人教版八年级上册数学课题学习造桥选址问题课件
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数学人教版八年级上册最短路径问题——造桥选址问题
问题延伸一
如图，A和B两地之间 有两条河，现要在两 条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直）
A
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点移到Ａ１、Ａ１点移 到Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ， Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ； 连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸 于Ｎ点，建桥ＭＮ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ Ｑ＋ＱＢ．
A
A1
M
Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
A M
Ｍ１
A1 N
L1
L2 B
Ｎ１
问题：
1、直接连接AB可以吗？ 2、路径是哪些线段之和？
3、当桥的位置变化后，路径中哪些是始终不变的？ 哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径可以转化为其它哪些线段之和？Fra bibliotek问题解决
如图，平移A沿与河岸垂 直的方向到A1，使ＡA1 等于河宽，连接A1Ｂ交河 岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此 时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ 最短.
A A1 A2 M N P Q B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
最短路径问题——造桥选址问题幻灯片课件
M N
P Q
G H
B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用 平移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至 Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分 别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于 Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接 M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1, 此时所走路径最短.
最短路径问题——造桥选址问 题
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两 岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
Ｍ１
M
A1
L1
Ｎ１
问题：
N
L2
B
1、直接连接AB可以吗？
2、路径是哪些线段之和？
3、当桥的位置变化后，路径中哪些是始终不变的？ 哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径可以转化为其它哪些线段之和？
问题解决
如图，平移A沿与河岸垂 A
直的方向到A1，使ＡA1 等于河宽，连接A1Ｂ交河
A1Leabharlann 岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
归纳小结
13.4 课题学习 造桥选址问题
学习要求： 1.独立思考 2.小组交流 3.评价
Ma b
N B
分析：
A
A'
Ma
A
C
l
bNLeabharlann BB如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点 A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转 化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
B
∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
问题2 归纳
解决实 际问题
A
A'
M
a
b
N
B
抽象为数学问题 用旧知解决新知
A
Ma Nb
B
联想旧知
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸， 现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂 直.）
思考：
你能把这个问题转化
为数学问题吗？
探究合作：
1.要求A到B的路径AMNB最短就是 求哪三条线段的和的最小值？ 2.这三条线段中，哪一条的长度是 A 一定的？所以求这三条线段和的最 小值就是哪两条线段和的最小值？ 3.此时能否直接连接AB？如果直接 连接AB与直线a和直线b的交点满足 题意吗？ 4.我们能不能把这里的两条直线变 成一条直线，从而转化为前一次课 所学的知识？
数学人教版八年级上册造桥选址
情境引入
A
为什么这样做就 能得到最短距离呢？
军 事 奇 才 拿 破 仑
清 晨 饮 马 到 江 东
欲 从 A 城 到 B 地
试 问 怎 样 短 行 程
B
根据：两点之间线段最短.
情境引入
A
A
B
★人教版八年级上册
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
——造桥选址问题
授课教师：赵笑伟 内黄县实验中学
学习目标
A
河1
河2
B
小结归纳
A M N B
抽象为数学问题
a b
解决实 际问题
A A' N B M
联想旧知
A
a b
用旧知解决新知
C
l B
存 在 很 多 奥 妙 ！
不 断 探 索 你 会 发 现 数 学 中
数 学 来 源 于 生 活 ， 服 务 于 生 活 ，
1 、能利用平移变换解决简单的造桥选址问题.
2、在运用知识解决有关问题的过程中，体验并 掌握探索、归纳最短路径选取的方法. 3 、体会图形的变化在解决最值问题中的作用， 感悟转化思想.
重、难点
能利用平移变换解决简单的最短路径问题.
问题探究
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径A-M-N-B最短？（假定河的 两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
课件.exe (命令行)
思考：ABiblioteka a 你能把这个问题转化 b 为数学问题吗？
B
知识归纳
A ′ A
A
转化新知
l
回归旧知
a b
B
B
选址造桥问题解决关键：
A
为什么这样做就 能得到最短距离呢？
军 事 奇 才 拿 破 仑
清 晨 饮 马 到 江 东
欲 从 A 城 到 B 地
试 问 怎 样 短 行 程
B
根据：两点之间线段最短.
