电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理
电磁场中的梯度和散度的物理意义
电磁场中的梯度和散度的物理意义梯度和散度是电磁场中的重要概念，它们在描述电场和磁场的变化率和分布特性方面起着关键作用。
在本文中，我们将深入探讨电磁场中梯度和散度的物理意义，并从简单到复杂地解释这些概念，以帮助读者更好地理解这一主题。
梯度和散度是在描述电磁场中场量分布的特性时经常使用的数学工具。
梯度表示的是场量变化最快的方向和速率，而散度则表示的是场量在某一点上的增减程度。
通过理解这两个概念，我们可以更好地掌握电磁场的分布特性和变化规律。
让我们从梯度开始。
在电磁场中，梯度表示的是场量在空间中的变化率和方向。
在电场中，梯度可以告诉我们电场强度在空间中变化的快慢和方向。
如果在某一点上电场的梯度值很大，那么就意味着电场在该点附近的变化很快，而梯度的方向则指示了变化最快的方向。
这对于我们理解电场的分布和变化规律非常重要。
因为电场在空间中的分布不均匀，梯度可以帮助我们找到电场变化最快的地方，并指示电场的变化方向，这对于电场的调控和应用具有重要意义。
接下来，让我们来看看散度的物理意义。
在电磁场中，散度表示的是场量在某一点上的增减程度。
举个具体的例子，在磁场中，散度可以告诉我们磁感线在某一点上的发散或聚拢程度。
如果在某一点上磁场的散度值为正，那么就意味着磁感线在该点附近呈发散状态，而如果散度值为负，就表示磁感线在该点附近呈聚拢状态。
这对于我们理解磁场的分布和特性非常重要，因为磁场的散度可以帮助我们找到磁感线的密集程度和分布规律，对于磁场的调控和利用具有重要意义。
电磁场中的梯度和散度是描述场量分布和变化规律的重要工具。
通过梯度，我们可以了解场量在空间中的变化率和方向，从而掌握场量的分布特性；而通过散度，我们可以了解场量在某一点上的增减程度，从而把握场量的变化规律。
这些概念对于我们理解和利用电磁场具有重要意义。
在撰写完整的文章之后，我对这个主题或概念的个人观点和理解是，梯度和散度是电磁场中非常重要的概念，它们帮助我们深入了解场量的分布特性和变化规律，有助于我们更好地应用和利用电磁场。
场的概念—散度
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
求 A
例
ˆ （ A xy 2 x -10 x,y 10）
A
Ax Ay Az y2 x y z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
对于静电场 E 而言： E r 正比于 r 点处 E 的通量源密度， 即 r 点处的电荷密度。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
7.有源(散)场和无源(散)场：
• 有源场（有散场）：
散度值不为零的矢量场，存在通量源，
矢量线有端点。 •无源场(无散场)：
正交曲线坐标系中：
( Fu2 h1h3 ) ( Fu3 h1h2 ) 1 Fu1 h 2 h 3 F h1h2 h3 u1 u2 u3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
6.散度的物理意义： Ar 正比于 r 点处 A 的通量源密度
Fx Fy Fz 直角坐标系中： F x y z
柱坐标系中： 球坐标系中：
1 ( Fr r ) 1 F Fz F r r r z
1 ( r 2 Fr ) 1 ( F sin ) 1 F F 2 r r r sin r sin
n2
F
n1
V2
F dS F dS F dS F dS F dS
S S1 S2 V1 V2
x
o y
对区域V=V1+V2的外闭合表面的 高斯积分等于对 V1 、 V2 的外闭 合表面高斯积分的代数和.
