一元二次方程的小结与复习
一元二次方程回顾与思考小结课件
∴我 把 数 b2 −4ac叫 方 ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)的 们 代 式 做 程 根 判 式用 ∆"来 示即 = b2 −4ac. 的 别 . " 表 . ∆
1.不解方程,判别方程
5 x −1 − x = 0
2
(
)
的根的情况______________ 方程要先化 别式 b − 4ac = (− 1) − 4 ⋅ 5 ⋅ (− 5) = 101 > 0 ∴
解: 设 正 形 皮 边 为 ,根 题 ,得 原 方 铁 的 长 xcm 据 意
4(x −8) =100.
2
快乐学习 4
几何与方程
4. 如图 在一块长 如图,在一块长 在一块长92m,宽60m的矩形耕 宽 的矩形耕 地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等 水渠的宽度都相等.水 地上挖三条水渠 水渠的宽度都相等 水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩 渠把耕地分成面积均为 个矩 形小块,水渠应挖多宽 形小块 水渠应挖多宽. 水渠应挖多宽
回顾与复习 4 • 列方程解应用题的一般步骤是: 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 1.审 审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 关系 • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 2.设 设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; 3.列 列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; 4.解 解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 5.验 是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 6.答 答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是:找出相等关系. 列方程解应用题的关键是 找出相等关系. 关键 相等关系
二次根式及一元二次方程复习及练习
二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4）=_________（a ___0，b ___0）；（5=_________（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____.4.二次根式的乘、除法则：（1）=______（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ）A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0. 4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A.51B.5.0C.5D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 5 二次根式的运算 例5 计算1824-×31＝____.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值例6若120142013-=m，则34520132mmm--的值是_____.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
返回
6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
返回
4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
2012-2013学年一元二次方程期中复习(沈贵芬)
面积问题
4、 如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一 个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总 共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96 平方米，问 AB和BC边各应是多少？
2
2
2
x
b
b 4ac
2
2a
0
因式分解法 ( x a )( x b ) 0
根的判别式： b 2 4 ac 根与系数的关系： x1 x 2 a , x1 x 2 a 应用 实际应用
b c
思想方法
转化思想；整体思想;配方法、换元法
考点1、一元二次方程的概念
1、 若关于x的一元二次方程 x
- 4x m 0; 两 2 个不相等的实数根，试求m的取值范围
2
1
解： b - 4ac - 4） - （m △ （ 4
2 2
1 2
） 18 - 4m
由方程 有两个不相等的实数根得： 18 - 4m＞0 m＜ 9 2
考点6、因式分解法
解方程：(1)、4x(x+2)2=2(x+2)
解：设AB=x米，则BC=（36-3x）米，依题意得：
x(36-3x)=96
解得：x1=4 x2=8
当AB=4时， BC=36-3x=24＞22，这种情况不合题意
当AB=8时， BC=36-3x=12
答： AB长为8、BC长为12。
解： 设方程的另一个根为x2. x2 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x2 ●2= 3k x2 =－3 解这方程组，得 k =－2 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
一元二次函数、方程和不等式章节复习与小结课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
c 0
ac>bc
a b
，
⇒
c 0
a b
性质5同向可加性：
⇒ a+c>b+d .
c d
a b 0
性质6同向同正可乘性：
ac>bd
⇒
c d 0
an>bn
性质7可乘方性：a>b>0⇒
性质8可开方性：a>b>0⇒
n
anb
ac<bc .
.
(n∈N，n≥1).
2
＋1}上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
m2＋m2－1＜0，
所以只需
m＋12＋mm＋1－1＜0，
2m2－1＜0，
2
即 2
解得－ ＜m＜0.]
