八年级数学上册第11章三角形知识点总结教学文案

_
C _B _
A 八年级数学上册第
11章三角形知识点总结
一．认识三角形
1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边
;相邻两边所组成的
角叫做三角形的内角
; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表
示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母 c 表示，
AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形
是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的
△没有意义．
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

3. 三角形三边的关系（（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短））（1）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的
任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）。

用数学表达式表达就是：记
三角形三边长分别是
a ，
b ，
c ，则a ＋b ＞c 或c －b ＜a 。

（2）已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围：
|a －b|＜c ＜a ＋b
①数三角形的个数
方法：分类，不要重复或者多余
②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边（最小两边之和＞第三边），不用比较三遍，只需比较一遍
即可
③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；
直到找完为止，注意不要找重，
也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度
c 的范围
方法：第三边长度c 的范围：|a －b|＜c ＜a ＋b ；即已知的两边之差＜三角形的第三边＜已
知的两边之和。

⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长
方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综
上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,这条垂线段叫做三角形的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

三角线的高的表示法：如图根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是ABC 的高；
②AM 是ABC 中BC 边上的高；③如果AM 是ABC 中BC 边上高，那么AM BC
，垂足是E ；④如果AM 是ABC 中BC 边上的高，那么
AMB =AMC =90.
注意：三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上
.
2. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。

根据“等底同高”原理所
以三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角
形的重心”。

三角形的中线表示法：如图，根据具体情况
使用以下任意一种方式表示：
①AE 是ABC 的中线；②AE 是ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是ABC 的中线，那么
BE=EC =
2
1BC .
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的
三角形．
3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的
线段；要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；
角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做
“三角形的内心”。

三
角形的角平分线的表示法：如图，根据具体情况使用以下任意
一种方式表示：
①AD 是ABC 的角平分线；②AD 平分BAC ，交BC 于D ；③如果AD 是ABC 的角平
分线，那么
BAD =DAC =
2
1BAC .
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．
总结：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，
三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、
三条中线都
在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，
另两条高恰好是它两条直角边；
钝角三角形一条高在
三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，
三条角平
分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，
钝角三角
形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）
要求会的题型：
①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。

三、三角形的稳定性
1. 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
2.三角形具有稳定性，四边形及多边形不具有稳定性
3.要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

四、三角形的内角与外角1. 三角形的内角和定理：
三角形的内角和为
180°，与三角形的形状无关。

应用内角和
定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
2. 直角三角形两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。

有两个
角互余的三角形是直角三角形。

注意：一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；
一个三角中至少有两个内角是锐角。

3.三角形的外角
1. 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
2. 三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

——常用来求角度；②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

——常用来比较角的大小；③三角形的外角和：
360°。

注意：每个顶
点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角，且
∠ACD=∠BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这
样三角形的外角就只有三个了
.
五、多边形及其内角和
1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

.多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连
B
A
C E
D
接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

一个n边形从一个顶点出发的对
角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
23
n
n
将边数n的值带入公式即可。

2. 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直
线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

3. 正多边形：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

（两个条件缺一不可，除
了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）要求会的题型：
①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条
数方法：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数
为
23
n
n
.将边数n带入公式即可。

4.n多边形的内角和定理：n多边形的内角和为(n -2) 180°
；
5. n多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

6.多边形边的条数=多边形的内角和度数÷180°+2；
7.正多边形边的条数=多边形的外角和度数360°÷正多边形每一个外角的度数；
8.正多边形每个内角的度数=正多边形的内角和度数÷正多边形的内角个数n;9. 多边形的一个内角+多边形的相邻的一个外角度数=180°。