两条直线的交点坐标
两条直线的交点坐标(上课课件)
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1.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝ 0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交． 解析：当 l1∥l2(或重合)时： A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)·m＝0，解得 m＝3，或 m＝－1. (1)当 m＝3 时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，所以 l1 与 l2 重合． (2)当 m＝－1 时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，所以 l1∥l2. (3)当 l1⊥l2 时，A1A2＋B1B2＝0，m－2＋3m＝0，即 m＝12.
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4．要理解掌握两直线位置关系与两直线方程的系数的关系，即：
l1 与
l2 平行⇔kb11＝≠kb22，
(斜率
k
存
在
)
⇔
A1 A2
＝
B1 B2
≠
C1 C2
(A2B2C2≠0)
⇔
AB11BC22＝≠AB22BC11，；
l1 与
l2 重合⇔kb11＝＝kb22，
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2.分别求过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交 点且与直线l：2x＋3y＝0垂直、平行的直线．
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相交直线系
过直线A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同时为0)与直线A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0(其中λ为任意实数)．
[例1] 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 分析：联立方程组，由解的情况确定两直线的位置关系；若方程组有 唯一解，此解就是交点坐标．
两条直线的交点坐标两点间的距离公式
[解] (1)法一.∵|AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， |AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |BC|＝ (1－3)2＋(7＋3)2＝ 104＝2 26， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二.∵kAC＝1－7－(－13)＝32，kAB＝3－－3(－－13)＝－23， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ (1＋3)2＋(7－1)2＝ 52＝2 13， |AB|＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝ 52＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S△ ABC＝12|AC|·|AB|＝12×( 52)2＝26， 即△ ABC 的面积为 26.
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为
A．1
B．－5
C．1或－5
D．－1或5
解析：∵|AB|＝ (a＋2)2＋(3＋1)2＝5，
∴a＝－5或a＝1. 答案：C
() ()
()
3．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的
距离是
()
[对点练清] 1．[变条件]在本例条件中将“与直线 3x＋y－1＝0 平行”改为“垂直”，其他
不变，又该如何求解？
解：两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为－35，－75.
又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为
1 3
，因此所求直线的方
程为y＋75＝13x＋35，即5x－15y－18＝0.
二、应用性——强调学以致用 2．某地 A，B 两村在一直角坐标系下的位置分别为 A(1,2)，B(4,0)，一条河所在
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两条直线的交点坐标 课件
得到直线恒过定点(1,3),这种方法称为赋值法.这
= 3,
两种方法的依据都是恒过的定点一定是其中两条直线的交
点,解方程组即得交点坐标.
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0
的位置关系,如果相交,求出交点坐标.
= -2,
-2 + 1 = 0,
解方程组
得P(0,2).
+ -2 = 0,
因为直线l经过直线l1与l2的交点P(0,2),
所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.
所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
2- + 1 = 0, ①
(3)解方程组
4-2 + 3 = 0, ②
①×2-②,得-1=0,矛盾,方程组无解,
所以两条直线无公共点,即l1∥l2.
题型二
求直线方程
【例2】 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直
线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
2 + 3-7 = 0,
解:(1)解方程组
5--9 = 0,
= 2,
得
= 1.
所以 l1 与 l2 相交,且交点坐标为(2,1).
