测不准关系
测不准关系
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届）题目：院（系、部）：专业：姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制目录1.引言 (5)2、测不准关系的理论背景 (5)2.1 粒子的波动性 (5)2.2波的粒子性 (6)3．测不准关系式的简要导出 (7)3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7)3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7)3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7)3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。
(7)4 对测不准关系的认同与争议 (9)4．1对测不准关系的争议 (9)4.1.1统计解释与非统计解释 (9)4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9)4.1.3关于名称和译名的争议 (10)4．2对有争议问题的讨论 (10)4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10)4.2.2某些力学量测不准的原因 (11)4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11)5 测不准关系的应用 (11)5.1无限深势阱问题 (12)5.2 线性谐振子问题 (13)5.3 氢原子问题 (15)结语 (16)谢辞 (17)参考文献 (17)摘要测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。
本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。
通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值.关键词：测不准关系；量子力学；估算AbstractThe uncertainty relation is a fundamental principle of quantum mechanics. It showed that the value of a microscopic particle having certain pairs of physical quantities is not possible to determine, such as position and momentum, time and energy. It reflects the objective laws of nature, reflecting the basic properties of micro-particle wave-particle duality.This paper focuses on the application of uncertainty relation on quantum mechanics. Firstly, we make a detailed investigation regarding the theoretical background, export mode, and the recognition and controversy of uncertainty relation. Basing on the solution of several model problems such as the infinite potential well, linear harmonic oscillator, hydrogen atom ground state energy, it is necessary to be figured out that Uncertainty relation in the meaning and value on the physical size of the estimation problem.Keywords: Uncertainty relation ；quantum mechanics；estimation1.引 言测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的物理学分支，它的出现彻底改变了我们对于自然界的理解。
在量子力学中，测量是一个核心概念，而测不准关系则是量子力学中重要的原理之一。
本文将探讨量子力学中的测不准关系，并解释其背后的物理原理。
一、测不准关系的定义在量子力学中，测不准关系也被称为海森堡不确定关系，它由物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出。
测不准关系指的是当我们试图同时测量一个粒子的位置和动量时，无法同时获得它们的精确值，而只能得到一个不确定的范围。
换句话说，我们无法同时获得一个粒子的位置和动量的确切数值。
二、海森堡不确定原理为了更好地理解测不准关系，我们需要了解海森堡不确定原理。
海森堡不确定原理可以分为位置-动量不确定关系和能量-时间不确定关系两个方面。
1. 位置-动量不确定关系根据位置-动量不确定关系，我们无法准确地同时知道一个粒子的位置和动量，其原理可以用数学表达式来描述：Δx·Δp ≥ h/(4π)其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小位置的不确定度时，动量的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个粒子的位置，我们就越来越不确定它的动量，反之亦然。
2. 能量-时间不确定关系能量-时间不确定关系是海森堡不确定原理的另一个方面。
