跨期选择

(1 r )m1 m2 p2
c2 (1 r )p c p c (1 r )m m 1 1 2 2 1 2
p1 斜率 = (1 r ) p2
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
m1 m2 / (1 r ) p1
通货膨胀

假定通货膨胀率为 p 所以
p1 (1 p ) p2 .
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p
消费者储蓄
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p

例如, p = 0.2 表示 20%的通胀率,
p = 1.0 表示 100%的通胀率。
通货膨胀


假定p1=1 对结果没有任何影响，因此 p2 = 1+ p . 重新编写预算约束
p2 m2 p1c1 c 2 m1 1r 1r
1 p m2 c1 c 2 m1 1r 1r
终值


例如，假如r = 0.1 那么当期储蓄 $100 在第2 期末就会变成$110。 现在储蓄1美元所获得的下期价值称为那1美元 的终值。
终值

给定利率r， $1将来一期的终值为
FV 1 r .

给定利率r ，$m将来一期的终值为
FV m(1 r ).
现值



假设你现在可以储蓄以便在下期得到$1 那么你应该储蓄多少？ $1? 不是，如果你将 $1储蓄起来，那么在下期 你可以得到 $(1+r) > $1, 因此为了下期得到 $1 而现在支付$1 不划算。
跨时期选择
跨时期选择

前面我们讨论的是在同一个时期消费者对于不 同商品的选择。 除了需要选择不同的商品组合外，消费者还面 临着不同时间上消费多少的选择： 要么现在少消费、多储蓄，用作以后消费； 要么通过借贷当期多消费一点，那么将来就需 要减少消费来进行偿还。


现值与终值


我们以简单的金融算法开始。 仅考虑两期: 第1 、 2期 令r表示每期的利率。
消费者储蓄，通胀率上升或者 利率下降都会使预算线变得平 缓。
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
斜率=
1r (1 r ) 1 p
假如消费者储蓄那么他的储蓄 和福利由于低利率和高通胀率而 降低。
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p


m1和 m2分别表示消费者在第1、2期得到的收 入。 c1 和 c2 分别表示消费者在第1、2期的消费。 p1 和 p2 分别表示消费品在第1、2期的价格。
跨时期选择问题

跨时期选择问题: 给定收入水平m1 和 m2, 和消费品价格p1 和 p2, 什么事最优的跨期消费束 (c1, c2)?
跨期预算约束
c2
m2 0 m1 c1
0
跨期预算约束
c2
因此 (c1, c2) = (m1, m2) 是在 消费者既不储蓄也不借贷的 情况下的消费束。 m2 0 m1 c1
0
跨期预算约束


现在假设消费者第1期不消费;即, c1 = 0 消费 者的储蓄额为： s1 = m1 利率水平为r。 消费者第2的消费水平为多少？
m PV . 1r
现值

例如， 假设 r = 0.1 ，为了下期得到$1 ，你 当期最多愿意支付的金额为：

假如r = 0.2，为了下期得到$1 ，你当期最多 愿意支付的金额为：
1 PV $0 91. 1 01
1 PV $0 83. 1 0 2
Hale Waihona Puke Baidu
跨时期选择问题
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p
消费者借贷
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p

c 2 m2 (1 r )m1
跨期预算约束
m2
c2
收入禀赋的终值
( 1 r )m1
m2 0 m1 c1
0
跨期预算约束
m2
c2
( c1 , c 2 ) 0, m2 (1 r )m1
是在第1期收入都储蓄起来后的消费束
(1 r )m1
m2 0 m1 c1
m2 (1 r )(m1 p1c1 )

因此
p2c 2 m2 (1 r )(m1 p1c1 ).
跨时期选择
p2c 2 m2 (1 r )(m1 p1c1 )
也即 (1 r )p1c1 p2c 2 (1 r )m1 m2 . 这是预算约束的终值形式，因其所有项都是 第2期价值来表示。等价的现值形式为
跨期预算约束


第2期的收入为 m2. 第1期的储蓄所得本息和为： (1 + r )m1. 因此第2期可供消费者支配的收入为： m2 + (1 + r )m1. 因此第2期的消费额为：
跨期预算约束

第2期的收入为 m2. 第1期的储蓄所得本息和为： (1 + r )m1. 因此第2期可供消费者支配的收入为： m2 + (1 + r )m1. 因此第2期的消费额为：
分析工具：无差异曲线和预算约束 为了得到答案我们需要知道:


跨期预算约束 跨期消费偏好
跨期预算约束

起初，我们不考虑价格因素的影响，假定
p1 = p2 = $1.
跨期预算约束


假设消费者既不储蓄也不借贷。 Q: 消费者在第1期将消费多少? A: c1 = m1. Q:消费者在第2期将消费多少? A: c2 = m2.
为预算约束的终值形式，因其所有项都是在第 2期的值。它等价于
c2 m2 c1 m1 1r 1r
为预算约束的现值形式，因其所有项都是在第 1期的值。
跨期预算约束


现在把第1、2期的价格因素p1 和 p2加进来分 析。 这会对预算约束有什么影响？
跨时期选择


给定消费者禀赋(m1,m2) 和价格水平p1, p2 消 费者将会选择怎样的跨期消费束 (c1*,c2*)? 第2期的最大可能消费额为
c 2 m2 (1 r )(m1 c1 )
也即
c 2 (1 r )c1 m2 (1 r )m1 .

