任意角的三角函数的引入

=αsin 斜边

的邻边α斜边的对边α=αcos 的邻边的对边

αα=αtan “任意角的三角函数”的引入

（一）引入课题

角的概念已经推广与之相应的锐角三角函数已经不能满足数学内部发展的需要，因此必须研究任意角的三角函数。

设计意图：通过结构图，简约而又明确地提出本节课的学习任务，让学生意识到研究任意角三角函数的必要性、任意角三角函数将要在锐角三角函数的基础上延伸。

（二）复习铺垫活动

问题1：在初中已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的，为什么这样定义？

学生只知道在直角三角形中定义： 不知“为什么这样定义”，这个问题目的要帮助学生揭示锐角三角函数的本质。

学生回答不出为什么时教师提出问题2

问题2：任意画一个锐角α，以角α的两条边为边，能构造多少个直角三角形？这些直角三角形有什么关系？角α的正弦怎样表示？

教师任意画一个锐角，要求学生画一个锐角，构造直

角三角形，并表示锐角α的正弦，不同学生所画锐角不同， 所得角α的正弦值也不同。学生回答问题时教师用媒体演示数学事实。

【设计意图】让学生体会直角三角形的构造思想，以及相似图形中的比值不

变性，即当角α确定时，无论在哪个直角三角形中对边与斜边的比值也唯一确定，认识到锐角三角函数是以锐角为自变量，以直角三角形边的比值为函数值的一类函数，这种对锐角三角函数本质的揭示，是任意角三角函数定义的生长点。 （三）任意角三角函数的定义过程

角是在平面直角坐标系中推广的，

锐角三角函数。

问题1：从α的终边上任取一点P 此时P 点的坐标（x,y 此时角α的正弦函数怎样表示？这个比值会因点P 在α终边上位置的改变而改变吗？

【设计意图】引导学生借助坐标系定义锐角三角函数。通过寻找角α终边上点的坐标与直角三角形边长的关系，实现了锐角三角函数由直角三角形定义到坐标系定义的自然过渡，再借助几何画板和推理说明，让学生感受到当角α确定后，虽然角终边上点是任意的，但坐标所确定的比值不变，感受函数本质，得出锐角三角函数的坐标定义。

【

议一议】锐角α的三角函数是建立在怎样的两个集合上的函数？能否理解为是实数集（0，

2

π

）到实数集的对应？ 【设计意图】让学生在讨论、争辩的过程中认识到锐角三角函数就是以（0，

2

π

）内的角为自变量，学难点，培养学生的合作意识。

问题2：角的范围扩大了，比值

r

y

比值

r

y

是角的函数吗？能否将锐角的正弦推广到任意角的情况呢？ 【设计意图】引发学生的认知冲突，激发学生定义任意角三角函数的欲望，并突出变量之间的依赖关系，增强函数观念。

教师用几何画板拖动角α终边上的点P ，让学生感受到任意一个角α都有唯

一确定的比值

r

y

与之对应，而且比值随角α终边的改变而改变，这种“任意性”与“唯一确定性”的演示，让学生认识到推广的合理性，可以用比值r

y

定义任意

角的正弦函数。

问题3：类比锐角三角函数定义，你能给出任意角的三角函数定义吗？ 【设计意图】把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义的过程，发展学生的理性思维。

学生类比得出的是欧拉传统定义，设α是一个任意角，点P （x,y ）是α终边上任意一点的坐标，定义： 为引入单位圆定义。

问题4：

更简单一些？

当学生认识到r=1可使对应关系简单化，教师给出

让学生再次感受三角函数是建立在任意角集合R 到坐标及

坐标比值集合C 上的函数。教师正规的板书三角函数的定义，让学生感受单位圆定义使对应关系更清楚更简单，更能突出三角函数的本质。

=

αsin r

y =

αcos r

x =αtan x

y