线性常系数非齐次递推关系
线性常系数递推关系
A B(n 1) r n xn , n0
C Dn r n xn, n0
因此通项表达式为： an C Dn r n ,
其中常数C, D可以利用初始条件来确定。
例如，若已知a0, a1，则 a0 C, a1 (C D)r D a1 r a0.
例1 求解递推关系：
an an-1 12an-2 0, a0 3, a1 26.
类似的，令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
xk (ak C1ak1 C2ak2 L Cka0 ) 0 xk1 (ak1 C1ak C2ak1 L Cka1 ) 0
LL
__________ __________ ________ xn(an C1an1 C2an2 L Ckank) 0
L (an ban-1 can-2) xn ...
a0 (a1 ba0)x.
因此有
G(x)
a0 (a1 1 bx
ba0 ) cx 2
x
.
与分母相对应的方程 x2+bx+c=0 称为特征方程，它
的根
b b2 4c
r 1,2
2
称为特征根。
这样G(x)可以表示为：
G(x)
a0 (a1
1 1x 1 2x
1 k x
A1 (1 x)n A2 (2 x)n L Ak (k x)n
n0
n0
n0
( A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
)
x
n
,
n0
因此通项表达式为：
an
A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
线性常系数齐次递推
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
浅谈常系数非齐次线性方程特解的设解规律与教学
乘以 x ,得 y 3 = ( ax + b) x2e- 3 x x ,这就是所要设的特解。将 y 3 = ( ax + b) x2e- 3 x x ,代入原方程解得 a
=
1 6
,b
=
0 ,从而
y3
=
1 6
x3e- 3 x 。
41 求 f ( x ) 正 、余弦的线性函数时 ,特解设为同类正 、余弦的线性函数 。
例 1 求微分方程 y (4) - 3 y″+ 2 y′= 2 x 的一个特解 。
解 对应的齐次方程的通解为 Y = C1 + ( C2 + C3 x ) e x + C4e - 2 x 。这里 f ( x ) 为一次函数 2 x , 故设特解为一次函数 ax + b 。显然 , b 与 C1 可以合并 ,将所设通解乘以 x 得 y 3 = x ( ax + b) ,已不
我们将分情况举例详细说明按上述规律设解的过程 。由于这种设解无须用到方程本身以外的信息 ,
非常直观明了 ,因此实际解题时 ,经与对应的齐次方程的通解比较 , 按以上规律直接写出最终所设
特解即可 。
一 、f ( x ) 为简单函数的情形
11 当 f ( x ) 为 n 次多项式时 ,特解设为 n 次多项式 。
例 8 求微分方程 y″- 6 y′+ 5 y = 4e x + 125 x 2 的一个特解 。 解 对应的齐次方程的通解为 Y = C1 ex + C2 e5 x . 这里 f ( x ) 是指数函数与二次函数之和 ,故 设特解为指数函数与二次函数之和 ae x + bx 2 + cx + d . 显然其中指数函数部分含于 Y ,将其乘以 x 得 y 3 = axe x + bx 2 + cx + d 。代入原方程得 a ( x + 2) e x + 2 b - 6[ a ( x + 1) e x + 2 bx + c] + 5[ axe x + bx2 + cx + d ] = 4e x + 25 x2 , 于是求得 a = - 1 , b = 25 , c = 60 , d = 62. 所以 y 3 = - xe x + 25 x2 + 60 x + 62。
15_总复习 (1)
————\/———— ——————— /\ ————————\ ／
k-1个相同的盒壁
则所求计数为C(k+r-1,r). 隔板法
多项式系数
8
(2) 二项式系数和
(x+y)n展开式的系数和是:
展开的过程相当于两个不同的元素取n个的
有重复的排列。
也相当于把n个不同的球放进两个不同的盒 子中。 这种情况对应着指数型母函数是？
(n r , cr 0, f (n) 0)
它的通解是齐次通解与特解之和，即 * un un un
是递推关系(1)所对应的齐次递推关系 其中un un c1 un1 ... cr unr 0
* 的通解, un 是(1)的特解.
