任意角的三角函数的引入
《任意角的三角函数》说课稿
《任意角的三角函数》说课稿《任意角的三角函数》说课稿1各位领导，各位老师：我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版一般高中课程标准试验教科书《数学》④〔必修〕第1、2、1节。
一、教材结构与内容简析本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有特别广泛的应用。
三角函数的定义是在学校对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上商量和讨论的。
三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他全部学问的动身点。
紧紧扣住三角函数定义这个珍贵的源泉，可以自然地导出本章的详细内容：三角函数线、定义域、符号推断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。
三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以关心同学更加深化理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面对量、解析几何等内容的学习作必要的预备。
三角函数学问还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
三角函数定义必定是学好全章内容的关键，假如同学把握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性确定了本节教材的重点就是定义本身。
数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给同学数学学问，更重要的是传授给同学数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向同学展现尝试类比、数形结合等数学思想方法。
二、教学重点、难点、关键教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。
教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值确实定性〔α确定，比值也随之确定〕与依靠性〔比值随着α的改变而改变〕。
三、学情分析同学已经把握的内容及同学学习力量1、同学在学校时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，把握了锐角三角函数的一些常见的学问和求法。
2、同学的运算力量较差。
3、部分同学对数学的学习有相当的爱好和主动性。
任意角的三角函数的定义精品教案
任意角的三角函数的定义精品教案教学目标：1.了解任意角的概念；2.学习任意角的弧度制与角度制的转化；3.掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义及其性质；4.培养学生应用任意角三角函数解决实际问题的能力。
教学重难点：1.任意角的定义及其性质；2.任意角的三角函数的定义及其性质。
教学准备：1.教学课件；2.教学用具：黑板、粉笔。
教学过程：一、引入（5分钟）1.向学生提问：在前几节课我们学过了哪几个角的三角函数？这些角的定义是什么？2.引导学生思考：那么，如果角不是在圆周上，而是位于圆周外部或内部呢？我们可以给这种角取个名字，叫它任意角。
你们认为任意角的三角函数应该如何定义呢？二、任意角的弧度制和角度制的转化（15分钟）1.理解任意角的概念：-任意角是指不仅仅限于0度到360度之间的角，可以是任何角度的角。
2.引导学生从弧度制和角度制两个方面进行转化：-弧度制转角度制：角度=弧长/半径-角度制转弧度制：弧长=角度×半径3.完成一些练习题，帮助学生掌握弧度制和角度制的转化。
三、任意角的三角函数的定义（30分钟）1.正弦函数的定义：- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则正弦函数sinθ = y / r。
2.余弦函数的定义：- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则余弦函数cosθ = x / r。
3.正切函数的定义：- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则正切函数tanθ = y / x。
4.通过课件，展示对应角的三角函数的定义及其图像。
并辅以具体角度的示例，让学生理解三角函数的定义。
四、任意角三角函数的性质（20分钟）1.与角度制一样，任意角三角函数也具有周期性。
2.三角函数在单位圆上的性质也适用于任意角。
3.通过具体的例题，教师引导学生探究任意角三角函数的性质。
五、应用实例分析（20分钟）1.展示一些实际问题，引导学生运用任意角三角函数解决问题。
任意角的三角函数中职数学说课稿
任意角的三角函数中职数学说课稿《任意角的三角函数》人教版中职数学说课稿一说教材1、地位和作用:节课是人教版中职数学(必修)8.2.1任意角三角函数的第一课时任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念,对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
教教学重点：任意角三角函数的定义教学重点：1正确理解三角函数的定义2任意角三角函数在各个象限的符号教学难点:标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解;学情分析:学生已经掌握的内容,学生学习能力1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
2.学生具备一定的自学能力，部分同学对数学的学习有兴趣和积极性。
3.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行知识目标1);，1、理解任意角的三角函数的定义;2、三角函数值的符号3、会求任意角的三角函数值;4、体会类比，数形结合的思想。
能力目标：(1)理解并掌握任意角的三角函数的定义;(2)正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;(3)通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力.情感目标：(1)学习转化的思想，(2)培养严谨的学习态度;二说教法温故知新,逐步拓展(1)在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容,发展新知识,形成新的概念;(2)通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义三说学法通过对已经掌握的锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义,,引导出三角函数在各个象限内的符号,会求任意角的三角函数,学会从现有的知识探索新的知识,善于发现问题,提出问题,归纳问题,从而达到解决问题的目的。
