数学实验课程设计 常微分方程数值解

数学实验报告

1.题目：

某容器盛满水后，底端直径为d0的小孔开启（如图1），根据水力学知识，当水面高度为h时，谁从小孔中流出的速度为v=0.6*（g*h）^0.5（其中g为重力加速度，0.6问哦小孔收缩系数）

1）若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底直径都为1.2m，小孔直径d为3cm，为水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。

2）若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高1.2m，小孔直径d为3cm，由底端（记x=0）向上每隔0.1m测出容器的直径D（m）如表1所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min时水面高度是多少。

图1

X/

m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

D/ m 0.0

3

0.0

5

0.0

8

0.1

4

0.1

9

0.3

3

0.4

5

0.6

8

0.9

8

1.1

1.2

1.1

3

1.0

表1

2.分析：

由题知，水从小孔中流出，不仅与容器有关，还与水流速度v=0.6*（2*g*h）^0.5有关。

第一小题容器是圆锥形，比较规则，但是由于水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决。由（1）知，水面直径等于水深。水深为h时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，0.6*(g*h)^(0.5)*π*(d0/2)^2*dt=π/4*h^2*dh

则水深下降dh 所需时间 ：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]

水深由1.2m 至0定积分得水从小孔流完的时间：T （其中已知d=0.03m ，g=9.8m*s(-2）

对于第二问：设两分钟（120S ）后水深为X m ，由

dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 则263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]

以d=0.03m ，g=9.8m*s(-2代入上式得 水深：X

第二小题容器为倒葫芦形，比较不规则，比较复杂，不仅要考虑水不断从小孔流出，容器中水的高度是不断变化的，水流速度没有一定的公式，所以要用到微积分解决，还要注意表1的倒葫芦形的不断变化，水深的高度变化是不规则的但仍可以用微积分。

由（2）知容器高1.2m ，水深为h 时，流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，由于不同高度，倒葫芦形半径不同，用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降dh 所需时间 ：dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]

然后利用循环for k=1：length(L)，t(k)=((h(k+1)-h(k))*(π/4)*d(k)^2)/(0.6*(π/4)*d^2*(g(1.2-h(k)))^0.5)，T=sum(t).可以求得水从小孔流完的总时间。 对于第二问：设两分钟（120S ）后水深为X m ，由 S=0,利用条件，当120-s<0.0001时s=s+t(k)，x(k)

把d=0.03m ，g=9.8m*s(-2)代入上式得 水深：X 相关资料：龙格—库塔方法求解

龙格—库塔方法思想：用[v n ,v 1+n ]上若干个点的倒数，对他们做线性组合得到平均斜率，就可能得到更高阶的精度，这就是龙格—库塔方法思想。

为了演算方便本课程设计采用二阶龙格—库塔公式，即求[v n ,v 1+n ]上的二个倒数，将他们加权平均得平均斜率。

我们设有形如： {

0)(),()(H v H h v f v H =='

其中函数),(v h f 满足HipscHitz 条件，既满足存在常数H 使

2121),(),(H H L H v f H v f -≤-

按照下式在n v 和)10(≤<+ααl v n 去倒数作线性组合

⎪⎩⎪⎨⎧≤<++==++=+1

,0),,(),()(12

122111βαβαλλhk y h v f k v h f k k k h H H n n n

n n n

（3）

其中αλλ,,21为待定系数，确定他们的准则是使（3）式有尽量高的精度。注意到

)(n n v H H =的假设，并对2k 作二元泰勒展开，且利用

H v f f H H f H k *,1+=''='=，（3）式可写为：

)

()()()())(,())(,()())(,(;

))(,();()(22112122111h O v H h v H h O v H v f hk v H v hf v H hk v H l v f k H v H v f k k k h v H H n n n n h n n v n n n n n n n +''+'=+++'=++='==++=+αααααλλ于是)()()()()(32211h O v H h v H h v H H n n n n +''+'++=+αλλλ

故得截断误差为

)()()2

1

()()1()(32221111h O v H h v H h H v H T n n n n n +''-+'--=-=+++αλλλ

容易看出只要： 就可以使（3）式具有2阶精度。

以上分析了龙格—库塔方法思想，下面用1,2/121===αλλ时的龙格—库塔方法即为改良后的欧拉公式法在MATHAB 上解决本课程设计题目：

3..模型方程：

开始条件h=1.2m ，d0=1.2m ，g=9.8m*s(-2)，d=0.03m

水深为h 时，流量Q 为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5，则水深下降dh 所需 时间 ：dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 水深由1.2m 至0定积分得水从小孔流完的时间：T （其中已知d=0.03m ，g-9.8m/s ） 设两分钟（120S ）后水深为X m ，由

dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5] 则263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]

以d=0.03，g=9.8代入上式得 水深：X

用欧拉方程和龙格—库塔方法则水深下降dh 所需时间 ：dt=t(k+1)-t(k)=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π

/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]

k1=0.15*sqrt(g*(x(n)))*d^2/(-43.6359*x(n)^8+213.0457*x(n)^7-414.873*x(n)^6+410.2075*x(n)^5-218.8936*x(n)^4+62.553*x(n)^3-8.3215*x(n)^2+0.49619*x(n)+.014892)^2;

1,2

1212=+=λλαλ