故问题的关键是求特解. 如何求特解,一般来说,没 有普遍的解法.在某些简单的情形可用待定系数法求之.
例5. 求递推关系 an 5an-1 6an-2 3n 的特解.
2
解：先假设特解为 an p1n2 p2 n p3 ,
其中p1 , p2 , p3待定. 将an 代入递推关系化简得：
12 p1n2 (-34 p1 12 p2 )n (29 p1 -17 p2 12 p3 ) 3n2
15:07 3 / 29
1.27. 6 位男宾， 5 位女宾围一圆桌而坐， (a) 女宾不相邻有多少种方案？(b) 所 有女宾在一起有多少种方案？(c) 一女宾 A 和两位男宾相邻又有多少种方案？ 解： (a) 先将 6 位男宾作圆排列有 Q6 5! 120，
6
再将 5 位女宾插入 6 个空格，每格一人，共有 6×5×4×3×2×1＝720， 按乘法原理：有 120×720＝86400. (b) 5 位女宾在一起， 可看作一人， 与 6 位男宾一起， 先做圆排列， 有 Q7 =6!=720， 然后 5 位女宾内部作线排列，有 5!＝120. 所以，总方案为：720×120＝86400. (c)先将 6 个男宾做圆排列，共有 Q6 =120 种方法。再将女宾 A 随便插入 6 个 空格中的一个，有 6 种方法。然后将剩下的 4 个女宾插入 5 个空格中，但每个空格 不限人数， 故相当于将 4 个有区别的球放入 5 个不同的盒子中的放球方案(可重组合)， 共有
用升阶法求常系数非齐次线性递推关系的特解
用升阶法求常系数非齐次线性递推关系的特解黄纯洁【摘要】This article makes use of the sequence difference, and transforms the invariable coefficient number of times different linear recursion sequence to the coefficient inhomogeneous linear difference equation （ qo （qo△k＋i＋q1△k＋i-1…＋qk△i）an=△if（n）, The fourf（n）=gm （n）,f（n）=qngm（n）,f（n）=qngm（n）cosβn,f（n）=qkgm（n）sinβn） are discussed under constant coefficient inho-mogeneous linear difference equation, thus obtains the special solutions of coefficient inhomogeneous linear recursion sequence, which is called the method of increasing order.%利用数列的差分算子和移位算子，将常系数非齐次线性递推关系转化成为常系数非齐次线性差分方程（qo△k＋i＋q1△k＋i-1…＋qk△i）an=△if （n），并将f（n）=gm（n），f（n）=qngm（n），f（n）=qngm（n）cosβn，f（n）=qkgm（n）sinβn）这四种类型的常系数非齐次递推关系转化为相应的差分方程，从而得到求常系数非齐次线性递推关系特解的简易方法——升阶法。
【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2011(021)006【总页数】4页(P67-69,74)【关键词】差分方程;差分算子;移位算子;特解【作者】黄纯洁【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言设k阶常系数非齐次线性递推关系形式为p0an+k+p1an+k-1+…+pkan=f(n)(p0,pk≠0),(1)。
3.3常系数线性非齐次递推关系
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)＋F2(n)
3.3.2 举例
a n 3a n 1 3 2 n 4n 例3.3.3 解递归 a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1 (☆)
(☆)的特征方程x－3＝0 (☆)的特征根 x＝3
根，所以得(＊)的一个特解形如
an＝n1(p1n＋p0)1n(p1,p0为待定系数) 代入a1＝1，a2＝3得
p1 p 0 1 2(2 p1 p 0) 3
1 p0 2 p 1 1 2
3.3.2 举例
故得(＊)的一个特解
1( 1 an＝n 2
3.3.2 举例
例3.3.1 解递归 a n a n 1 n
a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1 (☆) (☆)的特征方程x－1＝0 (☆)的特征根 x＝1
(☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数)
3.3.2 举例
(2)由于F(n)＝n＝n×1n且s＝1是(☆)的1重
3.3.2 举例
(3) (＊)的通解
an＝a×3n－6×2n＋2n＋3(a为任意常数) (4)代入a1＝8得a＝5。故求得递归的解 an＝5×3n－6×2n＋2n＋3
作 业
1)1条直线将平面划分为2个部分，2条直线将 平面最多划分为4个部分， …，则n条直线 将平面最多划分为几个部分? 2)小兔子慧慧有12棵萝卜，它每天至少要吃1 棵，则当萝卜吃完之后，不同的吃萝卜的 情形有多少种？ 3)有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点， 小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确 定的不同直线最少有多少条？
4.2_求解线性递推关系
a2 = ������������,������ +2������������,������ +4������������,������ =-1,∴ ������������,������ =3, ������������,������ = −������
4.所得������������,������ ������������,������ ������������,������ 值代入第2步，得an =(1+3n-2n2)(-1)n
������
练习P190 2 c)d)e)f)g)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
特征根相等的情况：
定理2 c1 和c2 是实数, c2 ≠0。 r2 – c1r – c2 = 0 只有一个根：������������ 当 ������������
0
������������n
0
(n = 0,1,2,… ，������������ 和 ������������ 是常数)
练习P190 2 a)b)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
下面推广：求大于2阶的线性齐次递推关系的解。 它的特征根也有两种情况：不相等，有重根。
特征根不相等的情况：
定理3
c1, c2 ,…, ck是实数。 rk – c1rk−1 –⋯ – ck = 0有k个不等的根： r1, r2, …, rk。
当
n
(n = 0,1,2,… ，α1, α2,…, αk是常数)时，序列 {an} 是递推 关系an = c1an−1 + c2an−2 + ….. + ck an−k的解。
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
例. 求递推关系an = 6an−1 -11an−2 + 6an−3的解，其中初 始值a0 = 2 , a1 = 5，a2 = 15 。 解：1.求其特征方程： an =rn代入，得rn –6rn-1+11rn-2 – 6rn-3 =0，除以rn-3得 r3 −6r2 +11r −6= 0.该方程的根为r=3 ,r=2和r=1 n 2.根据定理3公式 an = ������ 1 ������������ +������ 2������������ + ������ 3������������ 3.由已知的初始值 a0 = 2 , a1 = 5, a2 = 15代入上式得 a0 =������ 1 +������ 2 +������ 3 = 2 ,a1 =������ 1 +������������ 2 +3������ 3 =5, a2 =������ 1 +������������ 2 +9������ 3 =15,∴������ 1 =1，������2=-1, ������ 3 =2 4.所得������ 1 、������ 2 、������ 3值代入第2步，得an =1-2n + 2∙3n.
chap7递推关系生成函数
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
关于常系数非齐次线性递推关系特解的注记
关于常系数非齐次线性递推关系特解的注记唐善刚【摘要】By using algebraic properties of one-variable polynomial multiple root and block matrix method of solving non-homogeneous linear equations,it is proved that a class of constant coefficient non-homogeneous linear recurrence relation only depends on the computational formula of constant coefficient's particular solution and its proof.These results expand the corresponding ones in the existing literatures.Two examples for the application of particular solution of constant coefficient non-homogeneous linear recurrence relation are given in the final part for the purpose of proving the validity of particular solution of constant coefficient non-homogeneous linear recurrence relation.%利用一元多项式重根的代数性质与求解非齐次线性方程组的分块矩阵方法给出常系数非齐次线性递推关系的一类只依赖于常系数的特解计算公式及其证明,所得结果拓宽了已有文献的相应结果,最后,给出两个实例作为常系数非齐次线性递推关系的特解计算公式的应用,验证了特解计算公式的有效性.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】6页(P75-79,105)【关键词】导数;一元多项式;重根;常系数非齐次线性递推关系;特解【作者】唐善刚【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637009【正文语种】中文【中图分类】O157.1求递推关系的显式解是组合学的一个重要研究课题，关于常系数线性齐次递推关系的显式解可以应用生成函数［1-5］给出统一的求解，但用生成函数试图求得常系数非齐次线性递推关系的显式解往往需要很高的技巧，而应用代数方法［6-7］及赋权有向图路径的权和［8］得到的常系数线性齐次及非齐次递推关系的显式解是一个多重求和公式，由于该多重求和公式中的求和变量依赖于某个线性不定方程的所有非负整数解，进而导致显式解的多重求和公式在应用中的诸多不便。
常系数线性非齐次递归关系特解