四教学过程总体来说,由旧及新,由易及难, 逐步加强,层层深入由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义.1引入: 练习：sin300= cos300= tan300=那么3000，300000呢?复习提问:初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的?由学生回答:SinA=对边/斜边cosA=对边/斜边tanA=对边/斜边我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?2逐步拓展:在高中我们已经建立了直角坐标系,从直角三角形改为平面直角坐标系。
(完整)《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。
2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案主题：任意角的三角函数目标：1.了解任意角的定义；2.掌握任意角的弧度制和角度制的互相转换；3.学习任意角的正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
正文：一、任意角的定义任意角是指大于零度小于360度的角。
在平面直角坐标系中，我们可以根据终边在坐标面上的位置，求出任意角的正弦、余弦和正切函数值。
二、弧度制和角度制的互相转换弧度制是一种以弧长作为衡量角度大小的制度，它规定一个圆周的长度是这个圆的半径 r 的π倍，因此一个完整的圆周就是2πr。
1圆周角对应弧度是2π，1度对应弧度是π/180。
弧度制和角度制互相转换的公式如下：•弧度制转角度制：角度 = 弧度x (180/π)•角度制转弧度制：弧度 = 角度x (π/180)三、正弦、余弦和正切函数的定义和性质对于一个任意角θ，其正弦、余弦和正切函数分别定义如下：•正弦函数sinθ = 纵坐标/半径•余弦函数cosθ = 横坐标/半径•正切函数tanθ = 纵坐标/横坐标以下是正弦、余弦和正切函数的性质：•正弦函数是奇函数，即 sin(-θ) = -sinθ；•余弦函数是偶函数，即 cos(-θ) = cosθ；•正弦函数和余弦函数的最大值和最小值均为1和-1；•正切函数的值域为实数集 R。
四、练习题1.次半径为 3cm 的圆弧所对圆心角为60°，它的弧长是多少？2.弧长为π/2 的圆弧，对应的圆心角是多少度？3.求证：tanθ = sinθ/cosθ。
结语任意角是三角函数的基础，掌握任意角的相关概念和性质，对于数学学科的进一步学习和应用都具有重要的意义。
五、课堂实践以下是可以引导学生进行课堂探究的问题：1.如何用平面直角坐标系表示任意角？2.如何求一个任意角的正弦、余弦和正切函数值？3.什么情况下某个任意角的正弦函数等于1/2？4.如果一条直线的斜率为k，那么这条直线和横轴正的夹角是多少度？六、作业布置1.任意角的弧度制和角度制互相转换；2.计算下列问题：•sin(π/6)，cos(π/3)，tan π/2•sin210°，cos240°，tan(-135°)3.根据课堂所学，自己准备5道习题，进行练习。
《任意角的三角函数》 教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）掌握三角函数在各象限的符号。
（3）能够根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。
2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（2）通过三角函数的定义的探究，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）通过数学知识的探究和应用，感受数学的严谨性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。
2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课（1）复习锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
（2）提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、新课讲授（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
（2）任意角三角函数的定义设角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则定义：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）（3）三角函数在各象限的符号根据角α终边上点的坐标的正负，确定三角函数值在各象限的符号。
3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值。
解：因为 x ＝ 3，y ＝－4，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5sinα ＝ y/r ＝－4/5cosα ＝ x/r ＝ 3/5tanα ＝ y/x ＝－4/3例 2：确定角α所在的象限，使得sinα ＞ 0 且cosα ＜ 0。
解：因为sinα ＞ 0，所以角α的终边在第一、二象限或 y 轴的正半轴上；因为cosα ＜ 0，所以角α的终边在第二、三象限或 x 轴的负半轴上。
中职数学教案：任意角的三角函数(全2课时)
；
．
说明
在比值存在的情况下，对角 的每一个确定的值，按照相应的
对应关系，角 的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角 为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
由定义可以看出：当角 的终边在 轴上时， ，终边上任意一点的横坐标 的值都等于0，此时 无意义．除此以外，对于每一个确定的角 ，三个函数都有意义．
解因为 ， ，所以 ，因此
，
，
．
练习1.已知角 的终边经过点P（ ），求sin , cos , tan
例 2 求下列各角的正弦值、余弦值和正切值.
