近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷

一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)

1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。 ( )

2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。( )

3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( )

4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( )

5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( )

6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。 ( )

7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( )

8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( )

10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( )

二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)

1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ⨯⨯⨯Λ21到D 的一个映射,那么( )

①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ⨯⨯⨯Λ21中不同的元对应的象必不相同;

④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算就是二元运算( )

①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο;

③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。

3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( )

①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

的常数。那么群()ο,G 中的单位元e 与元x 的逆元分别就是( )

①0与x -; ②1与0; ③k 与k x 2-; ④k -与)2(k x +-。

5、设c b a ,,与x 都就是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x ( ) ①11--a bc ; ②11--a c ; ③11--bc a ; ④ca b 1-。

6、设H 就是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6,那么G 的阶=G ( )

①6; ②24; ③10; ④12。

7、设21:G G f →就是一个群同态映射,那么下列错误的命题就是( ) ①f 的同态核就是1G 的不变子群; ②2G 的不变子群的逆象就是1G 的不变子群;③1G 的子群的象就是2G 的子群; ④1G 的不变子群的象就是2G 的不变子群。

8、设21:R R f →就是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为( ) ①若a 就是零元,则b 就是零元; ②若a 就是单位元,则b 就是单位元; ③若a 不就是零因子,则b 不就是零因子;④若2R 就是不交换的,则1R 不交换。

9、下列正确的命题就是( )

①欧氏环一定就是唯一分解环; ②主理想环必就是欧氏环;

③唯一分解环必就是主理想环; ④唯一分解环必就是欧氏环。

10、若I 就是域F 的有限扩域,E 就是I 的有限扩域,那么( )

①()()()F I I E I E :::=; ②()()()I E F I E F :::=;

③()()()I F F E F I :::=; ④()()()F I I E F E :::=。

三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)

1、设集合{}1,0,1-=A ;{

}2,1=B ,则有=⨯A B 。 2、如果f 就是A 与A 间的一一映射,a 就是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 就是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A I 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π 。

7、若I 就是有单位元的环R 的由a 生成的主理想,那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 就是一个有单位元的交换环,I 就是R 的一个理想,那么I

R 就是一个域当且仅当I 就是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元,如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,如果 。

四、改错题(请在下列命题中您认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)

1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律与分配律,那么在n a a a οΛοο21里,元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。

3、设I 与S 就是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 就是R 的最大理想,那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 与b 不一定会有最大公因子,若d 与'd 都就是a 与b 的最大公因子,那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)

1、给出下列四个四元置换

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ与G 的

所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 就是模6的剩余类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ,计算)()(x g x f +、)()(x g x f -与)()(x g x f 以及它们的次数。