课时跟踪检测(四十七) 直线与方程

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直线与方程课时同步练及答案

小值为32。答案 B
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轻松课堂数学必修2
8．曲线 y＝3x(x>0)上的点到直线 l：3x＋4y＋3＝0 的距离的最小值为( )
A．3
B．4
C． 5
D．5
解析设曲线 y＝3x(x>0)上任意一点 Pt，3t (t>0)，则点 P 到直线 l 的距离 d ＝3t＋321＋t2＋423＝3t＋54t ＋1，而 t＋4t ＝ t－ 2t2＋4≥4(当且仅当 t＝2 时等号成立)，所以 d≥3，即所求距离的最小值为 3。故选 A。
a＝－1
或
a＝5。
C
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轻松课堂数学必修2
2．若点 P(a,0)到直线 3x＋4y－6＝0 的距离大于 3，则实数 a 的取值范围为 ()
A．(7，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D．(－3,7)∪(7，＋∞)
解析答案
根据题意，得 |33a2－＋64|2>3，解得 a>7 或 a<－3。 C
A． 22，12
B．
23，
2 2
C．
2，
2 2
D． 23，12
解析因为 a，b 是方程 x2－x－c＝0 的两个实根，所以 a＋b＝1，ab＝－c，
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1＋4c。又因为 0≤c≤18，所以两条直线之间的距
离为|a－b|＝ 2
1＋4c。而 2
0≤c≤18，所以当
c＝0
求直线 l 的方程；
(2)若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 5，判断直线 m 与 n 的位置关系。
解 (1)当 a＝0 时，直线 m：－x＋3y＋6＝0，

2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线的一般式方程

课时跟踪检测直线的一般式方程一、题组对点训练对点练一直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程： y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0对点练二由含参一般式求参数的值或取值范围5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－(－2m )，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4.6．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6.7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________．解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 对点练三一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎨⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.二、综合过关训练1．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．2或4解析：选C 因为直线l 2的斜率存在，故当l 1∥l 2时，直线l 1的斜率也一定存在，所以－1m ＝－m 4，解得m ＝±2. 2．直线cx ＋dy ＋a ＝0与dx －cy ＋b ＝0(c ，d 不同时为0)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．斜交D ．与a ，b ，c ，d 的值有关解析：选B d 与c 不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－c d ·dc ＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y－5＝0.4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53，或m ＝－2.7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。

2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线的两点式方程

课时跟踪检测直线的两点式方程一、题组对点训练对点练一直线的两点式方程1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.3．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 002，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 003 B ．2 004 C ．2 005D ．2 006解析：选C 直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 002，则b ＝2 005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C.25D ．2解析：选A 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y3＝1，则在x 轴上的截距为－32. 对点练二直线的截距式方程5．过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 3－y 2＝1C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.6．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 7．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0. 对点练三直线方程的综合运用9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫0，－12、N ⎝⎛⎭⎫52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0. 二、综合过关训练1．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27D ．27解析：选D 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27.2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则 ( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0C ．若c ＜0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－a b ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a 、－cb .如题图，k <0，即－a b ＜0，∴ab >0.∵－c a ＞0，－cb ＞0，∴ac ＜0 ，bc ＜0.若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.3．下列命题中正确的是( )A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x－x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示解析：选C A 中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x ＝x 0；B 中经过定点A (0，b )的直线x ＝0无法用y ＝kx ＋b 表示；D 中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示．只有C 正确，故选C.4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由x m －y n ＝1，得到y ＝n m x －n ；又由x n －y m ＝1，得到y ＝mn x －m .即k 1与k 2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1.答案：x 2＋y3＝16．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点， ∴⎩⎨⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 答案：2x －y ＋4＝07．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：根据题意，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意，知a >2，b >1，∵l 过点M (2,1)，∴2a ＋1b ＝1，解得b ＝a a －2，∴△AOB 的面积S ＝12ab ＝12a ·a a －2，化简，得a 2－2aS ＋4S ＝0. ①∴Δ＝4S 2－16S ≥0，解得S ≥4或S ≤0(舍去)． ∴S 的最小值为4，将S ＝4代入①式，得a 2－8a ＋16＝0，解得a ＝4， ∴b ＝aa －2＝2.∴直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.。

人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx

第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。

的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。

B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。

高考数学复习课时跟踪检测-直线与方程含解析

课时跟踪检测（四十五）直线与方程[A 级基础题——基稳才能楼高]1．(合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A 。

33B 。

3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ,则k ＝－sin 30°cos 150°＝33。

2．(永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0,l 2：x ＋y －1＝0,则直线l 1与直线l 2之间的距离为( ) A ．1 B 。

2 C 。

3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知,直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝2。

3．(成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,m 的值为( ) A 。

2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q(2,1),所以点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,P Q 垂直直线,即m ·2－13－2＝－1,∴m ＝－1,故选C 。

