第十四章 拉普拉斯变换
电路14章 拉氏变换2015
n
d ( s p1 ) 2 F ( s) ds
s p1
n K 1, l 1 K 1l Ki K 11 则：F ( s ) s p1 ( s p1 ) 2 ( s p1 ) l i l 1 s pi d K11 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ，K12 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ds 1 d l 1 l K1l ( s p ) F ( s ) 1 l 1 (l 1)! ds n K11 l 1 p1t p1t p1t f (t ) K1l e K1,l 1te t e K i e pi t (l 1)! i l 1
例 11- 2 L[sint ] L[
1 1 1 1 (e jt e jt ) (t )] [ ] 2 2 s 2j 2 j s j s j
二 . 导数性质
若：L[ f (t )] F (s) 则： L[
s s 1 d 例11 3：L[cos t ] L[ (sin t )] 0 2 2 s2 2 dt s
K i ( s pk ) F ( s) s pk , K11 ( s p1 ) F ( s) s p
2
1
, K12
f (t ) K12e p1t K11te p1t K i e pi t
3. D(s)有一个l 重根,其余为单根 D( s) b0 ( s p1 )l ( s pl 1 ) ( s pn )
2 j c j
1
c j
F ( s)e st ds
f (t ) Mect
第十四章拉普拉斯变换
第十四章 拉普拉斯变换典型例题例14-1 求以下函数的象函数。
（1）单位冲激信号()t δ （2）单位阶跃信号()t ε （3）单边指数信号()t e at ε- （4）单边正弦信号()t t εωsin 解（1） 单位冲激信号()t δ的象函数()()[]()10=====--∞⎰-t stst e ds e t t L s F δδ即 ()1↔t δ （14-5） 可以看出，按拉氏变换定义式（14-1）进行计算，能计及t=0时()t f 中所包含冲激函数。
（2） 单位阶跃信号()t ε的象函数()()[]()se s ds e ds e t t L s F st st st 11000=-====∞-∞--∞⎰⎰-εε即 ()st 1↔ε （14-6）由于()t f 的单边拉氏变换其积分区间为[)∞-,0，故对定义在()∞∞-,上的实函数()t f 进行单边拉氏变换时，相当于()()t t f ε的变换。
所以常数1的拉氏变换与()t ε的拉氏变换相同，即有 s 11↔同理，常数A 的拉氏变换为 sAA ↔ （14-7）（3）指数信号()t eatε-的象函数()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====⎰⎰∞+-∞-----10ε 即 ()as t e at+↔-1ε （14-8） 同理()as t e at -↔1ε（4） 单边正弦信号()t t εωsin 的象函数 由于 ()t j tj e e jt ωωω--=21sin 故()()[]()()22112121sin ωωωωεεωωω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s j s j s j t e e j L t t L s F t j t j 即 ()22sin ωωεω-↔s t t （14-9）例14-2 求单边余弦信号()t t εωcos 的象函数。
(电机学)第十四章 拉普拉斯变换-091216
线性动态电路的复频域分析
2014-12-29
浙江工业大学信息学院
1
主 要 内 容
拉 普 拉 斯 变 换
拉氏 变换 基本 性质
拉氏 反变 换的 部分 分式 展开
运 算 电 路
应用 拉氏 变换 分析 线性 电路
2014-12-29
浙江工业大学信息学院
14- 2
§14-1 拉氏变换的定义
例： 求下列函数的原函数
F (s)
F (s)
s 1 s 3 2s 2 2s
解：
s 1 s 1 A B C s 3 2s 2 2s s ( s 1 j )( s 1 j ) s s 1 j s 1 j
其中系数：A s F (s)
t2 tn
A/ s
1 e
t
A s A s(s )
e
t
sin(t )
et cos(t )
tet
sin(t )
s2 2
s s2 2 1 s2
(s )2 2 s (s )2 2
1 (s )2 s (s )2
若时间函数f (t) 的拉氏变换为F (s) ，则f (t) 的导数 f (1) (t)的拉氏变换为： £ £
如果f(t)代表电容电压或电感电流，则它们导数的象函数 中的第二项便是uc(0-)或iL(0-)，即动态元件的初始状态。 二阶导数f (2) (t)的拉氏变换为：
£
n 阶导数f (n) (t)的拉氏变换为：
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14- 14
五、复频域平移性质
若时间函数f (t) 的拉氏变换为F (s) ，则将f (t) 乘以eat后得拉氏变换为的拉氏变换为： £
拉普拉斯变换法
拉氏变换定义
原函数f(t）旳拉氏变换F（S）定义为：
就是将原函数乘以e-st，并将乘积从时间为0→∞之间 作定积分。
拉氏变换旳实质是将时间函数体现式转换为拉氏运 算子s旳函数体现式。 f(t） --- 原函数 F（S）--- 象函数
二、 简朴函数L氏变换 1. 常数 f（t）=A
2. 指数函数 f（t）= e-at
3.导函数
三、L氏变换旳主要性质 ❖ L氏变换是线性变换 设
则
即 代数多项式旳L氏变换等于各项 变换旳代数和。
❖ 微分性质
若 则
某些常用函数旳Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a)
A/s(s+a)
Ate-at
