研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三

1．证明下列问题：

（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T

m A 收敛于T A ，{}

m A 收敛于A ；

（2）若方阵级数∑∞

=0m m m A c 收敛，则∑∑∞

=∞==⎪⎭

⎫ ⎝⎛00)(m m

T m T

m m m A c A c .

证明：（1）设矩阵

,,2,1,)()

( ==⨯m a A n n m ij m

则

,)()(n n m ji T

m a A ⨯=,)()(n n m ij m a A ⨯=,,2,1 =m

设

,)(n n ij a A ⨯=

则

n n ji T a A ⨯=)(，,)(n n ij a A ⨯=

若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有

ij m ij m a a =∞

→)

(lim ，

则

ji m ji m a a =∞

→)(lim ，ij m ij m a a =∞

→)(lim ，n j i ,,2,1, =，

故{}

T m A 收敛于T

A ，{}

m A 收敛于A .

(2)设方阵级数

∑∞

=0

m m m

A c

的部分和序列为

,,,,21m S S S ，

其中m

m m A c A c c S +++= 10.

若

∑∞

=0

m m m

A c

收敛，设其和为S ，即

S A c

m m m

=∑∞

=0

，或S S m m =∞

→lim ，

则

T T

m m S S =∞

→lim .

而级数∑∞

=0

)(m m

T

m

A c

的部分和即为T m

S ，故级数∑∞

=0

)(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，

即

∑∑∞

=∞==⎪⎭

⎫ ⎝⎛00)(m m T m T

m m m A c A c .

2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{}

1-m A ，1

-A 都存在，证明：

（1）A A m m =∞

→lim ；（2）{}1

1

lim --∞

→=A

A m

m .

证明：设矩阵

,,2,1,)()

( ==⨯m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ⨯=

若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有

ij m ij m a a =∞

→)

(lim .

(1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有

,lim )

(k k

kj m kj m a a =∞

→ n k ,,2,1 =， 故

∑-∞

→n

n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1)

()1(lim

τ

＝

∑-n

n n j j j nj j j j j j a a a 21212121)

()1(τ

，

而

∑-=

n

n

n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121)

()(2)(1)()1(τ，

∑-=

n

n n j j j nj j j j j j a a a A 21212121)

()1(τ

,

故

A A m m =∞

→lim .

(2) 因为

n n m ij m m A A A ⨯-=

)(1)

(1，n n ij A A

A ⨯-=)(11. 其中)

(m ij A ，ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.

与（1）类似可证明对任意的n j i ,,2,1, =，有

ij m ij m A A =∞

→)

(lim ，

结合

A A m m =∞

→lim ，

有

n n m ij m m A A ⨯∞

→)(1lim

)(＝n n ij A A

⨯)(1， 即

{}

11

lim --∞

→=A A m m .

3.设函数矩阵

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎣⎡=320

1

sin cos sin )(t t e t t t t t t A t ， 其中0≠t ，计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),

(22t A dt

d ,)(t A dt d

)(t A dt d . 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有