2m ＋3m＜0，
2
(2)[ 解]
由 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4 可看作以 m 为自变量的一次函数．
3.若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取
值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足
a＞0，
题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
Δ＝22－4×a＜0，
1
，＋∞
1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为 2
能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配
凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
1 9
16
2.已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x＋y 的最小值为________．
第二章一元二次方程复习
1．一元二次方程的四种解法：开平方发、配方法、公式法、因式分解法；
2．列一元二次方程解决实际生活中的问题．
教学难点
1．列一元二次方程解决实际问题；
2．转化的思想方法
教学方法
“尝试指导，效果回授”教学法
学法指导
发现法、练习法、合作学习。
教学资源
借助多媒体展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
3、先独立思考完成题组二第2、3题，参与小组讨论评价，总结归纳第3题解法特技。
4、独立完成题组三第1题（只列不解），体会方法多样性。
【媒体应用分析】
利用大屏幕依次出示问题三个题组，结合学生回答，相机出示相关问题的解答过程及知识要点，以期增大课堂容量，展示学生思维活动过程，提高课堂教学有效性。
【设计意图】
活动四全课小结，
通过具有一定综合性变式题组训练学生综合运用本章及其以前的知识灵活解决问题，达到举一反三、触类旁通。
活动五推荐作业，延展提升
通过精选作业进一步加深和巩固一元二次方程的有关知识
教学程序
教学内容
师生互动
媒体使用与教学评价
活动一揭示课题，提出要求
一、揭示并板书课题
2章一元二次方程复习与小结
二、出示复习要求
活动四全课小结，提炼升华
1、回忆活动二本章的知识点
2、教师概括：其中“三个一”是一个概念：一元二次方程；一种思想：降次；一个应用:列一元二次方程解应用题；“一个四”是一元二次方程的四种解法（略）。
【教师活动】
1、提问：通过本节学生有哪些收获？还有哪些困惑？
知识分析
本节是复习课，是在学生已经学习了本章的全部内容后进行的。重点帮助学生在搜整建构知识网络、查补缺漏，通过变式训练拓展延伸、升华主题。公式法是解一元二次方程的通法，对于任何一元二次方程都适用，但是在解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法。对于利用方程解决实际问题，可以让学生对所学过的方程（组）进行整体的回顾，找出解决问题的关键，并兼顾与整式、分式、不等式以及几何等知识．
一元二次方程小结与复习总结
返回
1、甲公司前年缴税40万元，到今年共缴税135万 元，若设该公司缴税的年增长率为x，则根据题 意可列方程为 40+40(1+x)+40(1+x)2=135 。
2、甲公司前年缴税40万元，去年和今年共缴税95 万元，若设该公司缴税的年增长率为x，则根据题 意可列方程为 40(1+x)+40(1+x)2=95。
当 把 真 心 喂 过狗 叼 着中
分析：单个利润×销售量=总利润
解：若设台灯的售价应定为x元，则可列方程为
( x-30
)(
600
－10×； x
3
40
)=10000
若设每个台灯涨价x元，则可列方程为
x (40-30+x )( 600 －10×。3 )=10000
2、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅 游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人， 人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每 增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费 用不得低于700元。
3、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，
若设该公司缴税的年增长率为x，则根据题意可列
方程为 40(1+x)2=48.4
。
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1、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平 均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价 每上涨3元，其销售量就能减少10个，为了实现平 均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定 为多少？
(10+x )( 500 － 20x )=6000 解这个方程得:x1=5 , x2=10 要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
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今 天 睡 姿 决 定劳资 明天发 型 算你 狠，我 不配 有 本事 ，躲着 别出来 。 不牛 逼咋做
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
第二十二章一元二次方程单元知识结构图
