中职数学12 集合之间的关系子集与真子集讲解学习
集合的子集与真子集的区别与联系(图文介绍)
两张图彻底搞清楚一个集合的子集和真子集一、子集和真子集的分类1.A A A ⎧⎨⎩①的真子集的子集包括:②本身2.A B A B A B A ≠的真子集:若是的子集且,则是的真子集。
二、子集和真子集的韦恩图表示规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
三、子集和真子集异同点比较1.相同点：一个集合A 的子集和真子集都是由来自集合A 中的部分元素构成的集合，都不含集合A 之外的元素。
2.不同点：集合A 的所有子集=集合A 的所有真子集+集合A 本身。
即比集合A 小的所有子集都称为集合A 的真子集，而集合A 的所有真子集加上集合A 本身就是集合A 的所有子集。
四、例题详解1.已知集合{}1,2A =,求：集合A 的所有子集，并指出集合A 的所有真子集。
【解】集合A 中有两个元素，故一共有224=个子集，分别为：∅，{}1，{}2，{}1,2共4个。
其中真子集有2213-=个，分别为：∅，{}1，{}2。
非空真子集有2222-=个，分别为：{}1，{}2。
【备注】n 元集合共有2n 个子集，共有21n -个真子集，共有22n -个非空真子集。
2.若集合{},,B a b c =，列出集合B 的所有子集，并指出其中的真子集、非空真子集。
【解】：集合B 中有三个元素，故共有328=个子集，分别为：∅；{}a ，{}b ，{}c ；{},a b ，{},a c ，{},b c ；{},,a b c 共8个。
其中真子集共有3217-=个，分别为∅；{}a ，{}b ，{}c ；{},a b ，{},a c ，{},b c 。
（真子集:B A ）A B 1.B 是A 的真子集:B A <≠⊂ 2.B 是A 的子集:B A <或B A =A B ()A B 或（子集:B A ⊆）非空真子集共有3226-=个，分别为{}a ，{}b ，{}c ；{},a b ，{},a c ，{},b c 。
子集、真子集PPT优秀课件
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知识要点一：子集的概念 子集是集合间重要关系，理解子集的概念时要注意“任何一个元素”而不是某个或某些 元素；还要注意符号“∈”与“⊆”的区别，并注意结合 Venn 图理解，表达子集关系． 知识要点二：子集、真子集的几个性质 性质 1：任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A，特别地，∅⊆∅. 性质 2：子集有传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
解：集合 B 为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，{0,1,2}．
求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出 每类中符合要求的集合．集合子集个数规律为：含 n 个元素的集合有 2n 个子集，其中空集和 集合本身易漏掉．
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图1
图2
3．集合相等
(1)定义：如果集合 A 是集合 B 的子集(A⊆B)，且集合 B 是集合 A 的子集(B⊆A)，那么
集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B.
(2)Venn 图表示：当 A＝B 时，如图所示．
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解析：观察图形，看集合 A、B、C、D、E 的包含关系可得结论． 答案：四边形，梯形，平行四边形，菱形，正方形
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真子集与子集的区别例题
真子集与子集的区别例题摘要：1.子集与真子集的定义及区别2.子集与真子集的实例解析3.子集与真子集在集合运算中的应用正文：在数学的集合论中，子集和真子集是两个重要的概念。
它们描述了集合之间的关系，帮助我们理解和分析集合的性质。
下面我们将详细探讨子集与真子集的区别，并通过实例进行解析。
首先，我们来了解一下子集和真子集的定义。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，可以用符号A B 表示。
而真子集则表示一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，且两个集合不相等，可以用符号A B 表示。
举个例子，全集I 为{1, 2, 3}，它的子集有{1, 2, 3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1}、{2}、{3}，以及空集。
而真子集则为{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1}、{2}、{3}，不包括空集。
接下来，我们来看一下子集和真子集在集合运算中的应用。
在集合运算中，子集和真子集的区别主要体现在它们在并集、交集和补集运算中的表现。
对于并集运算，子集的并集就是本身，例如{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}。
而真子集的并集则可能是空集，例如{1} ∪ {2, 3} = 。
对于交集运算，子集的交集就是本身，例如{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}。
