近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-5

近世代数课后习题参考答案

第五章 扩域

1 扩域、素域

1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.

证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑

1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈

)

,,(2,1m F b βββ ∈易知

m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈-

但∑⊂

),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b

2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈-

从而有∑

⊂

∈-),,,,,,(21211

m n F ab

βββααα

２ 单扩域

１． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元，并且

F a F =)(

证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故

F a F ⊂)(易见F a F ⊃)(，从而F a F =)(

２．令F 是有理数域．复数i 和

1

12-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？

)(i F 与)1

12(

-+i i F 是否同构？

证 易知复数i 在F 上的极小多项式为1

12,

12

-++i i x

在F 上的极小多项式为2

52

+-x x

因)1

12()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．

３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p

证 令ℜ是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集

合．

1) ℜ是)(x F 的一个理想

(ⅰ)若 ℜ∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f

因而0)()(=-a g a f 故ℜ∉-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ℜ∈是)(x F 的任一元

那么0)()(=a f a h 则ℜ∈)()(x f x h

2)是一个主理想

设 )(1x p 是ℜ中a ！的极小多项式

那么，对ℜ中任一)(x f 有 )()()()(1x r x q x p x f +=

这里0)(=x r 或r(x)的次数 但)()()()(1x R a q a p a f +=

因 )(,0)(1a p a f =0= 所以0)(=a r

若 0)(≠x r 则与x p 1是a 的极小多项式矛盾． 故有 )()()(1x q x p x f = 因而)((1x p =ℜ （３）因 p(a)=0 故p(x)ℜ∈

)()(1x p x P 因二者均不可约，所以有)()(1x ap x p =

又)(),(1x p x p 的最高系数皆为1那么1=a 这样就是)()(1x P x p =

４． 证明：定理３中的K a F =)(

证 设,K f ∈，则在定理３的证明中，'K K ≅之下有．

a x a x a f n n n

n +++→------

1

1

但 ,x a → -

→11a a 故必011a a a f n n n n ++=--αα 这就是说)(αF k ⊂ 因而K a F =)(

３ 代数扩域

１．令E 是域F 的一个代数扩域，而α是E 上的一个代数元， 证明α是E 上的一个代数元 证 因为α是F 上的代数元

所以n

n e e e αα+++ 10

又因为E 是F 的代数扩域，从而),,(10n e e e F 是F 的代数

扩域，再

有α是),,(10n e e e F 上的代数元，故),,(10n e e e F ()(α

n n e e e e F ,,,,(110- )的有限扩域，由本节定理１，知 ),,,,,(110αn n e e e e F -

是F 的有限扩域，因而是F 的代数扩域，从而a 是F 上的一个代数元．

２．令F ,E 和L 是三个域，并且F E ⊂I ⊂，假定

(:)I F m =

而E 的元α在F 上的次数是n ，并且1),(=n m

证明α在I 上的次数也是１ 证 设r I I =:)((α

因为 F I I ⊃⊃)(α

由本节定理1 rm F a I =):)(( 另一方面，因为F I F F :)(():)((αα 仍由本节定理！！ 即有rm n

但由题设知 1),(=n m 故 r n

又α在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是１ α在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是n 由于α在上的极小多项式能整除α在F 上的极小多项式

所以n r ≤ 因而n r =

３．令域！的特征不是２，E 是F 的扩域，并且 4):(=F E

证明存在一个满足条件E I F ⊂⊂的E 的二次扩域F 的充分与必要条是：

4):(=F E ，而α在F 上的极小多项式是b ax x ++2

4

证 充分性：

由于α在F 上的极小多项式为b ax x ++24 故F a ∉2

及)(22αF a ∉

因而1):)((2

≠F a F 由本节定理１知：

所以 2):)((2

=F a F 这就是说，)(a F 是一个满足条件的的二次扩域必要性：

由于存在I 满足条件E I F ⊂⊂且为F 的二次扩域

即2):1(=F 因此可得（2)1:(=E 我们容易证明，当F 的特征不是２时，且 则 而！在！上的极小多项式是！

同样 )(a I E =而β在f x -2

上的极小多项式是 这样 ,,2

F f f ∈=β I i i ∈=,2

α

那么ββ2

2212

12

2f f f f i ++=

所以2

4i =α