根据能量-时间不确定关系，我们无法准确地同时知道一个量子态的能量和持续时间，其原理可以用数学表达式来描述：ΔE·Δt ≥ h/(4π)其中，ΔE表示能量的不确定度，Δt表示时间的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小能量的不确定度时，时间的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个量子态的能量，我们就越来越不确定它的持续时间，反之亦然。
三、测不准关系的物理解释量子力学中的测不准关系并非是由于我们的测量工具或者技术的限制，而是与量子粒子的本质有关。
测不准关系
x
h p
phh p
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
px x h
经严格证明此式应为：
px x 2 py y 2 pzz 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
测不准关系式的理解
1. 用经典物理学量——动量、坐标来描写微观粒子 行为时将会受到一定的限制 。
107 m s1 vx 106 m s1
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
1932诺贝尔物理学奖
• W.海森堡 • 创立量子力学，
并导致氢的同素 异形的发现
问题？ 1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
例 m 102 kg 的乒乓球 , 其直径 d 5cm vx 200m s1，若 x 106 m, 可以认为其位
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
2. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典 力学来描写还是用量子力学来描写。
3. 对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均 时间Δt 之间也有下面的测不准关系：
Et 2
Et 2
原子处于激发态的平均寿命一般为 t 108 s
于是激发态能级的宽度为：
E 1026 J 2t
13-6 测不准关系
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率 波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
x
电子束
a缝
屏
2
幕
衍射图样
X方向电子的位置不准确量为： x a
x
x a
屏
电子束
a缝
2 px
X方向的分动量px的测不准量为：
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的基本物理理论，它描述了微观粒子的行为和性质。
而测不准关系是量子力学中的一个重要概念，它揭示了在测量某个物理量时的固有不确定性。
本文将介绍测不准关系的基本原理、相关数学表达式以及其在现实世界中的应用。
测不准关系的基本原理可以追溯到1927年由维尔纳·海森堡所提出的海森堡不确定性原理。
该原理指出，在任何时刻，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这意味着，如果我们试图确定粒子的位置，那么它的动量就将变得模糊不清；反之，如果我们试图确定其动量，其位置也将变得不确定。
换句话说，存在一个固有的不确定度，限制了我们在同一时间测量多个相关物理量的精确性。
测不准关系可以用数学表达式来描述。
以位置(x)和动量(p)的测量为例，海森堡不确定性原理给出了以下数学关系：Δx × Δp ≥ ħ/2其中，Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，ħ是普朗克常量的约化值。
这个关系的意义是，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常量的一半。
这说明了在微观尺度上，我们无法同时精确测量位置和动量。
值得一提的是，测不准关系并不是由于观测方法或仪器的限制，而是与量子粒子的本质有关。
这是因为在测量时，我们必须使用光子或其他粒子与被测系统相互作用，而这种相互作用必然会对被测系统的状态产生不可忽视的影响。
因此，测不准关系实际上揭示了微观粒子的固有性质。
测不准关系在实际应用中具有重要意义。
首先，它对于狭义相对论与量子力学的统一提供了重要的线索。
狭义相对论描述了高速运动下的物体，量子力学描述了微观尺度的物体。
然而，这两个理论之间的矛盾问题一直困扰着物理学家。
通过引入测不准关系，我们可以看到，测量的不确定性与时空观念的相对性密切相关，这为两个理论的统一提供了可能性。
其次，测不准关系在量子信息科学、量子计算和量子通信等领域也有广泛应用。
在量子计算中，信息的存储和处理是通过量子比特来实现的。
量子力学中的不确定性原理与测不准关系
量子力学中的不确定性原理与测不准关系量子力学是描述微观世界的一门物理学理论，它与经典力学有着本质的不同。
在量子力学中，不确定性原理和测不准关系是两个重要的概念，它们揭示了微观粒子的本质和测量的局限性。
本文将从不确定性原理和测不准关系的定义、物理背景和实际应用等方面进行探讨。
不确定性原理是量子力学的核心概念之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
它表明，在量子力学中，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
换句话说，我们无法同时知道一个粒子的位置和速度，只能通过测量其中一个属性来获得信息。
这与经典力学中的观念不同，经典力学认为粒子的位置和速度是同时确定的。
不确定性原理的数学表达方式是海森堡不等式，即ΔxΔp ≥ h/4π，其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
该不等式表明，位置和动量的不确定度的乘积不小于一个常数。
