中最基本的题型之一，解决不等式证明的常规方法有许多，例如：数形结合、导数法等。

利用拉格朗日中值定理来解决不等式证明题，其核心在于对函数的构建，以及进一步探索导数与构建的函数之间的关系，利用这种关系，进一步确定在特定条件下函数成立，继而证明不等式。

常规方法证明较复杂的不等式需要耗费大量的演算时间，且容易在求解过程中产生思维冲突，不利于正确解题，但直接运用拉格朗日中值定理非常简单，能够快速求解。

高考数学巧遇拉格朗日中值定理_杨文萍

f （x ）和 g （x ）的联系，两个小题没有本质
上的联系，第（ Ⅰ ）题只是用到 f （x ）而没有用 g （x ），而第（ Ⅱ ）题不需要第（ Ⅰ ）题的结果也可以单独解出 . 参考答案中要联系第（ Ⅰ ）题中的 ln （1+x ）－x<0 （x>－1 ，且 x≠0 ）才能求解第（Ⅱ ）题，学生会较难想到要运用第一小题的结论，而且解第（Ⅰ ）题需要花较多的时间，这使得有限的时间变得更少，这样，对于学生来说是一个挑战 . 若运用拉格朗日中值定理不仅可以不用考虑第（Ⅰ ）题的结论，而且可以运用拉格朗日中值定理较快接近证明的结果，不需要太多技巧，经过
） 3. （2007年安徽卷18题
设 a≥0 ，f （x ）=x－1－ln2x+2alnx （x>0 ）. （ Ⅱ ）求证 : 当 x >1 时，恒有 x > ln2x －
2alnx+1. ） 4. （2009年辽宁卷理21题
已ห้องสมุดไป่ตู้函数 f （x ）=
1 2 x －ax+ （a－1 ）lnx ， 2
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数学教学通讯（教师版）
投稿邮箱：sxjk@
高考数学巧遇拉格朗日中值定理
杨文萍华南师范大学数学科学学院
摘
陈
铿
510631
华南师范大学教育科学学院
510631

高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用拉格朗日定理和函数的单调性课件

b a , a b.
注例3中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当
0 a b 和 a b 0时, 显然不为零, 严格不等
式成立.
罗尔定理与拉格朗日定理
当 a 0 b 时，
存在 1 (0, b), 2 (a , 0), 使得
arctan b arctan a arctan b arctan 0 arctan 0 arctan a
x x0
x x0
罗尔定理与拉格朗日定理
证分别按左右极限来证明.
(1) 任取 x U ( x0 ), f ( x ) 在 [ x0 , x] 上满足拉格朗日
定理条件，则存在 ( x0 , x ), 使得
f ( x ) f ( x0 ) f ( ). x x0
多项式, 所以 p( x )在[x1 , x2 ]上满足罗尔定理的条件，
从而存在 (a, b), 使得 p( ) 0, 这与条件矛盾. 又若 p( x ) 有一个 k 次重根 x0 , 则
p( x ) ( x x0 )k p1 ( x ), k 2.
( x ), 因为 p( x ) k ( x x0 )k 1 p1 ( x ) ( x x0 )k p1
3.若 f (x) 在(a, b) 上可微, [a, b] 上连续, 则对于任意
x (a , b], 存在 (a , x ), 使
f ( x ) f (a ) f ( )( x a ),
当 x a 时, 必有 a . 从等式
由于x0 x , 因此当x x0 时，随之有 x0 ,
对上式两边求极限，便得
f ( x ) f ( x0 ) lim lim f ( ) f ( x0 0). x x0 x x0 x x0

高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件

Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!

巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题精选全文完整版

2014/12DAO HANGf(x)=f(x0)+f1(x0)1!(x-x0)+…+f n(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n)（1）这里o((x-x0)n)为皮亚诺型余项,称(1)式为函数f(x)在点x0的泰勒公式。

当x0=0时,（1）式变成f(x)=f(0)+f1(0)1!x+f2(0)2!x2+…+f n(0)n! x n+0(x n)称此式为(带有皮亚诺余项的)麦克劳林公式。

泰勒公式形式2[1]：若函数f(x)在含有x0的某区间(a,b)内存在n+1阶导函数,则有f(x)=f(x0)+f1(x0)1!(x-x0)+…+f n(x0)n!(x-x0)n+R n(x)（2)这里R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1（ξ在x0与x之间）为拉格朗日余项,称（2）式为函数f(x)在点x0的泰勒公式。

当x0=0时,（2）式变成f(x)=f(0)+f1(0)1!x+f2(0)2!x2+…+f n(0)n! x n+R n(x)称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。

一、初步探究例1、（2012年辽宁高考数学理科第12题）若x∈[0,+不等式恒成立的是（）1+x+x2(B)11+x√≤1-12x+14x2≥1-12x2(D)ln(1+x)≥x-18x2高考的标准答案是利用导数公式，通过函数的单来证明不等式恒成立。

f(x)=cosx-(1-12x2)=cosx-1+12x2′(x)=-sinx+x,所以g′(x)=-cosx+1≥0x∈[0,+∞)时，g(x)为增函数，所以g(x)=f′(x)≥g(0)=0≥f(0)=0∴cosx-(1-12x2)≥0即cosx≥1-12x2，：由泰勒展开式知cosx=1-x22!+x44!-…+(-1)n2n)缩后易得不等式cosx≥1-12x2恒成立。

2013年全国卷新课标Ⅱ理科第21题）已知函数x.(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0。

第16讲拉格朗日中值定理在高考中的应用(原卷版)

第16讲拉格朗日中值定理在高考中的应用拉格朗日中值定理是高等数学的内容,在高中数学中也是比较重要的一块,其定理本身比较简洁,也可以在高考中解决一类不等式问题,其解法比较快捷,我们来认识一下这个定理吧!拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函数f 满足如下条件:(1)f 在闭区间[,]a b 上连续.(2)f 在开区间(,)a b 内可导. 则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()f ξ'=()()f b f a b a--.几何意义:在以(,()),(,())A a f a B b f b 为端点的曲线上()y f x =至少存在一点(,())P f ξξ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB . 【例】已知函数221()1g x x x=-+,问是否存在实数x ,使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ?若存在,求k 的取值范围;若不存在,说明理由. 假设存在实数k ,使得的图像上任意不同两点连线的斜率都不小于k , 即对任意210x x >>,都有()()2121g x g x k x x --.即求任意两点割线斜率的大小,由中值定理知存在()12,x x x ∈,有()g x '=()()2121g x g x k x x --,转为求切线斜率的大小.即3241()g x k xx=-在(0,)+∞上恒成立的问题.拉格朗日证明无参不等式用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:第一步:在不等式中找合适的函数()y f x =.第二步:利用拉格朗日中值定理转换,即()()()f b f a f b aξ-'=-.（或()()()()f b f a f b a ξ-='-）,并确定ξ的范围.第三步:利用ξ的范围对不等式放缩,从而证明不等式. 【例1】设0x >,证明:ln(1)x x +<.【例2】当1x >时,证明:e e xx >.【例3】当0x >时,证明:11ln 11x x⎛⎫+>⎪+⎝⎭.【例4】当0x >时,证明:11ln 11x x⎛⎫+> ⎪+⎝⎭.拉格朗日证明一元含参不等式利用拉格朗日中值定理证明一元含参不等式问题的一般步骤: 第一步:参变分离为:()f x a x>或()f x x <a 成立.[其中0,(0)0x f >=,只有这种结构才可以使用]第二步:拉格朗日中值定理简化为()f ξ'()(0)0f x f a x -=>-或()(0)()0f x f f x ξ-'=-a <.[其中(0,)]x ξ∈第三步:转化为求()f ξ'最值问题.【例1】设函数()e 1xf x =-,若对所有0x >,都有()f x ax >,求a 的取值范围.【例2】设函数()e e x x f x -=-,证明:若对所有0x ,都有()f x ax ,则a 的范围是(,2]-∞.【例3】设函数sin ()2cos xf x x=+,如果对任何0x ,都有()f x ax ,求a 的取值范围.拉格朗日证明双变量含参不等式由拉格朗日中值定理解决具有()()1212f x f x x x --特点的证明或求参数的范围问题的一般步骤:第一步：把问题转化为证明()()1212f x f x x x λ->-或()()1212f x f x x x λ-<-(其中)12x x ≠结构的问题.第二步:利用拉格朗日中值定理简化.即证明()()1212()f x f x f x x ξλ-='>-或()()1212()f x f x f x x ξλ-='<-.第三步:问题转化为证()f ξ'与λ的大小关系.【例1】设函数()ln (1)f x x m x =-+,(0,)x m >∈R .若对任意121x x >>,()()12121f x f x x x -<--恒成立,求m 的取值范围.【例2】设函数()ln ,m f x x m x =+∈R ,若对任意()()0,1f b f a b a b a->>-恒成立,求m 的取值范围。

