校本课程-趣味数学5-分形几何

小溪中的湍流
木星大气
轻烟
分形几何简介
英国的海岸线有多长
❖ 在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗在他的著作 中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于 测量时所使用的尺度。
英国的海岸线
分形中的维度
❖ 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会 被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是 一些厘米量级以下的就不能反映出来。
门格海绵
❖ 它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。 ❖ 把正方体的每一个面分成9个正方形，这将把正方体分
成27个小正方体，像魔方一样。 ❖ 把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去
掉，留下20个正方体。 ❖ 把每一个留下的小正方体都重复前面的步骤。 ❖ 把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格
菊石
菊石外壳的生长也遵循着对数螺线，这种螺线在自然界中经常可以 见到。分形的数学之美在于，这种无限的复杂性是基于相对简单的 方程式。通过多次迭代和重复生成分形的方程式，随机的输出就会 创造出独特的美丽图案。在大自然中，我们可以看到众多令人惊叹 的分形图案。
巴塞罗教堂中楼梯
菊石外壳还启发了西班牙巴塞罗那这座教堂中楼梯的设计。
校本课程-趣味数学5-分形几何
目录
自然中的分形 分形几何 分形艺术
大自然中的分形现象
大自然中的分形欣赏
从海洋贝壳到螺旋状的星系， 再到人体肺部的结构，在我们周 围有着各种各样的形状。分形是 指一个粗糙或零碎的几何形状， 能够分成数个部分，每一部分都 （至少近似）是整体缩小后的形 状。
花椰菜
这种花椰菜变体堪称终极的分形蔬菜，其形状代表了斐波那契数列（又称黄金螺线）。
Koch 曲线
❖ 数学家科赫(Koch)从一个三角形的“岛”出发 ，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成 无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷 大。可以看到分维才是“Koch岛”海岸线的 确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间 。
❖ 根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有 很多种。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍构 造方法：
植物的枝叶
许多植物的枝叶生长都遵循着简单的递推公式。
闪电
闪电发生时，其路径是一步一步向地面推进的。 闪电的路径也是分形图案。
孔雀的羽毛
孔雀依靠羽毛上重复的图案来吸引异性。
水结晶
水结晶形成了雪花上重复的图形。
雪花
科赫雪花（Koch snowflake）是第一种被描述的分形曲线。
瀑布
与峡谷一样，不规则的岩石和重力作用产生了重复的水流模式。
❖ 进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是二战以 后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现 ，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有 了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧 氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的 研究，等等。
❖ 美国数学家B.Mandelbrot曾出这样一个 著名的问题：英格兰的海岸线到底有多 长？这个问题在数学上可以理解为：用 折线段拟合任意不规则的连续曲线是否 一定有效？这个问题的提出实际上是对 以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。
Mandelbrot集
❖ 除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有 无限的细致性。下面的动画所演示的是对Mandelbrot集 的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大 多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意 观察会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自 相似特性。
❖ 为什么长度已不是海岸线的特征量？ 任何海岸线在一定意义上都是无限长的.
❖ 为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸 线长度会越来越大？ 逼近
❖ 如何建立海岸线的数学模型 Koch曲线
❖ 数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧 氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系， 这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的， 欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不 是唯一的工具。
曼德勃罗集逐步放大图
Sierpinski三角形
❖ Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，具有严格的 自相似特性（但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不 严格自相似）
谢尔宾斯基地毯
❖ 谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别 仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基 础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉 中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便 能得到谢尔宾斯基地毯。
分形几何
❖ 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何 学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数如，零维 的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时 空。
❖ 分形几何学的研究对象为分数维数,如0.63、1.58、2.72 。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几 何学又被称为“大自然的几何学”。
海绵。
三维谢氏塔的自相似结构
分形艺术欣赏
分形艺术——
用数学创造美丽的世界
分形艺术欣赏
谢谢观赏
山脉
山脉是构造力将地壳向上推动，以及一部分地壳受到侵蚀之后的结 果。图中为喜马拉雅山脉，拥有许多世界最高的山峰。7000万年前， 印度板块和欧亚板块的碰撞造成了喜马拉雅山脉，该山脉至今还在 上升。
蕨类植物
蕨类是自相似的典型例子。
蕨类植物
描述蕨类植物的数学方程以迈克尔·巴恩斯利（Michael Barnsley） 命名，第一个揭示了混沌尽管不可预知，但总体上遵循着基于非线 性迭代方程的规则。
❖ 客观自然界中许多事物,具有自相似的“层次”结构，适 当的放大或缩小几何尺寸,整个结构并不改变.
❖ 客观事物有它自己的特征长度,要用恰当的尺度去测量。 用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌， 又嫌太长。从而产生了特征长度。
万里长城
大肠杆菌
❖ 还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的 许许多多尺度,这叫做“无标度性”的问题。湍流是自然 界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气 中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的 能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡， 最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺 度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍 流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
第一步，给定一个初始图形——一条线段； 第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起； 第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段 中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去， 最终即可构造出Koch曲线。
Koch雪花（Koch星）
❖
Cantor集
❖ 康托三分集 由重复删除直线段中间的三分之一开区间 而创造出来的。
❖ 实际上，数学家们很早就认识到，有的 曲线不能用欧式几何与微积分研究其长 度。但那时解决办法是讨论具备什么条 件的曲线有长度。而没有长度的曲线就 没有深入研究。此外，在湍流的研究。 自然画面的描述等方面，人们发现传统 几何依然是无能为力的。因此就产生一 种新的能够更好地描述自然图形的几何 学，就是分形几何。
❖ 由于涨潮落潮使海岸线水陆分界线具有各种层次的不 规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不 列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得 到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有 意义的。
❖ 还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度 也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以 变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的 定量特征，就要用分维。
旧金山湾的盐滩
旧金山湾的盐滩进行商业制盐 的历史已经超过了一个世纪。 如果你将一个分形图案进行分 割，你就会得到一个近似于整
体的缩小版本。
旧金山湾的盐滩
旧金山湾的盐滩进行商业制盐的历史已经超过了一个世纪。 如果你将一个分形图案进行分割，你就会得到一个近似于 整体的缩小版本。
菊石
菊石是已经灭绝了6500万年的海洋头足类动物，具有螺旋形的带腔 室的外壳。这些腔室之间的组隔壁被称为缝线（sutures），是复杂 的分形曲线。
❖ 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度
❖ 这样，康托集的总长度为1-1=0。计 算表明康托集不包括任何非零的长度 。事实上，令人惊讶的是，它可能在 所有中间被扣掉的部分之和就等于它 的最初的长度。然而，仔细观察这个 过程却有很重要的东西被剩下，因为 重复地消除只是中间的1/3开集（这 个集合不包含它的端点）。从最初的 [0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，而两个 端点1/3和 2/3被留下。随后的操作， 不移动这些端点，因为被移除的部分 总是在剩余部分的内部。所以康托集 是非空的，而事实上，它包括无限多 个点。