(1)0 (2)
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
四、练习巩固
1.已知角 的终边经过点P（ ），求sin , cos , tan
2.求下列各角的正弦值、余弦值和正切值
分析先求出当 > 0时， 的正负号情况，再分别分析找出它们的公共范围．
解 因为 > 0，所以 同号
当 同为正时， 是第一象限角
当 同为负时， 是第三象限角
三、练习巩固
1确定下列三角函数值的符号：
2已知角 是三角形的一个内角，在 中，那些有可能是负数？
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
四、小结与交流
例1确定下列三角函数值的符号：
分析判断任意角三角函数值的正负号时，首先要判断出角所在的象限．
解（1）因为 ，即 是第二象限角
所以 < 0
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个Байду номын сангаас补充
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。
2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。
3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。
二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。
2、任意角的三角函数的定义及其性质。
三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。
四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。
2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。
3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。
（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。
那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。
3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。
5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。
（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。
请看下面的例子。
2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。
3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。
任意角的三角函数的定义教案
任意角的三角函数的定义教案.doc（教学目标）：通过本课的学习，能够深入理解任意角的三角函数的定义，能够准确地掌握三角函数的基本性质和应用，提高数学思维能力，探索数学规律。
（教学重点）：深入理解任意角的三角函数的定义，能够灵活运用三角函数的基本性质和应用。
（教学难点）：任意角的三角函数的应用。
（教学方法）：课前探究、教师讲解、学生自主学习、合作学习、综合应用。
（教学过程）一、课前探究（10分钟）1、学生自主思考，运用已经学习的知识，谈一谈对任意角的概念的理解。
2、教师带领学生讨论，任意角和普通角有何不同。
二、任意角的三角函数的定义（20分钟）1、幻灯片呈现，教师带领学生看图说一说，对反正切函数进行解释。
2、学生自主学习，掌握任意角的三角函数的定义。
3、通过教师演示和学生自主尝试，能够掌握任意角三角函数的性质和应用。
三、任意角三角函数的性质和应用（40分钟）1、教师讲解任意角三角函数的性质，强调其和角度符号的关系。
2、学生自主演练，掌握任意角三角函数的计算方法和应用技巧。
3、课堂练习，提高学生的综合应用能力。
四、达成共识（10分钟）1、教师总结本堂课所学的内容，强调认真对待数学学习，勤于思考、探究，并且在课余时间进行巩固复习。
2、学生回答问题，提出自己的观点和建议。
（教学反思）：本节课旨在深入理解任意角的三角函数的定义，提高学生的数学思维能力和综合应用能力。
教师通过讲解和学生自主学习相结合，提高课堂效果，也鼓励学生自己去探究问题，积极思考，提高自己的学习效果。
在日后的数学学习中，希望学生们能够继续努力，不断提高自己的数学水平。
第一章 三角函数 引入
（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱 导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）， 能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三 角函数的周期性。 （3）借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质 （如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点 等）。
（4）理解同角三角函数的基本关系式： （5）结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实 际意义；能借助计算器或计算机画出 y=Asin（ωx+φ）的图象．观察参数A，ω，φ对函 数图象变化的影响。 （6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体 会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
sinx sin x + cos x = 1, = tanx。 cosx
第一章Βιβλιοθήκη 三角函数1.1任意角和弧度制
1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图象与性质 1.5函数y=Asin(wx+φ)的图象
1.6三角函数模型的简单应用
本章学习目标
1、任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度 与角度的互化。
2、三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数 （正弦、余弦、正切）的定义。
