数学分析》第六章微分中值定理及其应用(3)

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1 x2 ；
四 、 方 程 ln x ax ( a 0 ) 有 几 个 实 根 .
五 、 设 f ( x ) 在 [a , b ] 上 连 续 ， 在 (a , b ) 内 f ( x ) , 试 证 明 ： 对 于 [a , b ]上 任 意 两 x1 ，x 2 有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )[提示：方法（1）
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三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.
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思考题
若 f(0 ) 0 ， 是 否 能 断 定 f(x )在 原 点 的
充 分 小 的 邻 域 内 单 调 递 增 ？
f(x 2)f(x 1).yf(x)在 [a,b]上单调 . 增
若 (a ,b 在 )内 f(x ) ， 0 , 则 f()0,
f(x 2)f(x 1) . yf(x)在 [a,b]上单调 . 减
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例1 讨论y函 ex 数 x1的单.调性
解 yex1.又 D :(, ) .
在( ,0)内 , y 0,
2
2
f ( x ) 0 ， f ( x ) 单 增 ； 方 法 （ 2 ） f ( x ) 0 ，
利用泰勒公式]
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练习题答案
一 、 1 、 ( , 1 ], [ 3 , ) 单 调 增 加 ,[ 1 ,3 ] 单 调 减 少 ； 2 、 增 加 , ( , 1 ], [1 , ) 3 、 ( , 1 ] ,[1 , ) ； [ 1 ,0 ), ( 0 ,1 ]; ( , 1 ], ( 0 ,1 ] .
函数单调减少；
在(0, )内 , y 0, 函数单调增.加
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
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单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
解 D:(, ) .
f(x) 2, (x0) 33x
当x0时,导数不.存在
y3 x2
当 x0时f， (x)0, 在(,0]上单调减少；
当 0x 时f， (x)0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
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注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, yx00, 但在 ( ,)上单调.增
解方 f(x程 )0得， x11,x22. 当 x1时， f(x)0, 在(,1]上单调增加；
当 1x2时，f(x)0, 在[1,2]上单调减少；
当 2x 时， f(x)0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]，[1,2]， [2,).
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例3 确定函 f(x数 )3 x2的单调. 区间
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思考题解答
不能断定.
例 f(x)x2x2sin1x, x0
0,
x0
f(0) lx i0 m (12xsi n 1x)10
但 f(x ) 1 4 x si1 n 2 c1 o , s x 0 xx
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当
x
(2k
1
1)
时，
2
-0.1
0.075 0.05
0.025
-0.05 -0.025
二 、 确 定 下 列 函 数 的 单 调 区 间 ：
1、 y 10 ； 4x39x26x
2、 y3(2xa)a (x)2 (a0)； 3、 yxsi2n x.
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三、证明下列不等式：
1 、 当 x 0 时 ， 1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2x x2 ； 3 、 若 x 0 ， 则 sin x x 1 x 3 .
f(x)1 4 0
-0.05 -0.075
(2k1)
2
当
x
1 2k
时，
f(x)10
0.05
0.1
注意 k可以任意大，故在 x0 0点的任何邻 域内，f (x) 都不单调递增．
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练习题
一、填空题： 1、函数y 2x3 6x2 18x 7单调区间为________ _____________. 2、函数y 2x 在区间[-1,1]上单调________， 1 x2 在_________上单调减. 3、函数y x2 lnx2的单调区间为____________， 单减区间为_____________.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法: 用方f程 (x)0的根f及 (x)不存在的点
来划分函 f(x)数 的定义,区 然间 后判断区间
数的符 . 号
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例2 确定函f(数 x)2x3 9x2
12x3的单调.区间
解 D:(, ) .
f(x)6x21x 8 1 26 (x 1 )x ( 2 )
例4 当 x 0 时 ,试 x l证 n 1 x ( )成 . 立 证 设 f(x ) x ln 1 x (),则f(x) x .
1x f ( x ) 在 [ 0 , ) 上 ,且 ( 0 连 , ) 可 续 f ( x ) 导 0 ,
在[0,)上单调增加 f； (0)0,
当x0时，x ln 1 x () 0 ,即 xln 1 (x).
那末函 y数 f(x)在[a,b]上单调. 减少
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证 x 1,x 2 (a ,b )且 , x1x2,应用拉氏定理,得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 x ( 1 )( x 1 x 2 ) x2x10,
若 (a ,b 在 )内 f(x ) ， 0 , 则 f()0,
第六章 微分中值定理及其应用
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§3 函数的增减性
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单调性的判别法
y
yf(x) B
A
yA yf(x) B
oa
bx
f(x)0
oa
bx
f(x)0
定理 设函y数 f(x)在[a,b]上连续(a， ,b)内 在可
导 （ . 1） 如果(a在 ,b)内f(x)0，那末y函 f(数 x)
在[a,b]上单调增 (2)加 如； 果(a在 ,b)内f(x)0，