02-8.1 内积与欧氏空间

例4 在欧氏空间n 中, 向量 X = (a1, a2 , ..., an )T 的长度是 | X =| a12 + a22 + ... + an2 .
8.1 内积和欧氏空间
定义 长度为1的向量称为单位向量.
α 对任意非零向量 α , | α | 是单位向量.
α 从 α 得到单位向量 | α | 的过程称为把 α 单位化.
例5 在 4 中, 求一单位向量与= α1 (1,1, −1,1)T ,
α2 = (1, −1, −1,1)T , α3 = (2,1,1, 3)T 均正交.
解 设Y = ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 与X1 , X 2 , X 3正交,
则有

x1 x1
+ −
x2 x2
− −
当且仅当 α , β 线性相关时, 等号成立.
证明 显然，当且仅当α = 0或β - tα = 0时等式成立. 即当且仅当α，β线性相关时等式成立.
8.1 内积和欧氏空间
例5 对任意实数 ai , bi (i = 1, 2, ..., n)总有
(a1b1 + ... + anbn )2 ≤ (a12 + ... + an2 )(b12 + ... + bn2 )
8.1 内积和欧氏空间
定理 (Cauchy-Schwarz不等式) 设V 是欧氏空间, 则对任意的α , β ∈V , 总有(α , β )2 ≤ (α ,α )(β , β ). 当且仅当α , β 线性相关时, 等号成立. 证明 若α =0, 则左右两式均为0, 等号成立。 若α ≠ 0，考虑向量β -tα ,有 0 ≤ (β -tα , β -tα ) =(β , β ) − 2t(α , β ) + t 2(α ,α ).
(m
=i
1
aiα
i
,n
=j
1bjβ
j)
=m
n
=i 1=j
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1 aibj (αi , β
j ).
证明 (1) 因为(O,α ) =(O + O,α ) =(O,α ) + (O,α ),
所以(O,α ) = 0.
8.1 内积和欧氏空间
定义 设V 是欧氏空间, α ∈V, 定义α 的长度为 (α ,α ) , 记为 | α |. 长度还满足= | cα | | c || α |, c ∈ .
对任意 f ( x), g( x) ∈ C[a, b], 总有
( ) ∫ ∫ ∫ b
2
f ( x)g( x)dx ≤
b f 2 ( x)dx b g2 ( x)dx
a
a
a
8.1 内积和欧氏空间
定义 在欧氏空间V 中,定义非零向量 α , β
的夹角θ 由下式决定
= cosθ (α , β ) , 0 ≤ θ ≤ π . | α || β |
3 时，x1 = − 26
4
1
26
,
x3
= − ; 26
当x4 = −
3 时， x1 = 26
4 26 , x3 =
1; 26
所以Y =( 4 , 0, 1 , − 3 )T 或(− 4 , 0, − 1 , 3 )T .
26 26 26
26
26 26
8.1 内积和欧氏空间
小结 (1)内积、欧氏空间、长度、夹角、正交等概念 (2) Cauchy- Bunyakovsky -Schwarz不等式
x3 x3
+ +
x4 x4
= 0, = 0,

2
x1
+
x2
+
x3
+
3 x4
= 0,
解得x1 = − 43 x4 , x2 = 0, x3 = − 13 x4 .
8.1 内积和欧氏空间
由于Y 是单位向量, 因此
x12 +x22 + x32 + x42 = 1,
于是x4 = ±
3. 26
当x4 =
α ,αi , β j ∈V , c, ai , bj = ∈ (i 1, 2, ..= ., m; j 1, 2,，n)
总有 (1)(O,α ) = 0;
(2) (α , β + γ=) (α , β ) + (α ,γ );
(3) (α , cβ ) = c(α , β );
∑ ∑ ∑ ∑ (4)
定义 在欧氏空间V 中,两个向量 α , β 称为正交的, 如果 (α , β ) = 0 , 记为 α ⊥ β .
注1 零向量和任何向量正交; 注2 与自身正交的向量必为零向量.
8.1 内积和欧氏空间
问
当α ,β 满足什么关系时， |α +β |2 =|α|2 +|β |2 .
8.1 内积和欧氏空间
的线性空间.
对于 f ( x), g( x) ∈ C[a, b],
定义
b
( f , g) = ∫a f ( x)g( x)dx
则C[a, b]是无限维内积空间.
8.1 内积和欧氏空间
问
在 2 中对= 任意X
= aa12 ,Y

b1 b2

,
定义
( X ,Y ) = a1b1 − a2b1 − a1b2 + 4a2b2
定义 ( X ,Y )= X TY= a1b1 + a2b2 + ... + anbn 可见，(-,-)是一个内积（该内积称为n中的标准内积.）
n 关于以上定义的内积构成欧氏空间.
8.1 内积和欧氏空间
例2 在2 中对= 任意X
= aa12 ,Y
b1

b2

定义
视上式为关于t的一元二次不等式，则 22(α , β )2 − 4(α ,α )(β , β ) ≤ 0, 故(α , β )2 ≤ (α ,α )(β , β ).
8.1 内积和欧氏空间
定理 (Cauchy- Bunyakovsky -Schwarz不等式)
设V是欧氏空间, 则对任意的 α , β ∈V 总有 (α , β )2 ≤ (α ,α )(β , β ).
第八章 欧氏空间
8.1 内积和欧氏空间
8.1 内积和欧氏空间
定义 设V是实数域上的线性空间,映射(-,-): V ×V →
称为内积, 如果对任意 α , β ,γ ∈V , c ∈ 有
(1) (α , β ) = (β ,α );
对称
(2) (α + β ,γ ) = (α ,γ ) + (β ,γ );
线性
(3) (cα , β ) = c(α , β ); (4) (α ,α ) ≥ 0 且等号成立当且仅当 α = 0.
正定性
同时，称V 为关于内积(-,-)的欧氏空间.
8.1 内积和欧氏空间
例1 在实数域上的n维列向量空间n 中, 对于 X = (a1 , a2 , ..., an )T , Y = (b1 , b2 , ..., bn )T ,
(
X
,Y
)
=
max(|
i =1,2
ai
|,|
bi
|)
-1 1 0
取
X=
0

,Y
=

0

,
Z
=

0

,
此时 ( X + Y, Z ) ≠ ( X, Z ) + (Y, Z ),
则(-,-)不是内积.
8.1 内积和欧氏空间
例3 设C[a, b]是 的闭区间[a, b]上连续函数全体构成
则(-,-)是内积吗？
8.1 内积和欧氏空间
注 对于同一个线性空间，关于不同的内积构成不同的欧氏空间. 因此，欧氏空间的定义与内积的选取紧密相关, 所以欧氏空间也称为内积空间. 注 今后如无特殊说明, 欧氏空间 n 总指例1中所定义的 标准内积构成的欧氏空间.
8.1 内积和欧氏空间
下面讨论欧氏空间的基本性质. 设V 是关于内积(-,-)的欧氏空间, 则对于任意