高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫

这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：5

14131211，，，，… 说明：

①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩

；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，，，，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始

依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨

-⎩≥

二、等差数列

(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1n n -或1(1)n n a a d n +-=≥

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，124971

16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670

3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）

(三)、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b

A +=

a ，A ，

b 成等差数列⇒2

a b

A += 即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

(四)、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m

a a d n m

-=

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； (五)、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22

n n n a a n n S na d +-=

=+n d

a ）（2n 2112-+=。(),(2

为常数B A Bn

An S n +=⇒{}n a 是等差数列 )

递推公式：2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列中，，那么

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( )

A ．13

B ．35

C ．49

D ． 63

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则=

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

项 项 项 项 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则

7.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )

3

132

--

．．B A C.31 D.32

8.（2009陕西卷文）设等差数列的前n 项和为,若,则

9．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n

S n

｝的

前n 项和，求T n 。

(六).对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ②

1

n n S a

S a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________

2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d

3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是2

25，则它的首项与公差分别是_______