而真子集的交集可能是空集，例如{1} ∩ {2, 3} = 。
对于补集运算，子集的补集是全集减去本身，例如CU {1, 2} = {3}。
而真子集的补集则可能是全集，例如CU {1} = {1, 2, 3}。
总之，子集和真子集在集合运算中的表现有所不同，掌握它们的区别有助于我们更好地理解和应用集合运算。
通过以上的解析，我们可以明确地知道，子集包含本身，而真子集不包含本身。
集合间的关系-相等、子集、真子集教案
教学过程一、复习预习复习集合的定义、分类、表示方法、集合与元素的关系，预习集合间的关系.二、知识讲解1. 集合相等的概念若集合A 中元素与集合B 中的元素完全相同，则称集合A=B等价定义：若B A A B B A =⊆⊆则,,特别的，φφ=2. 子集与真子集的概念子集的概念：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A)真子集的概念：若A 为B 的子集,且A ≠B,则称A 为B 的真子集，记作B A ≠⊂ 注：A ⊆φ考点1集合相等的证明方法若B A A B B A =⊆⊆则,,特别的，φφ=考点2子集与真子集的应用解题（1）A ⊆φ（2）子集与真子集的区别考点3子集和真子集的个数问题若集合A中的元素的个数为n，则其子集个数为n2个2 n个真子集个数为1三、例题精析【例题1】【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．是否存在实数a使得M∩N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a【解析】∵M∩N=M∴M⊆N，∴，解得a∈∅，故不存在.【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．是否存在实数a使得M∪N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a．【解析】∵M∪N=M∴N⊆M①当N=∅时，即a+1>2a﹣1，有a<2；②当N≠∅，则，解得2≤a<3，）综合①②得a的取值范围为a<3【题干】满足{－1,0}M⊆{－1,0,1,2,3}的集合M的个数是( )A．4个B．6 个C．7个D．8个答案：C【解析】依题意知集合M除含有元素－1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个．因而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，故有23－1＝7个．故选C.四、课堂运用【基础】1. 已知集合A＝{－1,1}，B{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( )A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案：D解析:当a=1,-1时显然成立，当a=0时，B=∅也成立，所以选D2. 设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是( ) A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2答案：A解析：.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2，故选A【巩固】1.集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________答案：4解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个2. 定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于( )A．A B．B C．{2} D．{1,7,9}答案：D解析：从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D【拔高】已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值解析：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解． ②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.新课标第一网∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.课程小结1.集合相等的概念与应用2.子集的概念与应用3.真子集的概念与应用课后作业【基础】1. 设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为_______答案：BA 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ， 故BA .2. 设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为_______答案：－1或2解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2【巩固】1.已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________答案：{a|a＞5或a≤－5}解析：作出数轴可得，要使A B，则必须a＋4≤－1或a＞5，解之得{a|a＞5或a≤－5}2. 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解析：(1)若A B，由图可知，a>2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.