第3课时 分 式

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考点一
确定分式有意义的条件
x ＋3 (2013· 柳州 )若分式 有意义，则 x≠ 2. x －2 【思路点拨】 根据分式有意义的条件是分母不等 于 0 ，即可得解． 5 (2013· 成都 )要使分式 有意义，则 x －1 x 的取值范围是( A ) A． x≠ 1 B．x＞1 C． x＜1 D． x≠－ 1
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考点三
分式的化简与求值
1 (2013· 威海)先化简，再求值：( － x －1 x ＋2x＋ 1 1)÷ 2 ，其中 x＝ 2－ 1. x －1 【思路点拨】先根据分式的混合运算顺序将分式 化为最简形式，再将 x＝ 2－ 1 代入求值．
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1 1． (2012· 湖州)要使分式 x有意义，x 的取值满足 ( B ) A．x＝0 B．x≠0 C．x>0 D．x<0 ) a 1 2．(2011· 金华)计算 － 的结果为( C a－1 a－1 1＋a A. a－1 C．－1 a B．－ a－1 D．1－a
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考点一
分
式
A 形如 (A， B 是整式， B 中含有字母，且 B≠0)的 B 式子叫做分式． (1)分式有无意义： 当 B＝ 0 时， 分式无意义； B≠0 时，分式有意义． (2)分式值为 0：即 A＝ 0 且 B≠ 0 时，分式的值为 0.
2
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1－x＋1 x＋12 解 ： 原 式 ＝ ÷ ＝ x－1 x＋1x－1 －x＋2 x＋1x－1 －x＋2 · ＝ . 2 x－1 x＋1 x＋1 －x＋2 － 2＋1＋2 把 x＝ 2－1 代入上式， ＝ ＝ x＋1 2－1＋1 3－ 2 3 2 ＝ －1. 2 2
2 2
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1 1 8 ．要使分 式 ＋ 有意义 ， a 的取 值范围是 a a＋2 ( D ) B ． a≠ 2 D． a≠ 0 且 a≠－ 2 A． a≠ 0 C． a≠ 0 或 a≠2
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x2－1 (2013· 黔西南)分式 的值为 0，则 x＋1 x 的值为( D ) B． 0 C． ± 1
2
A．－1
D． 1
x －4 (2013· 深 圳 ) 分式 的值为 0 ， 则 x＋2 ( C ) A．x＝－ 2 B ． x＝ ± 2 C． x ＝ 2 D．x＝0
2 2 2 2
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2b (2013· 吉林)先化简， 再求值： 2 2＋ a －b 1 ，其中 a＝3，b＝1. a＋b a－b 2b 解 ： 原 式 ＝ ＋ ＝ a＋ba－b a＋ba－b a＋b 1 ＝ . a＋ba－b a－b 1 1 当 a＝3，b＝1 时，原式＝ ＝ . 3－1 2
【思路点拨】 根据分式的值为 0 的条件： 分子为 0， 分母不为 0，可求出 x 的值． 解析：由 x2－9＝ 0，得 x＝ ± 3.由 3x＋9≠0，得 x≠ － 3.综上，得 x＝ 3.
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方法总结 分式的值为 0 受到分母不等于 0 的限制.“分式的 值为 0”包含两层含义： 一是分式有意义； 二是分子的 值为 0.不要误解为“只要分子的值为 0，分式的值就 是 0”.
考点四
分式求值
分式的求值方法很多，主要有三种：(1)先化简， 后求值； (2)由值的形式直接转化成所求的代数式的值； (3)式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等 题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数 或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．两 种方法同时使用有时能获得简易的解法．
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温馨提示 若原分式的分子(或分母 )是多项式，运用分式基 本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上， 再乘(或除以)整式.应用分式基本性质时， 注意要避免 犯只乘分子或分母某一项的错误.