4．(济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时,此时直线的方程为x ＋y ＝0,满足题意．当直线不经过原点时,设直线方程为x 4a ＋y a ＝1,把点(－10,10)代入可得a ＝152,故直线方程为x 30＋2y15＝1,即x ＋4y －30＝0。

综上所述,可知选C 。

5．(深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限,则k 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1,＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1。

第8篇第1节跟踪训练40 直线与方程

第八篇平面解析几何第1节直线与方程质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．质疑探究2：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k＝tan θθ≠π2知(1)当θ∈[0，π2)时，k>0，θ越大，斜率就越大；(2)当θ∈[π2，π)时，k<0，θ越大，斜率也越大．2．直线方程的五种形式提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．3．两条直线位置关系的判定4.两条直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标；(2)若方程组无解，则l 1与l 2无公共点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 5．几种距离 (1)两点距离两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 (2)点线距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)线线距离两平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．若直线过点P (1－a,1＋a )，Q (3,2a )，且倾斜角为135°，则a 等于( ) A ．12 B ．－12 C ．14D ．－14解析：由题意知直线PQ 的斜率 k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －12＋a＝－1，解得a ＝－12.故选B. 答案：B2．点(1,1)到直线x ＋2y ＝5的距离为( ) A ．55 B ．855 C ．355D ．255解析：直线方程化为一般式x ＋2y －5＝0，所以d ＝|1＋2×1－5|12＋22＝25＝255. 故选D. 3．若直线x －2y ＋4＝0与直线kx ＋y －2＝0垂直，则k 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析：由两直线垂直的充要条件，得1×k ＋(－2)×1＝0，解得k ＝2. 故选A. 答案：A4．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于0的直线方程为_____．解析：设直线在x 、y 轴上的截距为a ，b ，由已知a ＋b ＝0， ①当a ＝0时，b ＝0，此时直线过坐标原点O . 故k ＝－4－03－0＝－43，方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②当a ≠0时，b ＝－a ，由截距式方程得直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y －a ＝0.由M 在直线上得3－(－4)－a ＝0，解得a ＝7. 此时直线方程为x －y －7＝0，故直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0即时突破1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．(0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π解析：由x sin α－y ＋1＝0 得y ＝x sin α＋1.设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤tan θ≤1.又∵0≤θ＜π， ∴0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，∴倾斜角θ的变化范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π，故选D.即时突破2 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)法一设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k ＝－23或k ＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 法二由题知直线l 在x 轴、y 轴上的截距均不为0，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则由题意得⎩⎨⎧12|ab |＝3，－3a ＋4b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6，4a －3b ＝ab① 或 ⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－6，4a －3b ＝ab .②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝－4，②无解．所以直线方程为x 3＋y 2＝1或x －32＋y－4＝1，即2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距为－6b ，由已知得|－6b ·b |＝6， ∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.即时突破3 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.P261[课时跟踪训练(40)直线与方程]261页[2015年高三总复习]课时跟踪训练(40) 直线与方程一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于( ) A ．π3B ．2π3C ．π6D ．56π解析：斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.故选D. 答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 解析：因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m ＝0，解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.故选A. 答案：A4．(2014济南一模)已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2解析：由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2，综上，a ＝－1或2.故选D. 答案：D5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．故选B.答案：B6．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：法一设直线方程为x a ＋yb ＝1，∵直线过点P (1,4)， ∴1a ＋4b ＝1，即a ＝b b －4. ∵a >0，b >0， ∴bb －4>0，即b >4.∴a ＋b ＝b ＋b b －4＝b ＋4b －4＋1＝(b －4)＋4b －4＋5≥9.(当且仅当a ＝3，b ＝6时，“＝”成立)，故直线方程为2x ＋y －6＝0.故选B. 法二设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，∵直线过点P (1,4)，∴1a ＋4b＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )×(1a ＋4b )＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋(4a b ＋b a )≥5＋24a b ×ba＝9. (当且仅当4a b ＝ba ，即b ＝2a ，也就是a ＝3，b ＝6时等号成立)∴截距之和最小时直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B.答案：B 二、填空题7．已知直线l 经过点P (2014,1)，Q (2014，m 2)(m ∈R )，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－12013－2014＝1－m 2.因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[π2，π).答案：[0，π4]∪[π2，π)8．过点(3,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程为______．解析：设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则tan α＝12.∴所求直线的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故直线方程为y －0＝43(x －3)，即4x －3y －12＝0. 答案：4x －3y －12＝09．已知A (3,0)，B (0,4)，点P (x ，y )在直线AB 上，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0，而x 2＋y 2表示P 点与坐标原点O 的距离，故其最小值为点O 到直线AB 的距离d ＝|－12|42＋32＝125. 答案：12511 / 1110．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为____________．解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝0三、解答题11．已知A (1，－4)，B (3，－2)和直线l ：4x －3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使得|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于3.解：由|P A |＝|PB |知点P 在线段AB 的中垂线上，而k AB ＝－2－(－4)3－1＝1， AB 中点M 1＋32，－4－22，即M (2，－3)．故AB 中垂线的斜率k ＝－1k AB＝－1，其方程为y －(－3)＝－1×(x －2)，即y ＝－x －1.设P (a ，－a －1)，由已知P 到直线l 的距离为3，故|4a －3(－a －1)－2|42＋(－3)2＝3，整理得|7a ＋1|＝15，解得a ＝2或a ＝－167. 所以点P 的坐标为(2，－3)或－167，97. 12．(2014合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．k 1＝k 2，即a b＝1－a . 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.。