常系数线性非齐次递归关系的特解廖毛黄宇晨索朗多吉常系数线性非齐次递归关系：()()()导出递归关系）称为其（其中性非齐次递归关系阶常系数线系叫做的函数，则这个递归关是关于是常数，其中：换一种表达形式归关系：是一个数列，且满足递0,0,,,r 2211r r 21r 2211r 2211=++++≠=++++++++=---------r n n n n r n n n n r n n n n n a c a c a c a r n n f c c c c n f a c a c a c a n f a c a c a c a a求解非齐次常系数线性递归关系的通解可以分为三个步骤：1.求出非齐次常系数线性递归关系的一个特解；2.求解非齐次常系数线性递归关系的导出递归关系的通解；3.非齐次常系数线性递归关系的通解等于前两个解之和。
故求解非齐次常系数线性递归关系的通解可以转化成求解非齐次常系数线性递归关系的导出递归关系的通解和非齐次常系数线性递归关系的一个特解。
齐次常系数线性递归关系的通解有求解公式，故求解非齐次常系数线性递归关系的通解的关键在于求其特解。
在我们的学习中，一般只讨论常系数齐次线性递推关系通解的求法，很少涉及常系数非齐次线性递推关系通解的求法，即使有也只是介绍了它的通解的结构（即非齐次线性递推关系的通解等于它的一个特解与它所对应的齐次线性递推关系的通解之和）而其特解为什么是这样的形式，是怎样推导出来的均没有给出理论上的证明，下面我给出了常系数非齐次线性递推关系关于特殊函数特解的统一求法。
()()()()()()()()()()0q c ,0q c 0q c 0q c 1c c q 0c c 0m 01-m 0000r 12211≠=='=-≠+++++=---，，，阶导数的根，即：直到必是重根，则的是特征多项式设的特征多项式为：首先，原递归关系对应 m x q m x c x c x c x c x x r r r r r()()()()()()()()()()()()()()()()00,1,,2,1i 0d d d ,,,2,1)1(d 0000m i 101111-1≠+=-==<'='==++-+=--q c q q d m q d x m i x m x m x c q x c x x d x d x x d m i x c x r c x r x m mm i i i k r i r i i 的根，即：的根但不是重根，故也是的重根，则它也是的是特征多项式若故数：根的情况，引入下列函为了研究特征多项式重）（Why?()()()()nm tt n n t n n n b n b b a m x c n n f aβββ+++=•=** 21重根时的是当令递归关系的特解为()()()()[]()()()()()()n f r n b n b b c n b n b b c n b n b b c n b n b b n b n b b u n f u c u c u c u n f u c u c u c u u n b n b b n n b n b b a n n f s s r s s s s s s s s n r n r n n n r n r n n n n s s n m t t n n t =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++++++==++++=++++∆++++++==------*）（）（）（）（）（）（代入上式得：将则将其代入递归关系得：似的形式有类则递归关系的特解应具证明：要使等式成立，则递归关系-r -2-2-1-1-,102-r 1021-r 101r 10r -n 102-r 121-r 11r r -n r -n 2-n 121-n 11n nn 1010 ββββββββββββββββ()()()()()[]()[]{}()[]()[]{}()(){}()()()[]()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-+-++++++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-+--+-+-+-++-+-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-++++-+-+-+-++++-++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++++++++++++------------------------001111111101111111111111111r 11r -n 01101-s 111011r -n 102-r 1021-r 101r 10r -n ])1()1([)1()1()1(-r -2-2-1-1-b c b c r b c r b c b r b r b r n b c r n b c r n r C b c r n b r n r C b r n b c r n b c r n b b r n b r n b c b r r n b r r n b c b r r n b r r n b r n b n b b c n b n b b c n b n b b c n b n b b r r s s r s s r r s s r s s r s s r s s r s s s r s s r s s s r s s s s r s s r s s s s r s s s r s s s s r s s r s s s s s s ββββββββββββββββββββ）（）（）（）（）（）（()()()()[]()()()[]()()()[]()()()()()次多项式。
【免费下载】李凡长版 组合数学课后习题答案 习题3
第三章递推关系1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解： f(n)=f(n-1)+2f(1)=2,f(2)=4解得f(n)=2n.2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设a n-1a n-2…a1是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1)表示。