2-3 + 5 = 0, ①
(2)解方程组
4-6 + 10 = 0, ②
①×2,得4x-6y+10=0,
因此①和②可以化成同一方程,
即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
通常具有相同的某一特征.如果直线系恒过定点, 那么可用
两条直线的交点坐标
03
直线交点坐标的应用
平面几何中的交点坐标
确定图形形状
在平面几何中，两条直线的交点可以用于确定四边形的形状，例如，两条对角线 相等且交点在中心点的四边形是矩形。
求解角度
根据两条直线的交点可以求出角的大小，例如，两条直线的夹角大小等于两个直 线，建立方程求解交点坐标。
02
两条直线交点的计算
直线交点坐标的求解公式
• 求解直线交点坐标的基本方法是使用联立方程组，将两条直线的方程联立起来，求解得到交点的坐标。 • 具体公式如下：对于两条直线 $y = k_1x+b_1$ 和 $y = k_2x+b_2$，其交点坐标为 $(x,y)$，满足以下方
程组 • $$ • \begin{cases} y=k_1 x + b_1 \ • y=k_2 x + b_2 \end{cases} • $$ • 解得 • $$x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}, y = k_1 \cdot \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2} + b_1$$
3
最后，通过运行程序代码，得到两条直线的交 点坐标。
05
直线交点坐标的扩展
求解多条直线的交点坐标
01
多重交点
当多条直线相互之间有多个交点时，需要使用更复杂的算法求解。
02
迭代法
迭代法是一种常用的求解多条直线交点坐标的方法，通过不断逼近的
方式逐步求出交点。
03
数值稳定性
在求解多条直线交点坐标时，需要注意数值稳定性，避免计算机浮点
直线方程的表述
直角坐标系中直线方程
Ax + By + C = 0（A、B不全为0）
两条直线的交点坐标
l1 : x − y = 0 (1) l 2 : 3x + 3 y − 10 = 0 l1 : 3 x − y + 4 = 0 (2) l2 : 6 x − 2 y − 1 = 0 l1 : 3x + 4 y − 5 = 0 (3) l2 : 6 x + 8 y − 10 = 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 两直线交点的求法---联立方程组。 ---联立方程组 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
例4 : 求经过两直线2 x − 3 y − 3 = 0和x + y + 2 = 0 的交点且与直线3 x + y − 1 = 0平行的直线l的方程.
3 2x −3y −3 = 0 x = − 5 解: ,∴交 为 点 ⇒ 7 x + y +2 =0 y = − 5 3 7 直 3 行 − ,− .Ql与 线 x + y −1= 0平 , 5 5 7 3 ∴所 方 为 + = −3 x + , 求 程 y 5 5 即 x + 5y +1= 0. 15
λ =-1时，方程为x+3y-4=0
λ =0时，方程为3x+4y-2=0 λ =1时，方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
三、共点直线系方程: 共点直线系方程
高中数学《两条直线的交点坐标》课件
唯
一 解 A1 A2
B1 B2
l1l2相
交
,
A1xB1yC1 0 无 A2xB2yC2 0
数 解 A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1l2重
合
,
无
解 A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1l2平行
.
2）过交点的直线系经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示
x=3 y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0 解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
∴ － —2+—λ—— =3 解得 λ= 1/7
直线l1与l2的交点是A 点A的坐标是方程组的解
A1x B1y C1 0
讲 课 人
A2x B2y C2 0
：
邢
启 强
4
学习新知 两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点 同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成
的反方之程，组如果AA方12xx程++BB组12yy++AACC1212xx==++00BB12的yy++解CC12；==00 只有一个解，
.
