正余弦函数

[-π/2+2k, π/2+2k],增 [π/2+2k, 3π/2+2k],减
奇函数 T=2π
对称轴是直线x= π/2+kπ 对称中心是点(kπ,0)
余弦函数y=cosx
R [-1，1] 当x=2kπ时，ymax=1 当x=2kπ+ π时，ymin=-1
[2k- , 2k],增 [2k, π+2k],减
2.正、余弦函数的最小正周期T=_2_π___
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos (ωx+φ)(A≠0， ω＞0) 的最小正周期T=_2ω _π_
若函数y=Asin(2ωx+φ) (A≠0，ω＞0) 的最小正周期是4π，则ω=_1_4__ 3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质. 正弦函数、余弦函数还具有 哪些性质呢？
偶函数
T=2π 对称轴是直线x= kπ 对称中心是点(π/2+kπ,0)
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大 值、最小值时自变量x的集合.
（1）y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
例2 不通过求值，指出下列各式是大于0还是小于0：
(1)
sin(
18
)
–
问题提出
1.周期函数是怎样定义的？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数, 则这个最小正数 叫做f(x)的最小正周期.
[k , k 3 ]
8
5 2
3
7 2
4
思考2：上述对称性反-1 映出正、余弦函数分别具
有什么性质？如何从理论上加以验证？
sin(-x)= - sinx
(xR)
f(-x)=-f(x)
f(x)=sinx
(xR)是奇函数
cos(-x)= cosx (xR) f(-x)= f(x)f(x)=cosx (xR)是偶函数
思考3：观察正弦曲线升降趋势，正弦函数在哪
些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如
何将这些单调区间整合y ？
1
y=sinx
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增大到1
减区间为
[[
函数y=Asinωx（Aω≠0）的值域是_[_-_|_A_|_，__|_A_|]
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2y
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
5 2
x
3
7 2
4
-1
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还
关于其它的点和直线对称？
点(k，0)(k Z)和直线x
的单调区间？
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ
上单调递减
函数在
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ上单调递增
解(2：)2yk=3sin(2x-24x
)
2k
k x k 3
2
4
2
8
8
2k 2 x 2k 3 k 3 x k 7
2
4
2
8
8
所以：单调增区间为 单调减区间为
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
4
例3 求下列函数的单调递增区间： (1) y=2sin(-x )
你能求 y=3sin(π/4-2x)
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
探究（二）：正、余y弦函数的最值与对称性
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-y1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考1：观察正弦曲-1 线和余弦曲线，正、余弦
函数是否存在最大值和最小值 ？ _答__：__存__在__
若存在，其最大值为__1___和最小值为_-_1___.
sin(
10
)
解：
2
10
18
2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
)
–
sin(
10
)>0
(2) cos( 23 ) 5
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
值域、单调性、奇偶性、最值
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，
你有什么发现？ y
正弦曲线关于原点o对称
1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-y1
余弦曲线关于原点o对称
1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
2k (k
Z)
思考6：余弦曲线除了关于y轴2对称外，是否还
关于其点它(的点k和,0直)(k线对Z称)和？直线 x k (k Z )
2
定义域
值域与 最值
单调性 奇偶性 周期性 对称性
正弦函数y=sinx
R
[-1，1] 当x=2kπ+ π/2时ymax=1 当x=2kπ+ 3π/2时ymin=-1
思 时考取2最：大正值弦1函, 数当y且=s仅in当x当x=且__仅__当2_k_x_,=k___2__Z_时_2k_取_,_k _最_Z
小值-1
2
y
余弦曲线
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
-1
思考3：观察余弦曲线可知
2
5 2
x
3
7 2
4
余弦函数y=cosx当且仅当x=_2_k_π_(k_∈__Z_)__时取最 大值1;当且仅当x=_(2_k_+1_)_π_(k_∈__Z_) _时取最小值-1. 思考4：正、余弦函数的值域是_[_-_1_，__1]
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减小到-1
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是 增函数？在哪些区间上是减函数？
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1