2 2
现实世界中的许多运动、变化都有着 循环往复、周而复始的现象，这种变化规 律称为周期性。
函数是刻画客观世界变化规律的数学 模型，那么在数学中又如何刻画客观世界 中的周期性变化规律呢？
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现 象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重 要的作用．在本章中，将通过实例，逐步理解三 角函数的概念及其基本性质，认识三角函数与实 际生活的联系，体会三角函数在解决具有周期变 化规律的问题中的作用。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案【教学目标】1.理解任意角正弦、余弦、正切的定义；2.能够计算任意角的三角函数值；3.掌握任意角的三角函数的性质；4.能够应用任意角的三角函数解决实际问题。
【教学重难点】1.理解任意角的定义；2.计算任意角的三角函数值。
【教学准备】黑板、白板、教材、练习题。
【教学过程】一、引入通过复习直角三角函数的概念，引出任意角的概念。
提问学生：直角三角形中的角度有哪几种？它们的值域是多少？二、任意角的定义1.说明概念：任意角是指不限于直角三角形中的角，可以是任何角度大小的角。
2.将单位圆引入：根据单位圆的定义，任意角可以与单位圆上的点相对应，点的轨迹为一条射线。
3.建立起角、终角概念，并表示成弧度制。
三、任意角的三角函数的定义1.正弦函数：在单位圆上，角对应的射线与x轴的正方向的交点的纵坐标与半径1的比值。
2.余弦函数：在单位圆上，角对应的射线与x轴的正方向的交点的横坐标与半径1的比值。
3.正切函数：在单位圆上，角对应的射线在y轴上的投影与角对应的射线在x轴上的投影的比值。
四、计算任意角的三角函数值1.计算正弦函数值：根据定义，根据单位圆上的点对应的纵坐标与半径的比值即可。
2.计算余弦函数值：根据定义，根据单位圆上的点对应的横坐标与半径的比值即可。
3.计算正切函数值：根据定义，根据单位圆上的点对应的纵坐标与横坐标的比值即可。
五、任意角的三角函数性质1.周期性：正弦函数的周期是2π，余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
2.对称性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
3.正弦函数和余弦函数的和差化积：根据角度和有理倍数关系，可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的乘积。
4. 余弦函数和正切函数的关系：根据定义式：cosθ=1/sinθ，可以得到余弦函数与正切函数的关系。
六、实际问题的应用通过例题及练习题，让学生熟悉如何利用任意角的三角函数解决实际问题，如距离、高度、速度等问题。
任意角的三角函数(教案)
任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。
2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。
2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。
4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。
8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。
答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
答案：见附图。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。
2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。
重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
任意角的三角函数的定义教案
教案课题：《任意角的正弦函数、余弦函数、和正切函数》教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1. 任意角的三角函数的定义；2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法：1. 情境教学法；2. 问题驱动教学法。
教学过程：一、 复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。
初中阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）【问题2】如图，在Rt △ABC 中，求sin,cos,tan 。
（学生口答）sin= cos=二、 新授知识【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。
我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。
的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。
）A CB α 34【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！【问题四】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。
角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。
出示PPT。
我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P，则P有一确定的坐标，（x,y），P点到原点的距离也是确定的，|OP|==>0。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。
2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。
3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。
4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。