2.已知点A(1,3),B(4,2),若直线ax-y-2a=0与线段AB有公共点，则实
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
14高中数学：两条直线交点坐标全解析
高中数学：两条直线交点坐标全解析一、引言在解析几何中，两条直线的交点是一个重要的概念。
通过求解两条直线的交点坐标，我们可以了解两条直线的位置关系，进而解决一系列与直线相关的问题。
本文将详细解析高中数学中两条直线交点坐标的知识点，帮助学生更好地掌握这一内容。
二、基本概念与性质两条直线的交点是指同时满足这两条直线方程的点的坐标。
在平面上，两条直线可能有以下三种位置关系：相交、平行和重合。
当两条直线相交时，它们有且仅有一个交点；当两条直线平行时，它们没有交点；当两条直线重合时，它们有无穷多个交点。
三、求解两条直线交点的方法1.联立方程法：当两条直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0时，可以通过联立这两个方程来求解交点坐标。
即解方程组{A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0，得到的解即为交点的坐标。
2.斜率截距法：当两条直线的方程分别为斜率截距式y=k1x+b1和y=k2x+b2时，可以直接比较斜率和截距来判断两直线的位置关系。
若k1=k2，则两直线相交，交点坐标为(k1−k2b2−b1,k1−k2k1b2−k2b1)；若k1=k2且b1=b2，则两直线平行；若k1=k2且b1=b2，则两直线重合。
四、应用举例1.判断两条直线的位置关系：通过求解两条直线的交点坐标，可以判断这两条直线的位置关系。
如果求得一个交点，则两直线相交；如果无解，则两直线平行；如果有无穷多解，则两直线重合。
2.求解几何问题：在解决一些几何问题时，需要求解两条直线的交点坐标。
例如，在求两线段的中垂线交点、求三角形的外接圆等问题中，都需要求解直线的交点。
3.实际问题中的应用：在实际生活中，求解两条直线的交点坐标也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用交点坐标来确定建筑物的布局；在交通规划中，可以利用交点坐标来确定道路的交叉点等。
掌握这些应用有助于加深对相关知识的理解和记忆。
五、常见误区与注意事项1.误区一：误认为所有联立方程都能求出交点。
两条直线的交点坐标
因此，当且仅当 m≠±1 时，l1 与 l2 相交． (2)由(1)中的方程③知，m＝－1 时得 0＝2 方程无解，即方
程组无解，两直线平行．
因此，当且仅当 m＝－1 时，l1 与 l2 平行． (3)由(1)中的方程③知，m＝1 时得 0＝0，方程有无数多解，
即方程组有无数多解，两直线重合．
因此，当且仅当 m＝1 时，l1 与 l2 重合．
2021/10/10
10
(3)∵m＝0 时，l1 不平行 l2， ∴l1∥l2⇔m－1 2＝m3 ≠26m，解得 m＝－1. (4)∵m＝0 时，l1 与 l2 不重合， ∴l1 与 l2 重合时，有m－1 2＝m3 ＝26m，解得 m＝3.
2021/10/10
11
例 4：若直线 x＋a2y＋6＝0 和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0 没 有公共点，则 a 的值是__________．
2021/10/10
18
(4)因为 m≠±1 时，l1 与 l2 相交； 当 m＝0 时，l1 的斜率为 0，l2 的斜率不存在，l1⊥l2；
当 m≠0 时，l1、l2 的斜率分别为－m、－m1 ， 因为(－m)·－m1 ≠－1，故 l1 与 l2 不垂直．
因此，当且仅当 m＝0 时，l1⊥l2.
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6
1－1.求直线 l1：3x＋4y－5＝0 与直线 l2：2x－3y＋8＝0 的 交点 M 的坐标．
解：由 l1 与 l2 的方程联立方程组
3x＋4y－5＝0 2x－3y＋8＝0
，解得xy＝ ＝－ 2 1
.