课时跟踪检测(四十七) 两条直线的位置关系(重点高中)

课时跟踪检测（四十七）两条直线的位置关系(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直的充要条件是6a ＋12＝0，即a ＝－2，故选A.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423B ．4 2 C.823D ．2 2解析：选C ∵l 1∥l 2，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.3．如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫22，22C.⎝⎛⎭⎫32，32D.⎝⎛⎭⎫52，52解析：选A 因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，设直线AB 的方程为x ＋y ＋m ＝0，将A 点代入，解得m ＝－1，所以直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.5．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.6．若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4n的最小值等于________．解析：设点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －n a ＋m ＝1，a －m 2＋b ＋n 2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－n ，b ＝1＋m .则(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n ，1＋m )，则1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12×⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m ＝23，n ＝43时等号成立．答案：927．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34.则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD·k AB＝－1，即AD⊥AB，故四边形ABCD为矩形．故S＝|AB|·|AD|＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25.答案：258.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图所示，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴k FD>kA1F，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 10．已知点P(2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．B 级——拔高题目稳做准做1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，设Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0.若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0，则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0.因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等，但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行．因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0，所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P .2．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.3．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析：选A 由题意a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0与x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A.4．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k 2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝05．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.6．一条光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，求： (1)入射光线所在直线的方程；(2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解：(1)设点Q ′(x ′，y ′)为Q 关于直线l 的对称点，QQ ′交l 于M 点，∵k l ＝－1，∴k QQ ′＝1，∴QQ ′所在直线的方程为y －1＝1×(x －1)，即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝⎛⎭⎫－12，－12，∴⎩⎨⎧1＋x ′2＝－12，1＋y ′2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2，∴Q ′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q ′三点共线，又P (2,3)，Q ′(－2，－2)，故入射光线所在直线的方程为 y －(－2)3－(－2)＝x －(－2)2－(－2)，即5x －4y ＋2＝0.(2)|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′| ＝[2－(－2)]2＋[3－(－2)]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41.。

2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线的点斜式方程

课时跟踪检测直线的点斜式方程一、题组对点训练对点练一直线的点斜式方程1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 2．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1)解析：选C 由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为y －1＝2(x ＋1)．3．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3,3)，则直线l 的方程为________．解析：直线y ＝x ＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P (3,3)，所以直线l 的方程为x ＝3.答案：x ＝34．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)，即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.对点练二直线的斜截式方程 5．直线y ＝ax －1a 的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a 可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．6．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.答案：y ＝－3x ＋27．直线y ＝kx ＋2(k ∈R)不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限；当k >0时，直线过第三象限；当k <0时，直线不过第三象限．答案：(－∞，0]对点练三两直线平行与垂直的应用8．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：选A 在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，∴所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.9．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 由a ＝2－a ，得a ＝1.10．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．解：由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m . ∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m ，－23m ≠－6m ，解得m＝－1.∴m的值为－1.二、综合过关训练1．经过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是()A．y＝－x－3 B．y＝x＋3C．y＝－x＋3 D．y＝x－3解析：选C过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程可以设为y－4＝k(x＋1)．令y＝0，得x＝－4k－1＝3，解得k＝－1，即所求直线方程为y＝－x＋3.2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－1n x－1n.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为()A．－10 B．－2 C．0 D．8解析：选A∵l1∥l2，∴k AB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴⎝⎛⎭⎫－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A.3．在同一直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能是()解析：选A在选项B、C中，b1>b2，不合题意；在选项D中，k1<k2，故D错．4．若AC＜0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－AB x－CB，∵AC＜0，BC＜0，∴AB＞0，∴k＜0，b＞0.故直线不通过第三象限，选C.5．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程为________．解析：∵直线OP的斜率为－12，又OP⊥l，∴直线l的斜率为2.∴直线的点斜式方程为y－1＝2(x＋2)，化简，得y＝2x＋5.答案：y＝2x＋56．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．答案：(3,2)7．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3， ∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33. (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， ∴所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)． (2)∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. 8．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程．解：设直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋b .则x ＝0时，y ＝b ，y ＝0时，x ＝－6b . 由已知可得12|b |·|－6b |＝3，即b 2＝1，所以b ＝±1.从而所求直线l 的方程为y ＝16x －1或y ＝16x ＋1.。