情境引入
A
A
B
★人教版八年级上册
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
——造桥选址问题
授课教师：赵笑伟 内黄县实验中学
学习目标
A
河1
河2
B
小结归纳
A M N B
抽象为数学问题
a b
解决实 际问题
A A' N B M
联想旧知
A
a b
用旧知解决新知
C
l B
存 在 很 多 奥 妙 ！
不 断 探 索 你 会 发 现 数 学 中
数 学 来 源 于 生 活 ， 服 务 于 生 活 ，
1 、能利用平移变换解决简单的造桥选址问题.
2、在运用知识解决有关问题的过程中，体验并 掌握探索、归纳最短路径选取的方法. 3 、体会图形的变化在解决最值问题中的作用， 感悟转化思想.
重、难点
能利用平移变换解决简单的最短路径问题.
问题探究
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径A-M-N-B最短？（假定河的 两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
课件.exe (命令行)
思考：ABiblioteka a 你能把这个问题转化 b 为数学问题吗？
B
知识归纳
A ′ A
A
转化新知
l
回归旧知
a b
B
B
选址造桥问题解决关键：
人教版数学八年级上册1.2造桥选址问题课件(第四课时28张)
E
M
CF
G B
N
H
归纳新知
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
课后练习
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河 里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处 开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说 明理由.
解：图略．理由：垂线段最短．
2．【中考·黔南州】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作 一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E， 再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交 OM 于 C ， 交 ON 于 D ， 连 接 AC ， BD ， 则 四 边 形 ABDC即为所求．
6．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
(2)如图②，点A在直线m外侧，点B在直线 m，n内侧，作点B关于直线n的对称点B′， 连接AB′，分别交直线m，n于点P，Q； (3)如图③，点A，B在直线m，n内侧，分别作点A，B 关于直线m，n的对称点A′，B′， 连接A′B′，分别交直线m，n于点P，Q.
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b
的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什
《造桥选址问题》课件
环保性原则
总结词
在建桥过程中，应尽可能减少对环境的 破坏和污染，保护生态环境和自然资源 。
VS
详细描述
在选址阶段，应充分考虑桥梁建设对周围 环境的影响，包括土地利用、水资源、野 生动植物等。应尽量选择环境影响较小的 地点，避免在生态敏感区域建设桥梁。同 时，在施工过程中应采取有效的环保措施 ，减少粉尘、噪音、废水的排放，降低对 环境的负面影响。
造桥选址的案例分析
长江大桥选址案例
总结词
地理位置重要、工程难度大
详细描述
长江大桥是中国交通网络中的重要节点，连接了多个省份和 城市。由于长江的特殊地理环境和水文条件，选址需要考虑 诸多因素，如河床稳定性、水深、河流通航等，以确保桥梁 的稳定性和安全性。
黄河大桥选址案例
总结词
地质条件复杂、环境保护要求高
4. 形成调查报告，提出 建议。
优点：能够全面了解桥 址周边的实际情况，为 决策提供可靠依据。
缺点：需要大量时间和 人力投入，成本较高。
数学模型法
• 定义：数学模型法是通过建立数学模型，对桥址 进行定量分析和预测，从而确定最优选址方案的 方法。
数学模型法
步骤 1. 确定影响桥址选择的主要因素。
2. 建立数学模型，进行模拟分析。
对环境保护和可持续发展的影响
科学的选址可以减少对环境的破坏，实现可持续发展，保护生态平衡。
02
造桥选址的原则
稳定性原则
总结词
在选址过程中，首要考虑的是桥梁结构的稳定性，以确保桥梁在使用过程中的安全性和 耐久性。
详细描述
桥梁的稳定性取决于地质勘察、水文条件、气候条件等多种因素的综合评估。在选址阶 段，需要对桥墩所在地的地质构造、岩石力学性质、地下水位等进行深入勘察，以确保
13.4《课题学习最短路径问题》第2课时PPT课件人教版数学八年级上册
要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B
两点间来往路径最短,试在图中画出
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
拓展提升
如图，某河在CC1处直角拐弯，河宽均相同，现要在河
流拐弯的两旁分别造桥DD1，EE1，桥要与河垂直，问
A∙
M
a
b N ∙B
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动
到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.