电磁场与电磁波公式整理
电磁场与电磁波公式整理第一章A：矢量恒等式()()()A B C B C A C A B ×=×=×i i i ()()()A B C B A C C A B ××=−i i ()uv u v v u ∇=∇+∇ ()uA u A A u ∇=∇+∇i()0U ∇×∇=()0A ∇∇×=i 2()U U ∇∇=∇i2()()A A A ∇×∇×=∇∇−∇iVSAdV A dS ∇=∫∫i iVCAdS A dl ∇×=∫∫in V S AdV AdS e ∇×=×∫∫ n V S udV udS e ∇=∫∫n S C udS udl e ×∇=∫∫ 2)V S u v u dV udSnv v ∂+∇∇=∇∂∫∫i22(()VSuu v v dV uv dS n nv u ∂∂−=−∇∇∂∂∫∫ B：三种坐标系的积分元以及梯度、散度、旋度、和拉普拉斯运算⑴直角坐标系位置矢量微分元：x y z dr dx dy dz e e e =++面积元：,,x y z d dydz d dxdz d dxdy s s s === 体积元：dv dxdydz = x y z u u uu e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ y x z A A A A x y z∇=∂∂∂++∂∂∂i x yz A x y z A A A x yz e ee∂∂∂∇×=2222222u u u u x y z ∇∂∂∂=++∂∂∂()uA u A u A ∇×=∇×+∇×()A B B A A B∇×=∇×−∇×i i i ()()()A B A B B A A B B A ∇=∇×+∇+×∇×+×∇×i i i ()()()()A B A B B A B A A B ∇××=∇−∇+∇−∇i i i i⑵圆柱坐标系位置矢量微分元：z dr d d dz e e e ρφρρφ=++面积元：,,z d d dz d d dz d d d s s s ρφρφρρρφ=== 体积元：dv d d dz ρρφ=z u u u u z e e e ρφρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂ ()()()11A A A z A z ρρρφρρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂i1z e e e A z A A Az ρφρρφρρφ∂∂∂∇×=∂∂∂22222211()u u u u z ρρρρρφ∂∂∂∂=++∇∂∂∂∂⑶球坐标系位置矢量微分元：sin r r r dr dr d d e e e θφθθφ=++面积元：2sin ,sin ,r d d d d r drd d rdrd r s s s θφθθφθφθ=== 体积元：2sin dv drd d r θθφ=1sin ru u u u r r r e e e θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂22111()(sin )sin sin r A r r r r rA r A A φθθθθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂i2sin 1sin sin re re r e A r ArrA r A r θφθθφθθθφ∂∂∂∇×=∂∂∂ 22222222111()(sin sin sin u u uu r r r r r r θθθθφθ∇∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ C：几个定理散度定理：v s FdV F dS ∇=∫∫i i斯托克斯定理：s c F dS F dl∇×=∫∫i i亥姆霍茨定理：()()()F r u r A r =−∇+∇×格林定理：n V S FdV F dS e ∇=∫∫i i高斯定理和环路定理：第二章表一：电荷和电流的三种密度表二：电场和磁场表四：介质中的电（磁）场感应强度:电磁感应定律S in B dS d d dt dt ϕε=−=−∫i in C in E dl ε=∫i S C S d Bd dt tE dl ∂∂=−∫∫i i 积分形式 1.如果回路静止则有：S C S Bd tE dl ∂∂=−∫∫i BE t∂∇×=−∂ 2.导体以速度v 在磁场中运动 ： ()CC v B dl E dl ×=∫∫i i3.导体在时变场中运动：()CS S B d tC v B dl E dl ∂∂−×=+∫∫∫i i i表五：麦克斯韦方程组：。
电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理yPPT课件
P
6
3) 在广义坐标系中V的梯度为：
dV ( V)dl
dV
V l1
dl1
V l2
dl2
V l3
dl3
dl aˆu1dl1 aˆu2dl2 aˆu3dl3 aˆu1 (h1du1)aˆu2 (h2du2)aˆu3 (h3du3)
dV
V (
l1
aˆu1
V
l2
aˆu2
V
l3
aˆu3
)(aˆu1dl1
5
即：
dV GradV dn an
于是
沿着 dl 的方向导数为：
dV dV dn dV cos
dl dn dl dn
V n
aˆn aˆl
V
aˆl
该式表示V沿着al方向的空间增长 率等于V的梯度在该方向上的投影 （分量），也可写成：
dV ( V)dl
V
dV dn
an
l
nˆ
dn cos dl
直角坐标系
divAA=Ax Ay Az x y z
15
柱坐标系
divA
A=1 r
(rrAr
)
A
(rAz z
)
1 (rAr) 1 A Az
r r r z
球坐标系
divAA=R2s1in(ARR R 2sin)(A Rsin)(RA) =R 12(R 2 RAR)Rs1in(Asin)Rs1inA
aˆu2dl2
aˆu3dl3)
(V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3
)dl
V
V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
04第二章散度与旋度
s in 0
e
e cos cos
图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v
v
A ds
面积分与体积分的相互转换 可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋 度
矢量函数的旋度
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写 ：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散
度
矢量函数的散度 高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数
用解析法证明（例）：
ex
e
c o s e s in
e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S
圆柱坐标系中 :
e 1 A
e
电磁场与电磁波（杨儒贵_版）课后思考题答案