【导数】拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用【摘要】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市一些高考题可以用拉格朗日中值定理来解答.本文归纳了可用拉格朗日中值定理解决的四类题型，再通过一些具体的高考试题，体现高观点解题的好处.【关键词】拉格朗日中值定理高考题高观点引言新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年在近几年的数学高考试题中，经常遇到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是在高等数学中往往能找出相关的“影子”，也即所谓的“高观点”试题这样的试题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的思想方法．这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道亮丽的风景，其中不乏以拉格朗日中值定理为背景的高考试题．拉格朗日中值定理是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可以用它来研究函数的性态．拉格朗日中值定理是高考试题设置高等数学背景的一个热点素材.一．拉格朗日中值定理[1]拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）f 在开区间(,)a b 内可导；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b aξ-=-.几何意义：在满足定理条件的曲线上()y f x =至少存在一点(,())p f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图）二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数22()ln .a f x x a x x=++（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设'1,()(),a g x f x ==问是否存在实数k ，使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由.解（Ⅰ）略（Ⅱ）当1a =时，221()1g x xx =-+，假设存在实数k ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意210x x >>，都有2121()(),g x g x k x x -≥-即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在12(,)x x x ∈，有'2121()()(),g x g x g x k x x -=≥-转为求切线斜率的大小.即'3241()g x k x x =-≥在(0,)+∞上恒成立.（以下同参考答案）评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将2121()(),g x g x k x x -≥-转化为2211()(),g x kx g x x -≥-转而考查函数()()h x g x kx =-，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．二．利用拉格朗日中值定理证最值（1）证()()f b f a b aλ->-或()()f b f a b aλ-<--------------即证()'f ξ与λ的大小关系例2：（2009年辽宁卷理21题）已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+-> （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--.（Ⅰ）略；（Ⅱ）要证1212()()1f x f x x x ->--成立，即证()'11a f a ξξξ-=-+>-.令()2(1)1g a a ξξξ=--+-，则()()()()214115a a a a ∆=---=--.由于15a <<，所以0∆<.从而()0g ξ>在R 恒成立.也即21a a ξξξ-+->-.又()12,x x ξ∈，()12,0,x x ∈+∞，故0ξ>.则211a a ξξξ-+->-，即()'11a f a ξξξ-=-+>-，也即1212()()1f x f x x x ->--. 评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数()()g x f x x =+.为什么考虑函数()()g x f x x =+很多考生一下子不易想到.而且()'g x 的放缩也不易想到.（2）、证明()f x a x>或()f x a x<成立（其中0x >，(0)0f =）----------即证()(0)0f x f a x ->-或()(0)0f x f a x -<-例3：（2007年高考全国卷I 第20题）设函数()x x f x e e -=-.[2]（Ⅰ）证明：()f x 的导数()'2f x ≥；（Ⅱ）证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ，则a 的取值范围是(,2]-∞. （Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i ）当0x =时，对任意的a ，都有()f x ax ≥(ii)当0x >时，问题即转化为x x e e a x --≤对所有0x >恒成立.令()()()00x xf x f e e G x x x ---==-，由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>），使得()()()'00f x f f x ξ-=-，即()()'G x f e e ξξξ-==+，由于()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数，让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞.评注：用的是初等数学的方法.即令()()g x f x ax =-，再分2a ≤和2a > 两种情况讨论.其中，2a >又要去解方程()'0g x =.但这有两个缺点：首先，为什么a 的取值范围要以2为分界展开.其次，方程()'0g x =求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.例4：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数()sin 2cos xf x x=+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围. 证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当0x =时，显然对任何a ，都有()f x ax ≤；当0x >时，()()()00f x f x f xx -=-由拉格朗日中值定理，知存在()0,x ξ∈，使得()()()()'00f x f x f f xx ξ-==-.由（Ⅰ）知()()'22cos 12cos x f x x +=+，从而()()()()''22sin 2cos cos 12cos x x x f x x +-=+.令()''0f x ≥得，()()21,22x k k ππ∈++⎡⎤⎣⎦；令()''0f x ≤得，()2,21x k k ππ∈+⎡⎤⎣⎦.所以在()()21,22k k ππ++⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()()''max 1223f x f k π=+=在 ()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()''max 123fx f k π==.从而函数()'f x 在()2,22k k ππ+⎡⎤⎣⎦上的最大值是()'max13f x =.k N ∈知，当0x >时，()'f x 的最大值为()'max 13fx =.所以，()'f ξ的最大值()'max 13f ξ=.为了使()'f a ξ≤恒成立，应有()'max f a ξ≤.所以a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.评注：这道题的参考答案的解法是令()()g x ax f x =-,再去证明函数()g x 的最小值()min 0g x ≥.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a ,要对参数a 进行分类讨论;其次为了判断()g x 的单调性,还要求()'0g x ≥和()'0g x ≤的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.三．利用拉格朗日中值定理证不等式在近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力．下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势．（1）用于证明()()f b f a -与b a -的大小关系例5：(2006年四川卷理第22题)[3]已知函数()()22ln (0),f x x a x x f x x=++>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正12,x x ，证明：（Ⅱ）当4a ≤时，()()''1212f x f x x x ->-.证明：由()22ln f x x a x x =++得，'22()2af x x x x=-+，令()()'g x f x =则由拉格朗日中值定理得：()()()'1212()g x g x g x x λ-=-下面只要证明：当4a ≤时，任意0λ>,都有()'1g λ>，则有()'324g 21ax x x =+->，即证4a ≤时，24a x x <+恒成立.这等价于证明24x x +的最小值大于4.由22422x x x x x+=++≥当且仅当x =4a ≤<，故4a ≤时，32421ax x +->恒成立.所以由拉格朗日定理得：()()()()''12121212()g x g x g x x g x x x x λλ-=-=->-.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性. （2）证明()g a ，2a b g +⎛⎫⎪⎝⎭，()g b 三者大小的关系例6：（2004年四川卷第22题）[3]已知函数()()ln(1),ln f x x x g x x x =+-=. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设02a b a <<<，证明：()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫+-<- ⎪⎝⎭. 证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有()'ln 1g x x =+，()()()()2222a b a b a b g a g b g g b g g g a ++⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由拉格朗日中值定理得，存在,,,22a b a b a b λμ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()()()()()''ln ln 2222a b a b b a b a g b g g g a g g μλμλ+⎛+⎫--⎛⎫⎛⎫---=-•=-• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4lnln ln ln 2222b a b b a a b ab a a a μλ---=•<•<•=- 评注：对于不等式中含有()()(),,2a b g a g b g a b +⎛⎫< ⎪⎝⎭的形式，我们往往可以把()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别对()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭两次运用拉格朗日中值定理. 例7：(2006年四川卷理第22题)已知函数()()22ln (0),f x x a x x f x x=++>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：（Ⅰ）当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭证明：（Ⅰ）不妨设12x x <，即证()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由拉格朗日中值定理知，存在12121122,,,22x x x x x x ξξ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12ξξ<且()1222x x f x f +⎛⎫- ⎪⎝⎭()'2122x x f ξ-=•，()()'12211122x x x x f f x f ξ+-⎛⎫-==• ⎪⎝⎭又'22()2a f x x x x =-+， ()''3242a f x x x=+-.当0a ≤时，()''0f x ≥.所以'()f x 是一个单调递减函数，故()()''12f f ξξ<从而()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫->-⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，因此命题获证．四：利用拉格朗日定理证明根的存在[4]证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间[],a b 把所给方程设为函数()f x 就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性,一般用反证法.例1 设()f x 在[]0,1可导,且0()1f x <<,又对于(0,1)内所有的点有'()1f x ≠-证明方程()10f x x +-=在(0,1)内有唯一的实根.分析:要证明方程有唯一的实根,分两步证明,先证明有根,再证明根是唯一的证明:先证方程有根,令()()1g x f x x =+-,又因为0()1f x <<,则(0)(0)10,(1)(1)0g f g f =-<=>,得到g(0)·g(1)< 0. 所以,函数g(x)在(0,1)内至少有一个实根.再证唯一性；假设方程()10f x x +-=在(0,1)内有两个实根,αβ不妨设为01αβ<<<, 则有()1,()1f f ββαα=-=-,对函数()f x )在[],αβ上运用拉格朗日中值定理有 ()()'()()f f f βαλβα-=-.因此()()11()()'()1f f f βαβαλβαβα----===---这和已知条件'()1f x ≠-矛盾.所以方程()10f x x +-=在(0,1)内有唯一的实根.结束语拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要具.，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但求解时一般都需要学生巧妙的构造新函数，成为难点且往往计算量较大.这时用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.参考文献[1]陈纪修,於崇华,金路．数学分析（上册）[M]．北京：高等教育出版社，2010，123-124 .[2]吴旻玲.高考中的拉格朗日中值定理[J]．中学教研( 数学),2012,：44.[3]王一棋.高观点下的中学数学——拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]．数学教学通讯,63.[4]李惟峰.拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]．教学参考,2008,：40.英文摘要Application of Lagrange's mean value theorem in the collegeentrance examination【Abstract】In recent years, the college entrance examination proposition is set in higher mathematics become a hot spot. Some college entrance examination questions of many provinces and cities can use the Lagrange's mean value theorem to solve. This paper summarizes the four types of questions. Through some specific questions, reflect the advantages of using high point of view to solve the problem.【Key words】Lagrange's mean value theorem the college entrance examinationHigh point of view。

第三章微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式麦克劳林

第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔定理 1、费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式和拉格朗日中值定理是微积分中常用的重要工具，它们在证明不等式中有很多简单应用。

下面将分别介绍泰勒公式和拉格朗日中值定理，并给出一些简单的不等式应用例子。

一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在一些点附近的近似表达式。

对于一个函数f(x)，如果它在一些点a处具有n+1阶可导，那么根据泰勒公式，我们可以得到以下的展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是拉格朗日余项，并且满足以下形式：R_n(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!泰勒公式的一个直接应用就是可以用它来证明不等式，我们可以通过展开函数，对比系数，再将恒等式转化为不等式，来获取我们想要的结论。

例如，我们想要证明在[0,1]区间上，e^x>=1+x+x^2/2，可以使用泰勒公式展开e^x，然后对比系数：e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+R_n(x)，(n≥2)对于n=2，展开式为：e^x=1+x+x^2/2+R_2(x)我们知道e^x是递增的函数，所以对于x∈[0,1]，e^x的取值在[1,e]之间。

而对于1+x+x^2/2，将x替换为1，可以得到2.5、所以我们只需要证明对于[0,1]区间内的x，有2.5>=e^x即可。

假设在[0,1]区间内存在一些点c，使得R_2(c)=e^c-(1+c+c^2/2)>0，即e^c>1+c+c^2/2、由于R_2(c)的形式具有e^c的余项特征，我们可以使用拉格朗日中值定理来讨论。