此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+
NB的值最小.
A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
课堂导入
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？ （假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
新知探究 知识点 造桥选址问题
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将河的两岸看成两条 平行线a和b，N为直线b上的一 A∙ 个动点，MN垂直于直线b，交直 线a于点M.当点N在什么位置的 时候，AM+MN+NB的值最小？
问 题 . 分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 符合条件的路径,并标明桥的位置. 分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.
《人教版八年级上册》课题学习 造桥选址问题
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
A M
N
a
b B
问题探究
当点M在直线 a 的什么位置时，AM+MN+NB最短？
A
M1 M M3
M2 a
N1 N3
b N N2
B
问题分析
那究竟怎样选择点M的位置，才能使得 AM+MN+NB最短呢？
课后作业
拓展探究：如图，如果A、B两地之间有两条平行的河，我 们要建的桥都是与河岸垂直的，我们如何找到这个最短距离 呢？
祝同学们学习进步！
通过平移，我M+NB=CN+NB >CB
C
EＭ
a
b
DＮ B
问题解决
A
如图，平移A到A1，使AA1等于河 A1 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
证明:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. AM＝A1N，AM１＝A1N1，AA１＝MN＝M1N1
《人教版八年级上册》课题学习
造桥选址问题
钱武塘汉江长大江桥大桥
我新国中第国一第座一由座中现国代人化自的己大设桥计。建造的铁路公路两用桥
茅以升简介
中国土木工程学家、桥梁专家、 工程教育家。他主持了钱塘江大桥、 武汉长江大桥、南京下关惠民桥、济 南黄河桥等的修建，为我国的交通事 业和桥梁事业做出了杰出的贡献。
AM+MN+NB=AA1＋A1B
AM1+M1N1+N1B=AA1＋A1N1+N1B
课件_人教版八年级上册1 课题学习 最短路径问题ppt课件
∴当只有在C点位置时,AC+BC最短.
B
合作交流 探究新知
探究3：在公路l同侧有A、B两个小区，现要在 公路l旁修建一公交站C，要使公交站到两小区 的距离之和最短，试确定公交站C的位置。
A B l
归纳新知
因此,如果在直线l同侧的两个点分别是点A,B,在l上
找一个点C,使点C到点A、B距离和CA+CB最短,那么我们
探究2：此时A，B'两小区到供气站距离之和与A，B两小区之间距离有怎样的关系？为什么？ 1、如图，已知正方形ABCD，M是BC的中点，P是对角线BD上一动点，要使PM+PC的值最小，请确定P点的位置。
河垂直.） 1）两点之间，线段最短
如下图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其 所走的总路程最短。
归纳小结
“最短路径问题” (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小 的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连 接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求. 如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一 个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B', 则点C是直线l与AB'的交点.
