对坐标的曲面积分(课堂PPT)
合集下载
105对坐标曲面积分34262 22页PPT文档
解: 利用对称性.
y
原式 3 (zx)dxdy
x
的顶部 1 :z a 2(x a 2 ,y a 2 )取上侧
的底部 2 :z a 2 (x a 2 ,y a 2 )取下侧
3 3 D 1 xy((za 2x)xd )dxd xdy y 2 D (xzy( xa 2) dx x)ddyxdy
n
lim
0
i
1
P (i,i,i) ( S i)y z Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) S ( i) x y
2. 定义. 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
向量场 A ( P ( x , y , z ) Q ( , x , y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y
若记 正侧的单位法向量为 n (co ,cso ,cso )
令 d S n d S ( y d z d , d z d x , d x d y )
A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d zd x R d x d y
3. 性质
AndS AdS
k
(1) 若 i , 且i 之间无公共内点, 则
i 1
k
AdS
i1
i
AdS
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
方向余弦 co s cos
11-(5)对坐标的曲面积分 PPT资料共41页
Chapter 11
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
一、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1、有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面
• 曲面分类 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
Higher- mathematics ( II )
Higher- mathematics ( II )
24 - 4
播放
Tuesday, September 17, 2019
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
24 - 23
Tuesday, September 17, 2019
内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
定义:
n
• f(x,y,z)dSl i0m i1f(i,i,i )Si
• P dyd z Q d zd x R d xdy n l i0m i1P(i,i,i)Siyz Q (i,i,i) S izx
是 上的连续函数, 则
zf(x,y)
取上侧,
R(x,y,z)dxdy
Dxy R(x,yn ,oz( xD,xyy))d xd
证:
R(x,y,z)dxdy
lim x
0 i
1
yy (s)xy
∵ 取上侧, (Si)xy (i)xy
第五节 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
一、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1、有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面
• 曲面分类 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
Higher- mathematics ( II )
Higher- mathematics ( II )
24 - 4
播放
Tuesday, September 17, 2019
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
24 - 23
Tuesday, September 17, 2019
内容小结
1. 两类曲面积分及其联系
定义:
n
• f(x,y,z)dSl i0m i1f(i,i,i )Si
• P dyd z Q d zd x R d xdy n l i0m i1P(i,i,i)Siyz Q (i,i,i) S izx
是 上的连续函数, 则
zf(x,y)
取上侧,
R(x,y,z)dxdy
Dxy R(x,yn ,oz( xD,xyy))d xd
证:
R(x,y,z)dxdy
lim x
0 i
1
yy (s)xy
∵ 取上侧, (Si)xy (i)xy
对坐标的曲面积分PPT学习课件
10
记作 R( x, y, z)dxdy,即
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
) xy
积分曲面 被积函数 有向面积元
类似可定义
n
P(
x,
y,
z)dydz
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)( Si
)
yz
n
Dxy
如果由x x( y, z)给出, 则有
i 块小曲面的面积),Si 在xoy 面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0时,
n
lim
0
i 1
R(
i
,i
,
i
)( Si
)
xy
存在,
则称此极限为函数R( x, y, z)在有向曲面Σ上对
坐标 x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
lim
0
i 1
R( i
,i
,
z ( i
,i
))(
i
) xy
即 R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
15
若取下侧, cos 0, (Si )xy ( )xy,
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
i
k,
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
最新文档-10-5对坐标曲面积分37983-PPT精品文档
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
规定 法向量的方向来区分曲面的两侧.
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ上 取 一 小 块
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
三、概念及性质
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第
i 块小曲面的面积),Si在 xoy面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0时,
n
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)(Si
)
xy
存在,
则称此极限为函数 R( x, y, z)在有向曲面Σ 上
对坐标 x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
法向量为 ni .
o
y
x
v i v (i,i,i)
P (i,i,i)i Q (i,i,i)j R (i,i,i)k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
规定 法向量的方向来区分曲面的两侧.