课时跟踪检测(四十六) 两直线的位置关系

数学
质量铸就品牌品质赢得未来课时跟踪检测(四十六) 两直线的位置关系结束
(2)由直线方程可得 Ma2＋＋1a，0，N(0,2＋a)，因为 a>－1，所以 S△OMN＝12×2a＋＋a1×(2＋a)＝12×[a＋a＋1＋1 1]2 ＝12a＋1＋a＋1 1＋2≥12×2 a＋1·a＋1 1＋2＝2，当且仅当 a＋1＝a＋1 1，即 a＝0 时等号成立．此时直线 l 的方程为 x＋y－2＝0.
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答案：A
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7．解析：直线 l1 的方程为 3x＋4y－7＝0，直线 l2 的方程为 6x＋8y ＋1＝0，即 3x＋4y＋12＝0，∴直线 l1 与 l2 的距离为 123＋2＋742＝32. 答案：32
8．解析：由yy＝＝2xx＋＋13，，解得直线 l1 与 l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线 l2 的方程为 y＋1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k－1＝0.
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在直线 l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线 l1，l2 的距离相等，由点到直线的距离公式得|k－2k＋2＋2k1－1|＝|2－222＋＋13|，解得 k＝12(k＝2 舍去)， ∴直线 l2 的方程为 x－2y＝0. 答案：x－2y＝0 9．解析：因为原点到点 P 的距离为 2，所以过点 P 与原点的距离都不大于 2，故 d∈(0,2)．答案：(0,2)
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5．解析：依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故

高一数学A版必修二《直线与方程》第3章习题课课时作业与单元检测(含答案)

习题课直线的位置关系与距离公式【课时目标】熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．1．三个距离公式⎩⎪⎨⎪⎧(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的距离|P 1P 2|＝ .(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 的距离d ＝ .(3)平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋ By ＋C 2＝0间的距离d ＝ .2．三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为P ′________________． (2)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 22＋C ＝0，可得点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．(3)线关于点、线的对称线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P (x ，y )的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．一、选择题1．点(3,9)关于直线x ＋3y －10＝0的对称点为( ) A ．(－13,1) B ．(－2，－6) C ．(－1，－3) D ．(17，－9)2．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝03．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5) D ．(－5,3)4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条 5．若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．4 D ．－46．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则x 2＋y 2－2x －4y ＋5的最小值是( )A ．3113B ．8913 C ．13 D ．不存在二、填空题7．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则l 的方程为________________．8．如图所示，已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)，直线l 平行于AB ，且分别交AC 、BC 于E 、F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的14，则直线l 的方程为________．9．设点A (－3,5)和B (2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点P ，使|P A |＋|PB |为最小，则这个最小值为________．三、解答题10．一条直线被直线l 1：4x ＋y ＋6＝0和l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．11．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程． (1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4； (3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．能力提升12．直线2x －y －4＝0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3,4)的距离之差的最大值．13．已知M (1,0)、N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，求|PM |2＋|PN |2的最小值及取最小值时点P 的坐标．1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．习题课直线的位置关系与距离公式答案知识梳理1．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (2)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(3)|C 2－C 1|A 2＋B 22．(1)(2a －x 0,2b －y 0) (2)y 1－y 2x 1－x 2＝BA作业设计1．C [设对称点为(x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－9x 0－3＝3，x 0＋32＋3·y 0＋92－10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3.] 2．B [直线3x －4y ＋5＝0与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫－53，0，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k ＝－34．∴y ＝－34⎝⎛⎭⎫x ＋53，即3x ＋4y ＋5＝0．] 3．A [当PQ 与已知直线垂直时，垂足Q 即为所求．]4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －1)即kx －y ＋3－k ＝0．由已知|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，满足题意．故共存在2条直线．] 5．C [把x ＝5代入6x －8y ＋1＝0得y ＝318，把x ＝5代入3x －4y ＋5＝0得y ＝5，∴318<b <5．又∵b 为整数，∴b ＝4．] 6．A [x 2＋y 2－2x －4y ＋5＝(x －1)2＋(y －2)2，它表示点(x ，y )与(1,2)之间的距离，两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x ＋12y ＝60的距离， ∴d ＝|1×5＋2×12－60|13＝3113．]7．3x －y ＋3＝0 8．x －2y ＋5＝0解析由已知，直线AB 的斜率k ＝12，∵EF ∥AB ，∴直线EF 的斜率为k ＝12．∵△CEF 的面积是△CAB 面积的14，∴E 是CA 的中点，∴点E 的坐标⎝⎛⎭⎫0，52，直线EF 的方程是y －52＝12x ，即x －2y ＋5＝0． 9．513解析设点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为(a ，b )，则由AA ′⊥l 且AA ′被l 平分，得⎩⎪⎨⎪⎧b －5a ＋3×34＝－1，3×a －32－4×b ＋52＋4＝0.解之得a ＝3，b ＝－3．∴点A ′的坐标为(3，－3)，∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A ′B |＝(3－2)2＋(－3－15)2＝513．10．解设所求直线与直线l 1交于A (x 0，y 0)，它关于原点的对称点为B (－x 0，－y 0)，且B 在直线l 2上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0，－3x 0＋5y 0－6＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－3623，y 0＝623，∴所求直线方程为y ＝623－3623x ＝－16x ，即x ＋6y ＝0．11．解 (1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34．∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0．(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43．设l ′与x 轴截距为b ，则l ′与y 轴截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪－43b ＝4， ∴b ＝±6．∴直线l ′：y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)．(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线， ∴l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，则在l ′上对称点为(x ，y )． x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0． ∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0．12．解找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点．设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －4×2＝－12×4＋a 2－b －12－4＝0．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以|A ′B |＝(4－1)2＋(3－0)2＝32．13．解 ∵P 为直线2x －y －1＝0上的点， ∴可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得|PM |2＋|PN |2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4．(m ∈R )令f (m )＝10m 2－8m ＋4＝10⎝⎛⎭⎫m －252＋125≥125， ∴当m ＝25时，|PM |2＋|PN |2取最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫25，－15．。