这意味着，我们无法将位置和动量的不确定度同时降到零，存在一种固有的测量局限性。
不确定性原理的物理背景可以从波粒二象性理论来解释。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
当我们试图测量粒子的位置时，我们必须使用光子或其他粒子与待测粒子相互作用，这种相互作用会使待测粒子的位置发生扰动。
同样地，当我们试图测量粒子的动量时，我们必须使用波长足够小的粒子来进行测量，这样才能准确测量动量。
这种测量的过程会导致动量的不确定度增大。
因此，不确定性原理可以看作是波粒二象性理论的一个直接推论。
测不准关系是不确定性原理的一种具体应用。
它描述了在量子力学中，两个不可观测量的测量结果之间存在的一种固有的关系。
以位置和动量为例，根据测不准关系，我们无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这是因为位置和动量是量子力学中的共轭变量，它们之间存在一种固定的关系。
当我们试图减小位置的不确定度时，动量的不确定度必然增大，反之亦然。
这意味着，我们无法完全确定一个粒子的位置和动量，只能通过测量其中一个属性来获得信息。
测不准关系的名词解释
测不准关系的名词解释测不准关系（Heisenberg Uncertainty Principle），是量子力学中的一个基础定理，揭示了测量物质微观粒子位置和动量的限制。
这一原理由德国物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出，对于当代科学研究和技术发展有着深远影响。
量子力学是描述微观世界行为的物理学理论，与经典物理学的牛顿力学相比，它具有离奇和令人难以理解的特性。
测不准关系正是其中一个最为重要的特征，它限制了我们对于粒子的位置和动量的准确测量。
首先，让我们来了解一下测不准关系的具体表述。
根据海森堡的提出，测不准关系公式可以表示为：Δx·Δp ≥ h/4π，其中Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个公式告诉我们，在同一时间内，粒子的位置和动量不能同时被准确测量，它们之间存在一种固有的不确定性。
为了更好地理解测不准关系，我们可以用一个简单的例子来说明。
假设有一颗微小的粒子在一个无限深势阱中运动。
如果我们希望测量它的位置，我们可以用光子照射它，并测量光子在接收器上的位置。
然而，当光子与粒子相互作用时，光子传递给粒子的动量必然会对粒子的位置产生影响。
这意味着，我们无法同时确定粒子的位置和动量。
测不准关系的存在不仅仅是技术上的限制，它也揭示了物质微观粒子本质上的模糊性和不确定性。
在经典物理学中，我们通常认为物体的位置和动量是可以准确测量的，但在量子力学中，我们必须接受事物的这种局限。
测不准关系不仅仅是学术领域的理论问题，它也在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在核能的开发中，测不准关系的概念帮助我们理解原子核的性质和结构。
在纳米技术和量子计算领域，测不准关系的限制也对制造和测量微小物体的设备有着重要影响。
除了这些应用外，测不准关系还引发了哲学上的思考。
它挑战了我们对物质世界的看法，让我们意识到自然界的本质并非完全确定和可预测的。
这一思想深入人心，推动了科学研究对于个体和整体之间相互关系的探索。
21-4测不准关系
E h 4.14 10 7 (eV ) t
（2）
hc E h 3670 A 0 E
hc
hc hcE 5 0 7.13 10 ( A ) 2 E E
例题6、不确定关系式Δｘ·ΔＰx≥h/2π有以下几种理解:[B] （1）粒子动量不可能确定． （2）粒子的坐标不可能确定． （3）粒子动量和坐标不可能同时确定． （4）不确定关系不仅适用于电子和光子，以适用于其它粒子. 其中正确的是： (A) (1),(2) (B) (2),(4) (C) (3),(4) (D) (4),(1)
例题2：同时确定能量为1KeV的电子的位置和动量时,若位置 的不准定量值在100Pm内,则动量的不确定值的百分比ΔP/P为何 值?(电子的质量me=9.11×10-31Kg。)
解：
P
2m Ek 1.7110
23
kg m s
1
由不确定关系得
h P h P 39 % x P xP
例题5、中子的质量为1.6710-27 kg。假定一个中子沿x方向以 2000ｍ.s-1的速度运动, 速度的测量误差为0.01, 则中子位置的不确 定量最小为 (用不确定关系 x px ≥计算)[D] (A) 3.1610-17ｍ (C) 3.1610-10ｍ 例题6、不确定关系指的是：[C] (A) 任何物理量都不确定 (B) 任何物理量之间都不能同时确定 (C) 某些物理量能不能同时确定, 这取决于这些物理量之间的关系 (D) 只有动量与位置、时间与能量之间不能同时确定 (B) 3.1610-13ｍ (D) 3.1610-7ｍ
测不准关系
用电子衍射说明不确定关系
x px
p
电子通过狭缝时的
py
位置的不确定量：x a
Px
电子通过狭缝后， 要到达屏上不同的点，
a
x
o
y
具有 x 方向动量 Px，
考虑中央明纹区： 0 px p sin
根据单缝衍射公式， 其第一级的衍射角满足：
sin
a
动量在 Ox 轴上的 分量的不确定量为：
解： 电子的动量
p mv 9.11031 200kg m s1 p 1.81028 kg m s1
动量的不确定范围：
p 0.01% p 1.81032 kg m s1
位置的不确定范围：
x
h p
6.63 10 34 1.8 10 32
动量的不确定范围：
p 0.01% p 2104 kg m s1
位置的不确定范围：
x
h p
6.63 10 34 2 104
m
3.3 10 30
m
这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观 物体来说，不确定关系实际上是不起作用的。
例：一电子具有 200m s-1的速率，动量的不确范 围为动量的 0.01%（这也是足够精确的了），则： 该电子的位置不确定范围有多大?