应用新知 解决问题
1、如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上 的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有四种铺 设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的 是（ ）？
Q
Q
Q
Q
P
P
P
P
L M
A
L M
B
L M
C
L M
D
2．如图，AD是等边三 角形△ABC的BC边上的 高，AD＝6，E是AD上 的动点，E是AC边的中 点，则EF＋EC的最小 值为____．
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第2课时)》示范教学课件
这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？
可以把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（如图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M．
问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM＋MN＋NB 最小？
由于河岸宽度是固定的（MN 长度固定）
作法： （1）将 A 沿与河岸垂直的方向平移到 A′，使 AA′ 的长度等于桥长；
N
a
b
A
B
A′
你能试着证明一下吗？
（2）连接 A′B，交直线 b 于点 N，点 N 即为所求；
由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′． 所以AM＋NB＝A′N ＋NB＝A′B， AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．
证明：在直线 b 上任取一点N′ ，过点 N′ 作N′M′⊥a，连接 AM′，A′N′，N′B，
M
N
a
b
A
A′
B
M′
N′
M
N
a
b
B
由两点之间，线段最短可知：A′B＜A′N′＋N′B， 即AM＋NB＜AM′＋N′B， 即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
A′
归纳
l
B
A
例 已知线段 a，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P，Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝a，使得四边形 APQB 的周长最小．
课题学习 最短路径问题第2课时
人教版八年级数学上册
如图，在直线 l 上求作一点 C，使得 CA＋CB 最短．
A
l
B
A
B
l
问题
（造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
可以把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（如图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M．
问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM＋MN＋NB 最小？
由于河岸宽度是固定的（MN 长度固定）
作法： （1）将 A 沿与河岸垂直的方向平移到 A′，使 AA′ 的长度等于桥长；
N
a
b
A
B
A′
你能试着证明一下吗？
（2）连接 A′B，交直线 b 于点 N，点 N 即为所求；
由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′． 所以AM＋NB＝A′N ＋NB＝A′B， AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．
证明：在直线 b 上任取一点N′ ，过点 N′ 作N′M′⊥a，连接 AM′，A′N′，N′B，
M
N
a
b
A
A′
B
M′
N′
M
N
a
b
B
由两点之间，线段最短可知：A′B＜A′N′＋N′B， 即AM＋NB＜AM′＋N′B， 即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
A′
归纳
l
B
A
例 已知线段 a，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P，Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝a，使得四边形 APQB 的周长最小．
课题学习 最短路径问题第2课时
人教版八年级数学上册
如图，在直线 l 上求作一点 C，使得 CA＋CB 最短．
A
l
B
A
B
l
问题
（造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
八年级初二数学上册人教版 最短路径问题完整 名师教学PPT课件(1)
思考 通过哪种图形的变化（轴对称,平移等）,
可以将问题转化为研究过的问题呢?
问题
练习
作法
习
思考
最短路径问 题
造桥选 址问题
练习
课堂小结
课堂小结
依据 两点之间,线段最短. 方法 利用轴对称、平移等变化,把已知问题
转化为容易解决的问题. 思想 化归思想.
谢谢观看！
好好学习 天天向上
最短路径问题
例:造桥选址问题 例
思考 问题能否简化?
思考 能否通过图形的变化（轴对称,平移等）,将问题
转化为研究过的问题呢?
作法
总结 实际问题用数学语言表达.
总结
转化1
利用平移,实现线段的转移.
转化2
把已知问题转化成容易解决 的问题.
造桥选址问题
1 实际问题用数学语言表达. 2 利用平移,实现线段的转移. 3 把已知问题转化成容易解决的问题.
思考
只需证明: 只需证明: 只需证明:
由两点之间,线段最短可证.
思考
由两点之间,线段最短可知:
造桥选址问题
1 实际问题用数学语言表达. 2 利用平移,实现线段的转移. 3 把已知问题转化成容易解决的问题. 4 用符号语言进行推理和表达.
练习 问题转化为:
思考 哪些点是定点? 哪些点是动点?
思考 问题是否可以简化?