(完整版)直线与方程测试题(含答案)

第三章直线与方程测试题一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（） A ．y ＝3x －6 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝33x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（）。

A. －6 B. －7 C. －8 D. －93. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（）.A. 2B. 3C. 4D. 54. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（）。

A.2 B. 3 C. －3 D. －25.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关*6．到直线2x +y +1=0的距离为55的点的集合是( )A.直线2x+y －2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=07直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞⋃-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2⋃- Ｄ．()+∞∞-,*8．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，－1），则直线l 的斜率是（）A ．－23B ．23C ．－32D ．329．两平行线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213 13 ，则c ＋2a的值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0**11．点P 到点A ′（1，0）和直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于 22，这样的点P 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 *12．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是（） A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＝1二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是；或。

人教A版数学必修2跟踪检测卷第三章《直线与方程》

人教A 版数学必修2跟踪检测卷第三章《直线与方程》一、选择题1.若点()24A ，与点B 关于直线:30l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A. （5,1）B. （1,5）C. （-7，-5）D. （-5，-7）2.直线l 过点()1,0且与直线240x y -+=平行，则l 的方程是（）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D. 210x y +-= 3.斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值为( )A. a ＝72 ，b ＝0B. a ＝－72，b ＝－11 C. a ＝72，b ＝－11 D. a ＝－72，b ＝11 4.已知直线3430x y +-=与6140x my ++=平行，则他们之间的距离是（）A. 0B. 2C. 4D. 135.如果两条直线1:260l ax y ++=与()2:130l x a y +-+=平行，那么a 等于（）A. 23B. 1C. 2D. 1- 6.已知点A (1,3)、B (－2，－1)．若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ( )A. 12k ≥B. 2k ≤-C. 12k ≥或2k ≤-D. 122k -≤≤ 7.方程1y ax a=+表示的直线可能是（）．.A B C D8.一条光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）．A.B.C.D.9.已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( ) 象限A. 第一、二、三B. 第一、二、四C. 第一、三、四D. 第二、三、四10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是（）A.B. 5C.D.11.经过两点A (2,1)、B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是 ( )A. m ＜1B. m ＞－1C. －1＜m ＜1D. m ＞1或m ＜－112.已知点A 在直线210x y +-=上，点B 在直线230x y ++=上，线段AB 的中点为()00,P x y ，且满足002y x >+，则y x 的取值范围为（） A. 11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C. 11,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13.设直线l 的倾斜角为α，且≤α≤ ，则直线l 的斜率k 的取值范围是． 14.直线()():220l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点______． 15.垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________. 16.已知实数x ，y 满足的最小值为三、解答题17.已知直线l 过直线l 1：3x ﹣5y ﹣10=0和l 2：x+y+1=0的交点，且平行与l 3：x+2y ﹣5=0，求直线l 的方程．18.在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0. 若B的坐标为(1,2)，求△ABC三边所在直线方程及点C坐标.19.已知直线l过点P（﹣2，1）．（1）当直线l与点B（﹣5，4）、C（3，2）的距离相等时，求直线l的方程；（2）当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程．20.已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为﹣3，求实数m的值；（4）若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．21.设m∈R，过定点A的动直线l1：x+my=0和过定点B的动直线l2：mx﹣y﹣m+3=0=0交于点P（x，y），（I）试判断直线l1与l2的位置关系；（Ⅱ）求|PA|•|PB|的最大值．22.（1）求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．（2）已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B 点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．参考答案一、选择题1.B2.A3.C4.B5.D6.D7.B8.A9.A 10.C 11.C 12.A 二、填空题 13. ∪[1，＋∞)14.()1,1- 15.3或-3 16.三、解答题17.解：联立方程组：，解得：交点坐标：∵直线所求直线l 与l 3：x+2y ﹣5=0平行 ∴直线l 的斜率k=2∴所求直线l 的方程为：16x ﹣8y ﹣23=018. 试题解析：BC 边上高AD 所在直线方程x －2y ＋1＝0， ∴k BC ＝－2，∴BC 边所在直线方程为：y －2＝－2(x －1)即2x ＋y －4＝0.由，得A(－1,0)，∴直线AB：x－y＋1＝0，点B(1,2)关于y＝0的对称点B′(1，－2)在边AC上，∴直线AC：x＋y＋1＝0，由，得点C(5，－6).19.（1）解：①当直线l∥BC时，k l=k BC= = ．∴直线l的方程为，化为x+4y﹣2=0．②当直线l过线段BC的中点时，由线段BC的中点为M（﹣1，3）．∴直线l的方程为，化为2x﹣y+5=0．综上可知：直线l的方程为x+4y﹣2=0或2x﹣y+5=0（2）解：设直线l的方程为．则，解得或．∴直线l的方程为x+y+1=0，或x+4y﹣2=020.（1）解：当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2﹣2m﹣3=0，解得m=﹣1，m=3；令2m2+m﹣1=0，解得m=﹣1，m= ．