广东海洋大学第二学期高数试题与答案

广东海洋大学 2014—2015学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

课程号：

考试

A 卷

闭卷

一 . 填空（3×8=24分）

1. 设}{1,2,1-=a ，}{0,1,x b =→

，→

⊥b a ，则=x 2. 设}{1,0,2-=a ，}{0,1,0=→b ，则=⨯b a 3. 曲面222y x z +=在点)2,1,1(处的切平面方程为 4. 将xoz 平面上的曲线14

2

2

=-

z x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲

面的方程为

5. 函数)3ln(22y x z ++=的驻点为

6.设L 为连接)0,1(-到点)1,0(的直线段，则=-⎰ds x y L )

( 7.幂级数∑

∞

=1

3

n n

n

x 的收敛半径为

8.微分方程x e y 3-=''的通解为=y 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设)ln(22y x y z +=，求dz .

2.设函数),(y x f z =是由方程333a x yz z =+-所确定的具有

连续偏导数的函数，求22,x

z

x z ∂∂∂∂.

三 .计算下列积分（7×4=28分）

姓名：

学

号：

试

题共 5

页

加白纸 3 张

密

封

线

GDOU-B-11-302

1.

dxdy x y D

)(2

⎰⎰

-，其中D 是由0=y , 2x y =及1=x 所围成的闭区域。

2.证明曲线积分dy xy x dx y xy )2()2(2)

1,1()0.0(2-+-⎰在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。 3. 计算

⎰⎰∑

-+-+-dxdy

z dzdx y dydz x )3()2()1(,

其中∑是球面

9222=++z y x 的外侧。

4.计算dxdy y

x D

⎰⎰

++2

211，其中D 是由2522≤+y x 围成的闭区域。 四 .计算题（7×4=28分） 1. 判别级数 2

1

21)1(n

n n

+-∑∞

= 是否收敛 若收敛，是绝对收敛还

是条件收敛 2. 将函数3

1

)(-=x x f 展开为x 的幂级数。 3. 求微分方程

62=+y dx

dy

满足初始条件20

==x y 的特解。

4.求微分方程x e y y ='+''的通解。 五.证明 ⎰⎰⎰

-=

π

π

π000

)()()(y

dx x f x dx x f dy （6分）

2014-2015学年第二学期

《高等数学》A 卷（参考答案及评分标准 课程号：19221101×2

一、 填空（3×8=24分）

1. 2-；

2. }{

2,0,1 ； 3. 02=-+z y x ；

4. 4.14

2

22

=+-

z y x ；

5.)0,0(；

6.2；

7.3；

8. 2139

1

c x c e x ++-

二、 计算题（14分）

1. 2

22y

x xy x z +=∂∂,2222

22)ln(y x y y x y z +++=∂∂,(4分) dy y

x y y x dx y x xy dz ]2)[ln(22

222

222+++++= (3分) 2. 令=),,(z y x F 333a x yz z -+- （1分），得y z F F z x 33,12-==，

则

y

z F F x z z x 331

2

--=-=∂∂， （4分） 则322222

)

33(6)33(6y z z y z x z z

x z --=-∂∂=∂∂. (2分) 三．计算下列积分（7×4=28分）

1. 原式

10

1)21()

2

1

()(41

00

1

022分

32

10

分

42

2

-=-=

-=-=

⎰⎰⎰

⎰

dx x dx y x y dy x y dx x x 2. 设xy x y x Q y xy y x P 2),(,2),(22-=-=，有y x x

Q y P 22-=∂∂=∂∂， 所以曲线积分与路径无关。（4分） 原式=0)21(1

0=-⎰dy y （3分）

3.设V 表示∑围成的闭区域并表示它的体积 ，由高斯公式有

原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=∂-∂+∂-∂+∂-∂=V V dv

dv z

z y y x x π108)3())

3()2()1((

分

3分4

4. 原式26ln )1ln(21211202

分320

50

2分

4ππθπ

=+=+=

⎰

⎰

r rdr r

d 四．1. 令2

21n

u n +=

，则1`+>n n u u ，且0lim =∞

→n n u ，所以级数