第二十二章 一元二次方程小结与复习（分3课时完成）一、知识结构二、知识点归纳1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；（•4）•求根公式法，•求根公式是3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．4.一元二次方程的根与系数的关系：（根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么： 结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 5.一元二次方程应用题．三、典型习题(一)一元二次方程概念1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．A ．2，3，-6B ．2，-3，18C ．2，-3，6D ．2，3，6 3．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．acx x a b x x =⋅-=+2121,5xA ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=2 4．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则（ ）． A ．1B ．-1C ．0D ．25．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 6．一元二次方程的一般形式是 ．7．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________． 8．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．9．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）x-（x+1）是一元二次方程？10．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？11．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．（二）解一元二次方程的方法：1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11 3．方程x 2+4x-5=0的解是________．4．代数式的值为0，则x 的值为________． 5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．7．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 8．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．9．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．10．已知b ≠0，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2）•=0的根的情况是________． 11．如果x 2-4x+y 2+13=0，则（xy ）z •=2221x x x ---12.某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出．13.用直接开平方法解下列方程（1）3x 2+9=0 （2）8x 2-16=0 （3）（x-）2=2（x-3）2=7214．用配方法解下列方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 （3）9y 2-18y-4=0 （4）x 215.用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2x+=0 （4）4x 2-3x+2=016．用因式分解法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-16=0 （3）x 2-12x-28=0 （4）x 2-12x+35=017.不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0 18.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：22m x+13891212013)1(2=--x x 0532)2(2=-+x x 02231)3(=-x x。
一元二次方程的解法教学反思10篇
一元二次方程的解法教学反思10篇精华一元二次方程的解法教学反思10篇作为一名优秀的人民教师，我们要在教学中快速成长，在写教学反思的时候可以反思自己的教学失误，那么写教学反思需要注意哪些问题呢？以下是小编为大家整理的一元二次方程的解法教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
一元二次方程的解法教学反思1一元二次方程是九年级上册第二单元内容，是今后学习二次函数的基础，是初中数学教材的一个重要内容。
一、课前思考。
1、学生基础。
在七八年级学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的知识，有着很好的解题基础。
2、教学重点应放在解题方法上，让学生通过观察发现每一种解法的特征，是学生能够根据特征选择合适的解题方法。
3、应注意培养学生的解题技能，解题速度、解题的准确率，特别是利用配方法界一元二次方程时，必须让学生区分方程的配方与式子配方的不同。
4、每节课必须实行小测验，可根据题的难易水准不同，将题量控制在3——5道之间。
二、教学过程中学生出现的主要问题。
1、学生不善于观测，特别是在将四种方法全部学习完之后，学生不能很好的选择合适的方法。
例如：能用直接开平方的题，确将其展开再配方；能利用十字相乘法分解因式的，却选择公式法等。
2、对符号处理的不准确，贴别是一个负的无理分数和一个分数相加时，总是将负号放在分数线的前面。
3、十字相乘法中，常数项分解为两个数相乘时，出现符号错误。
4、用配方法计算时错误率较高。
5、用公式法计算时，没有将b2——4ac的.结果放在根号下。
三、教后反思1、今后在将四种方法讲完之后，要用两节课的时间实行综合练习，第一节课能够采用让学生练习解题的方式，第二节课能够采用让学生说解法、让学生找解题错误之处方法实行。
2、增加小测验的力度，能够将题量减小，次数增加。
这样不但能够增加学生的信心，也能够通过持续的重复，增强学生的熟练水准。
3、为了让学生学会选择合适的方法解题，能够采用同桌互相按要求出题的方法，达到学生对各种解法特征的目的。
一元二次方程小结
第二十一章小结与复习一、内容和内容解析1.内容对本章内容进行梳理总结,建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.2.内容解析在学习全章有关知识的基础上，分两课时对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，并综合应用本章知识解决问题。
第一课时着重对本章内容进行梳理总结，建立知识体系；第二课时综合应用本章知识解决问题。
本节课设计的是第一节内容.从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
选择适当的方法将“二次”降为“一次”是本章学习的另一条主线。
一元二次方程是本套初中数学教科书所学习的最后一种方程，对本章学习的小结也有对方程的学习进行总结的作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：从两条主线上对本章内容进行梳理总结，建立知识体系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握一元二次方程的解法，体会一般到特殊的思想方法。
