三角形全章热门考点整合应用
三角形章节复习
三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。
②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。
④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。
2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答案
人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答案名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．两个概念概念1：全等形1．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：A与________对应；B与________对应；C与________对应；D与________对应．(第1题) 概念2：全等三角形2．如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．(第2题)3．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关系？为什么？(第3题)两个性质性质1：全等三角形的性质4．【·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由．(第4题)性质2：角平分线的性质5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝BC＋FC.(第5题)判定1：全等三角形的判定6．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)已知DE＝35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)．判定2：角平分线的判定7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)猜想写出AB＋AC与AE之间的数量关系并给予证明．(第7题)四个技巧技巧1：构造全等三角形法8．如图∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.(第8题)9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC＝∠DCB.(第9题)技巧2：构造角平分线法10．【中考·黄冈】已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.(第10题)技巧3：截长(补短)法11．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC ＝AB＋CD.(第11题)技巧4：倍长中线法12．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.(第12题)两种思想思想1：建模思想13．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做法的正确性．思想2：转化思想14．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？(第14题)答案1．M ；N ；Q ；P2．解：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD 是对应边；∠B 与∠C ，∠2与∠1，∠BAE 与∠CAD 是对应角．3．解：AD ⊥BC. 理由略． 4．解：(1)完成作图，如图所示．(第4题)证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°.∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB. ∴CD ＝EB ，即BE ＝CD. (2)BE ＝CD.理由如下：∵四边形ABFD 和四边形ACGE 都是正方形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB. ∴CD ＝EB ，即BE ＝CD.5．证明：如图，过点E 作EG ⊥AF ，垂足为点G.连接EF. ∵∠BAE ＝∠EAF ，∴AE 为∠BAF 的平分线． 又∵EB ⊥AB ，EG ⊥AF ，∴EB ＝EG.在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝EG ，AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AGE(HL )，∴AB ＝AG . ∵在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BC ＝AG.又∵点E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ＝EG .在Rt △EGF 和Rt △ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EG ＝EC ，EF ＝EF ，∴Rt △EGF ≌Rt △ECF(HL )． ∴GF ＝CF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BC ＋FC.(第5题)6．(1)证明：由题意得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°.∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD.在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ，∠CAD ＝∠BCE ，AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CEB(AAS )．(2)解：由题意得AD ＝4a ，BE ＝3a.由(1)知△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，CE ＝AD ＝4a ，∴DE ＝DC ＋CE ＝7a.∵DE ＝35 cm ，∴a ＝5 cm .答：砖块的厚度a 为5 cm .7．(1)证明：∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠E ＝∠AFD ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，BE ＝CF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC.(2)解：AB ＋AC ＝2AE.证明如下：由(1)可知AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD.在△AED 与△AFD 中，∵∠EAD ＝∠CAD ，∠E ＝∠AFD ＝90°，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴AE ＝AF.又∵BE ＝CF ，∴AB ＋AC ＝AE －BE ＋AF ＋CF ＝AE ＋AE ＝2AE.8．证明：过点B ，C 分别作CA ，BA 延长线的垂线，垂足分别为F ，G. 在△ABF 和△ACG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BFA ＝∠CGA ＝90°，∠FAB ＝∠GAC ，AB ＝AC ，∴△ABF ≌△ACG(AAS )． ∴BF ＝CG.在Rt △BEF 和Rt △CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CG ，BE ＝CD ， ∴Rt △BEF ≌Rt △CDG(HL )．∴∠AEB ＝∠ADC.点拨：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．证明：分别取AD ，BC 的中点N ，M ，连接BN ，CN ，MN ，则有AN ＝ND ，BM ＝MC.在△ABN 和△DCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝DN ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，∴△ABN ≌△DCN(SAS )． ∴∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC. 在△NBM 和△NCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧NB ＝NC ，BM ＝CM ，NM ＝NM ，∴△NBM ≌△NCM(SSS )． ∴∠NBC ＝∠NCB.∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN ， 即∠ABC ＝∠DCB.点拨：证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD ，BC 的中点就是把中点作为了已知条件．分散证明，也是几何证明中的一种常用技巧．10．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD 是∠EAF 的平分线． ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.11．证明：(方法一——截长法)如图①，在BC 上取一点F ，使BF ＝BA.连接EF ，∵CE ，BE 分别平分∠BCD ，∠CBA ，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. 在△ABE 和△FBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BF ，∠1＝∠2，BE ＝BE.∴△ABE ≌△FBE(SAS )． ∴∠A ＝∠5.