a n可以有两种情况：1）不管上述序列中是否有2，因为a n的位置在最左边，因此0和1均可选；2）当上述序列中没有1时，2可选；故满足条件的序列数为f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1,f(1)=3解得f(n)=2n-1(2+n).3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。
则有h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1）f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2）将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得f(n+1)= (2n+4n)/2-2f(n),f(1)=2.4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n).解：这种序列有两种情况：1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个；2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个；所以f(n)=f(n-3)+2f(n-2)f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5.5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n).解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。
f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能；f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能；依此类推，有f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)=2n-2f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.6.求n 位0,1序列中“010”只出现一次且在第n 位出现的序列数f(n).解：最后三位是“010”的序列共有2n-3个。
组合数学 第四章4常系数线性非齐次递推关系
Sn
n 1
7
n 2
12
n 3
6
n 4
1 n2 (n 1)2 4
思考
求an 4an1 2 • 5n 3 • 4n的通解
• P115， 27 • P117， 66
作业
an
A
A 2A
1
0
an* c 2n A 1
故 an 1，由定理5.6知上述递推关系式的通解为
an an an* 1 c 2n
又由初值条件a1 1得 1 c 21 1 c 1
故有
an 2n 1
§4.5§常5.3系常数系线数性线非性非齐齐次次递例推3 关系
例2、求递归关系
1i jt
即cij(i=1,2,…,t; j=1,2,…,mi)是由初值惟一确定，定理得证。
§4.3
常系数线性非齐次定义
§4.5常系数线性非齐次递推关系
定义 4.4
若{an}中相邻k+1项满足an+c1an-1+c2an-2+…+ ckan-k=f(n)，(n≥k)称之为{an}的k阶常系数线性 非齐次递推关系。其中ci(i=1,2,…,k)是常数， 且ck≠0，f(n)≠0 。
❖ 注：定理4.6指出，若要求一个常系数线性非齐次递推 关系式的通解，必须先求出这个递推关系所导出的常系数 线性齐次递推关系的通解，然后再求这个递推关系式的一 个特解，将其相加即可。 ❖ 然而，求一个非齐次线性递推关系的特解，通常没有系 统的方法，但当函数f(n)是某些特殊形式时，才有一些规 范的求法。
§4.5§常4系.3 数常系线数性Biblioteka 非性齐非次齐递次例推8关系例题
组合数学课后答案
作业习题答案习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：方法一：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数 = 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
方法二：对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
将一个矩形分成(m +1)行112m m +⎛⎫+⎪⎝⎭列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。
证明：（1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。
（2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +⎛⎫⎪⎝⎭种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +⎛⎫⎪⎝⎭种情况（3）现在有112m m +⎛⎫+⎪⎝⎭列，根据鸽巢原理，必有两列相同。
递推关系
递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。
如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。
如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。
下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。
递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。
当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。
一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。
用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。