但微观粒子，具有显著的波动性，粒子以一定的概 率在空间各处出现。我们不能用经典的方法来描述微观 粒子，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量、 时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。
1927年，海森伯发现，上述不确定的各种范围之间 存在着一定的关系，而且物理量的不确定性受到了普朗 克常量的限制。这一关系叫不确定关系。
不确定关系（测不准关系）的表述和含义
不确定关系（测不准关系）的表述和含义摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。
关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释引言测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。
量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。
本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。
1 几种主要的表述和证明方法测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。
海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定…电子‟位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。
当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。
因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。
于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。
在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。
这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。
1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。
证明如下：设A和B是任意的两个厄密算符，C是它们的对易子，令A1=A一<A>，B1=B 一<B>，A和B的标准偏差分别为△A=<A12>1/2和△B=<B12>1/2。
不确定关系测不准关系的表述和含义
不确定关系测不准关系的表述和含义Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-不确定关系（测不准关系）的表述和含义摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。
关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释引言测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。
量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。
本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。
1 几种主要的表述和证明方法测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。
海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定‘电子’位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。
当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。
因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。
于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。
在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。
这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。
1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。
第六节测不准关系
教师：
胡炳全
第六节 测不准关系（不确定关系） 一、位置与动量的测不准关系：
a sin θ = kλ ∆p x = p x
= p sin θ
a
h
λ
sin θ = hk
∆x∆p x = hk
《大学物理》
教师：
胡炳全
令: k =1
∆x ⋅ ∆p x = h
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
h h ∆x ⋅ ∆p x ≥ = 4π 2
px =
h
λ
∆p x = −
2
h
λ
2
∆λ
将∆px的大小代入不确定关系式，可得：
h λ ∆x = h ∆x ⋅ ∆p x ≥ 2
h h ∆y ⋅ ∆p y ≥ ∆z ⋅ ∆p z ≥ 2 2
（4）测不准关系常常只用做估计数量级，公式可以 有多种形式，试题中通常会指定所用公式。 二、时间与能量的不确定关系：
h ∆t ⋅ ∆E ≥ 2
《大学物理》
教师：
胡炳全
例题1、波长为500nm的光沿着x轴正向传播，若光的波长的 不确定量为10-4nm，试利用不确定关系∆x∆px≥h求光子x坐标 的不确定量。 解：光子波长的不确定造成其动量的不确定，由
上述两个式子都可以叫测不准（不确定）关系。后者更为 测不准（不确定） 常用，常叫做海森伯不确定关系。 讨论： （1）上述关系对微观世界的物质运动是非常重要的， 而对宏观物质的运动则可以忽略。
《大学物理》
教师：
胡炳全
（2）位置和动量是不能同时测量准确，但可以分别 在不同时候准确测量。 （3）测不准关系中的各量有明确的对应：
关于测不准关系的两个问题
都 是这样 来 阐 述 测 不 准关 系 的
.
测 不 准 关系 是指 在 一 次 测 量
,
坐标 和 动量 同 时取值 的 关 系 然而
,
即所 谓 对坐标 测 量得越 准确
.
对 动量 测 量 得 就 越 不 准
,
这样 理 解 是 有 间题 的
量 子 力 学所反 映 的是微观 粒 子 的统计 规 律 关系也 应该 是 反 映在 测 量 过 程 中的统 计规 律 制
。
,
我 们 可 以 比较 深 刻 的 体 会 到
,
经 典 力 学 只 是量 子 力 学 的 一 个 近 似
”
这句
一 个 完 全 弹 性的 乒 乓 球
, .
,
在 真 空 中从高 度 为球 半径 1 0 倍处
,
,
跌落 到 一 个具 有相 同 半
,
径 的完 全 弹性 的 固定 球 上
上 弹跳 的 最 大 次数
忽略 地球 运 动 的 影 响
,
在 最 佳条 件下
,
估计 乒 乓 球 在 固定 球 面
,
若 接 经 典 力 学 的 观 点 来分 析 最佳 投 放条件 ( 即
:
因 为 干扰因素 均 己 排除
。
碰 撞 是 完 全 弹性 的
而 且 是按
方 向竖 直
、
恰 好对 心 … 等
) 那么
,
乒 乓 球 将 在 固定球 面 上 无 限 次 地
, .