根据拉格朗日中值定理，存在一个点d∈(0,c)，使得R_2(d)=R_2(c)-R_2(0)=e^c-(1+c+c^2/2)-2<=0。

高考冲刺复习拉格朗日中值定理在高中数学中的应用%02%02

（ 4，+ ∞ ）单调增加．从而，
当 x1 ＞ x2 ＞ 0 时，有
g（ x1 ）－ g（ x2 ）＞ 0，
即
f（ x1 ）－ f0，
故
f（ x1 ）－ f（ x2 ）＞－ 1； x1 － x2
当 0 ＜ x1 ＜ x2 时，有
f（ x1 ）－ f（ x2 ） = f（ x2 ）－ f（ x1 ）＞－ 1．
高中数学教与学
2014 年
拉格朗日中值定理在高中数学中的应用
刘彬
（江苏省镇江市第一中学，212009）
在现行高中教材中增加了导数的初步知
识以后，高考数学试题出现了大量的与高等
数学密切相关的数学模型．在这些高考试题
中，常用初等数学语言来定义或表述一个新
理对研究高中数学大有裨益．在平时学习中，
除了要通晓教材和解题技巧外，还应该适度
掌握高等数学与初等数学的内在联系，将高
等数学中得一些相关的思维融入到日常的数
学学习中去．
·49·
1）内有唯一实根．
解析解决本题分别要证明存在性和唯
一性．证明存在性用得最多的就是根的存在
定理（介值定理），而唯一性的证明用初等方
法比较繁琐，不太容易讲清楚，在此可以借助
于拉格朗日中值定理．具体证明如下：
存在性．设函数 g（ x） = f（ x） + x － 1，则
g（ x）在（ 0，1）上可导．
（－ ∞ ，2］．
评注解法 1 提供的是初等数学方法，
但此法有缺陷．首先，怎么想到 a 的范围要以 2

巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题

巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题函数不等式，即一种经典的高考中的数学问题，在解决该问题的过程中，应用泰勒展开式大有裨益。

泰勒展开式是求解多元函数时常用的一种数学方法，可以用来求解函数不等式的正确答案。

这里将以一个求解不等式的例子，来介绍如何使用泰勒展开式来解决函数不等式问题。

首先，要解决函数不等式问题，需要了解原函数，并将其转化为可以使用泰勒展开式表达的形式，比如：函数不等式f(x)=2x^2+3x+5≥0，可以将其转化为f(x)=2(x-1)(x-2)+7≥0的形式。

然后，将原函数的参数代入泰勒展开式，根据泰勒展开式的定义，将函数不等式转化为多项式形式，从比较大小的原则出发，求解函数不等式的正确答案。

例如，f(x)=2(x-1)(x-2)+7≥0，带入泰勒展开式，得到：2(x²-3x+2)+7≥0，此时将函数不等式得到一个P(x)>=0的形式，其中P(x)=-3x²+6x-9，求解该不等式，根据不等式的性质，当P(x)<=0时，f(x)>=0，而当P(x)>=0时，f(x)<=0。

因此，这里的P(x)<=0的解为：x<=3 或 x>=2。

显然，整体的解为x<=3，因此最终解得函数不等式的解为：x<=3。

通过以上的分析，可以看出，泰勒展开式在求解高考中的函数不等式问题时，具有独特的作用，可以更加快捷的得到准确的答案。

虽然，泰勒展开式的使用只能用于一些比较简单的函数不等式问题，但在解决更复杂的问题时，仍然可以作为重要的辅助手段，使函数不等式问题得以有效解决。

此外，在解高考中的函数不等式问题时，应用泰勒展开式的过程还可以使用数学变换的方法，来更好地求解函数不等式。

例如：函数不等式f(x)=-5x+7≤0，可以将其变换为f(x)=2x-3≤0，之后结合泰勒展开式进行求解。

首先，用泰勒展开式将f(x)转化为P(x)=2x²-6x+9≤0，此时P(x)<=0的解为x<=3或 x>=2，所以最终的解为x<=3。

拉格朗日中值定理在高中数学中的应用

应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在高中数学中的应用一、定理与推论拉格朗日中值定理设函数ｆ（ｘ）满足如下条件：（１）ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内可导，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使得 = ｆ（ξ），其中b ＞ a．推论１若在（ａ，ｂ）内，ｆ（ｘ）≡ 0，则在（ａ，ｂ）内f （ｘ）为一常数.推论２若在（ａ，ｂ）内，ｆ′（ｘ） = ｇ′（ｘ），则在（ａ，ｂ）内ｆ（ｘ） = ｇ（ｘ） + c（ｃ为常数）．二、应用举例以下从应用的角度说明在解题中如何运用拉格朗日中值定理及其推论．１. 运用拉格朗日中值定理证明不等式例１试证当x∈［1，+∞）时，ln1 +x ≥ ln2 ．分析与说明这类题原本在高等数学中是常见题型，求解这类题的通常思路是先将一边移到另一边，构造一个函数，然后对它求导．近些年来，这类题倍受高考命题者青睐．证明令ｆ（ｘ） = ln1 +x - ln2，对函数ｆ（ｘ）求导，得ｆ′（ｘ）= xln1 +′ =［ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎｘ］－ .令函数ｇ（ｔ） = ｌｎ（ｔ），则ｇ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］上满足拉格朗日中值定理，于是对ln（1 + x） - ln x应用拉格朗日中值定理得到ln（1 + x）-ln x = ξ∈（ｘ，ｘ + 1）,所以有f′（x） = - ＞ 0 （x ＞ 0 ），因此，由上面的结论推出ｆ（ｘ）在ｘ∈［1,+∞）上单调递增，所以ｆ（ｘ）≥ｆ（１），即 ln1 +x -ln2 ≥ ｆ（１） = 0 ?圯ln1 +x ≥ ln2.２．运用拉格朗日中值定理证明恒等式例２若x ≥ 1，求证：arctan x +arccos=.分析在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式tan（α ± β） =，解得tan（α ± β） = 1，α ± β的值可能为．但此种解法较繁琐，在这里用推论１证明．证明设ｆ（ｘ）=arctan x +arccos - ，则ｆ′（ｘ）≡0，即f （ｘ） = c （ｃ为常数）.又因为ｆ（１）=arctan1-arccos1 - = 0，所以c = 0，故ｆ（ｘ） = 0，即arctan x +arccos=．３. 运用拉格朗日中值定理求极限例３求（cos -cos ）.分析观察函数特征容易想到：若令ｆ（ｔ）=cos ，则ｆ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］（x ≥ ０）上显然满足拉格朗日中值定理的条件．解令ｆ（ｔ）=cos ，显然ｆ（ｔ）在［ｘ，ｘ + 1］（x ≥０）上满足拉格朗日中值定理，得cos -cos =（-sin ξ），其中x ＜ξ ＜ x + 1，所以（cos -cos ）＝（－ｓｉｎξ）＝０.4．运用拉格朗日中值定理证明方程根的存在唯一性例４设ｆ（ｘ）在[0,1]上可导，且0 ＜ｆ（ｘ）＜ 1，又对于（０，１）内的所有点x有ｆ′（ｘ）≠-1，证明方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在（０，１）内有唯一实根．分析证明方程根的存在性就有可能用到介值定理. 在用介值定理证明问题时，选取合适的辅助函数可收到事半功倍的效果. 而在证明唯一性的时候较常用的方法就是反证法，所以本题证明思路就是先证存在性，再证唯一性．证明先证存在性．令?准（ｘ） = ｆ（ｘ） + x - 1，则?准（ｘ）在［０，１］上可导．因为0 ＜ｆ（ｘ）＜ 1．所以?准（0） = f（0） - 1 ＜ 0,?准（1） = f（１）＞0.由介值定理知?准（x）在（0,1）内至少有一个零点，即方程ｆ（ｘ）+ x - 1 = 0在（０，１）内至少有一个实根．再证唯一性（反证法）．设方程ｆ（ｘ） + x - 1 = 0在（0，1）内有两个实根x1，x2，不妨设0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ 1有f（ｘ１）=1 - x1，ｆ（ｘ２） = 1 - x2，对ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ2］上应用拉格朗日中值定理，有ξ∈（x1,x2），使f′（ξ）＝ = = -1 .这与题设f′（x）≠-1矛盾，唯一性得证．拉格朗日中值定理在高中数学中应用非常广泛，远不止以上这些，如利用导数来研究函数的某些性质、描绘函数的图像、解决极值、最值等问题非常简捷，在此就不一一列举了.【参考文献】［１］华东师范大学数学系．数学分析（第三版下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１.［２］贾俊芳．拉格朗日中值定理的应用．雁北师范学院学报［Ｊ］．２００４．（５）：２５－２８.［３］李艳敏，叶伯英．关于微分中值定理的两点思考，高等数学研究［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

精选练习题，涵盖各种难度和题型
学会举一反三，掌握解题思路
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注重解题技巧和方法的掌握
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及时总结错题，避免重复犯错
总结与展望
解题方法：利用导数研究函数单调性、构造辅助函数等
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用：证明不等式、求参数范围等
解题技巧：灵活运用定理，结合其他数学知识
如何掌握和运用拉格朗日中值定理解题
公式：若函数f(x)在 [a,b]上连续，且对所有x∈[a,b]，满足f'(c) = f(b)-f(a)/b-a，则称c 为f(x)在[a,b]上的拉格朗日中值。
常见形式：在高考数学中，拉格朗日中值定理常常以如下形式出现：证明函数在某个区间内单调，或者证明函数在某个区间内的值域。
解题思路：通过构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理证明不等式
解题步骤：根据不等式的特点，选择适当的辅助函数，利用拉格朗日中值定理推导不等式
结论：利用拉格朗日中值定理证明不等式是一种有效的解题方法，能够简化证明过程
原理：利用拉格朗日中值定理，通过构造辅助函数，将函数的最值问题转化为求解方程的问题。
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用
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目录
拉格朗日中值定理的概述
拉格朗日中值定理在高考题中的常见形式
拉格朗日中值定理在高考题中的妙用举例
如何掌握和运用拉格朗日中值定理解题
总结与展望
拉格朗日中值定理的概述
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拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
适用范围：适用于函数在闭区间上连续、开区间上可导的情况，且函数的最值存在。