二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。
难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。
关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。
三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。
四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。
任意角的三角函数,(第一课时)教案
第一章基本初等函数（Ⅱ）1．2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数（一）【教学目标】1、知识目标（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；（3）根据定义理解公式一；2．能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力。
【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。
2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。
案例（一）教学过程教学过程1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切，并给出投影，图1.2－1。
学生——观察图1.2－1，在锐角的终边上任取一点P （a,b ）,根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。
教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点P 的坐标值有关，点P 的位置不同，表示式中的a,b 也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗？请同学交流、讨论。
学生——利用相似三角形知识，不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。
师生——由此，师生达成共识：为了表示角α的三角函数值，可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。
同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！2、任意角的三角函数的定义。
教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两个方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的关点。
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=αsin 斜边
的邻边α斜边的对边α=αcos 的邻边的对边
αα=αtan “任意角的三角函数”的引入
（一）引入课题
角的概念已经推广与之相应的锐角三角函数已经不能满足数学内部发展的需要，因此必须研究任意角的三角函数。
设计意图：通过结构图，简约而又明确地提出本节课的学习任务，让学生意识到研究任意角三角函数的必要性、任意角三角函数将要在锐角三角函数的基础上延伸。
（二）复习铺垫活动
问题1：在初中已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的，为什么这样定义？
学生只知道在直角三角形中定义： 不知“为什么这样定义”，这个问题目的要帮助学生揭示锐角三角函数的本质。
学生回答不出为什么时教师提出问题2
问题2：任意画一个锐角α，以角α的两条边为边，能构造多少个直角三角形？这些直角三角形有什么关系？角α的正弦怎样表示？
教师任意画一个锐角，要求学生画一个锐角，构造直
角三角形，并表示锐角α的正弦，不同学生所画锐角不同， 所得角α的正弦值也不同。
学生回答问题时教师用媒体演示数学事实。
【设计意图】让学生体会直角三角形的构造思想，以及相似图形中的比值不
变性，即当角α确定时，无论在哪个直角三角形中对边与斜边的比值也唯一确定，认识到锐角三角函数是以锐角为自变量，以直角三角形边的比值为函数值的一类函数，这种对锐角三角函数本质的揭示，是任意角三角函数定义的生长点。
（三）任意角三角函数的定义过程
角是在平面直角坐标系中推广的，
锐角三角函数。
问题1：从α的终边上任取一点P 此时P 点的坐标（x,y 此时角α的正弦函数怎样表示？这个比值会因点P 在α终边上位置的改变而改变吗？
【设计意图】引导学生借助坐标系定义锐角三角函数。
通过寻找角α终边上点的坐标与直角三角形边长的关系，实现了锐角三角函数由直角三角形定义到坐标系定义的自然过渡，再借助几何画板和推理说明，让学生感受到当角α确定后，虽然角终边上点是任意的，但坐标所确定的比值不变，感受函数本质，得出锐角三角函数的坐标定义。
【
议一议】锐角α的三角函数是建立在怎样的两个集合上的函数？能否理解为是实数集（0，
2
π
）到实数集的对应？ 【设计意图】让学生在讨论、争辩的过程中认识到锐角三角函数就是以（0，
2
π
）内的角为自变量，学难点，培养学生的合作意识。
问题2：角的范围扩大了，比值
r
y
比值
r
y
是角的函数吗？能否将锐角的正弦推广到任意角的情况呢？ 【设计意图】引发学生的认知冲突，激发学生定义任意角三角函数的欲望，并突出变量之间的依赖关系，增强函数观念。
教师用几何画板拖动角α终边上的点P ，让学生感受到任意一个角α都有唯
一确定的比值
r
y
与之对应，而且比值随角α终边的改变而改变，这种“任意性”与“唯一确定性”的演示，让学生认识到推广的合理性，可以用比值r
y
定义任意
角的正弦函数。
问题3：类比锐角三角函数定义，你能给出任意角的三角函数定义吗？ 【设计意图】把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义的过程，发展学生的理性思维。
学生类比得出的是欧拉传统定义，设α是一个任意角，点P （x,y ）是α终边上任意一点的坐标，定义： 为引入单位圆定义。
问题4：
更简单一些？
当学生认识到r=1可使对应关系简单化，教师给出
让学生再次感受三角函数是建立在任意角集合R 到坐标及
坐标比值集合C 上的函数。
教师正规的板书三角函数的定义，让学生感受单位圆定义使对应关系更清楚更简单，更能突出三角函数的本质。
=
αsin r
y =
αcos r
x =αtan x
y。