下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。
一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。
如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。
例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。
非齐次递推关系通项的求解方法_迭代法
Ｈ（ｎ）＝ ３Ｈ（ｎ－ １）＋２ｎ
＝ ３［３Ｈ（ｎ－ ２）＋２ｎ－１］＋２ｎ
＝３２Ｈ（ｎ－ ２）＋３·２ｎ－１＋２ｎ
＝……
＝３ｎ－ １Ｈ（ １） ＋３ｎ－·２ ２２＋…＋３·２ｎ－ １＋２ｎ
＝３ｎＨ（ ０） ＋３ｎ－·１ ２１＋３ｎ－·２ ２２＋…＋３·２ｎ－１＋２ｎ
＝３ｎ－ ·１ ２１＋３ｎ－ ·２ ２２＋…＋３·２ｎ－ １＋２ｎ
〔责任编辑： 邱维敦〕
Ｉｔｅｒ ａｔｉｖｅ Ｍｅｔｈｏｄ： Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｇｅｎｅｒ ａｌ Ｔｅｒ ｍ ｏｆ Ｎｏｎ－ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｒｅｃｕｒ ｒ ｅｎｃｅ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ
ＳＨＥＮ Ｘｉａｏ－ ｑｉｎｇ Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ， ａｎ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒｉｇｉｎａｔｉｎｇ ｆｒｏｍ ｓｏｌｖｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓｅｔｓ， ｉｓ ａｎ ｅａｓｙ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｗａｙ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｅｒｍ ｏｆ ｎｏｎ－ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓ ａｎｄ ｉｎｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｗａｙ ｏｆ ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｅｒｍ ｏｆ ｎｏｎ－ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ； ｎｏｎ－ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ； ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ
递推关系论中的几个基本问题。目前， 我们已解决常系数
线性齐次递推关系通项的求解方法— ——求特征根法， 对于
非线性的、非常系数的和非齐次的递推关系的通项， 还没
(推荐)组合数学第二章第三节关于线性常系数非齐次递推关系精选PPT
7 关于线性常系数非齐次递推关系
1k8 4,1 9 k8 4k1 0 7 关于线性常系数非齐次递推关系
7 关于线性常系数非齐次递推关系 1
0
1
an=fn+对应的线性常系数齐次递推关系的解。
7 关于线性常系数非齐次递推关系
49 2009 首先，假设取n个文字作允许重复的排列，不允许一个字连续出现3次的排列数为an,
的不同的特征根，并设hi是ri的重根 kmn+bkmn-1= hmn,
7 关于线性常系数非齐次递推关系 k2=hm/(m-b),因此fn=[hm/(m-b)]mn是特解
数，i=1,2,3,…,s。那么 14 非线性递推关系举例
an=k1bn+k2mn,
若b(n) 是p次多项式，如果r是线性齐次递推关系，
k ,k int fibonacci(int n) 18 324 代入递推关系求出系数：
1
0
an=(k1+k2n)mn,
故导致二阶齐次递推关系，（1〕式的解必然是〔2〕式的解，但〔2〕式解不一定是〔1〕式的解。
特解: 例7 an+3an-1-10an-2=(-7)nn
7 关于线性常系数非齐次递推关系
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
如下面的递推关系：
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
称为k阶线性递推关系，其中若 c1,c2,…,ck都是常数，则称为常系数线性 递推关系，若bn=0，则称为是齐次的，否 则为非齐次的。
2.10任意阶齐次递推关系
an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整 数。 猜an解的可能情况?
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
第七章求解递推关系2剖析
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2hn2 ... ak hnk 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异的特征根，
qi是si重根（i 1,2,..., t )，则
其中
hn
H (1) n
H (2) n
...
特征根：
x3
齐次通解： Hn c3n 再求非齐特： Gn An B
代入递推式： Gn 3Gn1 4n
An B 3A(n 1) B 4n
(3A 4)n 3(B A)
比较系数：
A 3A 4 B 3(B A)
A 2 B 3
非齐次特解： Gn 2n 3
非齐特通解： hn c3n 2n 3
相应的特征方程为： xk a1 xk1 ... ak1 x ak 0
若 q 是特征方程的解， 则 qn 是齐次递推式的解.