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D. 在△EFC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠6＝∠D ，∠3＝∠4，EC ＝EC ，∴△EFC ≌△EDC(AAS )，∴FC ＝DC ，∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.(方法二——补短法)如图②，延长BA 至点F ，使BF ＝BC ，连接EF ，∵CE ，BE 分别平分∠BCD ，∠CBA ，∴∠1＝∠2＝12∠ABC ，∠3＝∠4＝12∠BCD. 在△BEF 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BC ，∠1＝∠2，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(SAS )．∴EF ＝EC ，∠F ＝∠3＝∠4.∵AB ∥CD ，∴∠7＝∠D.在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠7＝∠D ，∠F ＝∠4，EF ＝EC.∴△AEF ≌△DEC(AAS )，∴AF ＝CD.∵BC ＝BF ＝AB ＋AF ，∴BC ＝AB ＋CD.(第11题)12．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE. ∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS )．∴∠EBF ＝∠EAC ，BF ＝AC.过点A 作AG ⊥BC 于点G ，则∠AGC ＝∠AGB ＝90°.∵∠ABC ＝∠ACB ，AG ＝AG ，∴△AGC ≌△AGB.∴AC ＝AB.又∵∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠BAC ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF. ∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS )．∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.(第12题)13．证明：由做法知：在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA )．∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．14．解：连接BF ，EF.∵点F 是CD 的中点，∴CF ＝DF.在△BCF 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠C ＝∠D ，CF ＝DF ，∴△BCF ≌△EDF(SAS )．∴BF ＝EF.在△ABF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，BF ＝EF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△AEF(SSS )．∴∠BAF ＝∠EAF.∴AF 平分∠BAE.。
新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)本文是一份新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练重难点突破的精品文档，主要讲解了三角形的相关概念和性质。
研究目标包括：认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作图提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题；能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用；了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
重点梳理了三角形的相关概念和性质，其中包括三角形三边的关系，三角形按“边”分类，三角形的重要线段（包括高、中线、角平分线）等。
三角形三边关系的应用包括判断三条线段能否组成三角形，求已知两边长的第三边长的取值范围等。
同时，三角形还可以按边分类，分为不等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形。
三角形的重要线段包括高、中线和角平分线，它们的作用分别是作垂线、分割三角形、平分角度等。
此外，三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种，分别是锐角三角形交点在三角形内、直角三角形交点在直角顶点、钝角三角形交点在三角形外。
最后，本文还提到了多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念，以及多边形内角和及外角和的计算方法，帮助学生掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
已知一个多边形的边数，可以求出它的内角和。
反之，已知一个多边形的内角和，可以求出它的边数。
多边形的外角和恒等于360°，与边数无关。
根据外角和公式，可以求出正多边形的边数，也可以根据正多边形的边数求出外角度数。
冀教版八年级上册数学第13章 全等三角形 全章热门考点整合应用
冀教版八年级上
第十三章全等三角形
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答案呈现
9 10 11 12
1 下列说法正确的是( A ) A．每一个命题都有逆命题 B．每一个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．真命题的逆命题一定是假命题
AP＝AP， ∴△ABP≌△AMP(SAS)，∴PB＝PM. 在△PCM 中，CM>PM－PC， ∴AM－AC>PB－PC.∴AB－AC>PB－PC.
9 如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝10，AC＝ 5，求AD的取值范围．
解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE，则AE＝2AD.
3 如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪 开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：
A与________对应；B与________对应； C与___M_____对应；D与____N____对应．
Q
P
4 如图，已知△ABE与△ADC全等，∠1＝∠2，∠B＝ ∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．
7 如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC 上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.
证明：过B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为 F，G.
应用到的三角形的数学知识点
应用到的三角形的数学知识点
1.三角形的性质：如内角和定理、等角定理、等腰三角形性质、直角三角形性质等。
2.三角形的相似性质：如相似三角形的相似比例定理、对应角相等定理等。
3.三角形的勾股定理：用勾股定理可判断一个三角形是否为直角三角形。
4.三角形的正弦、余弦、正切定理：利用三角函数可以用已知边长求角度大小，或用已知角度求边长长度。
5.海龙公式：用海龙公式可求出任意三角形的面积。
6.欧拉线：欧拉线是指三角形内几何构造中的一种线段，它连接了三角形的重心、垂心和外心。
7.费马点：费马点是指使得三角形内角相加最小的点，正三角形的三个顶点就是费马点。
冀教版七年级下册数学第9章 三角形 全章热门考点整合专训
15．在△ABC 中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°. 求∠A 的度数．
解：由题意得∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A， ∴∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝ 180°.∴∠A＝50°.
解：∵PA＋PB>AB，PB＋PC>BC， PC＋PA>AC. ∴2(PA＋PB＋PC)>AB＋BC＋AC.
8．【2019·河北石家庄新华区期中】如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，
DE∥AB，则∠DEC等于( )
A．63°B．113°C．55°D．62°
D
9．如图，△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相 交于点 O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的 度数．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°， ∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. ∵AD 是高，∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°. ∵AE，BF 是角平分线，
解：连接 GA，GB，GC. ∵BD 是 AC 边上的高，∴S△ABC＝12AC·BD. ∵GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC， ∴S△ABC＝S△ABG＋S△BCG＋S△ACG＝12AB·GF＋12BC·GH＋12AC·GE. 又∵AB＝BC＝AC，∴S△ABC＝12AC·(GF＋GE＋GH)＝12AC·BD. ∴GF＋GE＋GH＝BD.