【拔高】1. 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解析： A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.2.记关于x 的不等式x －a x ＋1<0的解集为P ，不等式||x －1≤1的解集为Q . (1)若a ＝3，求P ； (2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值范围．解析：(1)由x －3x ＋1<0，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <3. (2)Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ ||x －1≤1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0≤x ≤2. 由a >0，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <a ，又Q ⊆P ，所以a >2， 即a 的取值范围是(2，＋∞)．。
1.3集合之间的关系1(子集、真子集)
江苏省技工院校教案首页授课日期第二周第二周第二周第二周班级1614 1615 1616 1617课题： 1.3集合之间的关系（子集、真子集）教学目的要求：知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力教学重点、难点：教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．授课方法：讲授法问题教学法范例教学法练习法教学参考及教具（含多媒体教学设备）：教材教参讲义授课执行情况及分析：好板书设计或授课提纲1.3集合之间的关系1.3.1子集1、子集的概念2、子集的符号表示1.3.2真子集1、真子集的概念2、真子集的符号表示教学环节主要教学内容及师生互动组织教学揭示课题创设情景兴趣导入一、复习知识、揭示课题前面学习了集合的相关问题，试着回忆下面的知识点：1．集合由某些确定的对象组成的整体．元素组成集合的对象．2．常用数集有哪些？用什么字母表示？3．集合的表示法(1)列举法：在花括号内，一一列举集合的元素；(2)描述法：{代表元素|元素所具有的特征性质}．4．元素与集合之间有属于或不属于的关系．完成下面的问题：用适当的符号“∈”或“∉”填空：(1) 0 ∅； (2) 0 N； (3) 3R； (4) 0.5 Z；(5) 1 {1,2,3}； (6) 2 {x|x<1}；（7）2 {x|x=2k+1, k∈Z}．那么集合与集合之间又有什么关系呢？二、创设情景兴趣导入问题1．设A表示我班全体学生的集合，B表示我班全体男学生的集合，那么，集合A与集合B之间存在什么关系呢？2．设M={数学，语文，英语，计算机应用基础，体育与健康，物理，化学}， N={数学，语文，英语，计算机应用基础，体育与健康}，那么集合M与集合N之间存在什么关系呢？3．自然数集Z与整数集N之间存在什么关系呢？解决显然，问题1中集合B的元素（我班的男学生）肯定是集合A的元素（我班的学生）；问题2中集合N的元素肯定是集合M的元素；问题3中集合N的元素（自然数）肯定是集合Z的元素（整数）．归纳当集合B的元素肯定是集合A的元素时称集合A包含集合B．两讲授新课个集合之间的这种关系叫做包含关系．三、讲授新课1．3．1子集概念：一般地，如果集合B的元素都是集合A的元素，那么称集合A包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.表示：将集合A包含集合B记作A B⊇或B A⊆（读作“A包含B”或“B包含于A”）．可以用下图表示出这两个集合之间的包含关系．拓展：由子集的定义可知，任何一个集合A都是它自身的子集，即A A⊆．规定：空集是任何集合的子集，即A∅⊆．巩固知识典型例题例1 用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d{},a b；(2) ∅{}1,2,3；(3) N Q； (4) 0R；(5) d{},,a b c；分析“⊆”与“⊇”是用来表示集合与集合之间关系的符号；而“∈”与“∉”是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．解（1）集合{},a b的元素都是集合{},,,a b c d的元素，因此{},,,a b c d⊇{},a b；（2）空集是任何集合的子集，因此∅⊆{}1,2,3；（3）自然数都是有理数，因此N⊆Q；AB例题讲解布置作业（4）0是实数，因此0∈R；（5）d不是集合{},,a b c的元素，因此d∉{},,a b c；范例讲解书上P9 互动环节：学生随堂练习1．3．2真子集概念如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集．表示：记作错误！未找到引用源。
中职数学集合的运算一交集PPT学习教案
A
茄子 虾 土豆 芹菜
B
观察得出：集合 C 是由既属于集合 A，又属于集合
B
公共
的所有
元素组成的．
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创设情景 兴趣导入
观察集合：
A=2,3,4,5,6 }B = { 1 , 3 , 5 , 7 } C={ 3, 5 }
各集合的元素之间有什么关系？
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交集
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所 有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集．