,
即
这是 对许 多 电 子 进 行观 测 的结果
:
,
而 对 于 其 中的某 一个 电 子 来 说
x
如下 情 况 是 就是 说
测不准关系的由来
y 位置不确定量
（缝宽）
动量不确定量 p（y衍射程度）
y 由s 衍射i 极 小n k 公式( k 1 ,2 , ) y ）
Байду номын сангаас
p py
ysin
y
sin
} pyptgpsin p h
py
h sin
得 常用
ypy h精确推导 ypy
ypy
4h
2
或 ypy h
二. 测不准关系的物理意义
1. 测不准关系说明经典手段对于微观粒子不适用
与经典力学的区别
力学中两个正则共轭量对于一个量的测量与测 量该量的仪器做出的反应密切有关，而这种测 量仪器的反应又往往干扰了对第二个量的测量， 于是两个量不能同时被确定。
粒子的位置和动量不能同时具有确定值，这样 经典力学中的粒子静止概念及轨道概念在量子 力学中均不存在，因为这些概念正是以粒子位 置和动量（或速度）能同时具有精确值为前提 的。
测不准关系的由来
07300440033 于晶莹 07300440031 徐云仙
问题的提出
牛顿力学中，一旦物体的初始位置和速度确定， 它在任何时刻的空间位置就完全确定了。
具有波动性的微观粒子，其位置和速度是否也 能同时正确的确定呢？
海森堡的回答
因为对一个物理量的测量 必定会对另外一个物理 量引起干扰。
爱因斯坦：“量子力学虽然令人赞叹，但在我的心中， 有个声音告诉我，它还不是那真实的东西。。。。。。 我无论如何不相信上帝会在掷骰子。”
微观粒子表现出明显的几率性特征，即都可以看成是 微观世界的骰子，电子是微观粒子的代表，即“电子 是微观世界的骰子”。
粗略推导
按光学的基本原理，用波长为λ的光测量微观
第五章 测不准关系
第五章 测不准关系第一部分 内容提要一 体系处于力学量的本征态吓测量力学量时，测量值就是态的本征值，有唯一确定值，几率是1。
二 如果两个力学量相互对易，则它们有共同本征态.在它们共同本征态中测量两个力学量分别有确定值。
三 如果两个力学量算符Fˆ和G ˆ不对易： 0ˆ]ˆ,ˆ[≠=K i G F 则在体系的任意状态),(t rψ 下测量F 和G 不能同时测准。
记 τψ-ψ=-=∆⎰d F F F FF )ˆ()ˆ()(* τψ-ψ=-=∆⎰dG G G GG )ˆ()ˆ()(* 可以证明：2)()(22K G F ≥∆⋅∆特别地有：2)()(22≥∆⋅∆p x四 利用经典力学和测不准关系修正可以估算量子体系地能级，尤其是基态能级。
第二部分 例题讲解例题1 试证明测不准关系式。
已知 0ˆ]ˆ,ˆ[≠=K i G F则 2)()(22K G F ≥∆⋅∆证明：考虑下列积分0ˆˆ)(2≥τψ+ψξ=ξ⎰d G i FI ψ为体系任一波函数，ξ为任一实参数。
利用算符Fˆ和G ˆ的厄米性以及ξ为实数，上面不等式左边可写为：τψ+ξ+ξψ=τψ+ψξψ+ψξ=ξ⎰⎰d G i F G i F d G i F G i FI ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆ[)(*** τψ-ξ++ξψ=τψ+ξ-ξψ=⎰⎰d G F G F i GF dG i F G i F]ˆˆˆˆ(ˆˆ[]ˆˆ][ˆˆ[222**=K i G F G Fi G F ξ++ξ=ξ++ξ222222]ˆ,ˆ[ = 0)4()2(222222≥-+-ξFK GFK F不妨取实参数 22FK =ξ 则 0)4(222≥-FK G所以 222K F G ≥⋅或]ˆ,ˆ[2122G F FG ≥⋅ 简记为]ˆ,ˆ[21G FG F ≥∆⋅∆ 例题二 质量为m 、速度为V 、能量为221mv E =的粒子沿x 轴方向运动，其位置的测量误差为x ∆，设v x t /∆=∆，试由测不准关系 21≥∆∆p x ，导出能量与时间的测不准关系：21≥∆∆t E解： 因为mv p = 所以 v m p ∆=∆ 又221mv E =得tx p pv v mv E ∆∆∆=∆=∆=∆则 21≥∆∆=∆∆x p t E例题三 试利用测不准关系估算[1] 氢原子的基态能级，设rempH22412ˆπε-=[2] 类氢离子得基态能，其中：rze c m c p H221422241)(ˆπε-+=解： [1] 按经典力学观点氢原子能量是rempE 22412πε-=，由于经典力学中r 和p 可以同时确定，即允许0,0=∆=∆p r ，于是0=r 且p=0时氢原子能量最低（∞-），这显然不符合实验事实。
测不准关糸概述