电磁场与电磁波（杨儒贵_版）课后思考题答案电磁场与波课后思考题1-1 什么是标量与⽮量?举例说明.仅具有⼤⼩特征的量称为标量.如:长度,⾯积,体积,温度,⽓压,密度,质量,能量及电位移等.不仅具有⼤⼩⽽且具有⽅向特征的量称为⽮量.如:⼒,位移,速度,加速度,电场强度及磁场强度.1-2 ⽮量加减运算及⽮量与标量的乘法运算的⼏何意义是什么?⽮量加减运算表⽰空间位移.⽮量与标量的乘法运算表⽰⽮量的伸缩.1-3⽮量的标积与⽮积的代数定义及⼏何意义是什么? ⽮量的标积: ,A ⽮量的模与⽮量B 在⽮量A ⽅向上的投影⼤⼩的乘积.⽮积: ⽮积的⽅向与⽮量A,B 都垂直,且由⽮量A 旋转到B,并与⽮积构成右旋关系,⼤⼩为1-4 什么是单位⽮量?写出单位⽮量在直⾓坐标中的表达式. 模为1的⽮量称为单位⽮量.1-5 梯度与⽅向导数的关系是什么?试述梯度的⼏何意义,写出梯度在直⾓坐标中的表⽰式.标量场在某点梯度的⼤⼩等于该点的最⼤⽅向导数, ⽅向为该点具有最⼤⽅向导数的⽅向.梯度⽅向垂直于等值⾯，指向标量场数值增⼤的⽅向在直⾓坐标中的表⽰式: 1-6 什么是⽮量场的通量?通量值为正,负或零时分别代表什么意义?⽮量A 沿某⼀有向曲⾯S 的⾯积分称为⽮量A 通过该有向曲⾯S 的通量,以标量表⽰，即通量为零时表⽰该闭合⾯中没有⽮量穿过. 通量为正时表⽰闭合⾯中有源;通量为负时表⽰闭合⾯中有洞.1-7 给出散度的定义及其在直⾓坐标中的表⽰式. 散度：当闭合⾯S 向某点⽆限收缩时，⽮量A 通过该闭合⾯S 的通量与该闭合⾯包围的体积之⽐的极限称为⽮量场A 在该点的散度。
直⾓坐标形式： 1-8 试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分别表⽰什么意义?物理概念：通过包围单位体积闭合⾯的通量。
散度为正时表⽰辐散,为负时表⽰辐合,为零时表⽰⽆能量流过.1-9 试述散度定理及其物理概念.散度定理:建⽴了区域 V 中的场和包围区域V 的闭合⾯S 上的场之间的关系θcos B A BA B A B A B A z z y y x x =++=?z y x z y x z y x B B B A A A e e e B A =?θsin B A e z θsin B A a e zy x e e e γβαcos cos cos ++=z y x e ze y e x ??+??+??=??=S S A Ψ d VS V Δd lim div 0Δ??=→S A A zA y A x A A div z y x ??+??+??= A ??=物理概念: 散度定理建⽴了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合⾯ S 上的场之间的关系。
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处⽅饶克谨⾼等教育出版社2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的⼀种极限情况，可将它看做⼀个体积很⼩⽽电荷密度很的带电⼩球的极限。
当带电体的尺⼨远⼩于观察点⾄带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已⽆关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中⼼上。
即将带电体抽离为⼀个⼏何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常⽤到哪⼏种电荷的分布模型？有哪⼏种电流分布模型？他们是如何定义的？常⽤的电荷分布模型有体电荷、⾯电荷、线电荷和点电荷；常⽤的电流分布模型有体电流模型、⾯电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极⼦的电场强度⼜如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平⽅成反⽐；电偶极⼦的电场强度与距离r 的⽴⽅成反⽐。
2.4简述和所表征的静电场特性表明空间任意⼀点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是⽆旋场。
2.5 表述⾼斯定律，并说明在什么条件下可应⽤⾼斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
关，即在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应⽤⾼斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
2.6简述和所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合⾯的磁感应强度的通量等于0，磁⼒线是⽆关尾的闭合线，表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产⽣恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可⽤该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
如果电路分布存在某种对称性，则可⽤该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
2.8简述电场与电介质相互作⽤后发⽣的现象。
在电场的作⽤下出现电介质的极化现象，⽽极化电荷⼜产⽣附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度⼜什么关系？单位体积的点偶极矩的⽮量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为极化强度P 与极化电荷⾯的密度2.10电位移⽮量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么电位移⽮量定义为其单位是库伦/平⽅⽶（C/m 2）2.11 简述磁场与磁介质相互作⽤的物理现象？ερ/=??E 0=??E ερ/=??E 0=??E ??V S ε00=??B JB 0µ=??0=??B JB 0µ=??CP =-p ρnsp e ?=P ρEP E D εε=+=0在磁场与磁介质相互作⽤时，外磁场使磁介质中的分⼦磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产⽣附加磁场，从⽽使原来的磁场分布发⽣变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产⽣的磁感应强度B 0 和磁化电流产⽣的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度⼜什么关系？单位体积内分⼦磁矩的⽮量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度：磁化电流⾯密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与⾮均匀媒质，线性媒质与⾮线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？均匀媒质是指介电常数或磁介质磁导率处处相等，不是空间坐标的函数。
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
电磁场与电磁波复习资料