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x ＋4x＋4 x 2 8．(2013· 衢州)化简： 2 － ＝ . x －4 x－2 x－2 a2－4 9．(2012· 宁波)计算： ＋a＋2. a＋2 a＋2a－2 解： 原式＝ ＋a＋2＝a－2＋a＋2＝2a. a＋2
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a －2a＋ 1 6． (2013· 成都)化简：(a －a)÷ . a－1
2
2
a－1 2 a －1 解： 原式＝ a(a－ 1) ÷ ＝ a(a－ 1) · 2＝ a－1 a－1 a. 7． (2013· 广东 )从三个代数式： ① a2－2ab＋b2， ② 3a － 3b，③ a － b 中任意选择两个代数式构造分式，然 后进行化简，并求当 a＝6，b＝ 3 时该分式的值． 本题是开放性题目，答案不唯一
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考点二
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以 (或除以 )同一个不等于 0 的整式，分式的值不变． a· m a a÷ m a (1) ＝ ， ＝ (m≠ 0)， b· m b b÷ m b －b b b ＝ ＝ － . a a －a
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Hale Waihona Puke 能力评估检测x＋1 9．(2013· 温州市实验中学模拟)已知分式 ，当 2－x x 取 a 时，该分式的值为 0；当 x 取 b 时，该分式无意 义；则 b 的值等于 ( A．－ 2
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(2013· 河北)若 x＋ y＝ 1，且 x≠ 0，则 2xy＋ y x＋ y (x ＋ )÷ 的值为 1 . x x x ＋ 2xy＋ y x x＋ y x 解析： 原式＝ · ＝ · ＝x x x x＋ y x＋ y ＋ y＝ 1.
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16－a (2013· 包 头 ) 化 简 2 a ＋4a＋4 a－4 a＋2 ÷ · ，其结果是( A ) 2a＋4 a＋4 A．－2 2 C．－ a＋22 B．2 2 D. a＋22
2
a－4a＋4 2a＋2 a＋2 解析：原式＝－ · · ＝－2. 2 a＋2 a－4 a＋4
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2xy 3．如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么 x＋ y 分式的值 ( A ) B．缩小 3 倍 D．不变 A．扩大 3 倍 C．扩大 9 倍
1 1 1 4． (2013· 河南)化简： ＋ ＝ . x x x－ 1 x－1 x－1 x －2x＋ 1 x ＋2 5． (2013· 新疆)化简： ÷ 2 ＝ . x－2 x －4 x －1
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4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除， 进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的， 先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
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考点三
分式的运算
1．分式的加减法 a b a± b 同分母的分式相加减，即 ± ＝ ； c c c a c ad± bc 异分母的分式相加减，即 ± ＝ . b d bd
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2．分式的乘除法 ac ac 分式的乘法，即 · ＝ ； bd bd a c ad ad 分式的除法，即 ÷ ＝ · ＝ . b d bc bc 3．分式的乘方 n bn b ( ) ＝ n (a≠ 0， n 是正整数 )． a a
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2 (2013· 漳州)使分式 有意义的 x 的 x－3 取值范围是( C A．x≤3 ) B．x≥3 C．x≠3 D．x＝3
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考点二
确定分式的值为 0的条件
2
x －9 (2013· 云南 )要使分式 的值为 0，你认为 3x＋ 9 x 可取的数是 ( A． 9 D ) C．－ 3 D． 3 B． ± 3
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x－3 3． (2013· 温州)若分式 的值为 0，则 x 的值是 x＋4 ( A ) A ) A． x＝ 3 B．x＝0 C． x＝－ 3 D． x＝－ 4 4． (2012· 义乌)下列计算错误的是( 0.2a＋ b 2a＋ b A. ＝ 0.7a－ b 7a－ b a－b C. ＝－1 b－a xy x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
3 2
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x 1 5． (2013· 湖州)计算： ＋ ＝ 1. x＋1 x＋1 y 2 6． (2012· 台州)计算 xy÷ 的结果是 x . x m －16 m＋ 4 7 ． (2012· 杭州 ) 化简 得 ；当 m＝－ 1 3 3m－12 时，原式的值为 1.
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3 1．(2013· 抚顺)如果分式 有意义，则 x 的取值 x－1 范围是 ( C ) B． x＝1 C． x≠1 D． x＝0 A．全体实数
x2－1 2．(2013· 淄博 )如果分式 的值为 0，则 x 的值 2x＋ 2 是( A ) B． 0 C．－ 1 D． ± 1 A． 1
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方法总结 1.当字母的取值是分数或负数时， 代入时要注意将 分数或负数添上括号. 2.有理数的运算律以及整式运算的公式对分式同 样适用，要灵活运用乘法交换律、乘法结合律和加法 结合律、分配律，增加运算的技巧性，使运算简捷.
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(2)约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大 公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分 母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数， 相同字母 (因式 )的最低次幂的积为最大公因式． (3)通分的关键是确定几个分式的最简公分母．确 定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先 因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因 式 )的最高次幂的积为最简公分母．
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x 1 10． (2012· 衢州 )先化简 ＋ ，再选取一个 x － 1 1－ x 你喜欢的数代入求值．
2 x2 x －1 1 解： ＋ ＝ ＝x＋1，代入求值(除 x＝1 x－1 1－x x－1 外的任何实数都可以)， 如代入 x＝2， 得原式＝2＋1 ＝3.