26
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题(第2课时)(共9张PPT)
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
13.4课题学习最短路径问题（第2课时）
探索新知
问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现
要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B
的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直
线，桥要与河垂直。）
aALeabharlann MbNB
问题2：你能证明一下如果在不同于 MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的， 能证明我们的做法AM+MN+NB的和是
课堂小结
1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学 知识和方法？学到哪些解决问题的思路。 2.你还有什么疑惑?在小组内提出来共同解 决，解决不了的小组提出来全班解决。 3．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你 获得知识的方法和经验。
推荐作业
（必做）1、把今天的收获写到数学日记上.（包括例题和拓 展题目的分析方法和作图的方法、证明方法）
N.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
拓展应用
如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到 四边形四个顶点的距离和最小。
拓展应用
如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四 边形四个顶点的距离和最小。
证明：如果存在不同于点O 的交点P，连接PA、PB、PC、 PD， 那么PA+PC＞AC， 即PA+PC＞OA+OC， 同理，PB+PD＞OB+OD， ∴PA+PB+PC+PD＞ OA+OB+OC+OD， 即点O是线段AC、BD的交点时， OA+OB+OC+OD之和最小．
金戈铁骑整理制作
13.4课题学习最短路径问题（第2课时）
探索新知
问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现
要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B
的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直
线，桥要与河垂直。）
aALeabharlann MbNB
问题2：你能证明一下如果在不同于 MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的， 能证明我们的做法AM+MN+NB的和是
课堂小结
1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学 知识和方法？学到哪些解决问题的思路。 2.你还有什么疑惑?在小组内提出来共同解 决，解决不了的小组提出来全班解决。 3．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你 获得知识的方法和经验。
推荐作业
（必做）1、把今天的收获写到数学日记上.（包括例题和拓 展题目的分析方法和作图的方法、证明方法）
N.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
拓展应用
如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到 四边形四个顶点的距离和最小。
拓展应用
如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四 边形四个顶点的距离和最小。
证明：如果存在不同于点O 的交点P，连接PA、PB、PC、 PD， 那么PA+PC＞AC， 即PA+PC＞OA+OC， 同理，PB+PD＞OB+OD， ∴PA+PB+PC+PD＞ OA+OB+OC+OD， 即点O是线段AC、BD的交点时， OA+OB+OC+OD之和最小．
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交所直以线问a题于还点可M以，转当化点为N在：直当线点bN的在什直
么线位b的置什时么，位AM置+时M，N+ANMB+最N小B最？小？
思维分析
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拓展应用
拓展1：如图，如果A、B两地之间有两
条平行的河，我们要建的桥都是与河岸
垂直的。我们如何找到这个最短的距离
呢？
A
河流1
方法
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图像
河流2 B
பைடு நூலகம்
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方法：将点A沿与第一条河流垂直的 方向平移一个河宽到A1，将B沿与第 二条河垂直的方向平移一个河宽到B1， 连接A1B1与两条河分别相交于P、M， 在P、M两处，分别建桥PQ 、 MN， 所得路径AQPMNB最短。
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13.4 课题学习 最短路径问题（2）
造桥选址问题
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教学目标
1、知识与技能： 理解利用平移的方法，解决最短路径问题。 2、过程与方法： （1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养 学生的实际动手能力； （2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验 并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。 3、情感、态度与价值观 （1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困 难的勇气和信心； （2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题， 增强应用意识； （3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过 来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
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A
C
B
B
A
l C′ C
l
B′
B′
利用轴对称的方法把已知问题转化为
容易解决的问题，这是“两点的所有
连线中，线段最短”的应用。
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提出问题
如果把一条直线l变成两 条直线，会变成生活中的什 么问题呢？
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知识点回顾 1、 两点所有的连线中线段最短。 2、 连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短。 应用1：利用轴对称的方法解决最短 路径选取问题。
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谢谢！
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A D A`
E
D` E`
B B` 此时，ADD`E`EB的路程最短。
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小结
造桥选址问题，要使所得到的路径 最短，就是要通过平移，使得除桥长 不变外，把其它路径平移在一条直线 上，从而做出最短路径的选择。这是 “两点所有的连线中，线段最短”的 第二个应用。
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新课学习
茅以升简介
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A
M
a
N
b
B
如因图为，河已宽知M两N是条固平定行的直，线因a和此b当,N为直
线AMb上+N的B一最个小动时点，，AMM+NM垂N直+N于B直最线小b。，
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A
A1
Q
PM
N
B1
B
AQPMNB的路程最短
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拓展2：如图，荆州古城河在CC`处直 角拐弯，从A处到达B处，需经两座桥： DD`,EE`(桥宽不计），设护城河以及两 座桥都是东西、南北方向的，如何架桥 可使ADD`E`EB的路程最短？
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方法 图像
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方法：把点A沿与东西方向的河流垂 直的方向平移一个河宽到A`，把点B 沿着南北方向的河流垂直的方向平移 一个河宽到B`，连接A`B`，与两河分 别于D`和E`,在D`和E`处分别建桥DD` 和EE`，所得路程ADD`E`EB最短。