∴方程表示一条直线的条件是：m∈R，且m≠﹣1（2）解：由（1）易知，当m= 时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为：x= ，它表示一条垂直于x轴的直线（3）解：依题意，有 =﹣3，∴3m2﹣4m﹣15=0，∴m=3或m=﹣，由（1）易知，所求m=﹣（4）解：∵直线l的倾斜角是45°，∴其斜率为1，∴﹣ =1，解得m= 或m=﹣1（舍去）．∴直线l的倾斜角是45°时，m=21.解：（ I）当m=0时，两条直线方程分别化为：x=0，﹣y+3=0，此时两条直线垂直；当m≠0时，两条直线的斜率分别为：﹣，m，则=﹣1，因此两条直线垂直．故直线l1与l2垂直；（ II）由直线l1：x+my=0可得定点A（0，0）；由直线l2：mx﹣y﹣m+3=0=0化为m（x﹣1）+（3﹣y）=0，联立，解得x=1，y=3．可得定点B（1，3）．当m=0时，两条直线的交点为（0，3），则|PA|•|PB|=×=3．当m≠0时，点P在以AB为直径的圆上，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，∴10≥2|PA|•|PB|，∴|PA|•|PB|≤5．综上可得：|PA|•|PB|的最大值为5．22.（1）解：设P′(x0， y0)，则k PP′＝，PP′中点为 .∴解得∴点P′坐标为(5，－1)（2）解：当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)．|AB|＝符合题意．当直线l1的斜率存在时，设为k，则k≠－2，∴直线l1为y＋1＝k(x－1)，则l 1与l 的交点B 为，∴|AB|＝，解得k ＝－，∴直线l 1为3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0上学期高二数学章节检测卷必修2第三章一、选择题1.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D. 2.已知，，三点共线，则k 的取值是（） A.-6 B.-7 C.-8 D.-93.已知一直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.4.若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为，则点P 的坐标为 ( )A. (1,2)B. (2,1)C. (1,2)或(2，－1)D. (2,1)或(－1,2)5.过不重合的，两点的直线倾斜角为，则的取值为（）A.B.C.或 D.或6.设直线l 的斜率为k ，且1k -<≤l 的倾斜角α的取值范围（） A. 3034πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， B. 3064πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， C. 364ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 3034πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，7.斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值为（）A. a ＝72 ，b ＝0B. a ＝－72，b ＝－11C. a ＝72，b ＝－11D. a ＝－72，b ＝118. 已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是( )A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或29.下列说法正确的是（） A.若直线l 1与l 2斜率相等，则l 1∥l 2 B.若直线l 1∥l 2 ，则k 1=k 2C.若直线l 1 ， l 2的斜率不存在，则l 1∥l 2D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行10.已知直线l 1：2x ﹣y+1=0，l 2：ax+4y ﹣2=0，若l 1⊥l 2 ，则a 的值为（）A.﹣B.C.﹣2D.2 11.已知直线与直线平行，则a 的值为 ( )A.B.C.1D.-112.过点（5，3）且与直线x ﹣2y ﹣2=0垂直的直线方程是（）A.x+2y ﹣11=0B.2x+y ﹣13=0C.2x ﹣y ﹣7=0D.x ﹣2y+1=0二、填空题13. 已知直线l 与两直线l 1：2x-y+3=0和l 2：2x-y-1=0平行且距离相等，则l 的方程为______.14.已知A (2，－3)，B (4,3)， 5,2m C ⎛⎫⎪⎝⎭三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．15.已知动直线()22110mx m y -++=，则其倾斜角的取值范围是___________．16.已知直线y=（3a ﹣1）x ﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a 的取值范围是．三、解答题17.已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．18.已知直线l ：ay=（3a ﹣1）x ﹣1．（1）求证：无论a 为何值，直线l 总过第三象限；（2）a 取何值时，直线l 不过第二象限？19.已知平行四边形的三个顶点A （﹣2，1），B （﹣1，3），C （3，4），求第四个顶点D 的坐标． 20.m 为何值时，直线（2m﹣4）x+（m 2﹣2m）y=4m+1，（1）在x 轴上的截距为1；（2）倾斜角为45°．21.已知平行四边形的三个顶点坐标为，， .（Ⅰ）求顶点的坐标；（Ⅱ）求四边形的面积.22.已知三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0. (1)若直线l 1，l 2，l 3交于一点，求实数m 的值； (2)若直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，求实数m 的值．参考答案1.A2.B3.D4.C5.B6.D7.C8.C9.D 10.D 11.D 12.B 13. 2x-y+1=0 14.1215.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 16.a17.（1）1k ≤-或1k ≥；（2）45135α︒≤≤︒【解析】如图，由题意可知，直线PA 的斜率40131PA k -==---，直线PB 的斜率20131PB k -==-，(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是1k ≤－，或1k ≥.(2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45︒，直线PA 的倾斜角是135︒，故α的取值范围是45135α︒≤≤︒.18.证明：（1）由直线l ：ay=（3a ﹣1）x ﹣1，得a （3x ﹣y ）+（﹣x ﹣1）=0，…（2分）由，得，所以直线l 过定点（﹣1，﹣3），因此直线总过第三象限…（5分）．（2）直线l 不过第二象限，应有斜率满足：k=≥0．∴a≥时直线l 不过第二象限19.解：若构成的平行四边形为ABCD1，即AC为一条对角线，设D1（x，y），则由AC中点也是BD1中点，可得，解得，∴D1（2，2）．同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2（﹣6，0）；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3（4，6），∴第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（﹣6，0），或（4，6）．20.解：（1）∵在x轴上的截距为1，∴直线过（1，0），∴2m﹣4=4m+1，解得m=﹣；（2）当直线倾斜角为45°时，﹣=tan45°=1，解得m=﹣2．21.解：(Ⅰ)如图，设，因为四边形为平行四边形，所以对角线互相平分，又，，所以，又，所以顶点的坐标为D .(Ⅱ)依题意可得，故直线的方程为，即，又，点到直线的距离 .所以四边形的面积22.试题解析:(1)∵直线l1，l2，l3交于一点，∴l1与l2不平行，∴m≠4.由，得即l1与l2的交点为代入l3的方程，得－3m·－4＝0，解得m＝－1或.(2)若l1，l2，l3交于一点，则m＝－1或；若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则不存在满足条件的实数m.综上，可得m＝－1或或4或－.