第9章 平面连杆机构的动力分析与平衡

该机构通过固定铰链A、D作用于机架上的力Fs 为：
Fsx F14 x F34 x Rs1x Rs 2 x Rs 3 x Fsy F14 y F34 y Rs1 y Rs 2 y Rs 3 y
由此可知：机构作用于机架上的力，仅与各构件产生的惯性
力有关，其大小为各活动构件的惯性力总和，平衡起来相对容易。
图解法和解析法两种，这里以解析法为主，首先介绍平面连杆机构 动态静力分析的基本思路，然后介绍机构的惯性力和惯性力矩的平 衡原理及具体措施。
9-1 平面连杆机构的动态静力分析
机构的动态静力分析，主要是对机构中每个构件进行力分析， 列出力平衡方程式，通过各构件间联立的线性方程组进行求解。
以曲柄摇杆机构为例，介绍具体的分析过程。 图示曲柄摇杆机构，已知各构件的长
由上式可知：两点动替代时，当选定一个替代点A后，另一个 替代点K也随之确定，不能自由选择。
② 两点静替代
由于静替代条件比动替代条件少一个方程，即：
m A mK m m A l A mK l K 0
上述方程中含有三个待定量 mA , mK , lK ，所以可以预先选定一个， 通常选定另一个替代点K的位置（如杆的另一端点B）这时可求得：
方向的惯性力，但产生了惯性力矩。
（3）加装平衡机构
（3）组合方法平衡
9-3 配重法进行机构惯性力的平衡
一、机构惯性力的完全平衡 确定配重的方法有：质量替代法、线性独立向量法等。 1、质量替代法 所谓质量替代法，就是将构件的质量简 化成几个集中质量。简化的条件是使简化前 后的力学效应相同，即：
（1）所有替代质量之和与原构件质量相
y 同理可以求出 yi , i , 形式同上
代入方程（1），得：
d 2 xi dx 2 mi i mi x mi i 0 d 2 d d 2 yi dy 2 mi i mi y mi i 0 d 2 d 2 2 dyi dx 2 d yi 2 d xi y x ) mi yi ( i ) 0 mi ( xi i yi i ) mi xi ( d 2 d d 2 d
lBS1 m1 m1 A l AB m l AS1 m 1 1B l AB lCS2 m2 m2 B lBC m lBS2 m 2 2C l BC lDS3 m3 m3C lCD m lCS3 m 3 3D l CD
机构的惯性力和惯性力矩的完全平衡，从理论上是可以做到的， 机构的平衡从实用角度上常进行惯性力和惯性力矩的部分平衡。
但往往会造成机构过于复杂或体积过于庞大而影响实际的工程应用，
一、平面机构的平衡原理
１、平面机构平衡的基本条件
以平面曲柄滑块机构为例：
1 n ①机构总质心位置为： xs mi xi m i 1 1 n y mi yi s m i 1
RSix mi asix RSiy mi asiy
各构件绕质心轴惯ຫໍສະໝຸດ Baidu力矩：M Six Jii （2）以各构件为对象，进行受力分析，画受力图
（3）列力平衡方程： 构件1：
F41x F21x Rs1x 0 F F R 0 21 y s1 y 41 y F41x r1 sin(1 1 ) F41 y r1 cos(1 1 ) F21x [l1 sin 1 r1 sin(1 1 )] F [l cos r cos( )] M M 0 1 1 1 1 s1 d 21 y 1
（1）
对于单自由度平面机构而言。若原动件转角参数为 。
则各构件质心位置应为 的函数，表示为： xi x( )
则
xi dxi dxi d dx i dti d dti d
yi y( )
2 dxi 2 d x1 i x d d 2
第九章 平面连杆机构的 动力分析与平衡
机构的动力分析是在机构运动分析的基础上，研究机构运动与 作用力之间的关系。研究内容主要包括运动副约束反力确定，加在 输入或输出构件上的平衡力矩或平衡力计算，机构总惯性力和惯性
力矩的平衡。
机构动力分析的方法，一般是按达伦伯原理将惯性力作为虚拟外
力加在有加速度的构件上，进行所谓的动态静力分析，具体方法有
如果用于驱动机构的电机与机构装在同一机架上，则机构通 过固定铰链加于机架上的各力以及电机的反座力矩共同构成了整 个机构对参考点的摆动力矩（也称惯性力矩），若选上图中的o点 为参考点，则：
M s 0 M d F14 x y0 F14 y x0 F34 x ( y0 l4 sin 4 ) F34 y ( x0 l4 cos 4 )
构件3：
F43 x F23 x Rs 3 x 0 F F R 0 43 y 23 y s 3 y F43 x r3 sin(3 3 ) F43 y r3 cos(3 3 ) F23 x [l3 sin 3 r3 sin(3 3 )] F [l cos r cos( )] M M 0 3 3 3 3 s3 r 23 y 3
两点替代的两种结果： ① 两点动替代 设构件AB长度为l ，质量为m， 质心位于S点。若选A点为其中之 一替代点，则另一替代点K必位于 AS的连线上。由三个替代条件得：
mA mK m mAl A mK lK 0 解得 mAl A 2 mK lK 2 J s