由于德布罗意波的存在，使我们不得不接 受一个经典概念无法理解的原理，即海森堡 的测不准原理，这是一个普遍原理。
对于宏观粒子来说, 我们可以用某个时刻 粒子确定的坐标、速度、能量等来描述它在 这个时刻的运动状态（自然也就导致了轨道 的出现）。
微观粒子具有波粒二象性，如果我们也把经典力学表征宏观 粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子时，那么粒 子的波动性就会不可避免地要对这种观念加以某种“限制”。
xpx
Vt
E V
2
E Vp
E t 2
6
（3）能级宽度和能级寿命
设体系状态的寿命为τ,因测量只能在时间范围τ内进行，则 测得的能量必有宽度为Γ的不确定程度满足关系。
~
或
E
t
2
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围； 实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命。
7
2 ．实物粒子的不确定关系 ——量子力学中“测量”理论的基本概念。
V<< c―――― L>> h――――
9
例 15-21 设电子的动能ＥＫ=10ev，试说明在原子中电子的运 动不存在"轨道"。
解：因能量很低，故属非相对论效应，所以速度为
V 2Ek 10பைடு நூலகம் m / s
me
由测不准关系， 速度的不确定程度 式中 x=0.53－10m
xpx
V p 1 106 m / s m m x
y
光子沿y轴方向通过狭缝后散布在一衍射角为 2 的范围内,衍 射角、缝宽 x (a) 和入射波波长间满足衍射反比关系
a sin k
考虑中央极大K =1
狭缝处的光子在 x 方向坐标不确定范围：
测不准原理的深刻内涵
测不准原理的深刻内涵测不准原理，又称海森堡测不准关系，是量子力学中的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在微观粒子的测量过程中，无法同时准确确定粒子的位置和动量，即在某一时刻对粒子位置的测量精度越高，对其动量的测量精度就越低，反之亦然。
这一原理揭示了微观世界的不确定性，深刻影响着量子力学的发展和人们对自然界的认识。
测不准原理的内涵之一在于揭示了自然界的基本规律是不确定的。
在经典物理学中，人们习惯于用确定性的观念来描述物体的运动状态，认为只要掌握了物体的位置和速度，就可以准确预测其未来的运动轨迹。
然而，测不准原理的提出打破了这种观念，表明在微观世界中，粒子的位置和动量并不存在同时确定的可能性，这种不确定性是量子世界的固有属性。
因此，测不准原理的深刻内涵之一是让人们意识到，自然界并非完全可预测，存在着一定的随机性和不确定性。
另一个深刻内涵是测不准原理揭示了观察者与被观察对象之间的相互影响。
在经典物理学中，人们往往认为观察者可以客观地观测物体的状态，而不会对物体本身造成影响。
然而，量子力学的测不准原理表明，观察者的测量行为会对微观粒子的状态产生影响，甚至改变其原本的运动状态。
这种观察者效应引发了人们对于客观性和主观性的思考，提出了“观察即塑造”这一新的认识观念，拓展了人们对于观察与实验的理解。
此外，测不准原理还启示人们对于信息获取的局限性。
根据测不准原理，粒子的位置和动量无法同时被准确测量，这意味着存在着信息的缺失和不完全性。
在量子世界中，信息的获取受到一定的限制，无法获得完整和准确的信息。
这种信息的局限性不仅影响了科学研究的深入，也引发了人们对于信息论和量子通信等领域的探讨，推动了信息科学的发展。
总的来说，测不准原理的深刻内涵包括揭示了自然界的不确定性、观察者效应以及信息获取的局限性。
这一原理的提出不仅拓展了人们对于量子世界的认识，也引发了对于科学哲学和认识论的思考。
通过深入探讨测不准原理的内涵，可以更好地理解量子力学的基本原理，拓展人们对于自然规律的认识，推动科学技术的发展。
测不准关系
(2)不确定关系完全是由 于微观粒子的波粒二象 性所决定的，与所用仪 器的精密程度无关；与 测量技术无关。 (3)不确定关系是微观世 界的一条重要规律。 (4)无法用轨道的概念来 描述微观粒子的运动。
二、能量和时间、角动量 和角位移的测不准关系
t 2 2
2、坐标和动量的不确定关系
p x x 2 p y y 2 p z z 2
物理意义
2
p q 2
(1)也就是说，当 粒子的位置X完全 确定(X 0),那 么粒子的动量PX， 的数值就完全不 确定（ Px ).微观粒子不 能同时具有确定 的位置和动量。
三、不确定关系的简单导出
