线性空间的定义与性质(精)

与数量乘法封闭，易验证 8 条算律成立
C [a, b] 是数域 R 上的线性空间。
→

C [a, b] 是实变函数论研究的对象.
例4 （1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.
证明：(2) , C, k R C, k C , 即 C 对向量加法， 数量乘法（数的乘法）封闭. 易验证 8 条算律成立 → 性空间. (3) R, k C k 不一定属于 R (例如： 1, k 1 i , 有
（统称为运算封闭性） ，且满足算律： ① ② ③ ④
＋ ＋ ；
(＋ )＋ ＋( ＋ ) ；
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(ab)α a(bα) ；
1 ；
0 V , V , 0 ；
V , / V , / 0 ；
二. 基本性质
8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8 条算律为基础推导其它基本性质. 以下6条基本性质：
1. V 中零向量唯一.
算律 3) 证明： 设 0 1，0 2 是 V 中零向量
0 2＝0 2＋0 1＝0 1＋0 2＝0 1 . □
该性质是可以用 0 表示 V 中零向量的理论依据.
向量). 5.
k 0 k 0 或 0 .
证明： 若 k 0 ，命题已经成立； 若k 0

k =0
6) 1 1 1 1 ( k) (k ) 0 = 0 . k k k
□
5.

i=1
n
i
1 2
n 有确定意义.
例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：
设 Mm×n = {A：数域 P 上 m× n 矩阵}，显然
A, B Mm ×n , k P AB Mm ×n ， kA Mm ×n ,
即 Mm×n 对矩阵加法和数乘运算封闭； 易验证 8 条算律亦成立 →
M m? n 对矩阵加法和数乘运算构成数域 P 上的向量空间.
k 1 i R 成立) → R 非 C 上的线性空间.
C 是 R 上的线
例5 （1）数域P上一元多项式环P[x]； （2）P[x]n={f(x)｜əf＜n} ∪{0}.
证明： (1) P[x]对多项式的加法，数乘运算封闭，且 8 条算律成立 → P[x]构成 P 上的线性空间. (2) 显然成立. 由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法 统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法.
证明： 略. 6.

i=1
n
i
1 2
n 可交换其中项的位置.
证明： 略.
作业： 1. P267 习题3中1）— 8）； 2. 整理笔记，熟悉一个概念、二个运算、八条算律、 六条性质.
要证 ( 1) ,即证 ( 1) 是 的负向量. 事实上
( 1) 1 (1) (1 1)) 0 0 → ( 1) 成立.
8)
□

k( ) ( k) k .(即证 k( ), ( k) 是 k 的负 常用表达式为：
§6.2 线性空间的定义与性质
内容提要 线性空间的定义 相关的基本性质
一 二
一. 线性空间的定义
设集合 V≠ ，F 是数域，称 V 是向量，V 是 F 上的向量 空间，如果 1) 2)
, V ＋ V (向量加法)； V, a F a V (数量乘法)
a( ) a a ； (a b) a b .
例1 平面（空间）解析几何中的典例：
V2 = { ：平面直角坐标系原点为始点的矢量} y
a


X 易验证 V2 关于矢量的加法和数乘运算构成一个实数域 R 上的向 量空间。V3 有类似的结论。

M1 ×n = {(a 1 , a 2 ,
, a n ) a i P,i 1, 2,
, n} 为 P 上 n 元行空
间，Mn ×1 = {(a1 , a 2 , 间，统一记为 Pn .
, a n ) / a i P,i 1, 2,
, n} 为 P 上 n 元列空
例3 C[a,b]={f：[a,b]上连续实函数}：
2.
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V, 的负向量唯一.
算律 4)
证明： 设 有两个负向量 ，
3),1) 1)
0
→ □
0 ( ) ( ) ( ) 0 .
2)

依据该性质可用符号 表示向量 的负向量，即 ( ) 0 ，并 → 减法不是一种独立运算.
□

移项变号规则成立.
4.
0 0, k 0 0, ( 1 .
8)
证明： 0 0 0 0 (0 0 ) (0 0 ) 0 (0 0) 0 0 0
0 ( 0 ) 0 . 类似可证 k 0 0 .
f , g C [a, b],
规定： x C [a, b] ， k P ， → g(x ) f (x ) a x g b f
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), kf ( x ) k ( f ( x ))
f g , kf C [a, b] ，即 C [a, b] 对连续实函数的和
引入减法运算: ( ) 3.
.
证明： 0 ( ( )) ( ) ( ) ( ) .
( ) (( ) ) 0 .