mlK mA l A lK ml A mK l A lK J lK S ml A
由此可见：机构作用于机架上的摆动力矩，不仅要考虑机构
的驱动力矩或生产阻力矩，同时它在机构的运动过程中随时间而
不断变化，因此想对其进行完全平衡非常困难。
9-2 平面连杆机构的平衡
平面连杆机构的平衡，主要是指机构总惯性力和总惯性力矩的
平衡。我们在《机械原理》课程中详细研究了转子的平衡问题，知
道转子的平衡可以通过调整转子本身的质量分布，使转子的中心主 惯性轴与转子的回转轴线重合，从而实现转子的惯性力和惯性力矩 为零的目的。但在平面连杆机构中，除了作定轴转动的构件外，还 有作平面复杂运动的连杆，以及作往复运动的滑块。这类构件的质
l mA B m l m l A m B l
上述两种替代的区别不言而喻。
在平面机构的惯性力平衡设计中，两点静替代更为实用和方便。
下面以平面铰链四杆机构为例，介绍其具体应用。
设活动构件1、2、3 的质量分别为m1、m2、 m3，其质心分别位于S1、S2、S3点。为了完全 平衡该机构的惯性力，将各活动构件的质量用 于是有：
构件2：
F32 x F12 x Rs 2 x 0 F F R 0 s2 y 32 y 12 y F12 x r2 sin(2 2 ) F12 y r2 cos(2 2 ) F32 x [r2 sin(2 2 ) l2 sin 2 F [l cos r cos( )] M 0 2 2 2 2 s2 32 y 2
同时满足上述三个条件的质量替代，称质量动替代。此时替代 质量产生的总惯性力和惯性力矩都与原构件相同。 只满足前两个替代条件的，称质量静替代。此时替代质量产生 的总惯性力与原构件相同，但惯性力矩不同。
质量替代到底选用几个替代质量，又放置何处？
工程实际中常选用2-3个，且替代点选在运动简单且运动容易确 定的点上（如构件的运动副处）。
要满足任意的 和 ，上式成立，只有满足下式：
d 2 xi 0, mi d 2 2 m d yi 0, i d 2
mi mi
dxi 0 d dyi 0 d
dx mi i 0 而满足 d
d 2 xi 时，一定满足 mi d 2 0
n x Fx mi i i 1 n F y mi i y i 1
③ 平衡条件：
Fx 0 mi i 0 x y Fy 0 mi i 0 y x M z 0 mi ( xi i yi i ) 0
度 li ，质量 mi ，转动惯量 J i ，质心位置 加在输入构件上的驱动力矩 ，加在输出 Md Si 构件上的生产阻力矩 及 与 Md Mr 的关系。 。求各运动副反力 Mr ，
分析过程：
Rsi 表示为： Rsi mi asi （1）各构件质心处的惯性力
用沿x、y轴的分量表示为：
质量静替代的方法代换到各杆两端的转动副处。
由此可得：A、B、C、D四点的替代质量分别为：
mB m1B m2 B mC m2 C m3C
心位置及其质心加速度时刻在变化，因此，构件的惯性力和惯性力
可以通过构件的质量调节来调整机构中各构件的质心位置，使机构 的总质心位于机架上，从而实现把惯性力和惯性力矩调整到机
矩也是变化的，不能靠构件自身的平衡实现整个机构的平衡。但是，
架上的目的。所以，机构平衡的实质是：调整各构件的质心位置， 使机构总质心位于机架上。
等，用公式表示：
m
i 1
n
i
m
（2）所有替代质量的总质心与原构件的质心重合：
m x
i 1
n
i i
mxs
m y
i 1
n
i i
mys
（3）所有替代质量对质心轴的转动惯量与原构件对质心轴的转
动惯量相同。
mi i mi ( xi 2 yi 2 ) J s
2 i 1 i 1 n n
，且 mi xi C
(常数)
同理可得： mi yi C
(常数)
因此，机构的平衡条件是：
mi xi C1 (常数) mi yi C2 (常数) m ( x y ) 0 i xi i i yi
惯性力平衡条件，也即机构总质心位于一固定点
其中
n i 1
xi , yi 为构件ｉ的质心坐标， mi 为构件ｉ的质量，
m mi 为活动构件总质量。
② 机构总惯性力和惯性力矩
总惯性力： F mas
用分量表示为：
Mx 0 总惯性力矩： My 0 n n M z mi ( xi i yi i ) J ii y x i 1 i 1
忽略各构件自身惯性力矩时的惯性力矩平衡条件
二、机构平衡方法 （1）加配重法（目的是调整机构的总质心位置）
如：
（2）采用机构的特殊布置
机构关于y轴对称，消除x方向的惯
性力，但增加了y方向的惯性力，减
小惯性力矩。
机构关于坐标原点对称，且围绕原 点均布错位排列，可完全消除机构 的惯性力和惯性力矩。
机构关于坐标原点对称，消除x、y
上述共9个方程，可解9个未知数F12 x , F12 y , F23 x , F23 y , F34 x , F34 y , F41x , F41 y , M d , M r 上述9个方程都是线性的，所以可以求解。 先由（2）、（3）求得： F12 x , F12 y , F23 x , F23 y , F43 x , F43 y 再由式（1）求得：F41x , F41 y 及M d (或Mr )