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
拉普拉斯变换 （Laplace Transform）
一、 概述
❖ 线性方程组：表征表观零级或一级过程旳速度旳方 程组。
❖ 拉普拉斯变换（L氏变换）：是一种微分方程或积 分方程求解旳简化措施。可用于解线性微分方程 组。
❖ 进行L氏变换旳实质，在于把速度方程式中旳时间 定义域置换成拉普拉斯运算子s旳复。
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注
速度体现式：
dX k 0 kX
dt
L氏变换
sL[ X (t)] X (0) k 0 kL[ X (t)] s
s X X (0) k 0 k X S
X k0 s(s k)
方程终解 X k 0 (1 ekt ) K
2. 静脉注射
dX kX dt
( t=0, X=X0)
第十四章 拉普拉斯变换
F e jt d
F f t e jt dt
成立条件： 1
记为：
F F f t
f t F 1 f t
f(t)满足狄里克利条件
2 f(t)在( -∞,+∞)上绝对可积 4、付氏变换的物理意义： （1）把 f(t)看成无穷多个0~∞频率、振幅为无穷小的正弦波的 合成。F(ω )是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。 （2）非周期函数 f(t)可表示成 -∞~+∞ 频率的指数函数的连续 和。
2、拉普拉氏变换
G (t ) (t )e t e jt dt
式中 S= δ +jω
0
f (t )e ( j )t dt f (t )e st dt
0
——称为复频率算子；
f(t)= ψ (t)· ε (t) ——实际上还是ψ (t)。
n 1,2,3
上式可合成为:
1 T cn 2T fT t e jn0t dt T 2
f T t
n jn0t c e n
n 0, 1 ,2, 3
1.2
故1.1可写为:
付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的 非正弦周期函数。 3、傅氏变换 当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可 展开为付氏级数： T 1 jn0t 2 jn0t c f t e dt f T t cn e 其中： n T T T 2 n 定义：令nω 0 =ω ， 则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为：
14拉普拉斯变换
§14.1 拉普拉斯变换的定义
基本要求：掌握常用函数的拉普拉斯变换。 (直流或阶跃函数、指数函数、冲激函数)
一.拉氏变换定义:
1. 设函数f(t)在 t[0，∞）内有定义，而且积分
0
f ( t )e st dt 在复平面 s 的某一域内收敛.
(s =+j是复参量)
象函数 (image function)
( t 0-)
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换，考虑在t=0时出 现的冲激激励。
F ( s) 简写 f (t )
f (t ) 1 F ( s )
拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的部分分式展开运算电路应用拉普拉斯变换分析线性电路网络函数的定义网络函数的极点与零点极点零点与冲激响应极点零点与频率响应第七章研究了线性动态电路暂态过程的时域分析法
第十四章 线性动态电路的复频域分析
拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换的部分分式展开 运算电路 应用拉普拉斯变换分析线性电路 网络函数的定义 网络函数的极点与零点 极点、零点与冲激响应 极点、零点与频率响应
N ( s) N ( s) F ( s) D( s ) ( s α jω)( s α jω) D1 ( s )
K1 K2 N1 ( s) s α jω s α jω D1 ( s )
K1,K2也是一对共轭复数
设K 1 K e j K 2 K e-j
0
t
t
( t)
1
[tε( t )]
拉普拉斯变换 课件
Example
f(t) = t 0<= t <=1 1 t >= 1
(法一) L(f(t)) = ∫e-st f(t)dt = ∫te-st dt + ∫e-st dt = (1 – e-s) / s2 (法二) f(t) = tu(t) + [u(t-1) – tu(t-1)] = tu(t) + (1-t)u(t-1) = tu(t) – (t-1)u(t-1) L(f(t)) = (1/s2) - (e-s / s2) = (1-e-s) / s2
sY + s2z = -(s3 / s2 + 1) s2Y – sY(0) - y(0) – z = 1 / s2 + 1 求解得 Y = s / s2 +1 , z = -(s+1) / (s2 + 1) = -(s / s2+1) – (1 / s2+1) ∴y(t) = L-1(Y) = cosx , z(t) = cosx – sinx
(CASE3)不重覆複數因子 (s-a)(s-a＊) = (s - α)2 + β2 Y(s) 有 As + B / (s-a)(s-a＊) 或 As + B / (s - α)2 + β2 型態之部份分式 L(eatcosβt) = s-α / (s-α)2 + β2 及 L(eatsinβt) = β / (s-a)2 + β2
部份分式法 (微分方程式) 如果解之拉式變換式Y = F(S) / G(S) 可以部份分式分解 之，則可各則由逆拉式變換還原微分式之解y(t)。 (CASE1)不重覆因子 (s-a) Example1 G(s) = (s-a1)(s-a2)(s-a3)…(s-an) Y(s) =( A1 / s – a1) + ( A2 / s – a2) +…+ ( An / s – an) y(t) = A1ea1t + A2ea2t +…+ Aneant