一、名词解释1.通量、散度、高斯散度定理通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。
（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。
高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。
2.环量、旋度、斯托克斯定理环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。
其物理意义随A 所代表的场而定，当 A 为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。
旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。
斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。
3.亥姆霍兹定理在有限区域 V 内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合面S 上矢量场的分布）唯一的确定。
说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场力：电场对电荷的作用称为电力。
磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。
洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。
5.电偶极子、磁偶极子电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。
磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。
6.传导电流、位移电流传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。
位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。
7.全电流定律、电流连续性方程全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。
电流连续性方程：8.电介质的极化、极化矢量电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。
电磁场与电磁波散度旋度
第一章矢量分析矢量场和标量场三种常用的坐标系矢量的基本运算标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度亥姆霍兹定理* 标量场的梯度是一个矢量场；* 当a l的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。
* 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
矢量场的散度✧闭合面的通量✧散度的定义✧散度的性质✧高斯散度定理矢量场的矢量线为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。
矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。
线的疏密代表场的大小。
一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。
电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。
x y z d F F F dx dy dzF l 求出该微分方程的通解可绘出矢量线zy x F F F式中,C1和C2为任意常数，可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点向空间发散的径向辐射线，这一簇矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布状况。
矢量场的通量面元通量 反映矢量通过面元的量（如：水量） 对于开表面, n 与表面的闭合曲线构成右手螺旋关系。
对于闭合表面, n 为外法向单位矢。
矢量与n 成锐角，通量为正cos d d AdsA s 将曲面的一个面元用矢量d S 来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为d S ，即d S =n dS ,n是面元法线方向的单位矢量。
矢量场的通量矢量的通量ΦS S d dSA S A n 通量的意义：通过曲面S 的量（对于流速场：水流量） 通量是个标量。
矢量场的通量闭合面通量Φ的物理意义对于封闭曲面S ，如果 >0，表示净通量线从曲面S 的内部穿出曲面，因为通量线一定是通量正源发出的，所以根据能量守恒原理，可以判断曲面S 内必然包含发出通量线的正源。
反之，如果 <0，则曲面内必然包含吸收通量线的负源。
如果 ＝0，则曲面内不包含净源。
因此，通量可以是封闭曲面内通量源的判据。
电磁场与电磁波习题参考答案
电磁场与电磁波习题参考答案(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：S VFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（ × ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ）9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
电磁场与电磁波公式总结 谢处方版
点电荷 q 产生的电场的电位函数： （r）
Q
q C 4 r r
（3.1.10）P91，C 为任意常数
（P） Edl （3.1.15）P92，Q：固定的电位参考点，该固定点电位为零，P：所求点电位。
P
2. 静电位的微分方程
2（r）
(r )
3.1.1 导体系统的电容
电磁场与电磁波 公式总结
Summary By Hawking Zeng 对应教材：《电磁场与电磁波（第 4 版）》 谢处方，饶克谨
符号、变量、常数： 符号 名称 电荷体密度 传导电流密度 介电常数 单位 C/m
3
符号 J γ B
名称 电流密度矢量 传播常数 磁感应强度
单位 A/m2
（r）
ε ε0
18. 电介质中高斯定律的积分形式： q D dS
S
V
dV
（2.4.12）P53
19. 电介质的本构关系： D(r ) 0 E(r ) e 0 E(r ) 0 E(r ) P (r ) r 0 E(r ) E(r ) ， r 0 称 为电介质的介电常数 2.4.2 磁介质的磁化 1. 磁化电流： I M 2. 磁化电流： I M 磁场强度
均匀导电媒质（σ=常数）中的电位满足拉普拉斯方程：
0
2. 边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 1）恒定电场与静电场的比拟 均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部） 基本方程 均匀电介质中的电场（ρ=0 的区域）
U E dl 0
C
E dl 0
C
I J dS 0
C
B dS (v B)dl S t C B ( v B) t
浅谈电磁场理论中梯度、散度和旋度的教学
`/&- &"%"'. %'
-'.
