线性常系数非齐次递推关系

C ( x) x k 的初始条件， 特征多项式. C1 x k 1 Ck 1 x Ck称为
an 的
an C1an1 C2an2 Ck ank bn ,
非齐次线性常系数递推关系
h(n) 2h(n 1) 1 2-3x+2 C ( x ) = x h(n 1) 2h(n 2) 1 和2 相减得到 h(n) 3h(n 1) 2h(n 2) 0 C(x)=0的解为11
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, n， 和1， 2， n， • 若 1， 2， 是非齐次递推关 系的解，则序列 a1 1 1，a2 2 2 , 是齐
次递推关系的解； • 则要求的非齐次递推关系的解等于齐次递推关系的 解和一个非齐次递推关系的特解的叠加


2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 分析例题结果
an an2 2
n 3
x3 2 x2 x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x2 , 3 e
n
• 假定讨论的非齐次递推关系为
i 2

.
• 对应的齐次递推关系为
an C1an1 C 2an2 C k ank bn s ,
00101001010 而不是4-6，7-9位出现的010图象，即不是 00101001010
2
§2.8 母函数和递推关系应用举例 为了找出关于数列an的递推关系，需对满 足条件的数的结构进行分析。由于n位中除了 最后三位是010已确定，其余n-3位可取0或1：

0
1
0
故最后3位是010的n位2进制数的个数是2n-3 • 最后3位出现010图象:***…010 • 在n-4位到第n-2位出现010图象，而在最后3 位并不出现010图象:***…01010
n2
c ( 4 2 4 6) 5 4 2 40 40 n 4. 6c 80, c 3 3
满足齐次递推关系的解： n n1 6 n2 0, 特征方程： x 2 x 6 0 x 3, x 2
7
an an1 6an2 5 4n , a0 5, a1 3.
67 n 76 40 n n an - 3 (-2) 4 5 15 3
8
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 例：an an1 6an 2 3 , a0 5, a1 2. 2 齐次递推关系特解 x x 6 0 x 3, x 2 n 非齐次递推关系的特解 c 3 .
12

2 1 5 2 1 5 , 1 5 2 1 5 2
n n1 n2 , n n1 n2
( An B) n (Cn D) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5 1 An n A(n 1) n1 A(n 2) n2 n1 5 1 An n An n1 A n1 An n2 2 A n2 n1 0 5
r n [k 0 n m k1n m 1 ...... k p n m p ]
• 则特解的形式有
• k0,k1…kp为待定系数，由非齐次递推关系确定 • 2) 若r不是C(x)=0的根，则令m=0；
a n 3a n1 10a n 2 2 n (5 n)
x 2 3 x 10 0
an ( An B)3n C(2)n
非齐次递推关系的特解 kn 3n 代入原递推关系式 kn 3n k (n 1)3n1 6k (n 2)3n2 3n
5 n l1 3 l2 ( 2) n 3n 3
n n
k
3 5
9
特解的形式
a n Fn1
1 ( n1 n1 ) 5
。 bn-1 。 。
• 2）总砖数 • 设总砖数为bn,以最后一块砖分类
bn bn1 a n1 bn 2 a n 2 bn1 bn 2 a n
an-1
bn bn1 bn 2 an
α,β是特征根，m=1
0 a0 0，1 a1 1， 2 a2 2 ,
6
2.9 线性常系数非齐次递推关系
n a a 6 a 5 4 , a0 5, a1 3. n2 • 例： n n1 非齐次递推关系的特解 c 4 n. 代入原递推关系式 c 4 n c 4 n1 6c 4 n2 5 4 n
a n a n1 a n 2
a0 1 ，a1 1 ，a 2 2，a3 3，a 4 5，a5 8，
a n Fn 1 1 ( n 1 n 1 ) 5
an-1 an-2