性质4 对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2hn2 ... ak hnk 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的k个不同的 特征根，则
解 特征方程： x2 4 x 4 0
x 22 0
二重特征根： x 2
通解：
hn c1 c2n2n
性质6 对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2hn2 ... ak hnk 0 (ak 0)
若 q1,2 i e iθ
是 特 征 方 程 的 单 重 共 轭 复 根 ， 则
比较n3系数： D D 1
求 hn hn-1 n3 , h0 0 的特解。
解法2 hn hn-1 n3
n
求和： hn h0 k 3 k 1 hn 13 23 33 ... n3
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an l1 3n l2 (2)n
an an 1 6an 2 3n an 1 an 2 6an 3 3n 1
an 4an1 3an 2 18an3 0
3an1 3an 2 18an3 3n
2 3 2 ( x 2 )( x 3 ) x 4 x 3 x 18 0 特征方程为
A
n 1
2 A
n2
1 n1 5
1 3 b0 0代入得B D 0 b1 1代入得1 ( ) B( ) 5 1
A 2 5
1 1 2 B C D 5 5 5 5 5 1 1 n 1 1 bn ( 2 n ) ( 2 n ) n 5 5 5 5 5 5 1
an-2
( An B ) n (Cn D ) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D ) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D ) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5
bn
14
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位的2进制数中，从左向右扫描，最 后三位才第一次出现010图象的数的个数。 即求对n位2进制数 b1b2 bn 从左而右扫 描，第一次在最后三位出现010图象的数的 个数。自然，最后三位除外任取连续三个都 不会是010的。 设 an表示满足条件的n位数个数，和前例 n 3 类似，最后三位010的n位2进制数共 2 个.
67 n 76 40 n n an - 3 (-2) 4 5 15 3
8
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 例：an an1 6an 2 3 , a0 5, a1 2. 2 齐次递推关系特解 x x 6 0 x 3, x 2 n 非齐次递推关系的特解 c 3 .
3 2
§2.8
2a n1 2a n3 2 n3
a n 2a n1 a n 2 2a n3 0
特征方程为
x 2x x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x 2 , 3 e
i 2
.
4
x1 2, x 2 , 3 e
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, n， 和1， 2， n， • 若 1， 2， 是非齐次递推关 系的解，则序列 a1 1 1，a2 2 2 , 是齐
次递推关系的解； • 则要求的非齐次递推关系的解等于齐次递推关系的 解和一个非齐次递推关系的特解的叠加
i 2
.
设
an A cos( n ) B sin( n ) C 2 n , 2 2 1 A 2 , 解方程组 A C , 5 2 1 B 2C 0, B , A 4C 0. 5 1 C . 10 2 1 1 n an cos( n ) sin( n ) 2 , n 3.5 5 2 5 2 10
r n [k 0 n m k1n m 1 ...... k p n m p ]
• 则特解的形式有
• k0,k1…kp为待定系数，由非齐次递推关系确定 • 2) 若r不是C(x)=0的根，则令m=0；
a n 3a n1 10a n 2 2 n (5 n)
x 2 3 x 10 0
0 a0 0，1 a1 1， 线性常系数非齐次递推关系
n a a 6 a 5 4 , a0 5, a1 3. n2 • 例： n n1 非齐次递推关系的特解 c 4 n. 代入原递推关系式 c 4 n c 4 n1 6c 4 n2 5 4 n
an ( An B)3n C(2)n
非齐次递推关系的特解 kn 3n 代入原递推关系式 kn 3n k (n 1)3n1 6k (n 2)3n2 3n
5 n l1 3 l2 ( 2) n 3n 3