解：∵a，b，c 是三角形的三边长， ∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a＋b＞0， ∴原式＝－(a－b－c)－(b－c－a)＋(c－a＋b)＝－a＋b＋c－b＋ c＋a＋c－a＋b＝3c－a＋b.
11．【中考·四川资阳】等腰三角形的两边长 a，b 满足|a－4|＋(b －9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
人教版九年级数学下册专题讲解：2365全章热门考点整合应用
全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：2个概念，1个运算，2个应用，2个技巧．2个概念概念1锐角三角函数1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．(第1题)概念2解直角三角形2．如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝35，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第2题)1个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；(2)14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°.2个应用应用1 解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE⊥AP，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长；[:Z,xx,k](2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a 的值．(第4题)应用2解直角三角形在实际生活中应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．(2)求A，B间的距离(参考数据cos 41°≈0.75)．(第5题)6．【2018·威海】图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算：如图②，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10 cm，DE＝120 cm，FG⊥DE，垂足为点G.(1)若∠θ＝37°50′，则AB的长约为________cm；(参考数据：sin 37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan 37°50′≈0.78)(2)若FG＝30 cm，∠θ＝60°，求CF的长．(第6题)[:Z&xx&k]2个技巧技巧1“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝32，AC＝23，求AB的长．(第7题)技巧2“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第8题)答案1．思路导引：求∠BCD 的三个三角函数值，关键要弄清它们的定义．由于∠BCD 是Rt△BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 的长是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD 的长，二是把∠BCD 转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC 中，三边的长均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．解：在Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝10， ∴sin ∠BCD＝sin A ＝BC AB ＝810＝45， cos ∠BCD＝cos A ＝AC AB ＝610＝35， tan ∠BCD＝tan A ＝BC AC ＝86＝43. 2．思路导引：由sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35，可设DE ＝CD ＝3k ，则DB ＝5k ，求得BC ＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k.再由AC ＋CD ＝9，可列出以k 为未知数的方程，进而求出各边的长．在Rt△BDE 中，由勾股定理求BE 的长，过C 作CF⊥AB 于点F ，再用勾股定理求出CE 的长．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B＝DE DB ＝AC AB ＝35. 设DE ＝CD ＝3k ，则DB ＝5k ， ∴CB＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k.∵AC＋CD ＝9，∴6k＋3k ＝9，∴k＝1，∴DE＝3，DB ＝5，∴BE＝52－32＝4.(第2题)过点C 作CF⊥AB 于点F ，如图，则CF∥DE，∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，求得CF ＝245， BF ＝325， ∴EF＝125. 在Rt△CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．3．解：(1)原式＝33×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫222×1 ＝12＋34－12＝34. (2)原式＝14×12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋112－1 ＝14＋4－3×34＋2－1 ＝3.4．解：设CE ＝y.(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B＝∠BCD＝90°. ∵BP＝a ，CE ＝y ，∴PC＝5－a ，DE ＝4－y.∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°.∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP.∴△ABP∽△PCE.∴BP CE ＝AB PC. ∴y＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4. (2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BF.∴△AED∽△FEC.∴AD CF ＝DE CE .∴CF＝3. 易知PC ＝2，∴PF＝PC ＋CF ＝5.∴PF＝AD.∴四边形APFD 是平行四边形．在Rt△APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF.∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan ∠PAE＝12可得AP PE＝2，易得△ABP∽△PCE， ∴AB PC ＝AP PE ＝2，得45－a ＝2或4a －5＝2，解得a ＝3或a ＝7. 5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠QPB＝90°－24.5°＝65.5°，∠PQB ＝90°－41°＝49°，∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°.∴∠PBQ＝∠BPQ.∴BQ＝PQ.(2)由(1)，得BQ ＝PQ ＝1 200 m.由已知条件易知∠AQP＝90°－49°＝41°.在Rt△APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m)． 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，∴在Rt△AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m)．∴A，B 间的距离约是2 000 m.点拨：说明线段相等常利用全等三角形的对应边相等或等角对等边；计算线段的长度常利用锐角三角函数或勾股定理．6．解：(1)83.2(2)如图，过M 点作MN∥AB，过点E 作EP∥AB，交CB 于点P ，分别延长ED ，BC 交于点K. (第6题)则MN∥EP，∴∠1＝∠2.∵AB⊥BK，EP∥AB，∴KP⊥EP.∴∠2＋∠K＝90°.∵∠θ＋∠1＝90°，∴∠K＝∠θ＝60°.在Rt△FGK 中，∠KGF＝90°，sin K ＝GF KF ， ∴KF＝GF sin 60°＝203(cm)． 又∵CD∥AB，AB⊥BK，∴CD⊥CK.在Rt △CDK 中，∠KCD＝90°，tan K ＝CD CK ， ∴CK＝CD tan K ＝103＝1033. 则CF ＝KF －KC ＝203－1033＝5033(cm)． 7．解：如图，过点C 作CD⊥AB，垂足为D.(第7题)在Rt△ACD 中，∵AC＝23，∠A＝30°，∴CD＝12AC ＝3，AD ＝AC·cos 30°＝23×32＝3. 在Rt△BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32， ∴DB＝2CD 3＝233＝2. ∴AB＝AD ＋DB ＝3＋2＝5.方法总结：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数值、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧是解此类题的关键．8．解法1：如图①所示，过点B 作BE∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF∥AB 交AD 于点F ，则BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF＝AB ，AF ＝BE.∵∠A BC ＝120°，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°.在Rt△BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100， EC ＝BC·tan ∠CBE＝503×tan 30°＝503×33＝50.(第8题) 在Rt△DEF中，DF＝EFtan D＝ABtan 60°＝3033＝30.∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130.∴S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝12(AD＋BE)·AB＋12BC·EC＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4700 3.解法2：如图②所示，延长DA，CB交于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∠E＝90°－∠ABE＝30°.在Rt△ABE中，AE＝AB·tan 60°＝303×3＝90，BE＝ABcos 60°＝30312＝60 3.∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.在R t△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝1103×33＝110.∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝12DC·CE－12AB·AE＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，一次函数1y ax b 和反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >【答案】B 【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 2．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．3．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=2x-的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n 【答案】D【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．【详解】∵y=−2x的k=-2＜1，图象位于二四象限，a＜1，∴P（a，m）在第二象限，∴m＞1；∵b＞1，∴Q（b，n）在第四象限，∴n＜1．∴n＜1＜m，即m＞n，故D正确；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜1时，图象位于二四象限是解题关键．4．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝()()a b a baa bb+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2x，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．5．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．91032π⎛⎝米2B．932π⎛-⎝米2C．9632π⎛⎝米2D．(693π-米2【答案】C【解析】连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=12OA=12×6=1．∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=1，∴2222CD OD OC6333-=-=又∵CD333sin DOCOD∠===DOC=60°．∴2606193336336022DOCAODS S Sππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=阴影扇形2）．故选C．6．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x【答案】B【解析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()147001400x+．故选B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．721的相反数是（）A21B21C．21--D．12【答案】D【解析】根据相反数的定义求解即可．21的相反数是21，故选D．【点睛】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．8．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP 交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO=35，其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=︒， 根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据勾股定理求出225,AQ AB BQ =+=,DFO BAQ ∠=∠直接用余弦可求出．【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=， ∵BP=CQ ， ∴AP=BQ ，在△DAP 与△ABQ 中, AD ABDAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ， ∴∠P=∠Q ，∵90Q QAB ∠+∠=， ∴90P QAB ∠+∠=， ∴90AOP ∠=， ∴AQ ⊥DP ； 故①正确；②无法证明，故错误． ∵BP=1，AB=3， ∴4BQ AP ==，225,AQ AB BQ =+=,DFO BAQ ∠=∠∴3cos cos .5AB DFO BAQ AQ ∠=∠== 故③正确，故选C．【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．9．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：型号（厘米）38 39 40 41 42 43数量（件）25 30 36 50 28 8商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：C．点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．10．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1【答案】C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．二、填空题（本题包括8个小题）11．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S，请观察图中的规律:按上规律推断，S与n的关系是________________________________．【答案】S=1n-1【解析】观察可得，n=2时，S=1；n=3时，S=1+（3-2）×1=12；n=4时，S=1+（4-2）×1=18；…；所以，S与n的关系是：S=1+（n-2）×1=1n-1．故答案为S=1n-1．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．12．某种商品两次降价后，每件售价从原来元降到元，平均每次降价的百分率是__________.【答案】【解析】设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1−x），第二次降价后的单价是原来的（1−x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1−x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是______．【答案】（1645，125）（806845，125）【解析】利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（5）个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定出第（2018）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．【详解】∵点A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=2243+=5，∴第（2）个三角形的直角顶点的坐标是（445，125）；∵5÷3=1余2，∴第（5）个三角形的直角顶点的坐标是（1645，125），∵2018÷3=672余2，∴第（2018）个三角形是第672组的第二个直角三角形，其直角顶点与第672组的第二个直角三角形顶点重合，∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（806845，125）．故答案为：（1645，125）；（806845，125）【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是根据题意找出每3个三角形为一个循环组依次循环. 14．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是▲ （结果保留π）．【答案】1 33π-【解析】过D点作DF⊥AB于点F．∵AD=1，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积=230211 4121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-.故答案为：133π-.15．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．【答案】5 12【解析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为255 3025512=++．故答案为：5 12．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=2．16．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______dm.【答案】42【解析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=8，∴2．∴这圈金属丝的周长最小为2．故答案为：2【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．17．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五，值金八两。
专题01 三角形(突破核心考点)【知识梳理+解题方法+专题过关】 (解析版)
专题01三角形（突破核心考点）【聚焦考点+题型导航】考点一三角形三边关系考点二三角形的稳定性考点三三角形中的高线、中线、角平分线考点四三角形的内角、外角考点五多边形的对角线、内角和【知识梳理+解题方法】一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：ìïìííïîî直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：ìïìííïîî不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形 知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
八年级数学上册第十一章三角形全章热门考点整合应用习题新版新人教版
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【点拨】
如图，延长 AB ， DC . ∵ AB ∥ CD ，∴∠4＋∠5＝
180°.∵多边形的外角和为360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋
∠4＋∠5＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(∠4＋
∠5)＝360°－180°＝180°.