高中数学证明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理

证明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理【典型例题】例1.已知函数f (x )=ln a ⋅xe -x +a sin x ，a >0．(1)若x =0恰为f (x )的极小值点．(ⅰ)证明：12<a <1；(ⅱ)求f (x )在区间(-∞,π)上的零点个数；(2)若a =1，f (x )x =1-x π 1+x π 1-x 2π 1+x 2π 1-x 3π 1+x 3π ⋯1-x n π 1+xn π ⋯，又由泰勒级数知：cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+(-1)n x 2n (2n )!+⋯，n ∈N *．证明：112+122+132+⋯+1n2+⋯=π26．【解析】解：(1)证明：(ⅰ)由题意得：f (x )=ln a (1-x )e -x +a cos x (a >0)，因为x =0为函数f (x )的极值点，所以f (0)=ln a +a =0，令g (x )=ln x +x (x >0)，则g (x )=1x+1>0，g (x )在(0,+∞)上单调递增，因为g (1)>0,g 12=ln 12+12=ln e 2<0，所以g (x )=ln x +x (x >0)在12,1上有唯一的零点a ，所以12<a <1；(ⅱ)由(ⅰ)知：ln a =-a ，f (x )=a (sin x -xe -x )，f (x )=a [cos x -(1-x )e -x ]，①当x ∈(-∞,0)时，由a >0，-1≤cos x ≤1，1-x >1，e -x >1得：f (x )<0，所以f (x )在(-∞,0)上单调递减，f (x )>f (0)=0，所以f (x )在区间(-∞,0)上不存在零点；②当x ∈(0,π)时，设h (x )=cos x -(1-x )e -x ，则h (x )=(2-x )e -x -sin x ，1°若x ∈0,π2，令m (x )=(2-x )e -x -sin x ，则m (x )=(x -3)e -x-cos x <0，所以m (x )在0,π2 上单调递减，因为m (0)=2>0,m π2 =2-π2 e -π2-1<0；所以存在α∈0,π2，满足m (α)=0，当x ∈(0,α)时，m (x )=h (x )>0，h (x )在(0,α)上单调递增；当x ∈α,π2时，m (x )=h(x )<0，h (x )在α,π2 上单调递减；2°若x ∈π2,2，令φ(x )=(2-x )e -x ,x ∈π2,2 ，则φ (x )=(x -3)e -x <0，所以φ(x)在区间π2,2上单调递减，所以φ(x)<φπ2 =2-π2e-π2<1e，又因为sin x≥sin2=sin(π-2)>sin π6=12，所以h (x)=(2-x)e-x-sin x<0，h(x)在π2,2上单调递减；3°若x∈(2,π)，则h (x)=(2-x)e-x-sin x<0，h(x)在(2,π)上单调递减；由1°2°3°得，h(x)在(0,α)上单调递增，h(x)在(α,π)单调递减，因为h(α)>h(0)=0，h(π)=(π-1)e-π-1<0，所以存在β∈(α,π)使得h(β)=0，所以当x∈(0,β)时，f (x)=h(x)>0，f(x)在(0,β)上单调递增，f(x)>f(0)=0，当x∈(β,π)时，f (x)=h(x)<0，f(x)在(β,π)上单调递减，因为f(β)>f(0)=0，f(π)<0，所以f(x)在区间(β,π)上有且只有一个零点；综上，f(x)在区间(-∞,π)上的零点个数为2个；(2)因为sin xx =1-x2π21-x24π21-x232π2⋯1-x2n2π2⋯①对cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯+(-1)n x2n(2n)!+⋯，两边求导得：-sin x=-x1!+x33!-x55!+⋯+(-1)n x2n-1(2n-1)!+⋯，sin x=x1!-x33!+x55!+⋯+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!+⋯，所以sin xx=1-x23!+x45!+⋯+(-1)n-1x2n-2(2n-1)!+⋯②比较①②式中x2的系数，得：-13!=-1π2112+122+132+⋯+1n2+⋯所以112+122+132+⋯+1n2+⋯=π26．例2.已知函数f(x)=x2+ln x-ax．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤2x2，对x∈[0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a=1时,设g x =xe x2-f x -x-1．若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，x1，x2∈(0，+∞)(x1≠x2)，证明：g(λ1x1+λ2x2)<λ1g(x1)+λ2g(x2)．【解析】解：(1)f′(x)=2x+1x-a=2x2-ax+1x，x>0，△=a2-8，①a≤22时，f′(x)≥0恒成立，故函数f(x)在(0,+∞)递增，无递减区间，②a >22时，f ′(x )>0⇒0<x <a -a 2-84或x >a +a 2-84，故函数f (x )在0,a -a 2-84 ，a +a 2-84，+∞ 递增，在a -a 2-84，a +a 2-84递减，综上，a ≤22时，函数f (x )在(0,+∞)递增，无递减区间，a >22时，函数f (x )在0,a -a 2-84 ，a +a 2-84，+∞ 递增，在a -a 2-84，a +a 2-84递减，(2)f (x )≤2x 2，对x ∈[0，+∞)恒成立，即x ∈[0，+∞)时，a ≥ln xx-x 恒成立，令F (x )=ln x x -x ，(x >0)，则F ′(x )=1-ln x -x 2x 2，令G (x )=1-ln x -x 2(x >0)，则G ′(x )=-1x-2x <0，∴G (x )在(0,+∞)递减且G (1)=0，∴x ∈(0,1)时，G (x )>0，F ′(x )>0，F (x )递增，当x ∈(1,+∞)，G (x )<0，F ′(x )<0，F (x )递减，∴F (x )max =F (1)=-1，综上，a 的范围是[-1，+∞)．(3)证明：当a =1时，g (x )=xe -(ln x -x )-x -1=xe x -ln x -x -1=e x -x -1，g ′(x )=e x -1>0(x >0)，不妨设0<x 1<x 2，下先证：存在ξ∈(x 1，x 2)，使得g (x 2)-g (x 1)=g ′(ξ)(x 2-x 1)，构造函数H (x )=g (x )-g (x 1)-g (x 2)-g (x 1)x 2-x 1(x -x 1)，显然H (x 1)=H (x 2)，且H ′(x )=g ′(x )-)-g (x 2)-g (x 1)x 2-x 1，则由导数的几何意义可知，存在ξ∈(x 1，x 2)，使得H ′(ξ)=g ′(ξ)-)-g (x 2)-g (x 1)x 2-x 1=0，即存在ξ∈(x 1，x 2)，使得g (x 2)-g (x 1)=g ′(ξ)(x 2-x 1)，又g ′(x )=e x -1为增函数，∴g (x 2)-g (x 1)=g ′(ξ)(x 2-x 1)>g ′(x 1)(x 2-x 1)，即g (x 2)>g (x 1)+g ′(x 1)(x 2-x 1)，设x 3=λ1x 1+λ2x 2(λ1+λ2=0)，则x 1-x 3=(1-λ1)x 1-λ2x 2，x 2-x 3=(1-λ2)x 2-λ1x 1，∴g (x 1)>g (x 3)+g ′(x 3)(x 1-x 3)=g (x 3)+g ′(x 3)[(1-λ1)x 1-λ2x 2]①，g (x 2)>g (x 3)+g ′(x 3)(x 2-x 3)=g (x 3)+g ′(x 3)[(1-λ2)x 2-λ1x 1]②，由①×λ1+②×λ2得，λ1g (x 1)+λ2g (x 2)>g (x 3)=g (λ1x 1+λ2x 2)，即g (λ1x 1+λ2x 2)<λ1g (x 1)+λ2g (x 2)．例3.英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x=x-x33!+x55!-x77!+⋯，其中n!=1×2×3×4×⋯×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当x∈0,π2时，sin x<x，sin x>x-x33!，sin x<x-x33!+x55!，⋯．(1)证明：当x∈0,π2时，sin x x>12；(2)设f(x)=m sin x，若区间[a，b]满足当f(x)定义域为[a，b]时，值域也为[a，b]，则称为f(x)的“和谐区间”，(ⅰ)m=1时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；(ⅱ)m=-2时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：由已知当x∈0,π2时，sin x>x-x33!，得sin xx>1-x26>1-π226=1-π224>12，所以当x∈0,π2时，sin x x>12．(2)(i)m=1时，假设存在，则由-1≤f(x)≤1知-1≤a<b≤1，注意到1<π2，故[a,b]⊆-π2 ,π2，所以f(x)在[a，b]单调递增，于是f(a)=af(b)=b，即a，b是方程sin x=x的两个不等实根，易知x=±π2不是方程的根，由已知，当x∈0,π2时，sin x<x，令x=-t，则有t∈-π2 ,0时，sin(-t)<-t，即sin t>t，故方程sin x=x只有一个实根0，故f(x)不存在和谐区间．(ii)m=-2时，假设存在，则由-2≤f(x)≤2知-2≤a<b≤2，若a，b≥0，则由[a，b]⊆[0，π)，知f(x)≤0，与值域是[a，b]⊆[0，π)矛盾，故不存在和谐区间，同理，a，b≤0时，也不存在，下面讨论a≤0≤b，若b≥π2，则0,π2⊆[a,b]，故f(x)最小值为-2，于是a=-2，所以-π2 ,π2⊆[a,b]，所以f(x)最大值为2，故b=2，此时f(x)的定义域为[-2，2]，值域为[-2，2]，符合题意．若b<π2，当a≤-π2时，同理可得a=-2，b=2，舍去，当a>-π2时，f(x)在[a，b]上单调递减，所以a=-2sin bb=-2sin a，于是a+b=-2(sin a+sin b)，若b>-a即a+b>0，则sin b>sin(-a)，故sin b+sin a>0，-2(sin a+sin b)<0，与a+b=-2(sin a+sin b)矛盾；若b<-a，同理，矛盾，所以b>-a，即b2=sin b，由(1)知当x∈0,π2时，sin x>x2，因为b∈0,π2，所以b=0，从而，a=0，从而a=b，矛盾，综上所述，f(x)有唯一的和谐区间[-2，2]．例4.给出以下三个材料：①若函数f(x)可导，我们通常把导函数f (x)的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f (x)．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作f (x)，三阶导数的导数叫做四阶导数⋯⋯一般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导数，记作f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′，n≥4．②若n∈N*，定义n!=n×(n-1)×(n-2)×⋯×3×2×1．③若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有n阶的导数，那么对于任一x∈(a,b)有g(x)=f(x0)+f (x0)1!(x-x0)+f (x0)2!(x-x0)2+f (x0)3!(x-x0)3+⋯+f(n)(x0)n!(x-x0)n，我们将g(x)称为函数f(x)在点x=x0处的n阶泰勒展开式．例如，y=e x在点x=0处的n阶泰勒展开式为1+x+12x2+⋯+1n!x n．根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出f1(x)=sin x在点x=0处的3阶泰勒展开式g1(x)，并直接写出f2(x)=cos x在点x=0处的3阶泰勒展开式g2(x)；(2)比较(1)中f1(x)与g1(x)的大小．