4右`/- &"%"'. 0T-右
`[ &b/&- &"%"'. ]%b/%- &"%"'. ]'b/'- &"%"'. ] 0- &b%'.
`/&- &"%"'. %'
-$%.
在本模型中"穿过左右两个有向面元的流体方向与各
自的有向面元- 的法向方向0b`c&b大体一致$ 因此"根据
布函数!-&"%"'."沿三个坐标轴方向各自的空间变化率$ 三梯度模型 在电磁场理论中"标量场的梯度和矢量场的散度及旋
度的物理意义一直是教学的重点和难点$ 基于上一小节
点处电场的极化方向$ 每个电场分量的下角标)&#)%和 )'也表示相应的极化方向$ 每个电场分量中括号内的自 变量表示该电场分量所在的空间位置$ 比如)&- 表 &"%"'. 示在空间6-&"%"'.点处的电场沿&方向极化的分量$
科教论坛
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科技风 年 月
浅谈电磁场理论中梯度散度和旋度的教学
吴微微4徐延林4何 艳
国防科技大学电子科学学院湖南长沙
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19
柱坐标系
1 (rAr ) A (rAz ) divA A= r r z 1 (rAr ) 1 A Az r r r z
球坐标系
1 divA A= 2 R sin
( AR R 2 sin ) ( A R sin ) ( RA ) R 1 ( R 2 AR ) 1 ( A sin ) 1 A = 2 R R R sin R sin
C为常数
梯度运算符合以下规则：
C 0 C C ( ) ( ) ( / ) ( ) / 2 F ( ) F ' ( )
10
Example 2-16(P30)
11
12
例 3
2) 梯度 (dv/dn)an
标量的梯度定义为一矢量，其大小为标量的空间最大变化率，其方 向为标量增加率最大的方向。
6
记为
GradV
dV an dn
习惯记为： V
dV an dn
沿dl 的方向导数是
dV dV dn dV cos dl dn dl dn V ˆn a ˆl V a ˆl a n
div A
V 0
lim
S
A dS v
分子表示流出的净通量，它是对包围该体积的整个表面S的积分。式 子是对div A的一般定义，它是一个标量，当A本身变化时，其大小 可能随点的位置而变化。该定义对任何坐标系都适用，当然div A的 表达式取决于所选的坐标系。
17
S
A dS
a source and a sink
V
divAdV
S
A dS
该恒等式称为散度定理。该定理适用于封闭面S所围的任何体积V。ds的 方向总是外法线方向，垂直于表面ds且方向远离体积。
22
Example 2-19(P35)
23
24
例
ˆR kR （例2-20，P35-36） 已知 F a
R2 R1
判断散度定理是否适用于图中所示 的壳层区域。壳层的封闭面是以原 点为中心而半径分别为 R=R1 和 R=R2 （R2>R1）的两个球面。 解 在外表面上：
ˆr r 2 a ˆz 2z Aa
1 (rFr ) 1 F Fz F r r r z
z 4
r 5
ˆr r 2 a ˆz 2 z Aa ˆs a ˆr dsr a ˆ ds a ˆ z dsz ds dsa ˆr rd dz a ˆ drdz a ˆ z rdrd ds a ˆ z rdrd dstop a ˆ z rdrd dsbottom a ˆr rd dz dsside a
同理可得
1 R ' 3 R R
14
2. 矢量场的散度
A
B
矢量场 通线或流线 矢量的通量 电力线
A dS
S
15
如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面 包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：
S
E dS
q
0
高斯定理
闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量· · · · · ·
O
源点 P’ (x’,y’,z’) 场点 P (x, y, z) '
r
R (r r ' )
r
y
ˆx ( y y ')e ˆy ( z z ')e ˆz x R ( x x ')e
R R ( x x ')2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
bottom
bottom
2 A dstop 2 z rdrd 2 2 4 1 r 2
2 4 r 2
top
side
side
2
3
3
2
s
27
ˆr r 2 a ˆz 2 z Aa 1 (rFr ) 1 F Fz F r r r z 1 (r r 2 ) 1 0 2 z r r r z 1 2 3r 2 3r 2 r