【答案】B
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8. [2024广州越秀区二模]如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝
70°，∠1＝∠2，则∠ ADC ＝
110°
.
(第8题)
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13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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9. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝62°，∠ B ＝74°，∠ ACB
x °，∴∠ AFE ＝180°－60°－ x °＝120°－ x °，
∴∠ AEF ＝180°－∠ A －∠ AFE ＝2 x °－30°，
∵△ AEF 中有两个内角相等，∴有∠ AEF ＝∠ AFE ，
∠ A ＝∠ AEF 两种情况.当∠ AEF ＝∠ AFE 时，2 x －
30＝120－ x ，∴ x ＝50，∴∠ A ＝90°－∠ B ＝40°.
∵∠ F ＋∠ G ＋∠ FMG ＝180°，∠ GAB ＋∠ FBA ＋
第十一章三角形16个必考点全梳理(教案)
1.教学重点
-三角形的定义及分类：理解三角形的基本概念，掌握三角形的分类方法。
-重点举例：区分等腰三角形与等边三角形，识别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
-三角形全等定理：掌握SSS、SAS、ASA、AAS全等定理。
-重点举例：通过实际操作，让学生理解全等三角形的性质，并能够运用全等定理解决具体问题。
-重心：三角形三边中线的交点
-外心：三角形三边垂直平分线的交点
-内心：三角形内角平分线的交点
-垂心：三角形三边高的交点
6.三角形面积计算公式
-底×高÷2
-海伦公式（已知三边长）
7.三角函数的定义及性质
-正弦（sin）
-余弦（cos）
-正切（tan）
-三角函数的周期性、奇偶性、单调性
8.解直角三角形
-利用正弦、余弦、正切函数求解
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形全等与相似定理、三角函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过图例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的问题，如三角形全等的判定条件或三角函数在实际问题中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量角度，演示三角函数的计算过程。
-难点举例：在实际应用问题中，学生可能难以将问题抽象为直角三角形模型，需要教师引导学生进行问题分析和模型构建。
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量三角形面积或解直角三角形的情况？”（如测量旗杆高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
冀教版七年级下册初一数学 (第9章 三角形全章热门考点整合)
①若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°－
5；0 2
②若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－ 9；0
③若∠A＝100°，则∠P＝40°
2
＝90°－ 10. 0 2
(1)根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝__1_5_°____；
(2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系；
(3)请说明(2)中结论的正确性． 解： (2)∠P＝90°－ 1 ∠A.
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判 断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
解： 李明、张钢两人的解法均不全面. 正确的解答过程
如下：
当该等腰三角形的底边长为8 cm时，腰长为(28－
8)×
1 2
＝10(cm)．
当该等腰三角形的腰长为8 cm时，底边长为28－
2×8＝12(cm)．
即__2_(_A__C_＋__B_D__)＞__A__B_＋__B__C_＋__C_D__＋_____． ∴ACD＋ABD＞ 1 (AB＋BC＋CD＋DA)．
2
同类变式
4. 已知a，b，c是三角形的三边长，试化简：|b＋c－ a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|.
解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0， c－a－b＜0，a－b＋c＞0， ∴|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c| ＝b＋c－a－b＋c＋a－c＋a＋b－a＋b－c ＝2b.
根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立．
所以这个三角形的另外两边的长是10 cm，10 cm或
8 cm，12 cm.
本题中没有明确8 cm是等腰三角形的底边长还 是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形 的三边关系进行验证．
鲁教版五四制上册数学第一章 三角形 全章热门考点整合应用
解：如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN， CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.
AN＝DN， 在△ABN 和△DCN 中，∠A＝∠D，
AB＝DC， 所以△ ABN≌△DCN(SAS)． 所以∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.
在△NBM 和△NCM 中，NBMB＝＝NCCM，， NM＝NM，
解：以∠AEC为内的三角形有△AEO， △AEC.
(3)以∠ADC为内角的三角形有哪些？ 【点拨】用字母表示一个三角形时，不要漏写符 号“△”．在复杂图形中数三角形个数的方法： 可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数；
解：以∠ADC为内角的三角形有△ADC，△ODC.
(4)以BD为边的三角形有哪些？ 【点拨】用字母表示一个三角形时，不要漏写符 号“△”．在复杂图形中数三角形个数的方法： 先固定一个顶点，不断变换另外两个顶点来数．
因为 AE 平分∠DAC，所以∠DAE＝12∠DAC＝25°.
3．下列图形中，是全等图形的有( C ) A．2组B．3组C．4组D．5组
4．【中考·杭州】如图，在△ABC中，已知 AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别 在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC， 试说明：DM＝DN.
解：因为 AM＝2MB，AN＝2NC，所以 AM＝23AB，AN＝23AC.