(3)已知y=e x不小于其在点x=0处的3阶泰勒展开式，证明：x≥0时，e x+sin x+cos x≥2+2x．【解析】(1)解：因为f1(x)=sin x，则f1 (x)=cos x，f1 (x)=-sin x，f1 (x)=-cos x，所以f1 (0)=1，f1 (0)=0，f1 (0)=-1，故g1(x)=sin0+11!(x-0)+02!(x-0)2+-13!(x-0)3，即g1(x)=x-16x3，同理可得，g2(x)=1-12x2；(2)解：由(1)可知，f1(x)=sin x，g1(x)=x-16x3，令h(x)=f1(x)-g1(x)=sin x-x+16x3，则h (x)=cos x-1+12x2，则h (x)=-sin x+x，h (x)=1-cos x≥0，所以h (x)在R上单调递增，又h (0)=0，故当x<0时，h (x)<0，故h (x)单调递减，当x>0时，h (x)>0，故h (x)单调递增，所以h (x)的最小值为h (0)=1-1+0=0，所以h (x)≥0，故h(x)在R上单调递增，又h(0)=0，所以当x<0时，h(x)<0，当x>0时，h(x)>0，综上所述，当x<0时，f1(x)<g1(x)；当x=0时，f1(x)=g1(x)；当x>0时，f1(x)>g1(x)．(3)证明：令φ(x)=f2(x)-g2(x)=cos x-1+12x2，则φ (x)=-sin x+x，所以φ (x)=1-cos x≥0．则φ (x)在R上单调递增，又φ (0)=0，所以φ(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)=0，即cos x≥1-12x2，因为y=e x在点x=0处的3阶泰勒展开式为：1+x+12x2+16x3，所以e x≥1+x+12x2+16x3，又y=sin x在x=0处的3阶泰勒展开式为：x-16x3，当x≥0时，sin x≥x-16x3，所以当x≥0时，e x+sin x+cos x≥1+x+12x2+16x3+x-16x3+1-12x2≥2+2x，故e x+sin x+cos x≥2+2x(x≥0)．例5.利用拉格朗日(法国数学家，1736-1813)插值公式，可以把二次函数F(x)表示成F(x)=d(x-b)(x-c) (a-b)(a-c)+e(x-a)(x-c)(b-a)(b-c)+f(x-a)(x-b)(c-a)(c-b)的形式．(1)若a=1，b=2，c=3，d=4，e<f，把F(x)的二次项系数表示成关于f的函数G(f)，并求G(f)的值域(此处视e为给定的常数，答案用e表示)；(2)若a<b<c，d>0，e<0，f>0，求证：a+b<d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)<b+c．【解析】(1)解：由题意G(f)=d(a-b)(a-c)+e(b-a)(b-c)+f(c-a)(c-b)=4-1×(-2)+e1×(-1)+f2×1=12f-e+2，又f>e，所以G(f)>12e-e+2=-12e+2，当e≤4时，G(f)>-12e+2≥0，则G(f)的值域是-12e+2,+∞；当e>4时，-12e+2<0，所以G(f)的值域是-12e+2，0∪(0，+∞)．(2)证明：因为a<b<c，d>0，e<0，f>0，所以d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)<0，(a+b)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]=d(b-c)(a+b)+e(c-a)(a+b)+f(a2-b2) =d(b-c)([(b+c)+(a-c)]+e(c-a)[(c+a)+(b-c)]+f(a2-b2)=d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)+d(b-c)(a-c)+e(c-a)(b-c)，因为a<b<c，d>0，e<0，f>0，所以d(b-c)(a-c)>0，e(c-a)(b-c)>0，所以(a+b)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]>d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)，所以a+b<d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2) d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)，(b+c)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]=d(b2-c2)+e(c-a)(b+c)+f(a-b)(b+c) =d(b2-c2)+e(c-a)(c-a+b-a)+f(a-b)(a+b+c-a)=d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)+e(c-a)(b-a)+f(a-b)(c-a)，因为a<b<c，d>0，e<0，f>0，所以e(c-a)(b-a)<0，f(a-b)(c-a)<0，所以(b+c)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]<d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)，所以b+c>d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2) d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)，综上，原不等式成立．例6.用拉格朗日中值定理证明不等式：x1+x<ln(1+x)<x(x>0)．【解析】证明：设g(t)=ln t，t∈(a,b)，则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件，即存在t0∈(a,b)，使g′(t0)=g(b)-g(a) b-a，因为g′(t)=1t，由t∈(a,b)，0<a<b，可知g ′(t )∈1b ，1a，b -a >0，即1b <g ′t 0)=g (b )-g (a )b -a <1a ，可得1b <g (b )-g (a )b -a =ln b -ln a b -a<1a ，即有b -a b<ln b a 0)．例7.已知函数f (x )=mx 3+nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)的图象在(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)求n ，m 的关系式并求f (x )的单调减区间；(2)证明：对任意实数0<x 1<x 2<1，关于x 的方程：f (x )-f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=0在(x 1，x 2)恒有实数解；(3)结合(2)的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f (x )是在闭区间[a ，b ]上连续不断的函数，且在区间(a ,b )内导数都存在，则在(a ,b )内至少存在一点x 0，使得f (x 0)=f (b )-f (a )b -a．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：当0<a 0知mx (x -2)>0．当m >0时得x <0或x >2，f (x )的减区间为(0,2)；-----(3分)当m <0时得：0<x <2，f (x )的减区间为(-∞,0)和(2,+∞)；-----(4分)综上所述：当m >0时，f (x )的减区间为(0,2)；当m <0时，f (x )的减区间为(-∞,0)和(2,+∞)；-----(5分)(2)∵f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=m (x 21+x 22+x 1x 2-3x 1-3x 2)，------------(6分)∴f ′(x )-f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=0，可化为3x 2-6x -x 21-x 22-x 1x 2+3x 1+3x 2=0，令h (x )=3x 2-6x -x 21-x 22-x 1x 2+3x 1+3x 2----(7分)则h (x 1)=(x 1-x 2)(2x 1+x 2-3)，h (x 2)=(x 2-x 1)(x 1+2x 2-3)，即h (x 1)h (x 2)=-(x 1-x 2)2(2x 1+x 2-3)(x 1+2x 2-3)又因为0<x 1<x 2<1，所以(2x 1+x 2-3)<0，(x 1+2x 2-3)<0，即h (x 1)h (x 2)<0，-----------(8分)故h (x )=0在区间(x 1，x 2)内必有解，即关于x 的方程f (x )-f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=0在(x 1，x 2)恒有实数解-----(9分)(3)令g (x )=ln x ，x ∈(a ,b )，-----------(10分)则g (x )符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x 0∈(a ,b )，使g (x 0)=g (b )-g (a )b -a =ln b -ln ab -a-----------(11分)因为g ′(x )=1x ，由x ∈(a ,b )，0<a 0-----(12分)即1b <g ′(x 0)=g (b )-g (a )b -a =ln b -ln a b -a =ln bab -a<1a ，∴b -a b<ln b a <b -a a -----(14分)例8.已知f (x )=23x 3-2x 2+cx +4，g (x )=e x -e 2-x +f (x )，(1)若f (x )在x =1+2处取得极值，试求c 的值和f (x )的单调增区间；(2)如图所示，若函数y =f (x )的图象在[a ，b ]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c ∈(a ,b )，使得f (c )=f (b )-f (a )b -a，利用这条性质证明：函数y =g (x )图象上任意两点的连线斜率不小于2e -4．xyabcA By =f x【解析】解：(1)f ′(x )=2x 2-4x +c ，(1分)依题意，有f (1+2)=0，即c =-2(1+2)2+4(1+2)=-2．(2分)∴f (x )=23x 3-2x 2-2x +4，f ′(x )=2x 2-4x -2．令f ′(x )>0，得x <1-2或x >1+2，(5分)从而f (x )的单调增区间为：(-∞,1-2]及[1+2,+∞)；(6分)(2)f (c )=f (b )-f (a )b -a；g (x )=e x -e 2-x +f (x )=e x -e 2-x +23x 3-2x 2-2x +4，(7分)g ′(x )=e x+e2-x+2x 2-4x -2(9分)=e x+e 2ex +2(x -1)2-4≥2e x ⋅e 2e x +2⋅0-4=2e -4．(12分)由(2)知，对于函数y =g (x )图象上任意两点A 、B ，在A 、B 之间一定存在一点C (c ，g ′(c ))，使得g ′(c )=K AB ，又g ′(x )≥2e -4，故有K AB =g ′(c )≥2e -4，证毕．(14分)【同步练习】一、单选题1.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ，0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是()A.sin57°B.sin36°C.sin33°D.sin30°【答案】C【解析】因为sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+(-1)n -1x 2n -1(2n -1)!+⋯,则(sin x )=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+(-1)n -1x 2n -2(2n -2)!