∴点 M 的坐标为(－1,2)．
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7
直线恒过定点问题
x＝m＋m 1 (5)由(1)知，方程组的唯一解为y＝2mm＋＋11
两条直线的交点坐标高中乐乐课堂
两条直线的交点坐标高中乐乐课堂在学习高中数学的过程中，两条直线的交点是一个重要的概念。
交点指的是两条直线在平面上的共同点，这个共同点可以用坐标来表示。
本文将介绍求解两条直线交点坐标的方法，并以高中乐乐课堂中的实际问题为例，解析如何应用这一知识点。
首先，我们要了解如何表示两条直线的方程。
通常情况下，两条直线分别可以用y = k1*x + b1和y = k2*x + b2来表示，其中k1、k2分别为直线的斜率，b1、b2分别为直线的截距。
两条直线在平面上的交点坐标可以通过求解方程组来得到。
求解交点坐标的方法如下：1.将两条直线的方程设置为等式，得到：y = k1*x + b1y = k2*x + b22.将等式两边相等，得到：k1*x + b1 = k2*x + b23.解方程，得到x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)4.将x的值代入任意一条直线的方程，求解y的值：y = k1 * (b2 - b1) / (k1 - k2) + b1或者y = k2 * (b2 - b1) / (k1 - k2) + b2接下来，以高中乐乐课堂中的一个实际问题为例，展示如何应用这一知识点。
问题如下：已知两条直线的方程分别为y = 2x + 1和y = -3x + 7，求这两条直线的交点坐标。
根据上述方法，我们可以得到：1.求解斜率k1和k2：k1 = 2，k2 = -32.求解x的值：x = (7 - 1) / (2 - (-3)) = 6 / 53.求解y的值：y = 2 * (6 / 5) + 1 = 12 / 5 + 1 = 17 / 5所以，两条直线的交点坐标为（6/5，17/5）。
通过以上实例分析，我们可以看到，在高中乐乐课堂中，掌握两条直线的交点坐标求解方法对于解决实际问题非常有帮助。
在学习过程中，不仅要理解交点坐标的含义，还要熟练掌握求解方法，并能灵活运用到实际问题中。
直线方程的交点坐标怎么算
直线方程的交点坐标的计算方法在数学中，直线是一种非常重要的几何概念。
当我们面对两条直线时，我们经常需要求解它们的交点坐标。
本文将介绍如何计算两条直线的交点坐标。
要计算两条直线的交点坐标，我们需要知道两条直线的方程。
一般来说，直线可以用一般形式的方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数，而 x 和 y 分别是直线上的变量。
接下来，我们将介绍两种常见的求解直线交点坐标的方法。
1. 代入法代入法是一种常用的解直线交点坐标的方法。
首先，我们需要将两条直线的方程表示为标准形式或斜截式形式。
标准形式的直线方程为 Ax + By + C = 0，斜截式形式的直线方程为 y = mx + b，其中 m 表示直线的斜率，b 表示直线与 y 轴的交点坐标。
假设我们有直线 L1 和直线 L2，它们的方程分别为：L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2x + B2y + C2 = 0确定两条直线的方程后，我们可以使用代入法来求解它们的交点坐标。
首先，我们可以选择其中一条直线的方程，将其代入另一条直线的方程中，从而得到一个关于 x 的方程。
以 L1 为例，我们将 L1 的方程代入 L2 的方程中，得到：A2x + B2y + C2 = 0将 L1 的方程代入上式后，我们可以得到关于 x 的方程：A2x + B2(-A1x/B1 - C1/B1) + C2 = 0接下来，我们可以解这个关于 x 的方程，得到 x 的值。
将求得的 x 的值代入 L1 的方程中，我们可以求得 y 的值。
经过以上步骤，我们就可以得到两条直线的交点坐标。
2. Cramer’s Rule (克莱默法则)除了代入法之外，我们还可以使用克莱默法则来求解直线的交点坐标。
克莱默法则是一种基于行列式的解方程方法。
假设我们有直线 L1 和直线 L2，它们的方程分别为：L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2x + B2y + C2 = 0我们可以将这两个方程转化为矩阵形式：A1 B1 | | x | | -C1 || x | = | | |A2 B2 | | y | | -C2 |现在，我们可以使用克莱默法则来求解交点坐标。
两条直线的交点坐标
两条直线的交点坐标xx年xx月xx日•直线交点坐标的基本概念•两条直线交点的求解方法•直线交点坐标的应用•直线交点坐标的扩展知识目录01直线交点坐标的基本概念交点两条直线相交于一点，这个点称为交点。
交点坐标交点的横坐标和纵坐标组合称为交点坐标。
定义直线方程是描述直线位置的数学表达式，通常用点斜式、斜截式、两点式等表示。
直线方程是解决直线相关问题的关键工具，如求交点、判断平行、垂直等。
直线方程交点坐标是两条直线相交的唯一标识，通过交点坐标可以判断两条直线的位置关系。
交点坐标在几何学、代数学、物理学等领域具有广泛应用，如求解几何图形的面积、求解代数方程的根等。
交点坐标的意义02两条直线交点的求解方法定义：代数法是一种通过解方程来找到两条直线交点的方法。
步骤：首先，我们需要两个直线的方程。
设两条直线分别为：Ax +By = C 和 Ex + Fy = G。
然后，通过解以下方程组来找到交点坐标1. Ax + By = C2. Ex + Fy = G结论：解这个方程组会得到一个解，这个解就是两条直线的交点坐标。
代数法010*******步骤首先，在坐标系上画出两条直线。
然后，通过观察来确定它们的交点。
如果两条直线相交于一点，那么这个点就是我们要找的交点。