所以 S 四边形 AECD＝S△BCD＋S△ACD＝S△ABC＝12×4×4＝8(cm2)．
8．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，O是DB的 中点，过点O的直线分别交DA和BC的延长 线于点E，F.
试说明：∠E＝∠F.
【点拨】说明线段相等或角相等时， 经常考虑利用三角形全等，再根据全 等三角形的对应边相等、对应角相等 得出结论．
(完整版)三角形证明全章热门考点整合应用
三角形证明全章热门考点整合应用三个概念概念1反证法1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设()A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．概念2互逆命题3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．概念3互逆定理4．下列三个定理中，存在逆定理的有()个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0B．1C．2D．35．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)等角的补角相等．六个性质性质1全等三角形的性质6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．(第6题)性质2等腰三角形的性质7．【2017·绍兴】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________.②求α，β之间的关系式．(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．(第7题)性质3等边三角形的性质8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD.(第8题)性质4直角三角形的性质9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．(第9题)性质5线段垂直平分线的性质10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.(第10题)性质6角平分线的性质11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.(第11题)四个判定判定1三角形全等的判定12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.(第12题)判定2等腰(边)三角形的判定13．【2017·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．(第13题)判定3直角三角形的判定14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．(第14题)判定4线段的垂直平分线与角平分线的判定15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．(第15题)四个技巧技巧1构造全等三角形16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.(第16题)技巧2构造等腰三角形的“三线合一”17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．(第17题)技巧3构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：DF＝DC.(第18题)技巧4构造角平分线上的点到角两边的垂线段19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.(第19题)一个应用——最短路线的应用20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．(第20题)第一章测评一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为()A.40°B.30°C.70°D.50°2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2017·浙江台州中考)如图,已知在△ABC中,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE4.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足为点D,且PC=4,则PD的大小是()A.1B.2C.4D.85.(2017·海南中考)已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.3条B.4条C.5条D.6条6.用反证法证明“在△ABC中,最多有一个直角或钝角”,第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角7.如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形.有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD;④∠ABE=60°.其中正确结论的个数为()A.4B.3C.2D.18.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A.65°B.60°C.55°D.45°9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则有下列结论:(1)AD上任意一点到AB,AC的距离相等;(2)∠BDE=∠CDF;(3)BD=CD,AD⊥BC.其中正确的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)10.如图,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定点P的方法正确的是()A.点P为∠A,∠B两角的平分线的交点B.点P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.点P为AC,AB两边上的高的交点D.点P为AC,AB两边的垂直平分线的交点二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2017·江西中考)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A=度.12.已知△ABC是等边三角形,AB=10 cm,则△ABC的面积是cm2.13.如图所示,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E 的度数是.14如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若∠CBA=32°,则∠DFE的度数是.15.如图所示,AB∥CD,O为∠A,∠C的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE=1,则AB与CD之间的距离是.16.如图所示,∠ABC=60°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是.三、解答题(共52分)17.(5分)(2017·湖南郴州中考)已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD.18.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.19.(6分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF ∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.21.(6分)如图所示,直线OA,OB表示两条相互交叉的公路,点M,N表示两个蔬菜基地.现要建立一个蔬菜批发市场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路OA,OB的距离相等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方?22. (7分)如图①,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图②,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.23.(7分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,且CD⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=EB.24. (9分)八年级(1)班的同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图),设计了如下方案:①∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.②∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(1)方案①、方案②是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.(2)在方案①PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.。
三角形全部知识点的总结
第一章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：〔1〕角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
〔2〕到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质〔1〕两直线平行，同位角相等；〔2〕两直线平行，内错角相等；〔3〕两直线平行，同旁内角互补。
考点三、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线〔如太阳光线〕形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
第二章三角形考点一、三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形〔有一个角为直角的三角形〕三角形 锐角三角形〔三个角都是锐角的三角形〕斜三角形钝角三角形〔有一个角为钝角的三角形〕把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
各章节核心题系列——全等三角形67题(含辅助线技巧总结题型)_看图王
A 100 ， F 47 ，则 DEF 等于（ ）
A．100
B． 53
C． 47
D． 33
F
A D
C BE
【答案】图D1
5. 【中】（深圳中学初一期末）如图， OM 、 ON 是互相垂直的两条射线， A 、 B 分别是 射线 OM 、 ON 上的动点，分别作 △ABO 外角的平分线 AP 、 BP 交于点 P ． ⑴ 如图 1，求 P 的度数． ⑵ 在图 2 中作 ABO 的平分线，交 PA 的延长线于点 Q ，直接写出 Q 的度数．
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第一部分：题型框架 全等三角形的性质及判定
一、 全等的定义 二、 全等三角形的性质 三、 全等三角形的判定 四、 全等三角形综合
6. 【易】（北京十三中期中）△ABC ≌△DEF ，△ABC 的面积是 12，DM EF ，DM 6 ，
EF ________．
7. 【易】下面命题中，不正确的命题是（ ）
A．全等三角形对应边上的中线相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．全等三角形的面积一定相等
D．面积相等的三角形一定全等
三、 全等三角形的判定
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21. 【难】（东营）⑴如图⑴，已知：在 △ABC 中， BAC 90 ， AB AC ，直线 m 经过 点 A ， BD 直线m ， CE 直线m ，垂足分别为点 D、E ．证明: DE BD CE ． ⑵ 如图⑵，将⑴中的条件改为：在 △ABC 中，AB AC ，D、A、E 三点都在直线 m 上， 并且有 BDA AEC BAC ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 DE BD CE 是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由． ⑶ 拓展与应用：如图⑶，D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（ D、A、E 三 点互不重合），点 F 为 BAC 平分线上的一点，且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形， 连接 BD、CE ，若 BDA AEC BAC ，试判断 △DEF 的形状．
八年级数学下册第一章三角形的证明全章热门考点整合专训作业pptx课件新版北师大版
③同位角相等，两直线平行.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
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六个性质
等腰三角形的性质
4.【2022·梧州】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是点E，F.则下列结论错
∴AC＝
− ＝
∴点A的坐标为
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.