中职数学集合的运算一交集
会计学
1
1．子集与真子集的区别是什么？ 真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集．
2．什么是空集？ 不含任何元素的集合叫做空集．
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我校食堂买菜的品种 第一天买菜品种为集合 A
第二天买菜品种为集合 B
冬瓜 鲫鱼 黄瓜
茄子
虾
黄瓜 猪肉 毛豆 虾 土豆 芹菜
问1 两天所买相同菜的品种为集合 C ， 则集合 C 由哪些元素组成？
问2 两天买过的所有菜的品种为集合 D ， 则集合 D 由哪些元素组成？
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请观察：集合 C 中的元素与集合 A，集合 B 中的元素 有什么关系？ C
冬瓜 鲫鱼 黄瓜 猪肉 毛豆
(1) A ∩ B = B ∩ A ； (2) ( A ∩ B )∩ C = A ∩( B ∩ C )； (3) A ∩ A = A ； (4) A ∩ = ∩ A = ；
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作业
课本P12页，练习1,2,3
第15页/共16页
集合B={x│x是矩形} 求：A ∩ B
职业学校数学教案1.3 集合之间的关系2
职业技术学校数学教案教师姓名课程名称 数学班级授课日期2014 年 9 月 26 日 第 4 周授课顺序 第 2 次章节名称§ 集合之间的关系 1.集合的子集 2.集合的真子集一、知识目标：1.了解集合之间的包含、相等关系的含义；2.理解子集、真子集的概念；能利用 Venn 图表达集合间的关系 3.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；课堂目标 渗透相对的观点. 二、能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力以及语言表达能力， 养成质疑、求实、创新及勇于探索的科学精神。
三、情感态度目标：培养学生的珍爱生命、关爱病人的情感，养成良好的 职业素质。
重点 和难点重点：子集、真子集的概念；用 Venn 图表达集合间的关系 难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学内容 及时间安排教学 资源一、练习回顾 1．写出下列集合的元素 2．写出下列元素与集合关系 二、引入新课 三、探讨集合间的关系 1.任意两个集合的关系 2.子集定义 （1）子集定义 （2）集合相等 （3）真子集 （4）子集性质 三、课堂小结 四、课后作业 五年制高等职业教育教材 全国成人高考教材 直尺,三角板,圆规，投影仪作 业 P8 1,2,35′ 5′ 10′ 10′ 5′ 10′ 10′ 5′ 10′ 10′ 5′ 5′板书设计§ 集合之间的关系1.集合的子集 2.集合的真子集 一、练习回顾 1．写出下列集合的元素 (1)A＝｛x︱－2＜x≤4，x∈N｝＝｛0，1，2，3，4｝ (2)B＝｛x︱－2＜x≤4，x∈Z｝＝｛－2，－1，0，1，2，3，4｝ (3)C＝｛x︱0≤x＜4，x∈N｝＝｛0，1，2，3｝ (4)D＝｛x︱0≤x＜4，x∈Z｝＝｛0，1，2，3｝(5)E＝｛x︱ x2 2x 8 0 ｝＝｛2，4｝(6)F＝｛x︱ x2 x 1 0 ｝＝(7)G＝｛x︱－5＜x≤－2，x∈Z｝＝｛－4，－3｝2．写出下列元素与集合关系 1∈N 0∈N －3 N 1∈Z 0∈Z －3∈ZＺ1∈Q 0∈Q －3∈Q ∈Q1∈R 0∈R －3∈R ∈R二、引入新课2 N 2 Ｚ 2 Q2 ∈R在上述练习中，从集合 A 与 B 元素看，集合 A 与 B 有什么关系集合 C 与 D 呢集合D 与 E 呢集合 D 与 G 呢集合 F 与 D 呢三、探讨集合间的关系1.任意两个集合的关系课2后.子记集：定义（1）子集定义①一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A.记作 A B（或 B A），这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集.记为 A B 或 B A，读作：A包含于（is contained in）B，或 B 包含（contains）。
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由集合的关系，确定参数的范围
【例 2】 已知集合 A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若
，求 a 的取值范围；
4．下列五个关系式：
①
；②0∈{0}；③{0}＝∅；④∅∈{0}；⑤∅
(A)①③ (B)①⑤ (C)②④ (D)②⑤
，其中正确的有( D )
解析：①中“ ”是集合与集合的关系符号，符号用错； ③中集合{0}中有元素 0，故{0}不是空集； ④中“∈”是元素与集合的关系符号，符号用错， ∴选②⑤，答案为 D.
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做一做： 1．下图所示的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几 何图形之间的关系，集合 A，B，C，D，E 分别对应的图形是 ________________________________________________________________________．
(D)A⊆B
解析：A、B 集合表示在数轴上为
∴ ，故选 C.