斜率
截距

跨期预算约束
m2
c2
( c1 , c 2 ) 0, m2 (1 r )m1
是第1期尽可能多的储蓄时的消费束
现值


Q:那么为了下期得到$1 ，那么现在要储蓄多 少钱？ A: 现期储蓄$m下期将会变成 $m(1+r), 因此 我们想得到满足如下方程的m值 m(1+r) = 1 也即, m = 1/(1+r), 在下期得到$1的现值。
现值

下期得到$1的现值为：
1 PV . 1r

下期得到$m的现值为：
0
m1 m2 / (1 r ) p1
跨期预算约束
(1 r )m1 m2 p2
c2
(1 r )p1c1 p2c 2 (1 r )m1 m2
p1 斜率 = (1 r ) p2
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
m1 m2 / (1 r ) p1
跨期预算约束
(1 r )m1
m2 0 m1
m2 ( c1 , c 2 ) m1 ,0 1r
是第1期尽可能多的借贷时 的消费束。
0
m2 c1 m1 1r
跨期预算约束
m2
c2
(1 r)m1
c 2 (1 r )c1 m2 (1 r )m1 .
0
跨期预算约束



现在假设消费者在第1期消费掉所有可能获得 的收入，因此 c2 = 0。 如果消费者以第2期的收入$m2 偿还，他在第 一期最多可以借到多少资金？ 令b1表示消费者在第1期所借到的资金金额。
跨期预算约束




在第2期的收入仅有$m2 来偿还在第1期所借负 债$b1 因此 b1(1 + r ) = m2. b1 = m2 / (1 + r ). 所以第1期的最高消费水平为：
p
r - p 0.30 0.25 0.20 0.10 -0.70
r
0.30 0.24 0.18 0.08 -0.35
比较静态分析

预算约束的斜率为
1 r (1 r) . 1 p

如果r下降或者通胀率 p上升，预算约束线 变得更加平缓 (二者都降低实际利率)。
比较静态分析
c2
1r 斜率 = (1 r ) 1 p
m2 (1 r )m1
第2期的最大可能消费量为
m2 (1 r )m1 c2 . p2
跨时期选择

类似地, 第1期的最大可能消费额为
1期最大可能消费量为
m2 m1 1r
m1 m2 / (1 r ) c1 . p1
跨时期选择

最终, 消费者在第1期消费 c1 单位的商品，其 在第1期的消费额为p1c1, 第1期储蓄额为m1 p1c1. 第2期的可支配收入为
斜率 = -(1+r)
m2 0 m1
m2 c1 m1 1r
0
跨期预算约束
m2
c2
c 2 (1 r )c1 m2 (1 r )m1 .
斜率 = -(1+r)
(1 r)m1
m2 0 m1
m2 c1 m1 1r
0
跨期预算约束
(1 r )c1 c 2 (1 r )m1 m2
跨期预算约束




在第2期的收入仅有$m2 来偿还在第1期所借负 债$b1 因此 b1(1 + r ) = m2. b1 = m2 / (1 + r ). 所以第1期的最高消费水平为：
m2 c1 m1 1r
跨期预算约束
m2
c2
( c1 , c 2 ) 0, m2 (1 r )m1
是第1期的收入全都储蓄起来后的消费束
(1 r )m1
m2 0 m1
收入禀赋的现值
0
m2 c1 m1 1r
跨期预算约束
m2
c2
( c1 , c 2 ) 0, m2 (1 r )m1
是第1期尽可能多的储蓄时的消费束
(1 r )m1
m2 0 m1
m2 ( c1 , c 2 ) m1 ,0 1r
即
通货膨胀
1 p m2 c1 c 2 m1 1r 1r
移项得
1 r m1 c2 c1 (1 p) m2 1 p 1 r 因此跨期预算约束线的斜率为 1 r . 1 p
通货膨胀


假设没有通货膨胀 (p1=p2=1) ，预算约束线 的斜率为-(1+r). 在有通货膨胀的情况下，预算约束线的斜率 为-(1+r)/(1+ p). 可用如下形式来表示
p2 m2 p1c1 c 2 m1 1r 1r
所有项都以第1期价值来表示
跨期预算约束
c2
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
跨期预算约束
(1 r )m1 m2 p2
c2
m2/p2 0 m1/p1 c1
0
跨期预算约束
(1 r )m1 m2 p2
c2
m2/p2 0 m1/p1 c1
是第1期尽可能多的借贷时的 消费束。
0
m2 c1 m1 1r
跨期预算约束

假定第1期消费掉c1 单位商品，其成本为$c1 ， 因此储蓄额为m1- c1。 第2期的消费将是
c 2 m2 (1 r )(m1 c1 )
跨期预算约束

假定第1期消费掉c1 单位商品，其成本为$c1 因此储蓄额为m1- c1。 第2期的消费将是
r 为实际利率。
1r (1 r ) 1 p
实际利率
1r (1 r ) 1 p
得
rp r . 1 p
对于低的通胀率 (p 0), r r - p . 因此通胀率越高，这个近似值越小。
实际利率
r 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.0 0.05 0.10 0.20 1.00