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含30°角的直角三角形的性质
8.【教材P34复习题T11变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
∴∠CED＝∠CDB.
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又∵∠CDB＝∠CDE＋∠EDB，∠CED＝∠B＋∠EDB，
∴∠CDE＝∠B＝45°.
∴∠ADC＋∠EDB＝180°－∠CDE＝135°.
又∵∠ADC＋∠ACD＝180°－∠A＝135°，
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全章热门考点螯合应用名师点金：本辛学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角.外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和, 一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形內角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等.概念1:与三角形有关的概念BL 如图，在ZIABC中.D是BC边上一点，E是AD边上一点・(1)以AC为边的三角形共有 ___ 个，它们是(2)Z1是厶_______ 和^ _________ 的内角：⑶在^ACE中，ZCAE的对边是 ___________ .概念2：与多边形有关的概念2.卜•列说法正确的是()久由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B.多边形的两边所在宜线组成的角是这个多边形的内角或外角C・各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形D.连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线三种线段线段三角形的高3.如图，D 为△ABC 中AC 边上一点，AD=h DC=2, AB=4, E 是AB ±一点. 且△DEC的面积等于△ABC而枳的一半，求EB的长.AC(第3题)线段2：三角形的中线4.如图，在△ABC 中，E 是边BC±一点,EC=2BE,点D 是AC 的中点.连接AE, BD 交于点 E 已知 S AABC ~ 12,则 S AADF ~S ABEF ~C ・3D ・4线段3：三角形的角平分线5.如图，在△ABC 中，AF 是中线，AE 是角平分线，AD 是离，ZBAC=90。
. FC=6,则根据图形填空:(1)BF= (2)Z BAE=关系三角形的三边关系6.已知：如图，四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交于点0•试说明：AC+BD >j(AB + BC+CD+DA)・解：在△OAB 中有 OA+OB>AB, 在△OAD 中有. 在△ODC 中有中有•••OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA ・ZCAE= (3)Z ADB =Z ADC=C（第4•••AC+BD 订AB+BC+CD+DA).关系2：三角形内角、外角的关系7.已知：如图，在△ABC 中，ZC>ZB ・ AD, AE 分别是△ABC 的高和角平分线. (1) 若ZB=30。
，ZC=50。
，求ZDAE 的度数: (2) ZDAE 与ZC-ZB 有何关系？(第8题)关系3：多边形内角、外角的关系8.如图• Z1. Z2, Z3. Z4是五边形ABCDE 的四个外角.若ZA=120。
，则Z1 + Z 2+Z3+ Z4=计算三角形中的边角计算9. [2015-资阳)等腰三角形的两边长a, b 满足la —4l+(b-9)2=0,求这个等腰三角形的周长•计算2：多边形中的边角计算10. 已知：从n 边形的一个顶点出发共有4条对角线：从m 边形的一个顶点出发的所有对角线把m 边形分成6个三角形：正t 边形的边长为7,周长为63•求(n-m)i 的值.两个技巧Q(第7题)技巧巧用面积法解决问题11. 如图，在△ABC 中，CE 丄AB 于点E, AD 丄BC 于点D,且AB = 3, BC=6,则 CE 与AD 有怎样的数量关系？技巧2：巧用整体法解决问题12. 如图，ZBAK+ZB + ZC+ZCDE+ZE+ ZF+ZMGN+ZH+ZK=思想1：转化思想13. 如图所示的模板按规AB. CD 的延长线相交成80。
的角，因交点不在板上，不便测量，但工人师傅测得ZBAE=122% ZDCF=155。