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3．集合{a，b，c}的真子集有( B ) (A)8 个 (B)7 个 (C)6 个 (D)5 个
解析：集合{a，b，c}的子集共有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b， c}，其中真子集有 7 个．故选 B.
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正所谓，真正的生命不是你活了多少日子，而是你记住了多少日子。
他问我：“看有没有熟悉的朋友，帮孩子联系联系。”我问他：“孩子究竟要找什么样的工作？”他说：“没啥要求，工资高一点，离家近一点，最好能一步到位。孩子性格内向，不想来来回回折腾。”
我听后苦笑：“要求是不怎么高，但这样的工作还真不好找。”和朋友聊完天后，有那么几个词语在我的脑海里，“工资高一点，不想再折腾。”随后，我确实被这几个词吓到了，并且惊了一身冷汗。
从这个意义上讲，距离就等于理解，就是温情，就是关心。 带着对自己思考后肯定的回答，我安稳的睡去。
当心平和了，睡眠也就踏实了，也就能为第二天的童话镇“漫游”提供力量了。
第二天早八点，民宿老板娘准时敲门，在简单收拾过后，就出发前往迪士尼乐园了。
迪士尼乐园，在这片最神奇而真实的土地上，总有一些属于你自己的magic moment，我们虽然知道它不是生活的避难所，但总还是想让这份美好永驻。
前一段时间和一位朋友聊天。他问我：“听说你这几年做投资，收益怎么？”我说：“这不才刚刚开始吗。”他一脸疑惑，问我：“这做投资就像做生意，你得定期盘盘库，明白自己到底是赚了，还是赔了。”
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
中职数学基础模块上册《集合之间的关系》word教案
集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用V enn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn)(A B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper⊆subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五） 结论：○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ （六） 例题（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
子集与真子集
感谢聆听
如果A不是B的子集，则记作A⊈B，（或B⊉A），读作“A不包含于B” （或“B不包含A”）。
真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A， 那么集合A称为集合B的真子集。记作A⊊B（或B⊋A），读作：“A真包 含于B”（“B真包含A”）。
子集与真子集的性质
（1）集合是它本身的子集； （2）空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集； （3）子集与真子集具有传递性：
（3）写出元素个数为2的子集，即
；
（4）写出元素个数为3的自己，即 {6，7}、{7，8}、{6，8} ；
集合A的子集为Ø ，{6}，{7}，{8}，{66，，7，78}，{7，8}，{6，8}，{6，7，
8}；
集合A的真子集为：Ø，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{7，8}，{6，8}。
子集与真子集
举个例子
S={x|x为学校里的同学}，F={x|x为学校里的女同学}； 集合S与集合T是什么关系
再举个例子
A={1，3}，F={1，3，5，6}；集合A与集合B是什么关系
子集与真子集
子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集 合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作：“A包含于B”（“B包含 A”）。
练习
（1）写出集合{0，1，2，3}的所有子集；
（2）已知集合A满足{1}⊆A⊊{1，2，3，4}，用列举法写出所有可能的 A；
（1）Ø，{0}，{1}，{2}，{3}，{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1， 3}，{2，3}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，{0，1， 2，3}；
集合间的基本关系 课件
由集合间的关系求参数的范围 已知集合 A＝{x|x<－1，或 x>4}，B＝{x|2a≤x≤a ＋3}，若 B⊆A，求实数 a 的取值范围． 【思路探究】 对集合 B 是否为空集进行分类讨论求解．
【自主解答】 当 B＝∅时，只需 2a>a＋3，即 a>3；
当 B≠ ∅ 时 ， 根 据 题 意 作 出 如 图 所 示 的 数 轴 ， 可 得
1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集， ∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次 写出，以免重复或遗漏．
2．若集合 A 含 n 个元素，那么它子集个数为 2n；真子集个 数为 2n－1，非空真子集个数为 2n－2.