定义几何法是通过在坐标系上绘制直线来找到它们的交点。
结论几何法通常比代数法更直观，但是它需要更强的空间思维能力。
几何法定义利用计算机求解是指使用计算机编程语言（如Python、Java等）来计算两条直线的交点。
利用计算机求解步骤首先，我们需要编写一个程序，这个程序可以接受两个直线的方程作为输入，然后计算它们的交点坐标。
这个程序通常包括解方程的数学函数和绘图函数。
然后，我们运行这个程序，并输入两条直线的方程，程序会返回两条直线的交点坐标。
结论利用计算机求解可以快速得到结果，而且错误率较低。
但是需要一定的编程知识。
03直线交点坐标的应用解析几何问题01直线交点坐标是解析几何中的一个基本概念，它表示两条直线在二维或三维空间中的交汇点。
3.3.1 两条直线的交点坐标
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1．已知a为实数，求当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋y－a ＝0相交时的交点坐标．
解：若 a＝1，则直线 l1 与 l2 平行，故 l1 与 l2 无交点，
∴a≠1.
解方程组ax＋x＋y－y＋a1＝＝00，， 得yx＝＝a－a2－＋aa＋ －11.11，
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，得 λ＝121.
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
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有关对称的问题
1.对称问题 (1)中心对称 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐 标公式得xy＝ ＝22ab－ －xy11， ，
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直线的交点的求法及应用 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这 两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定 是这两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交 点．因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组
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已知直线l的方程为(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0.
求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐
标． 【思路点拨】(方法一)
令k＝ 0，1
→
两特殊直线方 程构成方程组
两条直线的交点坐标
㈢巩固：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对 ②若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1] （C）（0，1） （D）（1，＋∞） ③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行， 则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解 B1C2－B2C1 x = —————— A1B2－A2B1 C1A2－C2A1 y= —————— A1B2－A2B1
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解 ⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无 穷多解。
x
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
已知方程组 A1x+B1y+C1=0 （1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
例2 当 k 为何值时，直线 y kx + 3
过直线 2 x - y + 1 0 与 y x + 5 的交点?
两条直线的交点坐标ppt课件
中线AF : x 1,中线BG : 7 x 9 y 5 0,中线CE : x 9 y -13 0.
x 1
x 1
4
由
, 解得
,
即交点
P
坐标为
(1,
).
4
y
3
7 x 9 y 5 0
3
4
1 9 13=0, 点P在中线CE所在直线，ABC三条中线交于一点.
y = k1x + b1
y = k2x + b2
方程解的个数 一组
直线的关系
A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0
A1x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
相交
无解
同一
方程
平行
重合
是过直线A1x+B1y+C1=0和
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系
方程
即可。
例2
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交
点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
[自主解答] 方法一
+ － = ，
＝－，
解方程组
，得
= .
+ + = ，
即l1与l2的交点坐标为（－1，2）.