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ上 取 一 小 块
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
三、概念及性质
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第
i 块小曲面的面积),Si在 xoy面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0时,
n
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)(Si
)
xy
存在,
则称此极限为函数 R( x, y, z)在有向曲面Σ 上
对坐标 x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
法向量为 ni .
o
y
x
v i v (i,i,i)
P (i,i,i)i Q (i,i,i)j R (i,i,i)k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
12-2对坐标的曲面积分(ppt文档)
cosiSi ( yz )i , cos iSi ( zx )i , cosiSi ( xy )i ， 其中 ( yz )i, ( zx)i, ( xy )i 分别为 i 在 yOz 坐标面、 zOx 坐标面和xOy
坐标面上的有向投影，进而有 i P(i ,i ,i )( yz )i Q(i ,i ,i )( zx )i R(i ,i ,i )( xy )i ， i 1,2, ,n ．
1 xy2 xz2 1 xy2 xz2 1 xy2 xz2
34-7
⑷ 通常将封闭曲面 分为内侧和外侧，内侧是指点(x, y, z) 处的法向量指 向曲面所围空间有界区域内部的那一侧，而另一侧为外侧．
例如，球面 x2 y2 z2 R2 的外侧，指的是上半球面 z R2 x2 y2 的上 侧和下半球面 z R2 x2 y2 的下侧．
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy ，即
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy
n
如类果似将地小，块有曲向面曲面 的 的面方积程记为 x S，x(则y, 当z) 或y很 小y(时z, x，) 时近，似可将规定视为平
面上，的由小引曲理面10.5在.1y可Oz得坐标面或 zOx 坐标面上的有向投影 yz , zx ．
xy cosS, yz cosS, zx cos S ．
i1
i1
记 m1iaxa {di}，则单位时间内流过有向曲面 指定一侧的流量为
n
lim
0
i1
[P(i ,i , i )(
坐标面上的有向投影，进而有 i P(i ,i ,i )( yz )i Q(i ,i ,i )( zx )i R(i ,i ,i )( xy )i ， i 1,2, ,n ．
1 xy2 xz2 1 xy2 xz2 1 xy2 xz2
34-7
⑷ 通常将封闭曲面 分为内侧和外侧，内侧是指点(x, y, z) 处的法向量指 向曲面所围空间有界区域内部的那一侧，而另一侧为外侧．
例如，球面 x2 y2 z2 R2 的外侧，指的是上半球面 z R2 x2 y2 的上 侧和下半球面 z R2 x2 y2 的下侧．
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy ，即
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy
n
如类果似将地小，块有曲向面曲面 的 的面方积程记为 x S，x(则y, 当z) 或y很 小y(时z, x，) 时近，似可将规定视为平
面上，的由小引曲理面10.5在.1y可Oz得坐标面或 zOx 坐标面上的有向投影 yz , zx ．
xy cosS, yz cosS, zx cos S ．
i1
i1
记 m1iaxa {di}，则单位时间内流过有向曲面 指定一侧的流量为
n
lim
0
i1
[P(i ,i , i )(
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
令 d S n d S ( y d z d , d z d x , d x d y )
A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
14
P d y d z Q d zd x R d x d y
第五节
第十一章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
1
对坐标的曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
2
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
A
n0
流量
A vcos
Av n0
v
A
8
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v( x ,
y,z)
P(x,
y, z)i
Q(x,
y,z) j
R(x,
y, z)k
给 出 ,Σ 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 ,函 数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) z
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
P d ydz Q dzdxR d xdy
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
型
双 侧
n
曲
面
3
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
4
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
5
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ 上 取 一 小 块
曲面 S , S 在 x (o 面 )x上 yy当c的 os ( 投 0S 时 )x为 影 y
• 设 为有向曲面, 其面元 S在 xOy 面上的投影记为
(S)xy, (S)xy 的面积为()xy0,则规定
(S)xy
()xy,
()xy,
0,
当cos0时 当 cos0时 类似可规定 当cos0时 (S)y,z(S)zx
7
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
( 时 1 ) 间 流 流 过 速 A场 的 为 流 常 体 向 的 量 质 v 量 , 有 ( 向 假 v 平 定 面 密 区 度 域 为 1 A) , . 求 单 位
有一阶连续偏导数,
被 积 函 数 R (x , y,z)在
Σ上连续.
z
o
D xy
x
zf(x,y)
y (s)xy
16
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i) (S i)xy
取,c 上 o 0 ,s 侧 ( S i)x y()x,y
又 i z (i,i)
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
12
三. 定义：设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量 .
o
y
x
9
1. 分割 把 曲 面 Σ 分 成 n小 块 si(si同 时 也 代 表
第 i小 块 曲 面 的 面 积 ),
在 si上 任 取 一 点
(i,i,i),
z Si
ni
vi
(i,i,i)
则该点流速为 vi .