线性动态电路的复频域分析
第十四章 线性动态电路的复频域分析本章讨论的问题1、什么是象函数？什么是原函数？什么是拉普拉斯原变换？什么是拉普拉斯反变换？2、在电路分析中，常采用什么方法进行拉普拉斯反变换？3、什么是运算电路？什么是运算法？4、如何用拉普拉斯变换法分析线性电路？5、什么是网络函数？什么是网络函数的零点和极点？教学重点一、拉普拉斯变换1、目的：拉普拉斯变换法是一种数学的积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程简单且有规律，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2、 定义：对定义在)[∞,0上的函数)(t f ，其拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换分别为()()⎰∞--=0dt e t f s F st ； ()()ds e s F j t f st j c j c ⎰∞+∞-=π21 上式中：s=σ+jω为复数，被称为复频率，()s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为()s F 原函数。
3、常用拉普拉斯变换对L ()[]S A t A =ε ； L ()[]A t A =δ ； L ()[]as t e at +=-1ε ； L ()[]1!+=n n s n t t ε ； L ()()[]22sin ωωεω+=s t t ；L ()()[]22cos ωεω+=s s t t 二、拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法有：1、 利用公式；2、 对简单形式的 F(S) ，可以查拉氏变换表得原函数 ；3、 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则线性电路分析时，所得结果的象函数一般是S 的有理分式。
有理分式在化为真分式后，可用部分分式展开的方法求拉普拉斯反变换。
S 的有理真分式可写为()()()s D s N s F = 1）、当()0=s D 的根为单根（包括单重共轭复根）时，()s F 可写为 ()()()()()nn n p s K p s K p s K p s p s p s s N s F -⋅⋅⋅-+-=-⋅⋅⋅--=221121 则()t p n t p t p n e K e K e K t f +⋅⋅⋅++=2121其中 ()()[]i p s i i s F p s K =-=或 ()()ip s i s D s N K ==' ，()s D '为()s D 对S 的一阶导数。
§14-l 拉普拉斯变换.
f (t)
(t) (t )
e t
sin(t )
cos(t )
tn
2 | K | etcos(t K )
F (s) f (t )estdt 0 1
1/ s
1
s
s2 2
ss2 Leabharlann 2n!sn1K
K
s j s j
下面给出拉普拉斯变换的性质
性质
关系式
图14－1
图14－1
采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很多 基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频域 分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络分 析程序，供读者学习电路课程时使用。
§14－l 拉普拉斯变换
时间函数f(t)的拉普拉斯变换记为 L [ f，(t)其] 定义为
L [ f (t)] f (t)estdt 0
第十四章 动态电路的频域分析
动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程， 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言， 建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常 常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量 电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程 来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦 电压电流。
其中 s 称j为复频率。积分的上下限是固定的，积分
的结果与t无关，只取决于参数s，它是复频率的函数，
即
L [ f (t)] F(s)
在电路分析中，将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普 拉斯变换记为U(s)和I(s)。
例如，单位阶跃函数ε(t)的拉普拉斯变换为
L [ f (t )] (t )estdt 0 estdt 0 1 est s0 1 s
拉普拉斯变换的基本原理和性质
F1(s)F2(s)
证 L [f1 (t)f2 (t) ]0 e s t0 tf1 (t)f2 ()d d t
0 e s t0 f1(t )(t )f2()d d t 令xt 0 0 f1(x)(x)f2()e se sx dd x
0 f1(x)(x)e sd xx0 f2()e sd
T
f( t ) t( t ) ( t T )( t T ) T ( t T )
F(s)11esTTesT
s2 s2
s
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例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为一个周期的函数
f(t) 1
...