集合间关系的判断
判断下列每组中两个集合的关系：
(1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}；
(3)在集合 A 中，x＝k＋12＝2k＋2 1，k∈Z； ∵当 k∈Z 时，2k＋1 是奇数，∴集合 A 中的元素是所有的 奇数除以 2 所得的数． 在集合 B 中，x＝2k＋12＝4k＋2 1，k∈Z. ∵当 k∈Z 时，4k＋1 只表示了部分奇数． ∴B A； (4)∵n∈Z∴n＋1∈Z∴B 表示偶数集 ∵A 也表示偶数集∴A＝B.
(2)A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}；
(3)A＝x
|
x＝k＋12，k∈Z，
B＝x|x＝2k＋12，k∈Z； (4)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}．
【思路探究】 利用数轴或适当变形后再根据子集、真子 集及集合相等的定义进行判断．
【自主解答】
(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有 B A； (2)∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R ∴A B；
子集、真子集
任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表 一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观，因此也广泛用于求子集的问 题中．
变式训练 21：已知集合 A＝{x|x＜－1 或 x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若 B⊆A，求实 数 a 的取值范围．
解：当 B＝∅时，只需 2a＞a＋3， 即 a＞3； 当 B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
，则实数 a 的取值范围为( A )
解析：在数轴上表示出两个集合，只要 a≥2，就满足
4．已知 M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是( B )
(A)
(B)M＝N
(C)M≠N (D)
解析：∵M＝{y∈R|y＝|x|}＝{y∈R|y≥0}， N＝{x∈R|x＝m2}＝{x∈R|x≥0}， ∴M＝N.故选 B.
， C⇒ 性质 3：空集是任何一个非空集合的真子集．
子集包括集合的相等和真子集两种情况，理解真子集时要注意不但要求 A⊆ B，同时在 B 中至少要有一个元素不属于 A.
知识要点三：相等集合的子集描述 集合相等的定义给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲证 A＝B，只需证 A⊆B 和 B⊆A 都成立即可． 知识要点四：空集 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，要注意空集与{0}的区别：{0}是含有一个元 素 0 的集合，因此有∅⊆{0}(或∅ )，但不能犯概念错误：∅＝{0}．亦不可错误地将空集记 为{∅}．
任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示反之数轴上任何一点都代表一个实数在数轴上表示一个不等式的取值范围形象而直观因此也广泛用于求子集的问题中
子集丶真子集
想一想：
1．Venn 图 在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图． 2．子集 (1)定义：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元 素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)，读 作“A 含于 B”(或“B 包含 A”)． (2)Venn 图表示：当 A⊆B 时，如图 1、图 2 所示．
子集、真子集PPT
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
做一做： 1．下图所示的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几 何图形之间的关系，集合 A，B，C，D，E 分别对应的图形是 ________________________________________________________________________．
图1
图2
3．集合相等
(1)定义：如果集合 A 是集合 B 的子集(A⊆B)，且集合 B 是集合 A 的子集(B⊆A)，那么
集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B.
(2)Venn 图表示：当 A＝B 时，如图所示．
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
4．真子集
解：集合 B 为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，{0,1,2}．
求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出 每类中符合要求的集合．集合子集个数规律为：含 n 个元素的集合有 2n 个子集，其中空集和 集合本身易漏掉．
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瞻前顾后
பைடு நூலகம்
要点突破
典例精析
演练广场
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
知识要点一：子集的概念 子集是集合间重要关系，理解子集的概念时要注意“任何一个元素”而不是某个或某些 元素；还要注意符号“∈”与“⊆”的区别，并注意结合 Venn 图理解，表达子集关系． 知识要点二：子集、真子集的几个性质 性质 1：任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A，特别地，∅⊆∅. 性质 2：子集有传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
中职数学12 集合之间的关系子集与真子集讲解学习
并指出其中的真子集． 2.设集合 A? {x | x ? 6}，集合 B ? {x | x ? 0}，
.
指出集合 A 与集合 B 之间的关系．
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高教社
.
“? ”与“? ”用来表示元素与集合之间关系的符号
运用知识 强化练习
练习
用符号“ ? ”、“ ? ”、“? ”或“? ”填空：
（1） N
Q ； （2）?0?
?；
（3） a . ?a,b,c?；（4） ?2,3?
?2?；
（5） 0
? ；（6） ?x |1 ? x ? 2?