法向量为 ni .
o
y
x
10
v i v (i,i,i)
P (i,i,i) i Q (i,i,i) j R (i,i,i) k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
通 过 s i 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
P dx
d y dz
Q
R
13
Pdydz称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分; Qdzdx 称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分; Rdxdy 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y 若记 正侧的单位法向量为 n (co ,cso ,cso )
3. 性质
AndS AdS
k
(1) 若 i , 且i 之间无公共内点, 则
i 1
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AdS
i1
i AdS
(2) 用 ¯表示 的反向曲面, 则
A dS A dS
15
四、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面Σ是由
方 程 z z(x , y)所 给
出 的 曲 面 上 侧 ,Σ 在
xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy 上 具
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
类似地可定义
S 在 y及 ozzo 面 x 上 (S 的 )y和 x( 投 S )zx影
6
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
n
lim 0 i1
R(i
,i,i
)(Si
)xy
n
lim 0 i1
R(i
,i,
z(i,i
))(i
)xy
即 R (x,y,z)dxdR y [x,y,z(x,y)d ] xdy
v in i S i ( i 1 , 2 , ,n ).
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi niSi
i1
11
n
[P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz
A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
14
P d y d z Q d zd x R d x d y
第五节
第十一章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
1
对坐标的曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
2
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
A
n0
流量
A vcos
Av n0
v
A
8
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v( x ,
y,z)
P(x,
y, z)i
Q(x,
y,z) j
R(x,
y, z)k
给 出 ,Σ 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 ,函 数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) z
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
P d ydz Q dzdxR d xdy
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
型
双 侧
n
曲
面
3
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
4
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
5
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ 上 取 一 小 块
曲面 S , S 在 x (o 面 )x上 yy当c的 os ( 投 0S 时 )x为 影 y
• 设 为有向曲面, 其面元 S在 xOy 面上的投影记为
(S)xy, (S)xy 的面积为()xy0,则规定
(S)xy
()xy,
()xy,
0,
当cos0时 当 cos0时 类似可规定 当cos0时 (S)y,z(S)zx
7
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
( 时 1 ) 间 流 流 过 速 A场 的 为 流 常 体 向 的 量 质 v 量 , 有 ( 向 假 v 平 定 面 密 区 度 域 为 1 A) , . 求 单 位
有一阶连续偏导数,
被 积 函 数 R (x , y,z)在
Σ上连续.
z
o
D xy
x
zf(x,y)
y (s)xy
16
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i) (S i)xy
取,c 上 o 0 ,s 侧 ( S i)x y()x,y
又 i z (i,i)
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
12
三. 定义：设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
向量场 A ( P ( x ,y , z ) Q ( , x ,y , z ) R ( x , ,y , z )若) 对, 的任
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量 .
o
y
x
9
1. 分割 把 曲 面 Σ 分 成 n小 块 si(si同 时 也 代 表
第 i小 块 曲 面 的 面 积 ),
在 si上 任 取 一 点
(i,i,i),
z Si
ni
vi
(i,i,i)
则该点流速为 vi .
法向量为 ni .
o
y
x
10
v i v (i,i,i)
P (i,i,i) i Q (i,i,i) j R (i,i,i) k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
通 过 s i 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
P dx
d y dz
Q
R
13
Pdydz称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分; Qdzdx 称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分; Rdxdy 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
P d y d z Q d zd x R d x d y 若记 正侧的单位法向量为 n (co ,cso ,cso )
3. 性质
AndS AdS
k
(1) 若 i , 且i 之间无公共内点, 则
i 1
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AdS
i1
i AdS
(2) 用 ¯表示 的反向曲面, 则
A dS A dS
15
四、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面Σ是由
方 程 z z(x , y)所 给
出 的 曲 面 上 侧 ,Σ 在
xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy 上 具
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
类似地可定义
S 在 y及 ozzo 面 x 上 (S 的 )y和 x( 投 S )zx影
6
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 co s cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
n
lim 0 i1
R(i
,i,i
)(Si
)xy
n
lim 0 i1
R(i
,i,
z(i,i
))(i
)xy
即 R (x,y,z)dxdR y [x,y,z(x,y)d ] xdy
v in i S i ( i 1 , 2 , ,n ).
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi niSi
i1
11
n
[P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz