近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

( )2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

( )3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。

( )4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。

( )5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。

( )6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

( )7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。

( )8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。

( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

( )10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。

( )二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者,该题无分。

每小题1分,共10分)1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ⨯⨯⨯Λ21到D 的一个映射,那么( )①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ⨯⨯⨯Λ21中不同的元对应的象必不相同;④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算就是二元运算( )①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο;③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。

3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( )①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定的常数。

那么群()ο,G 中的单位元e 与元x 的逆元分别就是( )①0与x -; ②1与0; ③k 与k x 2-; ④k -与)2(k x +-。

5、设c b a ,,与x 都就是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x ( ) ①11--a bc ; ②11--a c ; ③11--bc a ; ④ca b 1-。

6、设H 就是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果6,那么G 的阶=G ( )①6; ②24; ③10; ④12。

7、设21:G G f →就是一个群同态映射,那么下列错误的命题就是( ) ①f 的同态核就是1G 的不变子群; ②2G 的不变子群的逆象就是1G 的不变子群;③1G 的子群的象就是2G 的子群; ④1G 的不变子群的象就是2G 的不变子群。

8、设21:R R f →就是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为( ) ①若a 就是零元,则b 就是零元; ②若a 就是单位元,则b 就是单位元; ③若a 不就是零因子,则b 不就是零因子;④若2R 就是不交换的,则1R 不交换。

9、下列正确的命题就是( )①欧氏环一定就是唯一分解环; ②主理想环必就是欧氏环;③唯一分解环必就是主理想环; ④唯一分解环必就是欧氏环。

10、若I 就是域F 的有限扩域,E 就是I 的有限扩域,那么( )①()()()F I I E I E :::=; ②()()()I E F I E F :::=;③()()()I F F E F I :::=; ④()()()F I I E F E :::=。

三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。

每空1分,共10分)1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。

2、如果f 就是A 与A 间的一一映射,a 就是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 就是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A I 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π 。

7、若I 就是有单位元的环R 的由a 生成的主理想,那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 就是一个有单位元的交换环,I 就是R 的一个理想,那么IR 就是一个域当且仅当I 就是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元,如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,如果 。

四、改错题(请在下列命题中您认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。

指出错误1分,更正错误2分。

每小题3分,共15分)1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律与分配律,那么在n a a a οΛοο21里,元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。

3、设I 与S 就是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 就是R 的最大理想,那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 与b 不一定会有最大公因子,若d 与'd 都就是a 与b 的最大公因子,那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ与G 的所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 就是模6的剩余类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈。

如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ,计算)()(x g x f +、)()(x g x f -与)()(x g x f 以及它们的次数。

六、证明题(每小题10分,共40分)1、设a 与b 就是一个群G 的两个元且ba ab =,又设a 的阶m a =,b 的阶n b =,并且1),(=n m ,证明:ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集,0,,≠∈∀a R b a ,令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),(α,将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ,试证明:对于变换普通的乘法,G 作成一个群。

3、设1I 与2I 为环R 的两个理想,试证21I I I 与{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都就是R 的理想。

4、设R 就是有限可交换的环且含有单位元1,证明:R 中的非零元不就是可逆元就就是零因子。

近世代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × √ √ × √ √ √ × ×二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④三、填空题1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、一个最大理想。

9、p 既不就是零元,也不就是单位,且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都就是F 上的一个代数元。

四、改错题1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律与分配律,那么在n a a a οΛοο21里,元的次序可以掉换。

结合律与交换律2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。

消去律成立3、设I 与S 就是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 就是R 的最大理想,那么0≠S 。

S=I 或S=R4、唯一分解环I 的两个元a 与b 不一定会有最大公因子,若d 与'd 都就是a 与b 的最大公因子,那么必有d=d ′。

一定有最大公因子;d 与d ′只能差一个单位因子5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

不都等于零的元。