提高数学的应用意识，培养以一元二次方程为模型解决实际问题的能力。
（2）复习本章的重点内容，整理本章知识，形成有关方程的知识体系，体会化归思想。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：明确一元二次方程的降次思想，能根据一元二次方程的特点选择恰当方法解方程。
能说出方程化归过程中各步骤的依据。
能够在具体的问题情境中建立一元二次方程数学模型，运用一元二次方程解决问题。
达成目标（2）的标志是：知道方程的主要学习内容是方程的概念、解法和应用，形成有关方程的知识体系。
以一元二次方程为重点，回顾比较前面已经学习过的其他整式方程、分式方程的解题思想和化归过程，进一步体会解方程的过程是将高次化低次、分式化整式、多元化归为一元，最终使方程变形为x=a的形式，这是解方程的基本指导思想。
结合具体问题，能够通过列方程将实际问题转化为数学问题，通过解方程得到数学问题的解，通过检验得到实际问题的解，从而加深对本章知识结构图的理解。
三、教学问题诊断分析学生在本章之前学习过一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，解一元二次方程提出了新的解题思想——降次。
一元二次方程小结与复习
∴x1=3
33 x 2
x2=0
返 回
用配方法解方程。
①x2-2x-3=0 解:x2-2x=3 ②3x2-2x-5=0 解: 3x2-2x=5
2 3 2 2x 3 5 x= 3 1 5 1 2= +( )2 x+( 3 ) 3 3 1 16 2= (x- 3 ) 9 1 4 x- 3 =± 3 1 4 x= 3± 3 5
返 回
知识回顾
二、一元二次方程的解法
1. 一元二次方程的解.
满足方程，有根就是两个 2.一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法(2)因式分解法 (3) 配方法 (4)公式法
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法。 （x+m）2=n（n≥ 0）
练 习
2、配方法。 ①化——将二次项系数化为1。 ②移——将常数项移到方程的右边。 ③配——在方程两边同时加上一次项系数一半的平
方，使原方程变为（x+m）2=n （n≥ 0）
的形式。 ④开——用直接开平方法解出方程。
练 习
解下列方程。
x2=3 解：x=± 3 (x+1)2=5 解：x+1=± 5 x=-1± 5 (2x-3)2=9 解：2x-3=±3 2x=3±3
∴x1= 3
x2=- 3
∴ x1=-1+ 5
x2=-1- 5
数字问题
1、若一个三位数的个位数字是a，十位 数字是b，百位数字是c，则这个三位数 可表示为 100c+10b+a 。
2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
人教版九年级数学上册第21-25章《小结与复习》课件全套精选全文完整版
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即
可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n， 则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2 ＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
人教版九年级数学上册
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
课堂小结
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法
一元二次方 程的解法
一元二次方程
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
因式分解法
根的判别式及 根与系数的关系
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习与小结课件
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
二、强化训练
1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共 9 人。
2、一个两位数等于它的个位数的平方，且各 位数字比十位数字大3，则这个两位数为
25或36
3、若关于x的一元二次方程ax²-2x+6=0有两
个实数根，求a的取值范围。
解：依题意得a≠0,
即3x= 6 ∴
5
∴
3
-
2 5
m 5
x 2 5
即 m=-13
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
知识点二 降次——解一元二次方程
1、配方法 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为 两个 一元二次方程来解。
步骤：
①方程化为一般情势; ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边 为常数项；
③化二次项系数为1；
x2
-
b a
0
即k+1=0
∴k=-1
（2） x1
x2
c a
1
即 k-2=1
∴K=3
（3）x1 x2 k 2 0
∴K=2
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
2、已知2和-1是关于x的方程2x²+mx+n=0 的两个根，则m的值为 -2 ，n的值为 -4
3、已知方程3x²+2x-3=0的两根为 x1, x2 ，
则 x1 x2
2 3
x1 x2 -1
=
22 9
。
广东省怀集县观塘初级中学
初中数学九年级上册第二章 小结与复习
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空 地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示， 要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多 少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为 平行四边形） 解：设小道进出口的宽为xcm （30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米.
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16
B. 12
C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
公式法：a 1，b -4，c -1.
A. x2+x=0
C.3x2-4x+1=0
B. 5x2-4x-1=0
D. 4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个
不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即
可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
九年级数学下册《一元二次方程》小结与复习
九年级数学下册《一元二次方程》小结与复习（1）证明：∵△=(m +3)2-4(m -1)=(m +1)2+4． ∵无论m 取何值时,(m +1)2+4的值恒大于0, ∴原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵x 1,x 2是原方程的两根,∴x 1+x 2=-(m +3),x 1x 2=m +1,∵1222x x -=；∴2212()(22)x x -=, ∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8,∴[-(m +3)]2-4(m +1)=8,∴m 2+2m -3=0, 解得：m 1=-3,m 2=1．当m =-3时,原方程化为：x 2-2=0,解得：122,2x x ==-． 当m =1时,原方程化为：x 2+4x +2=0,解得：1222,22x x =-+=--15·阅读下面的材料,回答问题：解方程x 4－5x 2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是： 设x 2=y ,那么x 4=y 2,于是原方程可变为y 2－5y +4=0 ①,解得y 1=1,y 2=4． 当y =1时,x 2=1,∴x =±1； 当y =4时,x 2=4,∴x =±2；∴原方程有四个根：x 1=1,x 2=－1,x 3=2,x 4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用 换元 法达到__降次__的目的,•体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0． 解：（2）设x 2+x =y ,原方程可化为y 2－4y －12=0, 解得y 1=6,y 2=－2．由x 2+x =6,得x 1=－3,x 2=2． 由x 2+x =－2,得方程x 2+x +2=0,b 2－4ac =1－4×2=－7<0,此时方程无解． 所以原方程的解为x 1=－3,x 2=2． 16·如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ）,现在已备足可以砌50m 长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m 2．解：设AB=xm ,则BC=（50﹣2x ）m ． 根据题意可得,x （50﹣2x ）=300, 解之得：x 1=10,x 2=15,当x =10,BC=50﹣10﹣10=30＞25, 故x 1=10（不合题意舍去）,答：可以围成AB 的长为15米,BC 为20米的矩形．17·一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买力一批树苗,园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元,所以该校购买树苗超过60棵,设该校共购买了x 棵树苗,由题意得： x [120﹣0.5（x ﹣60）]=8800, 解得：x 1=220,x 2=80．。
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《一元二次方程的小结与复习》教学案年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清教学目标：1、系统复习并熟练掌握本章所学内容2、熟练掌握一元二次方程的概念及解法，b 2-4ac 的符号与根的情况之间的关系。
3、会解决与一元二次方程有关的问题4、熟练掌握一元二次方程的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点：》1、掌握一元二次方程的概念及解法，b 2-4ac 的符号与根的情况之间的关系。
2、 会解决与一元二次方程有关的问题 教学难点：1、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。
2、掌握一元二次方程的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
教学方法：讲练结合第一课时|教学过程：一：知识梳理与例题讲解1.一元二次方程的概念：形如：______________________ 2、一元二次方程的解法： （1）：____________ (2)______________ (3)_______________（4）公式法：求根公式：____________________________ 例题讲解 \1.下列关于x 的方程：其中是一元二次方程的有（ ） 个 个 个 个2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=3、将方程3x 2=5x+2化为一元二次方程的一般形式为___________.4、配方：x 2-12x+________=（x- ）2!5、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． 1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x xx x x①2310x x -+=； ②2(1)3x -=；③230x x -=； ④224x x -=．#三、巩固练习：1．关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a =__________.2．方程20xx 的解是______________；方程2(3)5(3)x x x -=-的解是______________。
@3．如果1x是方程210x mx 的一个根，那么m 的值为______________。
4．填上适当的数，使等式成立：+-x x 52＝x (－ 2)．5．当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ． 6．解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2） 02722=--x x （配方法）、（3）()()2322+=+x x （因式分解法） （4）2260x x +-=（公式法）*四、作业：用适当的的方法解下列方程。
（1）(2x ＋3)2－25＝0. （2）()()2322+=+x x（3）0)52()13(22=+--x x （4） 02722=--x x .！《一元二次方程的小结与复习》教学案年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清第二课时教学过程：一：知识梳理：1.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； %（3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
2、关于的x 一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的两根分别为1x 、2x 则_____21=+x x ，21x x ⋅_____=（2）常见式子变形：222121212()2x x x x x x +=+-；12121211x x x x x x ++=；2212121212()x x x x x x x x +=+；121212(2)(2)2()4x x x x x x ++=+++；12x x -==。