S
z0
V
div AdV
A dS
26
z 4
r 5
z 0
A ds
s top
top
A ttom
side
A ds side
5 0
A ds 2 z rdrd 0 A ds r rd dz r 2 4 8 25 5 A ds r 2 4 2 4 r
电磁场与电磁波
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@ 办公室：老1教1403
复习
1. 坐标系间的转换
2. 矢量函数的积分
2
Main topic
1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理
3
1. 标量场的梯度
1 1 1 1 ˆx e ˆy e ˆz e x R y R z R R 1 ˆx ( y y ')e ˆy ( z z ')e ˆz ] 3 [( x x ')e R R 3 R
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
5
Q1
V
q 4 0 R
l1
ln
P
Q
Q2
l2
1) 方向导数dv/dl
f f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) lim l l 0 l l x 2 y 2 z 2，三维
ˆR R22 sin d d R R2 , d S a
在内表面上：
ˆR R12 sin d d R R1 , d S a
外表面
F dS
2
0
0
(kR2 )R2 2 sin d d 4 kR23
外表面
F d S
2
0
0
(kR1 )R12 sin d d 4 kR13
可以很方便地将直角坐标系中的 ▽看做矢量微分算子：
ˆx a ˆy a ˆz a x y z
但在其他坐标系中不能这样定义。
9
圆柱坐标系
f f f ˆr ˆ ˆz f a a a r r z
球坐标系
f f f ˆR ˆ ˆ f a a a R R R sin
13
例 解
及 ' 计算 R R 1 1
z
ˆx ˆy e ˆz e e y z x
ˆx ˆy ˆz ' e e e x' y ' z '
散度运算规则
( A B) A B (C A) C A ( A) A A
20
C为常数
Example 2-17(P33)
21
3. 散度定理
前面的章节中将矢量场的散度定义为每单位体积流出的净通量。直观地 认为矢量场的散度的体积积分等于该矢量穿过包围该体积封闭面流出的 总通量，即 ，
Q
y
x
x
f ( x, y, z ) f ( x, y y, z ) f ( x, y, z ) lim y 0 y y
P
标量场f ( x, y, z )延l 方向的方向导数表示f沿该方向的变化率 f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l x 2 y 2，二维 l l 0 l
18
the net outward flow
2)坐标系中散度A的表示方法
1 (h2 h3 Au1 ) (h1h3 Au 2 ) (h1h2 Au 3 ) divA A h1h2 h3 u1 u2 u3
直角坐标系
Ax Ay Az divA A= x y z
根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的 正负特性，以及存在与否。 5C -2C 3C 4C
5C
通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性， 如何显示源的特性呢？？？
16
1) 散度
矢量场A中某点的散度定义为包围该点的体积趋于零时，单位体积内 流出的A的净通量，缩写为div A:
V V V ˆu1 ˆu2 ˆu3 V a a a l1 l2 l3 V V V ˆu1 ˆu2 ˆu3 V a a a h1u1 h2u2 h3u3
8
在直角坐标系中
V V V ˆx ˆy ˆz V a a a x y z ˆx a ˆy a ˆ z )V ( a x y z
表明 V 在 al 方向上的空间增长率等于 V 的 梯度在 al方向上的投影（分量）。也可以 写作
l
ˆ n
P
dn cos dl
dV
(V ) dl
7
3) 在坐标系中V的梯度的表示
dV
(V ) dl
V V V dV dl1 dl2 dl3 l1 l2 l3 ˆu1 dl1 a ˆu2 dl2 a ˆu3 dl3 a ˆu1 (h1du1 ) a ˆu2 (h2 du2 ) a ˆu3 (h3du3 ) dl a V V V ˆu1 ˆu 2 ˆu3 ) (a ˆu1 dl1 a ˆu2 dl2 a ˆu3 dl3 ) dV ( a a a l1 l2 l3 V V V ˆ ˆ ˆu3 ) dl ( au1 au2 a l1 l2 l3