《直线与方程》同步测试题1、直线x－y＝0的倾斜角为答案：45°2、若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是答案：－63、倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是答案：x＋y＋1＝04、已知直线经过点A(0,3)和点B(－1,2)，则直线AB的斜率为答案：1.5、直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°.则直线l的方程为答案：x－3y－23－1＝06、已知直线PQ的斜率为－3，则将直线绕点P沿顺时针方向旋转60°所得的直线的斜率是答案：37、过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是答案：－3 28、已知点A(3,2)、B(－2，a)、C(8,12)在同一条直线上，则a的值是A．0B．－4C．－8D．4答案：－89、已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是答案：3或510、已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和直线l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为答案：－111、如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D12、已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是答案：313、经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是答案：3x ＋19y ＝014、已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点答案：(27，17)15、过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为答案：－3216、若直线mx ＋ny ＋2＝0平行于直线x －2y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为1，则m ，n的值分别为答案：1和－217、直线(m ＋2)x ＋my ＋1＝0与直线(m －1)x ＋(m －4)y ＋2＝0互相垂直，则m 的值为答案：－12或218、直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为答案：－2319、已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，当A >0，B <0，C >0时，直线l 必经过( )A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限答案：A20、已知点P (x ，y )在直线2x －y ＋5＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值为答案： 521、直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则坐标原点到直线mx＋ny＝5的距离为答案：2 222、如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为答案：－623、经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是答案：3x＋19y＝024、已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于答案：－225、与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________________．答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝026、点A(3，－4)与点B(5,8)关于直线l对称，则直线l的方程为_________.答案：x＋6y－16＝027、已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为________答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝028、点P(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是________答案：(－6，－8)29、过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是答案：x＋y＋3＝0或2x＋y＝030、已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过()A．第一、第二、第三象限 B．第一、第二、第四象限C．第一、第三、第四象限 D．第二、第三、第四象限答案：A31、设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是答案：k≥1或k≤－332、设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是答案： k≥34或k≤－433、已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是答案：－16＜k＜1234、直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为答案：3x＋y－13＝035、已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0，(1)若b＝0，且l1⊥l2，求实数a的值；(2)当b＝3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．答案：(1) a＝2. (2) d＝42 336、已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－3 4，(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．答案：(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.37、已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？答案： (1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.(3)当m＝3时，l1与l2重合．38、已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，（1）直线l1∥l2；（2）直线l1⊥l2？答案：（1）m＝－1 ；（2）m＝1 239、求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程.答案： 3x －y ＋2＝0.40、直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．答案：(1)[解析] 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，①又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝125b ＝92.∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.若满足条件(2)，则ab ＝12，③由题意得，43a ＋2b ＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2b ＝6. ∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y 6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.41、已知直线λ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)若使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．答案：(1)直线l 的方程可化为y －35＝a (x －15)，所以不论a 取何值，直线l 恒过定点A (15，35)，又点A 在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 恒过第一象限．(2)解令x＝0，y＝3－a5，由题意，3－a5≤0，解得a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)．。