q 缝宽:坐标的不确定量;α衍射角;p 动量的不确定量; p q =h
q α0
p
P§3Βιβλιοθήκη 确定关系 一、坐标和动量的测不准关系 二、能量和时间的测不准关系
一、不确定关系的表述和含义
不确定关系的几种表示
粗略的表示：
海森堡严格推出：
p q h
p q 2
p和 q 说明（1）p和q是两个不可对易的力学量， 是p和q的不确定值或均方根误差。
(2)表述含义：量子力学中，不可对易的力学量 不能同时具有确定的值。
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E t 2
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围； 实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命。
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
例15.12 原子的线度为1010 m ，求原子中电子速度的不 确定量.
解：“电子在原子中”就意味着电子的位置不确定 量为 x 1010 m .根据测不准关系可得
解：
E
1.05 10 10 8
34
1.051026 J 6.6108eV
当原子从激发态向基态跃迁时，由于能级有一 定的宽度，则光谱线也有一定的宽度，称为自然宽 度.反过来，根据谱线的自然宽度可以确定原子在激 发态的平均寿命.
15.5 测不准关系
作业：P267 15.17、15.21
第15章 量子物理基础
海森堡严格的理论给出光子坐标与动量的测不 准关系为
xpx
2
ypy
2
zpz
2
h 1.05458871034 J s
2
或： xpx ypy zpz
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
时间与能量的测不准关系：
E t 2
即：如果测量光子的时间精确到Δt ，则测得光
子能量的精度就不会好于ΔE 。
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
3）对宏观粒子，因 h 很小，所以 xpx 0
可视为位置和动量能同时准确测量 .
例 1 一颗质量为10 g 的子弹，具有 200m s1 的
速率 . 若其动量的不确定范围为动量的 0.01% (这在
宏观范围是十分精确的 ) , 则该子弹位置的不确定量 范围为多大?
解 子弹的动量
p mv 2kg m s1
动量的不确定范围
p 0.01% p 2104 kg m s1
位置的不确定量范围
x
h p
6.63 10 34 2 104
m
3.31030 m
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
例2 一电子具有 200m s-1的速率, 动量的不确
范围为动量的 0.01% (这也是足够精确的了) , 则该 电子的位置不确定范围有多大?
解 电子的动量
p mv 9.11031 200kg m s1
p 1.81028 kg m s1
动量的不确定范围
p 0.01% p 1.81032 kg m s1
位置的不确定量范围
x
h p
6.63 10 34 1.8 10 32
m
3.7 102
m
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
vx
mx
1.05 10 34 9.1110 31 10 10
1.2106 m / s
按玻尔理论计算氢原子中轨道运动速度约
为106 m / s .它与上面计算的速度不确定量同数量
级.因此对于在原子中的电子，说它的轨道与速度 是没有实际意义的.
15.5 测不准关系
第15章 量子某激发态的平均寿 命 108 s ，该激发态的能级宽度是多少？
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
海森伯于 1927 年提出测不准关系
对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的
动量来描述 . 测不准关系
xpx h
ypy h
物理意义
zpz h
1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同 时准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的 限制 .
2） 测不准的根源是“波粒二象性”这是自然 界的根本属性 .