+⋯,当x =1时，则有cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯,又cos1=sin π2-1 ,则1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯=sin π2-1 ≈sin0.57=sin 0.57×180π °≈sin32.7°≈sin33°,故选∶C ．2.公元1715年英国数学家布鲁克·泰在他的著作中陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：e x=+∞n =0x nn !=x 00!+x 11!+x 22!+x 33!+⋯+x n n !+⋯，其中x ∈R ，n ∈N *，试用上述公式估计e 的近似值为(精确到0.001)()A.1.647 B.1.649 C.1.645 D.1.646【答案】B【解析】由题意可知，结果只需精确到0.001即可，令x =0.5，取前6项可得：e =+∞n =00.5n n ! ≈5n =00.5n n ! =0.500!+0.511!+0.522!+0.533!+0.544!+0.555!=1+0.5+0.252+0.1256+0.062524+0.03125120≈1.649所以e 的近似值为1.649，故选：B .3.计算器是如何计算sin x ，cos x ，πx ，ln x ，x 等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，其中n !=1×2×⋯×n ，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x 和cos x 的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin π2+1 的近似值为()A.0.50 B.0.52C.0.54D.0.56【答案】C【解析】由题意可得，sin π2+1=cos1，故cos1=1-122!+144!-166!+⋯=1-12+124-1720+⋯≈1-0.5+0.041-0.001+⋯=0.54.故选：C ．二、填空题4.英国数学家泰勒(1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们得到e =1+11!+12!+13!+⋯+1n !+e θ(n +1)!(其中e 为自然对数的底数，0<θ<1,n !=n ×n -1 ×n -2 ×...×2×1)，其拉格朗日余项是R n =e θ(n +1)!.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e 的近似值也就越精确.若3(n +1)!近似地表示e 的泰勒公式的拉格朗日余项R n ,R n 不超过11000时，正整数n 的最小值是_____【答案】6【解析】依题意得3n +1 !≤11000，即n +1 !≥3000，5+1 !=6×5×4×3×2×1=720<3000，6+1 !=7×6×5×4×3×2×1=5040>3000，所以n 的最小值是6．故答案为：6三、解答题5.给出以下三个材料：①若函数f x 可导，我们通常把导函数f x 的导数叫做f x 的二阶导数，记作f x .类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作f x ，三阶导数的导数叫做四阶导数⋯⋯一般地，n -1阶导数的导数叫做n 阶导数，记作f n x =f n -1 x ,n ≥4.②若n ∈N ∗，定义n !=n ×n -1 ×n -2 ×⋅⋅⋅×3×2×1.③若函数f x 在包含x 0的某个开区间a ,b 上具有n 阶的导数，那么对于任一x ∈a ,b 有g x =f x 0 +f x 0 1!x -x 0 +f x 0 2!x -x 0 2+f x 0 3!x -x 0 3+⋅⋅⋅+f n x 0 n !x -x 0 n，我们将g x 称为函数f x 在点x =x 0处的n 阶泰勒展开式.例如，y =e x 在点x =0处的n 阶泰勒展开式为1+x +12x 2+⋅⋅⋅+1n !x n .根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出f 1x =sin x 在点x =0处的3阶泰勒展开式g 1x ，并直接写出f 2x =cos x 在点x =0处的3阶泰勒展开式g 2x ；(2)比较(1)中f 1x 与g 1x 的大小.(3)证明：e x +sin x +cos x ≥2+2x .【解析】(1)∵f 1x =cos x ，f 2x =-sin x ，f 3x =-cos x ，∴f 10 =1，f 20 =0，f 30 =-1，∴g 1x =sin0+11!x -0 +02!x -0 2+-13!x -0 3，即g 1x =x -16x 3；同理可得：g 2x =1-12x 2；(2)由(1)知：f 1x =sin x ，g 1x =x -16x 3，令h x =f 1x -g 1x =sin x -x +16x 3，则h x =cos x -1+12x 2，∴h x =-sin x +x ，h x =1-cos x ≥0，∴h x 在R 上单调递增，又h 0 =0，∴当x ∈-∞,0 时，h x <0，h x 单调递减；当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增；∴h x min =h 0 =1-1+0=0，∴h x ≥0，∴h x 在R 上单调递增，又h 0 =0，∴当x ∈-∞,0 时，h x <0；当x ∈0,+∞ 时，h x >0；综上所述：当x <0时，f 1x <g 1x ；当x =0时，f 1x =g 1x ；当x >0时，f 1x >g 1x ；(3)令φx =f 2x -g 2x =cos x -1+12x 2，则φ x =-sin x +x ，∴φ x =1-cos x ≥0，∴φ x 在R 上单调递增，又φ 0 =0，∴φx 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，∴φx ≥φ0 =0，即cos x ≥1-12x 2；∵y =e x 在点x =0处的4阶泰勒展开式为：1+x +12x 2+16x 3+124x 4，∴e x =1+x +12x 2+16x 3+124x 4≥1+x +12x 2+16x 3，当且仅当x =0时取等号，①当x ≥0时，由(2)可知，sin x ≥x -16x 3，当且仅当x =0时取等号，所以e x +sin x +cos x ≥1+x +12x 2+16x 3 +x -16x 3 +1-12x 2 =2+2x ；②当x<0时，设F x =e x+sin x+cos x-2-2x，F0 =0，F x =e x+cos x-sin x-2=e x+2cos x+π4-2，F x =e x-sin x-cos x，当x∈-1,0，由(2)可知sin x<x-16x3，所以，F x =e x-sin x-cos x>1+x+12x2+16x3+16x3-x-cos x=1-cos x+16x23+2x>0，即有F x <F 0 =0；当x∈-∞,-1时，F x =e x+2cos x+π4-2<1e+2-2<12+2-2<0，所以，x<0时，F x 单调递减，从而F x >F0 =0，即e x+sin x+cos x>2+2x．综上所述：e x+sin x+cos x≥2+2x.6.在高等数学中，我们将y=f x 在x=x0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：f x =f x0+f′x0x-x0+f x02!x-x02+⋅⋅⋅+f n x0n!x-x0n+⋅⋅⋅(其中f n x 表示f x 的n次导数)，以上公式我们称为函数f x 在x=x0处的泰勒展开式.(1)分别求e x，sin x，cos x在x=0处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：e iπ+1=0.(其中i为虚数单位)；(3)若∀x∈0,32，e a sin x>x+1恒成立，求a的范围.(参考数据ln52≈0.9)【解析】(1)因为函数f x 在x=x0处的泰勒展开式为f x =f x0+f′x0x-x0+f x02!x-x02+⋅⋅⋅+f n x0n!x-x0n+⋅⋅⋅(其中f n x 表示f x 的n次导数)，所以e x，sin x，cos x在x=0处的泰勒展开式分别为：e x=1+x+12!x2+⋯+1n!x n+⋯，sin x=x-13!x3+15!x5+⋯+(-1)n-1(2n-1)!x2n-1+⋯，cos x=1-12!x2+14!x4+⋯+(-1)n(2n)!x2n+⋯；(2)证明：把e x在x=0处的泰勒展开式中的x替换为ix，可得e ix=1+(ix)+12!(ix)2+13!(ix)3+14!(ix)4+⋯+1n!(ix)n+⋯=1-12!x2+14!x4+⋯+(-1)n(2n)!x2n+⋯+i⋅x-13!x3+15!x5+⋯+(-1)n-1(2n-1)!x2n-1+⋯=cos x+i⋅sin x，所以e iπ=cosπ+i⋅sinπ=-1，即e iπ+1=0；(3)由sin x在x=0处的泰勒展开式，先证∀x∈0,32,sin x>x-16x3，令f(x)=sin x-x+16x3,f′(x)=cos x-1+12x2,f′′(x)=x-sin x，f (x)=1-cos x，易知f (x)>0，所以f′′(x)在0,32上单调递增，所以f′′(x)>f′′(0)=0，所以f′(x)在0,3 2上单调递增，所以f′(x)>f′(0)=0，所以f(x)在0,3 2上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，再令g(x)=x-16x3-ln(x+1)，x∈0,32，易得g′(x)=-12x(x-1)(x+2)x+1，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在1,3 2上单调递减，而g(0)=0,g32=1516-ln52>0，所以∀x∈0,3 2,g(x)>0恒成立，当a≥1时，a sin x≥sin x>x-16x3>ln(x+1) ，所以e a sin x>x+1成立，当a<1时，令h(x)=a sin x-ln(x+1)，x∈0,3 2，易求得h (0)=a-1<0，所以必存在一个区间(0,m)，使得h(x)在(0,m)上单调递减，所以x∈(0,m)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意.综上所述，a≥1.7.英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x=x-x33!+x55!-x77!+⋯，其中n!=1×2×3×4×⋯×n，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当x∈0,π2时，sin x<x,sin x>x-x33!，sin x<x-x3 3!+x55!,⋯.(1)证明：当x∈0,π2时，sin x x>12；(2)设f x =m sin x，若区间a,b满足当f x 定义域为a,b时，值域也为a,b，则称为f x 的“和谐区间”.(i)m=1时，f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；(ii)m=-2时，f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知当x∈0,π2时，sin x>x-x33!，得sin x x >1-x 26>1-π226=1-π224>12，所以当x ∈0,π2 时，sin x x >12.(2)(i )m =1时，假设存在，则由-1≤f x ≤1知-1≤a t ，故方程sin x =x 只有一个实根0，故f x 不存在“和谐区间”.(ii )m =-2时，假设存在，则由-2≤f x ≤2知-2≤a <b ≤2,若a ,b ≥0，则由a ,b ⊆0,π ，知f x ≤0，与值域是a ,b ⊆0,π 矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，a ,b ≤0时，也不存在，下面讨论a ≤0≤b ，若b ≥π2，则0,π2⊆a ,b ，故f x 最小值为-2，于是a =-2，所以-π2,π2⊆a ,b ，所以f x 最大值为2，故b =2，此时f x 的定义域为-2,2 ，值域为-2,2 ，符合题意.