L[f1(t)]F1(s)
0 T/2 T
t
f(t)f1(t)f1(tT)(tT) f1(t2T)(t2T)
第14章 线性动态电路的 复频域分析
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电
路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
下页
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程 变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复 频域分析法，又称运算法。
(1若 )D(s)0有 n个单根p分 1p别 n 为
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
F(s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
f( t) K 1 e p 1 t K 2 e p 2 t K n e p n t
上页 下页
自动控制原理拉普拉斯变换
1)
s 1
2
F (s)
(s
1 2)2
2 s2
s
2 1
f (t) L1[F (s)] te2t 2e2t 2et
精品资料
应用
六.常系数(xìshù)线性微分方程的拉普 拉斯变换
解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便(fāngbiàn)地求解常 系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方 程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函 数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程 组）的解.
23
2
（3）包含(bārohán)有 个重极点 f (t)
时的逆变换
F (s)
(s
K (s z1)(s z2 )(s zm ) p0 )r (s pr1)(s pr2 )(s
pn
)
将上式展开成部分(bù fen)分式
F (s)
A01 (s p0 )r
A02 (s p0 )r1
A0r s p0
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s
2
F
(
s)
L[
d
nf dt
(t
n
)
]
s
n
F
(s)
精品资料
拉普拉斯变换的性质
3.积分 (jīfēn)定 理设 L[ f (t)] F (s)
原函数 f (t)积分(jīfēn)的拉氏变换为:
L[ f (t)dt] F (s) f (t)dt t0
s
s
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
第十四章线性动态电路的复频域分析(一)
am bn
b 0 s b1 s
求其反变换 f(t) 的基本思路是∶
作部分分式展开 查表得之
要求∶ n > m
, 否则, 先化为真分数(用分式除法)
二、部分分式法求反拉氏变换
F (s) N (s) D (s) a0s
m n
a1 s
m 1 n 1
am bn
n
ki s pi
i 1
有
f (t )
n
kie
pi t
i 1
例题 已知
F (s) s
2
F (s) s
4s 5 5s 6
4s 5
2
5s 6
4s 5 ( s 2 )( s 3 ) k1 s 2 k2 s3
5 s 其中： k ksi 2 [(4ss)( 3p i )(4sF35)( s )]s3 p i ( ) (s 2 s )
di 1 dt di 2 dt
M M
di 2 dt di 1 dt
u 2 L2
L1i1(0_)
+ +
L2i2(0_)
Mi1(0_) + (b) +
Mi2(0_)
§14—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 一、运算法的基本思想:
运算法与相量法的基本思想类似。 相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正 弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。 运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求 解以象函数为变量的线性代数方程。当电路的所有独立初始条件为 零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和 KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的 相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上 相似，但这两种方 程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还 应考虑附加电源的作用。当电路中的非零 独立初始条件考虑成附加 电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。 可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运 算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对 应的时间函数。
(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
线性动态电路的复频域分析
f(t)=f1(t)+f2(t)+
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14
例：求
F(s)
=
1 s2 +
3
旳原函数。
结束
解：F(s) = 1
3
3 s2 + ( 3 )2
查表：ℒ
[sin(wt)]
=
w s2+w2
所以： f(t) = 1 sin 3 t 3
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1. 部分分式展开法
在线性电路中，电压和电流旳象函数一般形式为 结束 F(s) = N(s) = a0 sm + a1 sm-1 + ···+bm
+
-0.6 s+5
f(t) = 0.1+ 0.5e-2t - 0.6e-5t
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在情况1中，若D(s)=0有共轭复根
p1=a+jw，p2=a-jw
结束
原则上也是上述措施，只是运算改为复数运算：
K1=
N(a+jw D'(a+jw
) )
N(a-jw ) K2= D'(a-jw )
