工程流体水力学第六章知识题目解析

第六章 量纲分析和相似原理答案

6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q 与堰上水头H 、重力加速度g 、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m 0（量纲一的量）有关。试用π定理导出三角形堰的流量公式。

解：()00θ=,,,,f Q H g m

选几何学的量H ，运动学的量g 作为相互独立的物理量，有3个π项。

111πa H g Q β=，

22

2

a H g

，3330πa H g m

对1π，其量纲公式为

11000-23-1L T M =L (LT )L T

11L :03αβ=++，1T :021β=--

解出152α=-

，11

2β=-，则可得 1

52

πQ

g H

对2π，其量纲公式为

220002L T M L (LT )

22L :0αβ=+，2T :02β=-

联立解上述方程组，可得02=α,02=β,02=γ，则可得

2π

对3π，其量纲公式为

33000

-2L T M L (LT )

33L :0αβ=+，3T :02β=-

联立解上述方程组，可得03=α,03=β,03=γ，则可得

3

0πm

123

πππ0

F ,,

即

052

(

)

0Q F m ,,

或

1052

()Q F m ,

2

501),(H g m F Q θ=

式中，θ要视堰口的实际角度而定，量纲一的量0m 要由实验来确定。 第十章三角形薄壁堰的理论分析解5

204

tan 252

Q

m gh 与上式形状相同。 6-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度

ρ、动力粘度μ、断面平均流速v ，断面特性几何尺寸（例如管径d 、水力半径R ）及壁面粗

糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数8(,

)λ∆

=f Re d

，可得208

λ

τρ=

v 。

解：35

1

2

40

τk

v d

将上式写成量纲方程形式后得

35124-1-23-1-110dim ML T =(ML )(ML T )(LT )(L)(L)ααααατ--=

根据量纲和谐原理可得：

12M :1αα=+

12345L :13ααααα-=--+++ 23T :2αα-=--

选53αα、为参变量，联立解上述方程组可得：131αα=-，232αα=-，

4352ααα=-+-。

将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：

3

3

3

35

51220k v d αααα

αατρμ---+-=∆

μρν=，又因3

3

22v v v

αα-=

,故

5533

22

2

022(,)α

α

ααρρτρν--∆∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭v v k k f Re v d d Re

d vd 若令8(,)λ∆

=f Re d

，代入上式可得

208

v λ

τρ=

6-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。 解：0(,,,,,)0f v d τρμ∆=

选取d 、v 、ρ为基本物理量，因此有三个π项

11110πd v αβγρτ= 2222πd v αβγρμ= 3333πd v αβγρ=∆

先求π1，其量纲式为

11113-121dim πL (LT )(ML )(ML T )αβγ---=

111L :031αβγ=+--

1T :02β=-- 1M :01γ=+

解上述方程组可得：1112,1,0βγα=-=-=，所以有0

12πv

τρ= 再求π2，其量纲式为

22213-1-12dim π(L)(LT )(ML )(ML T )αβγ--=

222L :031αβγ=+--

2T :01β=-- 2M :01γ=+

解上述方程组可得：21γ=-，21β=-，21α=-，所以有

21πμνρ=

==d v vd Re

再求π3，其量纲式为

333133dim πL (LT )(ML )L αβγ--=

333L :031αβγ=+-+ 3T :0β=-

3M :0γ=

解上述方程组可得：30γ=，30β=，31α=-，所以有

3πd

∆=

由此可得量纲一的量所表达的关系式为

021(

,,)0τρ∆

=F v Re d

或

02

(,)τρ∆

=f Re v d

，或20

(,

)f Re v d

若令8(,)λ∆

=f Re d

，则可得

2

08

v λτρ=

6-4文丘里管喉道处的流速v 2与文丘里管进口断面管径d 1、喉道直径d 2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp 有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q 的表达式。