n n
k
3 5
9
特解的形式
特解的形式是 an的形式是
（x 5 ） ( x 2) 0
2 n [k 0 n1 k1n 2 ] A2 n B( 5) n 2 n [k 0 n1 k1n 2 ]
2是特征根，m=1
10
母函数和递推关系
• • • • • 例题：铺砖题 方砖1*1，长砖1*2，给1*n的路铺路面，求 1）方案数 2）总砖数（所有方案的总砖数） 设方案数为an,以最后一块砖分类
C ( x) x k 的初始条件， 特征多项式. C1 x k 1 Ck 1 x Ck称为
an 的
an C1an1 C2an2 Ck ank bn ,
非齐次线性常系数递推关系
h(n) 2h(n 1) 1 2-3x+2 C ( x ) = x h(n 1) 2h(n 2) 1 和2 相减得到 h(n) 3h(n 1) 2h(n 2) 0 C(x)=0的解为11
n
特解是 ( An ) (Cn )
n n n n n n
n
bn的形式是 ( An ) (Cn ) B D
b0 0，b1 1 ，b2 3，b3 7，b4 15，b5 30
代入联立方程组太复杂
( An B ) (Cn D )
。 bn-2 。 。
00101001010 而不是4-6，7-9位出现的010图象，即不是 00101001010
2
§2.8 母函数和递推关系应用举例 为了找出关于数列an的递推关系，需对满 足条件的数的结构进行分析。由于n位中除了 最后三位是010已确定，其余n-3位可取0或1：
0
1
0
故最后3位是010的n位2进制数的个数是2n-3 • 最后3位出现010图象:***…010 • 在n-4位到第n-2位出现010图象，而在最后3 位并不出现010图象:***…01010
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 分析例题结果
an an2 2
n 3
x3 2 x2 x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x2 , 3 e
n
• 假定讨论的非齐次递推关系为
i 2
.
• 对应的齐次递推关系为
an C1an1 C 2an2 C k ank bn s ,
n2
c ( 4 2 4 6) 5 4 2 40 40 n 4. 6c 80, c 3 3
满足齐次递推关系的解： n n1 6 n2 0, 特征方程： x 2 x 6 0 x 3, x 2
7
an an1 6an2 5 4n , a0 5, a1 3.
2.9 线性常系数非齐次递推关系 定义 如果序列 an 满足
an C1an1 C2 an2 Ck ank 0,
a0 d 0 , a1 d1 ,, ak 1 d k 1 ,
2 5 2
2 5 1
C1 , C2 ,Ck及 d 0 , d1 , d k 1 Ck 0，则 2 5 1 是常数， 2 5 2 称为an 称为an 的k阶齐次常系数线性递推关系，
a n Fn1
1 ( n1 n1 ) 5
。 bn-1 。 。
• 2）总砖数 • 设总砖数为bn,以最后一块砖分类
bn bn1 a n1 bn 2 a n 2 bn1 bn 2 a n
an-1
bn bn1 bn 2 an
α,β是特征根，m=1
12
2 1 5 2 1 5 , 1 5 2 1 5 2
n n1 n2 , n n1 n2
( An B) n (Cn D) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5 1 An n A(n 1) n1 A(n 2) n2 n1 5 1 An n An n1 A n1 An n2 2 A n2 n1 0 5
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位2进制数中，从左到右逐步划去010 ，最后三位出现010图象的数的个数。 对于n位2进制数 b1b2 bn 从左而右进行扫描 ，一出现010图象，便从这图象后面一位从头 开始扫描，例如对11位2进制数00101001010 从左而右的扫描结果应该是2-4，7-9位出现 010图象，即
• 假定讨论的非齐次递推关系为
a n C1a n1 C 2 a n 2 C k a n k r n b( n)
• 1) 其中b(n)是n的p次多项式，r是特征方程的m重根
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
a n a n1 a n 2
a0 1 ，a1 1 ，a 2 2，a3 3，a 4 5，a5 8，
a n Fn 1 1 ( n 1 n 1 ) 5
an-1 an-2
1 5 1 5 , 2 2
11
a n a n1 a n 2
40 0 k1 k 2 3 4 5 160 3k1 2k 2 3 3
x x 6 0 x 3, x 2 n k1 3n k 2 (-2)n 40 n n n an k1 3 k 2 (-2) 4 3