，此时，AB, CD 的延长线相交所成的 角是否符合规泄？为什么？思想2：分类讨论思想14•阅读两洛同学对下题的解答过程.一个等腰三角形的周长为28 cm,其中一边长为 8 cm.则这个三角形另外两边的长分别是多少?李明说应这样解：设腰长为X mb 则2x+8=2&解得x=10.所以这个三角形的另外 两边的长均为10 cm 张钢说应这样解：设底边长为xcm 则2><8+x=2&解得x=12,所 以这个三角形的另外两边的长分别为8 cm, 12 cm.试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据：若不正确, 请你写出正确的解答过程.c(第12（第13思想3：方程思想15.在△ABC 中，ZB=20°+ZA, ZC=ZB —10。
，求ZA 的度数.思想4：从特殊到一般的思想16.三角形没有对角线，四边形ABCD有2条对角线AC和BD（如图①），五边形ABCDE 有5条对角线AC, AD. BE. BD, CE（如图②）.想一想：六边形（如图③）有几条对角线？n 边形有几条对角线？（第16题）ABcED③答案(1)3：△ACE, AACD, AACB(2)BCE：CDE(3)CE2. C—DC・EF3.解：如图，过点E作EF丄AC于点F,则严= -------------- =強=1皿㊁AC EF-AF-CG过点C作皿B于点G,则逹=氐41冲■ ScpEc S AAEC_2 AE P^S ADEC^AE…S.\AEC S AABC 3 4 S AABC 6 'p …s汕EC_] ■ AE l • AC_2S A ABC Z 0 2•••BE=AB-AE=1.即BE 的长为1・（第3点拨：同（等）高的两个三角形的而积比等于底边长的比.4. B点拨；连接CF・设S・・BEF=X,因为EC=2BE,点D是AC的中点，所以S^DF=S ACDF» SAABD=SABCD=2^AABc=6t ScctP=2S^BEF=2x,所以S AABF=S ABCF—3x. S AADP =S ACDF=6—3x.由图形，得S SEC=2S AABE，即2x+(6—3x)+(6—3x)=2(x+3x),解得x= 1,所以6-3x=6-3Xl=3,所以S SDF-S ABEF=2・故选B・5.(1)6： 12 (2)45； 45 (3)90： 906.OA+OD>AD： OD+OOCD：OBC： OB+OOBC； 2(AC+BD)>AB + BC+CD+DA7.解：(1)7ZB + ZC+ZBAC=180。
，ZB = 30°, ZC=50。
,••• ZBAC= 180。
一30。
一50°= 100°.又VAE是△ABC的角平分线,•••ZBAE=2ZBAC=5O°・ V ZAEC 为△ABE 的外角,AZAEC=ZB + ZBAE=3O°+5O°=8O° . VAD 是△ABC 的髙, •••ZADE=90°・:.ZDAE=90。
一 ZAEC=90°-80°= 10°.(2)由(1)知，ZDAE=90。
一ZAEC=90。
一(ZB+㊁ZBAC 丿.又 TZ BAC=180°-ZB-ZC ・•••ZDAE=90°-ZB-j(180°-ZB-ZC)=|(ZC — ZB). 8. 300°9. 解：：・|a-4l+(b-9)2=(b /.la —41=0, (b —9)2=0・ /.a=4, b=9・若腰长为4,则4+4V9,不能构成三角形. 若腰长为9,则9+4>9,能构成三角形. •••这个等腰三角形的周长为9+9+4=22.10. 解：由题意知 n=4+3=7, m=6+2=&1=63于7=9,所以(n —my=(7 —8)9=(—1)9= —1・ 1L 解：根据△ABC 的而积=㊁AB ・CE=〔BC ・AD所以CE=2AD ・12. 540。
点拨：连接 AG, GD ・it^MAG 与△MHK 中,VZMAG+ZMGA + ZAMG=180。
，上H+ZK+ZHMK= 180°, ZAMG = ZHMK, AZMAG+ZMGA=Z H+ZK ・同理，ZNGD+ ZNDG=ZE+ZE•••ZBAK+ZB + ZC+ZCDE+ZMGN+ ZE+ZF+ZH+ ZK=ZBAK+ ZMAG + ZMGA+ZMGN+ZNGD + ZNDG+ZCDE+ZC+ZB = ZBAG+ZAGD + ZGDC + ZC+ZB=540°・13.解：不符合规世，理由如下：延长AB, CD 相交于G, T 多边形AEFCG 为五边形,•••乙6=540。
一90。
一90。
一122。
一155。
=83。
北80。
，•••不符合规定.3・CE=2X6・AD,(第13题)14.解：李明、张钢两人的解法均不全面.正确的解答过程如下:当该等腰三角形的底边长为8 cm时，腰长为(28—8必2=10(")・当该等腰三角形的腰长为8⑷时，底边长为28-2X8=12(5). 根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立-所以这个三角形的另外两边的长是10 cm, 10 cm或8 12 cm.点拨：本题中没有明确8 c”是等腰三角形的底边长还是腰长，需对苴进行分情况讨论, 并用三角形的三边关系进行验证.15.解：ZC=ZB-10o=20o+ZA-i0o=10°+ ZA,所以ZA+ ZB+ZC = ZA+20o+ZA+10o+ZA=3ZA+30o=180。
，所以ZA=50^16.解：六边形有9条对角线，由四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，推断n边形有n 5；3)条对角线.。