1 5 1 5 , 2 2
11
a n a n1 a n 2
A
n 1
2 A
n2
1 n1 5
1 3 b0 0代入得B D 0 b1 1代入得1 ( ) B( ) 5 1
A 2 5
1 1 2 B C D 5 5 5 5 5 1 1 n 1 1 bn ( 2 n ) ( 2 n ) n 5 5 5 5 5 5 1
n
an l1 3n l2 (2)n
an an 1 6an 2 3n an 1 an 2 6an 3 3n 1
an 4an1 3an 2 18an3 0
3an1 3an 2 18an3 3n
2 3 2 ( x 2 )( x 3 ) x 4 x 3 x 18 0 特征方程为
an-2
( An B ) n (Cn D ) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D ) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D ) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5
• 假定讨论的非齐次递推关系为
a n C1a n1 C 2 a n 2 C k a n k r n b( n)
来自百度文库
• 1) 其中b(n)是n的p次多项式，r是特征方程的m重根
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
3 2
§2.8
2a n1 2a n3 2 n3
a n 2a n1 a n 2 2a n3 0
特征方程为
x 2x x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x 2 , 3 e
i 2

.
4
x1 2, x 2 , 3 e
13
C n1 2C n2
1 n1 5
1 3 A 2 A 5
1 2 A 51 C 2 5 3
• 附加作业题： • 某人要铺1*n长度的路，有三种砖可以使用：1*1 的方砖，或者两个直角边分别为1，1的直角三角 砖 （方砖从对角线切开得到两块这样的砖，称为 小三角）以及斜边是2的等边直角三角砖（称为大 三角）,求： • （1）铺1*n长度的路一共有多少方案数； • （2）铺1*n长度的路所有方案中一共可能出现的 方砖总数；
i 2

.
设
an A cos( n ) B sin( n ) C 2 n , 2 2 1 A 2 , 解方程组 A C , 5 2 1 B 2C 0, B , A 4C 0. 5 1 C . 10 2 1 1 n an cos( n ) sin( n ) 2 , n 3.5 5 2 5 2 10
15
§2.8 母函数和递推关系应用举例 对这2 n3个数分析如下。 （a）包含了在最后三位第1次出现010图象的 个数，其个数为 an ，排除了在第(n 4)到第(n 2) 位第1次出现010图象的可能。 （b）包含了在第(n 4)到第(n 2)位第1次出现 010图象的数，其个数为an2 .
2.9 线性常系数非齐次递推关系 定义 如果序列 an 满足
an C1an1 C2 an2 Ck ank 0,
a0 d 0 , a1 d1 ,, ak 1 d k 1 ,
2 5 2
2 5 1
C1 , C2 ,Ck及 d 0 , d1 , d k 1 Ck 0，则 2 5 1 是常数， 2 5 2 称为an 称为an 的k阶齐次常系数线性递推关系，
3
母函数和递推关系应用举例 n 3 故有 an an2 2 , n 5, (2 - 8 - 6) a3 1, a4 2. 1 利用 (2 - 8 - 6) 推得 a2 0, a1 0, a0 . 2
a n a n 2 2 n 3 a n1 a n3 2 n 4
n
特解是 ( An ) (Cn )
n n n n n n
n
bn的形式是 ( An ) (Cn ) B D
b0 0，b1 1 ，b2 3，b3 7，b4 15，b5 30
代入联立方程组太复杂
( An B ) (Cn D )
。 bn-2 。 。
bn
14
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位的2进制数中，从左向右扫描，最 后三位才第一次出现010图象的数的个数。 即求对n位2进制数 b1b2 bn 从左而右扫 描，第一次在最后三位出现010图象的数的 个数。自然，最后三位除外任取连续三个都 不会是010的。 设 an表示满足条件的n位数个数，和前例 n 3 类似，最后三位010的n位2进制数共 2 个.
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位2进制数中，从左到右逐步划去010 ，最后三位出现010图象的数的个数。 对于n位2进制数 b1b2 bn 从左而右进行扫描 ，一出现010图象，便从这图象后面一位从头 开始扫描，例如对11位2进制数00101001010 从左而右的扫描结果应该是2-4，7-9位出现 010图象，即
40 0 k1 k 2 3 4 5 160 3k1 2k 2 3 3
x x 6 0 x 3, x 2 n k1 3n k 2 (-2)n 40 n n n an k1 3 k 2 (-2) 4 3
2
67 k 1 5 76 k2 15
特解的形式是 an的形式是
（x 5 ） ( x 2) 0
2 n [k 0 n1 k1n 2 ] A2 n B( 5) n 2 n [k 0 n1 k1n 2 ]
2是特征根，m=1
10
母函数和递推关系
• • • • • 例题：铺砖题 方砖1*1，长砖1*2，给1*n的路铺路面，求 1）方案数 2）总砖数（所有方案的总砖数） 设方案数为an,以最后一块砖分类