又由直线l3的斜率为 ，得直线l的斜率为－ ，
联立方程组
+ + ＝和 + + ＝
y = k1x + b1
2.3.1 两条直线的交点坐标ppt
出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1
=
0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解 (1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点 P(1,0)在直线上,
1
∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=5.
∴所求方程为
1
x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,
2023
人教版普通高中教科书·数学
第二章
选择性必修
2.3.1 两条直线的交点坐标
第一册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习02课堂篇 探究学习课标阐释
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
+ + 3 = 0,
∵P(3,0)为线段 AB 的中点,
∴
3-2
3-3
+
-2
+1
4 6
=
-2 +1
= 6,
0.
2-16 = 0,
∴ 2
-8 = 0.
∴k=8.∴所求直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.
(方法2)设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6x1,-y1).
【解析】由(m＋1)(m－1)＋4＝m2 ＋3≠0，因此方程组有唯一的
解．
两条直线的交点坐标
A1a+B1b+C1=0
点A的坐标是方程组 l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 的解.
例1. 如图，求直线 l1：3x+4y-2=0和直线 l2:2x+y +2=0的交点坐标.
M
y
3x+4y-2=0 解:解方程组 2x+y+2=0 x=-2 得： y=2
-2 -1
2 1
两个方程可以化成同一个方程，因此两 个方程表示同一条直线，即l1与l2重合.
求下列各对直线的交点坐标，并画出图形
（1）l1:2x+3y=12， （2）l1:x=2，
l2:x-2y=4 l2:3x+2y-12=0
2x+3y-12=0 解:（1）解方程组 x-2y-4=0
x= 36 7 得： y= 4 7 36 4 所以直线l1与l2的交点坐标是（ ， 7 7 ）.
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0
得出方程组无解，所以两直线无公共点， 即l1与l2平行.
3.3.1 两条直线的交点坐标 及两点间距离公式
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1 =0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？ l1 l2 l1 l2 如何用代数的方 l2 法来判断这两条直线 ？ l1和l2平行的位置关系呢 l1和l2重合 l1
两条直线的交点坐标
3.2.1两直线的交点坐标☆学习目标：1、理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想，能正确地通过解方 程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进 一步渗透数形结合、坐标法思想3、通过探究过定点直线系的方程，培养运用转化思想☆教学重点：对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标 ☆教学难点：过定点直线系的定点求法，对含字母参数解的讨论☆探索与思考：探究一：已知两直线 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交如何求这两条直线的交点坐标？12、思考：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？3、判断下列各对直线的交点个数.如果相交，求出交点坐标.(1) 1:0l x y -=，2:33100l x y +-=(2) 1:340l x y -+=，2:6210l x y --=(3) 1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=探究二 ：怎样根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=的位置关系？（系数均不为零）自主学习检测：1.求下列两直线交点坐标1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=.2. 三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10与2x-y=10相交于一点，求a 的值 .3.已知直线mx+2y-1=0与直线2x-5y+n=0垂直相交于（1，a ），则m= ，n= ，a= .4. m 、n 取何值时，直线mx-2y-1=0与直线6x-4y+n=0：（1）平行；（2）相交；（3）垂直探究三：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有何特点？ 提示：取1,0=λ……，得直线0243=-+y x ，055=+y x ，……作出图形看看有什么特点？一般地方程0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示 （1122A ,,A ,,B B 不同时为零不同时为零）.例题展示与合作交流例1．求经过两直线0332=--y x 和02=++y x 的交点且与直线013=-+y x 平行的直线方程.例2.求点P （2,3）关于直线x+2y-1=0的对称点的坐标.例3. 已知ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0.求（1）顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.小结：通过本节课的学习你的收获是什么？课堂作业：P109习题组T5,T3。
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两条直线的交点 一、温故互查
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围：
二、设问导读（带着上述问题完成下列问题：） 1、在同一坐标系中两直线的位置关系有几种？ 2、直线上的一点与对应二元一次方程的解有何关系？
3、那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
已知两直线 l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
l 1与l 2
几何元素及关系 代数表示 点A A （a ，b ） 直线l
l ：Ax+By+C=0 点A 在直线l 上 直线l 1与l 2的交点A
4、如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？
例题1：求下列两直线交点坐标：l 1 ：3x+4y-2=0；l 2：2x+y +2=0 .