课时跟踪检测(四十七) 圆的方程

数学
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课时跟踪检测(四十七) 圆的方程结束
9．解析：圆 C 的标准方程为(x－m)2＋(y－ m)2＝m2＋m－2，依
m2＋m－2>0，题意有 m≤ m2＋m－2，得 m≥ 2.
m≥0.
答案：[ 2，＋∞)
10．解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到
l
的距离
d＝
3
2
，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为
|2＋2－14| 2
＋3
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2 ＝8
2
，最小距离为 |2＋2－14| 2
－3
2 ＝2
2 ，故最大距
离与最小距离的和为10 2.
答案：C
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课时跟踪检测(四十七) 圆的方程结束
3．解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为 0<a<1 ，所以 (0 ＋ a)2 ＋ (0 ＋ 1)2 － 2a ＝ (a － 1)2>0 ，即 0＋a2＋0＋12> 2a，所以原点在圆外．答案：B
4．解析：圆 C1，C2 的图象如图所示．
数学
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课时跟踪检测(四十七) 圆的方程结束
设 P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN| 的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4. 作 C1 关于 x 轴的对称点 C1′(2，－3)，连接 C1′C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|，则 |PM|＋|PN|的最小值为 5 2－4，故选 A. 答案：A

课时跟踪检测(四十七) 两条直线的位置关系(普通高中)

课时跟踪检测（四十七）两条直线的位置关系(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.2．(2018·北京顺义区检测)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－5，－3)C ．(－∞，－6)D ．(－2，＋∞)解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2.3．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．6D ．0或6解析：选C 由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为－1，因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1. 又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，所以l 1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a ＝6.4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．5．(2018·西安一中检测)若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B.6．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝08．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝09．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－7910．(2018·湘中名校联考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0B 级——中档题目练通抓牢1．已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.2．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B ．5 2C.1522D ．15 2解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2.3．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y2＝0，2x ＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，故|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 法三：由题意可设所求直线的方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0， ① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 答案：4x －3y ＋9＝05．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k 2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝06．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.7．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.C 级——重难题目自主选做1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，设Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0.若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0，则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0.因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等，但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行．因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0，所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P .2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析：选A 由题意a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0与x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c2＝12－2c，而0≤c≤18，所以12－2×18≤12－2c≤12－2×0，得14≤12－2c≤12，所以12≤d≤22，故选A.。

课时跟踪检测(四十一) 直线与方程

课时跟踪检测（四十一）直线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：332．(2016·汇龙中学检测)直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则b 的取值范围为________．解析：令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，由题意得S ＝12×b2×(－b )≤1且b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．答案：[－2,0)∪(0,2]3．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.答案：(－6，－2)4．(2017·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限．解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB .因为A ·C <0，B ·C <0，所以A ·B >0，所以其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B >0.所以直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·秦皇岛模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.答案：3x ＋y ＋3＝02．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎫33，＋∞ 3．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m ＝________.解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或m ＝3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：34．(2016·镇江中学测试)已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－(－1)＝1，所以实数k 的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝07．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]8．若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2a b ＝22当且仅当b a ＝2ab时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，所以A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，所以k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。