5-第五章 弯曲应力.

第五章 弯曲应力

5.1 纯弯曲

一、纯弯曲和横力弯曲

1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。 特点：弯曲后的轴线为圆弧线。 2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。 特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。

F s

二、弯曲变形假设 1. 平面假设:

变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。 2. 纵向纤维间无正应力。 三、中性层和中性轴

1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。

2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

5.2 纯弯曲时的正应力

一、变形几何关系

()ρ

θ

ρθ

ρθρεy

d d d y =

-＋＝

二、 物理关系

当应力小于比例极限，由胡克定律：

ρ

εσy E

E ＝＝

任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。 三、静力关系

横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为

⎰=

A

dA N σ， ⎰

=

A

y

dA z M

σ， ⎰

=

A

z dA y M σ

根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即

0＝⎰=

A

dA N σ 0＝⎰

=

A

y

dA z M

σ ⎰

=

A

z M dA y M ＝σ

由0＝⎰=A

dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。 由0==

⎰⎰

A

A

y dA zy

E

dA z M ρ

σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。

由M dA y E dA M A

A z ==⎰⎰ρ

σ2

y ＝可得⎰

A

dA

y M

E

2＝

ρ

令⎰=A

z I dA y 2--对z 轴的惯性矩

y I M

y

E

E z

＝

＝＝ρ

εσ 5.3 横力弯曲时的正应力

一、正应力近似计算公式

y I M

z

＝

σ （误差不大，满足工程所需精度）

二、惯性矩计算

1. ⎰

=

A

dA y 2Z I

若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12

I 3

Z bh =；

若横截面是直径为D 的圆形，64

I 4

Z D π=

2. 平行移轴公式

A 2ZC Z b I I +=

例题

1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。

解：作梁的弯矩图，横截面C 上有最大弯矩，且

m kN ⋅=375M max

查型钢表，56a 号

工字钢的32342

W cm z =，465585I cm z =,mm 560h =，mm 21t =

所以梁的最大正应力为：MPa W M Z 16010

2342103756

3max max =⨯⨯==-σ 该截面a 点处的正应力为MPa I M Z

14810)212560(106558610375y 383max a =⨯-⨯⨯⨯==--σ 2.

一外伸梁由18号槽钢制成，尺寸和受力如图所示，求此梁的最大拉应力和最大压应力。

375kN∙m

F

a )

M 图 b)

z

c)

z

4kN

F 2=

18号槽钢

解：1. 由静力平衡方程求出支座反力为：10.5kN F ,2.5kN F RB RA == 2. 作弯矩图，最大弯矩在截面C ，且,m 2.5kN M C ⋅= 最大负弯矩在B 截面，且m -4kN M B ⋅=

3. 查表的18号槽钢,111cm I 4Z = 5.16cm ,y 1=,1.84cm y 2=

4. 对于截面B ，弯矩为负，

最大拉应力发生在上边缘各点，且66.3MPa I y M Z 2

B B

max ==

t σ 最大压应力发生在下边缘各点，且186MPa I y M Z

1

B B

cmax ==

σ 对于截面C,弯矩为正，

最大拉应力发生在截面下边缘各点116MPa I y M Z 1

C C

max ==

t σ 最大压应力发生在截面上边缘各点MPa 4.14I y M Z

2

C C

max c ==

σ 综上所述，梁的最大拉应力,116MPa max =t σ发生在C 截面的下边缘各点，

最大压应力,186MPa max =c σ发生在B 截面的下边缘各点。

5.4 横力弯曲时的剪应力

一、矩形截面梁

1. 切应力的方向及沿宽度方向的分布假设：

（1）横截面上各点处的切应力方向均平行于剪力Q F 。 （2）切应力沿截面的宽度方向呈均匀分布。 2. 切应力计算公式

b

I S F Z *Z Q =

τ

)y -4

h (2b S

22*

Z

= 切应力沿高度方向的分布规律：