5、两直线的位置关系与其对应方程所组成的方程组的解有何关系？
例题2： 判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
（可先画出图形）
（1） l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0 （2） l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0 （3） l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0
6、两直线的位置关系与其方程组成的方程组的系数有何关系？
7、课后思考：当λ 变化时，方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？ 三、当堂检测：
1、求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。
2、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程。
（可以用两种方法求解）
3、已知三条直线21
,234,325x y kx y x ky -=+=-=，是否存在实数k 是的三条直线交于一点？若存在求出k 值，若不存在说明理由。
4、求证：不论m 为何值，直线(1)(21)5m x m y m -+-=+都过某一定点，并求出此定点坐标。
四、拓展延伸： 1、若直线l ：y = kx –
3与直线2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是：
A ．[30,60)
B ．(30,90)
C ．(60,90)
D ．[30,90]
【解析】直线l 1：2x + 3y – 6 = 0过A (3，0)，B (0，2)而l 过定点C (0,3)- 由图象可知.0AC
k k k >⎧⎨
>⎩
即可 所以l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.
直线的方程
特殊点
局限性
1.点斜式
2.斜截式
3.截距式
4.两点式
5.一般式
两条直线的交点
一、温故互查
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围：
二、设问导读（带着上述问题完成下列问题：） 1、在同一坐标系中两直线的位置关系有几种？ 2、直线上的一点与对应二元一次方程的解有何关系？
3、那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
已知两直线 l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
l 1与l 2
几何元素及关系 代数表示 点A A （a ，b ） 直线l
l ：Ax+By+C=0 点A 在直线l 上 直线l 1与l 2的交点A
4、如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？
例题1：求下列两直线交点坐标：l 1 ：3x+4y-2=0；l 2：2x+y +2=0 .
5、两直线的位置关系与其对应方程所组成的方程组的解有何关系？
例题2： 判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
（可先画出图形）
（4） l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0
（5） l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0 （6） l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0
6、两直线的位置关系与其方程组成的方程组的系数有何关系？
7、课后思考：当λ 变化时，方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？ 三、当堂检测：
1、求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。
2、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程。
（可以用两种方法求解）
3、已知三条直线21
,234,325x y kx y x ky -=+=-=，是否存在实数k 是的三条直线交于一点？若存在求出k 值，若不存在说明理由。
4、求证：不论m 为何值，直线(1)(21)5m x m y m -+-=+都过某一定点，并求出此定点坐标。
四、拓展延伸： 1、若直线l ：y = kx –
3与直线2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是：
A ．[30,60)
B ．(30,90)
C ．(60,90)
D ．[30,90]
【解析】直线l 1：2x + 3y – 6 = 0过A (3，0)，B (0，2)而l 过定点C (0,3)- 由图象可知.0AC
k k k >⎧⎨
>⎩
即可 所以l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.
直线的方程
特殊点 局限性 1.点斜式 y-y 0=k (x-x 0) (k 存在) 过(x 0, y 0)点 表斜线或水平线 2.斜截式
y=kx+b (k 存在)
过(0,b )点 表斜线或水平线 3.截距式
1 (0)x y
ab a b
+=≠ 过(a,0)和 (0,b )点 表不过原点斜线
4.两点式
1211122121x x y y x x y y y y x x ≠⎛⎫--= ⎪≠--⎝⎭
过(x 1, y 1)和 (x 2, y 2)点
表斜线 ()()()()121121y y x x x x y y --=--
可表示任何直线 5.一般式
Ax+By+C=0(A 、B 不同时为0）
可表示任何直线。