因为F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2
②拉普拉斯反变换部分分式展开；
③应用拉普拉斯变换分析线性电路旳措施和环节；
④网络函数旳旳定义和极点、零点旳概念。
与其他章节旳联络
1 本章讲述基于拉氏变换旳动态电路旳分析措施，称 为运算法；主要处理一般动态电路、尤其是高阶动 态电路旳分析问题；
2 是变换域分析措施（相量法）思想旳延续，把时域 问题变换为复频域问题。
c+j
利用公式
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
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（1）ε(t)可以使在t＜0时的无意义变为有意义（均等于0）。因 而可以使(-∞,+∞)区间变为[0,+∞)区间。（因为在(-∞,0)上值为 0，不需考虑）。
（2）e-δt可以使可能不可积的函数φ(t)变得绝对可积，最后改
造好的函数为g(t)=ψ(t) ·ε(t)·e -δt 。只要δ选得合适，这个 函数g（t）的付氏变换总是存在的。
于是对ψ(t)乘以ε(t)和e-δt，再求付氏变换的运算，就产生
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
FT
T cn
2 T
fT
2
则FT(ω)傅立叶反变换为：
t e jt dt
fT
t
பைடு நூலகம்
1 T
FT
n
e jt
问题：我们遇到的大量的非周期函数怎么进行傅里叶变换呢？
对于一个非周期函数f(t)，可以认为是周期函数fT(t) 在T→∞ 时演变而来。
当Δωn →无穷小时,频谱就成为连续的,但ＴCn仍可以是有 限值（因为当T→∞时，Cn→无穷小），因而仍可定义TCn为非周 期函数的付氏变换,因而对于非周期函数f(t)（相当于T→∞）有：
T
2 T
fT
t e jn0t dt
2
式中
：
cn
an
jbn
2
1 T
T
2
T
fT
t e jn0t dt
2
c0
a0 2
1 T
T
2 T
fT tdt
2
n 1,2,3
上式可合成为:
1 cn T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
n 0, 1,2, 3
故1.1可写为: fT t
1、问题的提出：
①付氏变换说： 存在付氏变换的条件：一是满足狄里克利条件 （连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是在(-∞,+∞)上 可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是 很强的，许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦 函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 二章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
（2）非周期函数 f(t)可表示成 -∞~+∞ 频率的指数函数的连续 和。
（二） 拉普拉斯变换（Laplace变换）
付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为若干个不同频率的 正弦信号的叠加。付氏变换则可将时域里的信号 [f(t)] 表达式转换 为频率的表达式（频域），从而方便了频谱分析。
而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是 解时域里的高阶微分方程。能否借鉴付氏变换的思路，利用数学工 具将时域函数也进行一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变 换成另一域里的代数方程以便于求解呢？
fT
t
a0 2
an
n1
e jn0t
e jn0t 2
e jn0t e jn0t
bn
2j
a0 2
e jn0t
n1
2
an jbn
e jn0t
2
an jbn
c0
cn e jn0t cn e jn0t
n1
cn
an jbn 2
1 T
c e jn0t n
1.2
n
付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的
非正弦周期函数。 3、傅氏变换
当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可 展开为付氏级数：
fT t
cn e jn0t
n
其中：
cn
1 T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
定义：令nω0 =ω， 则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为： T
T
2 T
2
fT tcosn0tdt
bn
2 T
T
2 T 2
fT tsin n0tdt
2、傅氏级数的指数形式
2、傅氏级数的指数形式 利用欧拉公式：
e j cos j sin 式1.1可写为：
或：cosn0t
1 2
e jn0t
e jn0t
sin
n0t
1 zj
e jn0t
e jn0t
第十四章 线性动态电路的复频域分析
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
f
t
lim
T
fT
t
1
2
Fe jt d
F
f
t e jt dt
记为：
F F f t f t F 1 f t
成立条件： 1 f(t)满足狄里克利条件
2 f(t)在( -∞,+∞)上绝对可积 4、付氏变换的物理意义：
（1）把 f(t)看成无穷多个0~∞频率、振幅为无穷小的正弦波的 合成。F(ω)是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。
通常，一个周期为T的周期函数fT(t)，在[-T/2，T/2]上满足狄 里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：
fT t
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
sin n0t
1.1
其中：T 为周期函数fT(t)的周期；
0
2
T
为基波角频率 ；
a0
2 T
T
f 2
T T 2
t dt
an
2 T
② 其次，可以进行付氏变换的函数必须在整个自变量轴（时间 轴）上有意义。但在物理、电子技术等实际应用中，许多以时间 为自变量的函数往往在t<0时无意义,或者根本不需要考虑。因此， 付氏变换在实应用中就受到一定限制。
由此想到，能否将不满足以上条件的函数ψ(t)通过适当的改
造，使其存在付氏变换（满足付氏变换的条件）呢？