若b <π2，当a ≤-π2时，同理可得a =-2,b =2，舍去，当a >-π2时，f x 在a ,b 上单调递减，所以a =-2sinb b =-2sin a ，于是a +b =-2sin a +sin b ，若b >-a 即a +b >0，则sin b >sin -a ，故sin b +sin a >0,-2sin a +sin b <0，与a +b =-2sin a +sin b 矛盾；若b <-a ，同理，矛盾，所以b =-a ，即b2=sin b ，由(1)知当x ∈0,π2 时，sin x >x 2，因为b ∈0,π2，所以b =0，从而，a =0，从而a =b ，矛盾，综上所述，f x 有唯一的“和谐区间”-2,2 .8.计算器是如何计算sin x ，cos x ，e x ，ln x ，x 等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，其中n !=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n .英国数学家泰勒(B ．Taylor ，1685-1731)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的sin x 和cos x 的值也就越精确.例如，我们用前三项计算sin0.9，就得到sin0.9≈0.9-(0.9)33!+(0.9)55!≈0.78342075.像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的.试用你的计算器计算sin0.9，并与上述结果进行比较.【解析】用计算器计算sin0.9得sin0.9=0.783326909627，和数值0.78342075比较发现，通过sin0.9≈0.9-(0.9)33!+(0.9)55!≈0.78342075计算的答案只能精确到小数点后第3位.9.给出以下三个材料：①若函数f x 可导，我们通常把导函数f x 的导数叫做f x 的二阶导数，记作f x ．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作f x ，三阶导数的导数叫做四阶导数⋯⋯一般地，n -1阶导数的导数叫做n 阶导数，记作f n x =f n -1 x ,n ≥4．②若n ∈N ∗，定义n !=n ×n -1 ×n -2 ×⋅⋅⋅×3×2×1．③若函数f x 在包含x 0的某个开区间a ,b 上具有n 阶的导数，那么对于任一x ∈a ,b 有g x =f x 0 +f x 0 1!x -x 0 +f x 0 2!x -x 0 2+f x 0 3!x -x 0 3+⋅⋅⋅+f n x 0 n !x -x 0 n，我们将g x 称为函数f x 在点x =x 0处的n 阶泰勒展开式．例如，y =e x 在点x =0处的n 阶泰勒展开式为1+x +12x 2+⋅⋅⋅+1n !x n ．根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出f 1x =sin x 在点x =0处的3阶泰勒展开式g 1x ，并直接写出f 2x =cos x 在点x =0处的3阶泰勒展开式g 2x ；(2)比较(1)中f 1x 与g 1x 的大小．(3)已知y =e x 不小于其在点x =0处的3阶泰勒展开式，证明：e x +sin x +cos x ≥2+2x ．【解析】(1)∵f 1x =cos x ，f 2x =-sin x ，f 3x =-cos x ，∴f 10 =1，f 20 =0，f 30 =-1，∴g 1x =sin0+11!x -0 +02!x -0 2+-13!x -0 3，即g 1x =x -16x 3；同理可得：g 2x =1-12x 2；(2)由(1)知：f 1x =sin x ，g 1x =x -16x 3，令h x =f 1x -g 1x =sin x -x +16x 3，则h x =cos x -1+12x 2，∴h x =-sin x +x ，h x =1-cos x ≥0，∴h x 在R 上单调递增，又h 0 =0，∴当x ∈-∞,0 时，h x <0，h x 单调递减；当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增；∴h x min =h 0 =1-1+0=0，∴h x ≥0，∴h x 在R 上单调递增，又h 0 =0，∴当x ∈-∞,0 时，h x <0；当x ∈0,+∞ 时，h x >0；综上所述：当x <0时，f 1x <g 1x ；当x =0时，f 1x =g 1x ；当x >0时，f 1x >g 1x .(3)令φx =f 2x -g 2x =cos x -1+12x 2，则φ x =-sin x +x ，∴φ x =1-cos x ≥0，∴φ x 在R 上单调递增，又φ 0 =0，∴φx 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，∴φx ≥φ0 =0，即cos x ≥1-12x 2；∵y =e x 在点x =0处的3阶泰勒展开式为：1+x +12x 2+16x 3，∴e x ≥1+x +12x 2+16x 3，①由(2)知：当x ≥0时，sin x ≥x -16x 3，∴当x ≥0时，e x +sin x +cos x ≥1+x +12x 2+16x 3 +x -16x 3 +1-12x 2 =2+2x ；②由(2)知：当x <0时，sin x <x -16x 3，∴e x +sin x +cos x ≥2+x +16x 3+sin x >2+2sin x ，令m x =sin x -x x <0 ，则m x =cos x -1≤0，∴m x 在-∞,0 上单调递减，∴m x >m 0 =0，即当x <0时，sin x >x ，∴2+2sin x >2+2x ，∴e x +sin x +cos x >2+2x ；综上所述：e x +sin x +cos x ≥2+2x .10.已知函数f x =ln a ⋅xe -x +a sin x ，a >0.(1)若x =0恰为f x 的极小值点.①证明：12<a <1；②求f x 在区间-∞,π 上的零点个数；(2)若a =1，f x x =1-x π 1+x π 1-x 2π 1-x 3π 1+x 3π ⋅⋅⋅1-x n π 1+xn π⋅⋅⋅，又由泰勒级数知：cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋅⋅⋅+-1 n x 2n2n !+⋅⋅⋅n ∈N * ，证明：112+122+132+⋅⋅⋅+1n 2+⋅⋅⋅=π26【解析】(1)①由题意得：f x =ln a 1-x e -x +a cos x ，因为x =0为函数f x 的极值点，所以，f 0 =ln a +a =0，令g x =ln x +x x >0 ，则g x =1x+1>0，g x 在(0,+∞)上单调递增.因为g 1 =1>0，g 12=ln 12+12=ln e 2<0，所以g x =ln x +x 在12,2上有唯一的零点a ，所以12<a <1；②由①知：ln a =-a ，f x =a sin x -xe -x ，f x =a cos x -1-x e -x ，(i )当x ∈-∞,0 时，由a >0，-1≤cos x ≤1，1-x >1，e -x >1，得f x <0，所以f x 在-∞,0 上单调递减，f x >f 0 =0，所以f x 在区间-∞,0 上不存在零点；(ii )当x ∈0,π 时，设h x =cos x -1-x e -x ，则h x =2-x e -x -sin x .(a )若x ∈0,π2，令m x =2-x e -x -sin x ，则m x =x -3 e -x-cos x <0，所以m x 在0,π2上单调递减，因为m 0 =2>0，m π2 =2-π2 e -π2-1<0，所以存在a ∈0,π2，满足m a =0，当x ∈0,a 时，m x =h x >0，h x 在0,a 上单调递增；当x ∈a ,π2时，m x =hx <0，h x 在a ,π2 上单调递减；(b )若x ∈π2,2，令φx =2-x e -x ，x ∈π2,2 ，则φ x =x -3 e -x <0，所以φx 在区间π2,2上单调递减，所以φx <φπ2=2-π2 e -π2<1e，又因为sin x ≥sin2=sin π-2 >sin π6=12，所以h x =2-x e -x -sin x <0，h x 在π2,2上单调递减；(c )若x ∈2,π ，则h x =2-x e -x -sin x <0，h x 在2,π 上单调递减.由(a )(b )(c )得，h x 在0,a 上单调递增，h x 在a ,π 单调递减，因为h a >h 0 =0，h π =π-1 e -π-1<0，所以存在β∈a ,π 使得h β =0，所以，当x ∈0,β 时，f x =h x >0，f x 在0,β 上单调递增，f x >f 0 =0，当x ∈β,π 时，f x =h x <0，f x 在β,π 上单调递减，因为f β >f 0 =0，f π <0，所以f x 在区间β,π 上有且只有一个零点.综上，f x 在区间-∞,π 上的零点个数为2个；(2)因为sin x x =1-x 2π21-x 24π21-x 232π2 ⋅⋅⋅1-x 2n 2π2，(*)对cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋅⋅⋅+-1 n x 2n2n !+⋅⋅⋅，两边求导得：-sin x =-x 1!+x 33!-x 55!+⋅⋅⋅+-1 n x 2n -12n -1 !+⋅⋅⋅，sin x =x 1!-x 33!+x 55!+⋅⋅⋅+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋅⋅⋅，所以sin x x =1-x 23!+x 45!+⋅⋅⋅+-1 n -1x 2n -22n -1 !+⋅⋅⋅，(**)比较(*)(**)式中x 2的系数，得-13!=-1π2112+122+132+⋅⋅⋅+1n2+⋅⋅⋅所以112+122+132+⋅⋅⋅+1n2+⋅⋅⋅=π26.11.英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯,cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，其中n !=1×2×3×4×5×⋯×n .这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算cos0.3，就得到cos0.3≈1-0.322!+0.344!=0.9553375.试用你的计算工具计算cos0.3，并与上述结果比较.【解析】依题意，用前5项计算，即cos0.3≈1-0.322!+0.344!-0.366!+0.388!≈1-0.045+0.0003375-0.0000010125+0.00000000163≈0.95533648．与用前三项计算cos0.3的结果比较可以发现，用前5项计算的结果精确度更高，同时可知，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求．四、双空题12.记f (n )(x )为函数f (x )的n 阶导数且f 2 x =f x ，f n x =f n -1 x n ≥3,n ∈N * .若f (n )(x )存在，则称f x n 阶可导．英国数学家泰勒发现：若f (x )在x 0附近n +1阶可导，则可构造T n x =f x 0 +f x 0 1!x -x 0 +f 2 x 0 2!x -x 0 2+⋯+f n x 0 n !x -x 0 n(称为n 次泰勒多项式)来逼近f (x )在x0附近的函数值．据此计算f(x)=e x在x0=0处的3次泰勒多项式为T3(x)=_________；f(x)=-1x在x0=-1处的10次泰勒多项式中x3的系数为_________【答案】1+x+x22+x36330【解析】∵f(x)=e x，∴f(n)(x)=e x，f(n)(0)=1，n∈N∗∴T3(x)=f(0)+(x-0)+12!(x-0)2+13!(x-0)3，∴T3(x)=1+x+x22+x36；∵f(x)=-1x，∴f(x)=x-2，f(2)(x)=-2x-3，f(3)(x)=(3!)x-4，⋯，f(9)(x)=(9!)x-10，f(10)(x)=-(10!) x-11，∴f (-1)=1，f(2)(-1)=2，f(3)(-1)=3!，⋯，f(9)(-1)=9!，f(10)(-1)=10!，∴T10(x)=1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+⋅⋅⋅+(x+1)10．故x3的系数为C03+C14+C25+⋅⋅⋅+C710=C44+C34+C35+⋅⋅⋅+C310=C45+C35+⋅⋅⋅+C310=⋅⋅⋅=C410+C310=C411= 330．故答案为：1+x+x22+x36；330.。

拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)(教师版)

拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义3能运用拉格朗日中值定理解题【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。

本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习知识讲解1.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导．则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f ξ =f b -f ab-a．2.拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线y=f x 上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．3.需要注意的地方(逆命题不成立)拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如f x =x3在x=0处的切线斜率为0,但f x 不存在割线使割线斜率等于04.拉格朗日公式还有下面几种等价形式f b -f a =f ξ b -a a <ξb 都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一常数．显然，当0<θ<1时，a <a +θb -a <b ．考点一：拉格朗日中值定理的认知及简单应用1(2023·全国·高三专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f x 在闭区间a ,b 上的图象连续不间断，在开区间a ,b 内的导数为f x ，那么在区间a ,b 内至少存在一点c ，使得f b -f a =f c b -a 成立，其中c 叫做f x 在a ,b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f x =x 3-2x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】B【分析】根据给定条件，求出导数，列方程求解作答.【详解】函数f x =x 3-2x ，求导得：f x =3x 2-2，令x 0为f x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”，则有3x 20-2=f (2)-f (-2)2-(-2)，即3x 20-2=2，解得x 0=±233，所以函数f x =x 3-2x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故选：B2(2023·全国·高三专题练习)以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，在开区间(a ,b )内可导，则在区间(a ,b )内至少存在一个点x 0∈(a ,b )，使得f (b )-f (a )=f x 0 (b -a ),x =x 0称为函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的中值点，若关于函数f (x )=sin x 在区间[0,π]上的“中值点”的个数为m ，函数g (x )=e x 在区间[0,1]上的“中值点”的个数为n ，则有m +n =( )(参考数据：π≈3.14,e ≈2.72.)A.1 B.2 C.0 D.n =3【答案】B【分析】利用中值点的定义分别求解两函数的中值点即可【详解】设函数f (x )=sin x 在区间[0,π]上的“中值点”为x 0，由f (x )=sin x ，得f (x )=cos x ，则由拉格朗日中值定理得，f (π)-f (0)=f (x 0)(π-0)，即πcos x 0=0，因为x 0∈[0,π]，所以x 0=π2，所以函数f (x )=sin x 在区间[0,π]上的“中值点”的个数为1，即m =1，设函数g (x )=e x 在区间[0,1]上的“中值点”为x 1，由g (x )=e x ，得g (x )=e x ，则由拉格朗日中值定理得，g (1)-g (0)=g (x 1)(1-0)，即e -1=e x 1，作出函数y =e x 和y =e -1的图像如图所示，1<e -1<e ，当x ∈[0,1]时，1<e x <e ，由图可知，函数y =e x 和y =e -1的图像在区间[0,1]上有一个交点，即方程e -1=e x 1区间[0,1]上有1个解，所以函数g (x )=e x 在区间[0,1]上的“中值点”的个数为1，即n =1，所以m +n =2，故选：B3(2023·全国·高三专题练习)法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数y =f (x )满足如下条件：(1)在闭区间a ,b 上是连续的；(2)在开区间a ,b 上可导.则在开区间a ,b 上至少存在一点ξ，使得f (b )-f (a )=f (ξ)(b -a )成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则g (x )=e x 在区间0,1 上的“拉格朗日中值”ξ=．【答案】ln e -1【分析】先求g x ，结合拉格朗日中值的定义，可得g 1 -g 0 =g ξ 1-0 求得ξ的值即可.【详解】由g x =e x 可得g x =e x ，所以g ξ =e ξ，由拉格朗日中值的定义可知g ξ =g 1 -g 01-0=e -1，即e ξ=e -1，所以ξ=ln e -1 ．故答案为：ln e -1 .4(2023·全国·高三专题练习)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数f x 在闭区间a ,b 上的图象不间断，在开区间a ,b 内可导，则在区间a ,b 内至少存在一个点ξ∈a ,b ，使得f b -f a =f ξ b -a ，ξ称为函数y =f x 在闭区间a ,b 上的中值点.则函数f x =tan x 在区间-π4,π4 上的中值点的个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据题设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数f x =tan x 进行分析，将问题转化为求cos ξ=±π2在x ∈-π4,π4上的解的个数问题，再结合余弦函数的性质求解即可..【详解】由题意，函数f x =tan x ，x ∈-π4,π4所以f -π4 =-1,f π4 =1,f x =sin x cos x =1cos 2x，所以f π4-f -π4 =2,fξ =1cos 2ξ，所以由拉格朗日中值定理得：2=1cos 2ξ⋅π2，即cos 2ξ=π4，所以cos ξ=±π2，由于x ∈-π4,π4 时，cos x ∈22,1所以cos ξ=-π2在x ∈-π4,π4 无解，cos ξ=π2在x ∈-π4,π4上有2解.所以函数f x =tan x 在区间-π4,π4上的中值点的个数为2个.故选：B .5(2023·全国·高三专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f (x )在闭区间a ,b 上的图象连续不间断，在开区间a ,b 内的导数为f x ，那么在区间a ,b 内至少存在一点c ，使得f b -f a =f c b -a 成立，其中c 叫做f (x )在a ,b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f x =x 3-3x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2C.1D.0【答案】B【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数f (x )=x 3-3x ，则f 2 =2,f -2 =-2,f x =3x 2-3，由f 2 -f -2 =f c 2+2 ，得f c =1，即3c 2-3=1，解得c =±233∈-2,2 ，所以f (x )在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B .6(2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期中)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f x 在闭区间a ,b 上的图象连续不间断，在开区间a ,b 内的导数为f x ，那么在区间a ,b 内至少存在一点c ，使得f b -f a =f c b -a 成立，其中c 叫做f x 在a ,b 上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f x =x 3-2x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为.【答案】2【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程f x =3x 2-2=2，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.【详解】∵f 2 -f -2 2--2=4+44=2，f x =3x 2-2，令3x 2-2=2，解得：x =-233∈-2,2 或x =233∈-2,2 ，∴f x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故答案为：2.考点二：拉格朗日中值定理在导数中的综合应用1设f (x )=12x 2-ax +(a -1)ln x ,求证:当1<a <5时, 对任意x 1,x 2∈(0,1),x 1≠x 2, 有f x 1 -f x 2x 1-x 2>-1证明:由拉格朗日中值定理可知只需证f (x )>-1对x ∈(0,+∞)恒成立由f(x )+1=x +a -1x -(a -1)=x 2-(a -1)x +(a -1)x,因为1<a <5所以g (x )=x 2-(a -1)x +(a -1)=x -a -12 2+(a -1)(5-a )4>0则f (x )+1>0⇒f (x )>-12设f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1,当a <-1时, 若对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),f x 1 -f x 2 ≥4x 1-x 2 成立, 求a 的取值范围解:由拉格朗日中值定理, 可知必存在x 0∈(0,+∞),使得f x 0 =f x 1 -f x 2 x 1-x 2f x 0 =a +1x 0+2ax 0,当a <-1且x 0>0时,f x 0 =a +1x 0+2ax 0<0由题意fx 0 ≥4⇒fx 0 ≤-4⇒a ≤-4x -12x 2+1=(2x -1)22x 2+1-2≤-2,即a ≤-23设f (x )=sin x2+cos x, 若对任意x ≥0, 都有f (x )≤ax , 求a 的范围解:x >0时, f (x )≤ax 等价于f (x )x≤a ,由拉格朗日中值定理, 存在x 0>0使得f (x )-f (0)x -0=f x 0 ,故只需a ≥fx 0 恒成立即可又f x 0 =2cos x 0+12+cos x 02=-31cos x 0+2-132+13∈-1,13, 所以a ≥134已知函数f (x )=e x +x -1，若对任意x ∈(0,+∞)都有f (x )>kx 恒成立，求k 的取值范围解：因为x >0，所以f (x )>kx ⇔k <f (x )x，注意到f (0)=0，则k <f (x )-f (0)x -0恒成立。

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

第17讲证明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理(原卷版)2023年新高考数学导数压轴题(尖子生专用

（1）若 a 1 ，b 2 ， c 3 ， d 4 ， e f ，把 F (x) 的二次项系数表示成关于 f 的函数 G( f ) ，并求
G( f ) 的值域（此处视 e 为给定的常数，答案用 e 表示）；（2）若 a b c ， d 0 ， e 0 ， f 0 ，求证： a b d (b2 c2 ) e(c2 a2 ) f (a2 b2 ) b c ．
任一 x a, b 有 g x
f
x0
f x0
1!
x
x0
f x0
2!
x
x0 2
f x0
3!
x x0 3
fn x0
n!
x x0n ，我
们将 g x 称为函数 f x 在点 x x0 处的 n 阶泰勒展开式.例如， y ex 在点 x 0 处的 n 阶泰勒展开式为
式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当 x (0, ) 时， sin x x ， sin x x x3 ，
2
3!
sin x x x3 x5 ，． 3! 5!
（1）证明：当 x (0, ) 时， sin x 1 ；
2
x2
（2）设 f (x) m sin x ，若区间[a ，b] 满足当 f (x) 定义域为 [a ，b] 时，值域也为 [a ，b] ，则称为 f (x)
g(x)
f (x0)
f
(x0 1!
)
(
x
x0
)
f
(x0 2!
)
(
x
x0
)2f(xFra bibliotek 3!)
(
x
x0
)