?x | ? 1? x ? ?4 ．
第一章 集 合
1.3 集合之间的关系
(子集与真子集）
复习知识 揭示课题
用适当的符号 “? ”或“? ”填空：
(1) 0 ? ； (2) 0 N； (3) 3 R；
(4) 0.5 Z； (5) 1 {1,2,3}； (6) 2 {x|x<1}；
(7)2 {? 3,2}； (8)2 {x|x=2k+1, k? Z}．
巩固知识 典型例题
例3 设集合 M ? ?0,1,2?，试写出 M 的所有子集，
并指出其中的真子集．
分析：集合中有 3个元素，可以分别列出子集： .
含1个元素的集合：
.
含2个元素的集合：
.
含3个元素的集合：
.
其中的子集和真子集分别有多少个？
子集和真子集两个概念有什么区别和联系？
运用知识 强化练习
元素a是集合A的元素， a∈A，属于来自元素a不是集合A的元素，
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巩固知识 典型例题
例3 设集合 M ? ?0,1,2?，试写出 M 的所有子集，
并指出其中的真子集．
分析：集合中有 3个元素，可以分别列出子集： .
含1个元素的集合：
.
含2个元素的集合：
.
含3个元素的集合：
.
其中的子集和真子集分别有多少个？
子集和真子集两个概念有什么区别和联系？
运用知识 强化练习
.
“? ”与“? ”用来表示元素与集合之间关系的符号
运用知识 强化练习
练习
用符号“ ? ”、“ ? ”、“? ”或“? ”填空：
（1） N
Q ； （2）?0?
?；
（3） a . ?a,b,c?；（4） ?2,3?
?2?；
（5） 0
? ；（6） ?x |1 ? x ? 2?
?x | ? 1? x ? ?4 ．
第一章 集 合
1.3 集合之间的关系
(子集与真子集）
复习知识 揭示课题
用适当的符号 “? ”或“? ”填空：
(1) 0 ? ； (2) 0 N； (3) 3 R；
(4) 0.5 Z； (5) 1 {1,2,3}； (6) 2 {x|x<1}；
(7)2 {? 3,2}； (8)2 {x|x=2k+1, k? Z}．
是集合集A合的A元与素集（合我班B之的间学生存）在、什（么? 1关,2系,4,1呢,0,？3）、（整数）．
动脑思考 探索新知
集合之间的包含关系
如果集合B的元素都是集合A的元素，那么称集合A 包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.
A? B A包含B ； B ? A B包含于A
A
B
??A
即空集是任何集合的子集
巩固知识 典型例题
例 1 用符号“ ? ”、“ ? ”、“? ”或“? ”填空：
(1) ?a,b, c, d? ? ?a,b?；(2) ? ? ?1 , 2 ?, 3；
(3) N ? Q ；
(4) 0 ? R ；
(5) d ? ?a,b, c?； (6) ?x | 3 ? x ? 5? ? ?x | 0? x ? ?6．
（二）真子集的概念
真子集：
如果 A ? B ，且B中至少有一个元素不
属于A，那么A叫集合B的真子集，记作
AB
读作：A真包含于B，或B真包含A
用Venn 图表示两个集 合间的“包含”关系
BA
注意：
?1?
A? B?
x?
B
? ?
A ??
A B ? A? B且A ? B
?2?空集是任何非空集合的真子集
1.设集合 A? ?c, d?，试写出 A的所有子集，
并指出其中的真子集． 2.设集合 A? {x | x ? 6}，集合 B ? {x | x ? 0}，
.
指出集合 A 与集合 B 之间的关系．
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元素a是集合A的元素， a∈A，属于
元素a不是集合A的元素，
a? A，不属于
创设情景 兴趣导入
问题1 设A表示我班全体同学的集合，B表示我班全体男同 学的集合； 问题2 设集合A ={? 1,2,4,1,0,3}，集合B ={2,3,0}； 问题3 设集合A =Z，集合B =N.
集合B的元素（我班的男学生）、（2,3,0）、（自然数）肯定