二、课前检测：1、方程x 2-3x=0的根的判别式b 2-4ac=________,这个方程_______ ___.（填根的情况）。
2、已知一元二次方程（k-1）x 2+kx+1=0有根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ≠2 B ．k>2 C ．k<2且k ≠1 D ．k 为一切实数 :3.下列方程中，有两个不相等实数根的是 Ａ．240x +=Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-=3．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．4.关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 。
5.三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．三、例题讲解：例1 方程0132=+-x x 的两根是21,x x ；则：=+2221x x ,=+2111x x 例 2 关于x 的一元二次方程x 2+kx+4k 2-3＝0的两个实数根分别是x 1、x 2,且满足x 1+x 2=x 1·x 2.求k 的值~。
例3：当m 为何值时，一元二次方程()()033222=-+-+m x m x 没有实数根 有实数根例4：先用配方法说明：不论x 取何值，代数式257x x -+的值总大于0。
再求出当x 取何值时，代数式257x x -+的值最小最小是多少。
四、巩固练习：1、当_________m 时，方程032)1(2=+++-m mx x m 有两个实数根； 2、已知关于x 方程03422=+-q x x 的一个根是1，求它的另一个根及q 的值。
—3、试证明：不论m 为何值，方程0)14(222=----m m x m x 总有两个不相等的实数根。
]{五、拓展延伸：1、已知关于x 的方程0)2(4122=+--m x m x 。
⑴若方程有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；⑵是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于224 若存在,求出满足条件的m 的值； 若不存在，请说明理由。
2、 求多项式2253x x -++的最大值。
'作业布置：1．已知关于x 的一元二次方程210x kx +-=。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值。
2、关于x 的一元二次方程x 2-4x+2m=0无实数根，求m 的取值范围"}【《一元二次方程的小结与复习》教学案年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清第三课时!教学过程：一：知识梳理：列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤二、课前检测：1、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是 A ．2100(1)120x -=% B ．2100(1)120x +=% C ．2100(12)120x +=% D ．22100(1)120x +=%2、某商场第一季度的利润是万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为、A ．()75.821252=+x B ．75.825025=+xC ．75.827525=+xD ．()()[]75.82111252=++++x x3、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。
.三、例题讲解：1、循环问题：（可分为单循环问题，双循环问题）例1、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛（例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛2、平均率问题（最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：M=a(1±x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
）|例3、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元,3、数字问题：（位置值）例4、一个三位数，十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字等于百位上的数字与十位上的数字的和。
已知这个三位数比个位上的数字的平方的5倍大12，求这个三位数。
！4、面积问题例5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长a=18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
①鸡场的面积能达到150m2吗②鸡场的面积能达到180m2吗如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
】'5、商品销售问题常用关系式：（售价—进价=利润；一件商品的利润×销售量=总利润，单价×销售量=销售额）。
例6、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元%四、巩固练习：1、在中秋晚会上，9（1）班的部分同学互送礼物，经统计送出的礼物共有110件，则参加晚会的同学共有 。
【2、某市计划在今后两年将使全市的环保车（液化石油燃料汽车）由目前的325辆增加到637辆，若设这种环保车平均每年的增长率为x ，则列出的方程为__________________.3、 有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信息，求每轮转发中平均一个人转发给多少个人4、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销出2件。
若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元五、拓展延伸：1、 如图，用一段长为36m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积正好是1302m 菜园的面积何时最大，最大面积是多少2、如图所示，要在底边BC=160cm ，高AD=120cm 的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M 。
(1)设矩形EFGH 的长HG=y ，宽HE=x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)设矩形EFGH 的面积为S ，确定S 与x 的函数关系式；(3)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积为S 最大18m!菜园作业：1、某次比赛规定每两队之间只打一场比赛，共打了15场，问有多少支球队参加比赛2、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。