三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)

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高中数学章末综合测评(五)三角函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________．－1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3，所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0，因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确．将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°，又cos(C －A )＝－2cos 2A ，得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3，又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(14)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.函数f(x)=sin2x，x∈R的最小正周期为( )A．π2B．πC．2πD．4π2.已知cotα=2，tan(α−β)=−25，则tan(β−2α)的值是( )A．14B．−112C．18D．−183.如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A．5B．6C．8D．104.已知函数f(x)=asin2x−√3cos2x的图象关于直线x=−π12对称，若f(x1)⋅f(x2)=−4，则a∣∣x1−x2∣的最小值为( )A．π4B．π2C．πD．2π5.若函数f(x)=asin2x−bcos2x在x=π6处有最小值−2，则常数a，b的值是( ) A．a=−1，b=√3B．a=1，b=−√3C．a=√3，b=−1D．a=−√3，b=16.函数y=2sin(2x+π3)的图象的一条对称轴方程可以是( )A．x=0B．x=π2C．x=π12D．x=π67.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<π2)的最小正周期为π，且f(−x)= f(x)，则( )A．f(x)在(0,π2)单调递减B．f(x)在(π4,3π4)单调递减C．f(x)在(0,π2)单调递增D．f(x)在(π4,3π4)单调递增8.若角α的终边经过点P(1,−2)，则sinα的值为( )A．2√55B．√55C．−√55D．−2√559.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么∣φ∣的最小值为( )A．π6B．π4C．π3D．π210.函数y=cos2x−sin2x(0<x<π2)的值域为( ) A．(−1,1)B．[−√2,√2] C．[−√2,1]D．(−1,√2]二、填空题（共6题）11.化简sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ的值为．12.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，f(x1)=−2，f(x2)=0且∣x1−x2∣的最小值等于π，则ω=．13.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4,y)是角θ终边上一点，且sinθ=−2√55，则y=．14.将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；15.如图，A，B为某市的两个旅游中心，海岸线l可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P，修建PA，PB，PQ三段公路，其中PQ⊥l，AB=20km，两平行直线AB与l之间的距离为20km，公路PA和PB段的造价均为6千万元/km，公路PQ段的造价为5千万元/km，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为千万．,x∈R)的部分图象，则y=f(x)函数16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2解析式为．三、解答题（共6题）．17.已知α∈(0,π)，cosα=−13−α)的值；(1) 求cos(π4(2) 求sin(2π3+2α)的值．18.设函数f(x)=lg(1−cos2x)+cos(x+θ)，θ∈[0,π2)．(1) 讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 设θ>0，解关于x的不等式f(π4+x)−f(3π4−x)<0．19.已知角α的终边上有一点P，OP=3√10，且tanα=−13(π2<α<π)，求点P的坐标．20.已知锐角α，β，且tanα=2，cosβ=513，求：(1) sin2α；(2) tan(2α−β)．21.已知等腰三角形底角的正弦值为45，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值．22.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式−360∘≤β<360∘的元素β：(1) 60∘；(2) −75∘；(3) −824∘30ʹ；(4) 475∘；(5) 90∘；(6) 270∘；(7) 180∘；(8) 0∘．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】两角和与差的正切3. 【答案】C【解析】由图可知 −3+k =2，所以 k =5，所以 y =3sin (π6x +φ)+5，所以 y max =3+5=8．【知识点】三角函数模型的应用4. 【答案】B【解析】由辅助角公式知 f (x )=√a 2+3sin (2x +φ)，φ∈[0,2π)， f (x ) 图象类似于 sinx ，可判断 x =−π12 时取最值， sin (2⋅(−π12)+φ)=±1， φ−π6=π2或32π， φ=23π或53π，而 sinφ=√3√a 2+3，于是 φ=53π，cosφ=√a 2+3=cos 53π，解得 a =1，f (x )=2sin (2x +53π)，f (x 1)⋅f (x 2)=−4 只有一个取 2，一个取 −2，最大值点与最小值点 ∣x 1−x 2∣min =T2=2π2ω=π2，于是 a∣∣x 1−x 2∣min ≥π2．综上，选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】−2tan2θ【解析】sinθ1+sinθ−sinθ1−sinθ=sinθ−sin2θ−sinθ−sin2θ1−sin2θ=−2sin2θcos2θ=−2tan2θ.【知识点】同角三角函数的基本关系12. 【答案】12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】−8【解析】P(4,y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ=√16+y2，又sinθ=−2√55，所以√16+y2=−2√55，解得y=−8．【知识点】任意角的三角函数定义14. 【答案】π6；2π3；−π3；−π6；−10π9；π；3π4；−5π12；3π2；0【知识点】弧度制15. 【答案】 222【解析】根据题意，设 ∠PAD =θ，则 0≤θ≤π2，过点 P 作 PD ⊥AB ，则 P ，D ，Q 三点共线，设这三段公路总造价为 y ，又由 AB =20 km ，则 AP =20cosθ km ，BP =20sinθ km ，则 PD =20cosθsinθ km ，又由两平行直线 AB 与 l 之间的距离为 20 km ，则 PQ =(20−20cosθsinθ)km ，则 y=6×(20sinθ+20cosθ)+5×(20−20cosθsinθ)=120(sinθ+cosθ)+100(1−sinθcosθ),设 sinθ+cosθ=t ，则 t =√2sin (θ+π4)，则有 1≤t ≤√2，则 sinθcosθ=t 2−12，则 y =120t +100(1−t 2−12)=120t +100(3−t 22)=−50t 2+120t +150，1≤t ≤√2，分析可得：t =65 时，y 取得最大值，且 y max =222．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】 y =2sin(2x +π3)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 因为 sin 2α+cos 2α=1，cosα=−13，所以 sin 2α=89，又因为 α∈(0,π)，所以 sinα=2√23．又因为 cos (π4−α)=cos π4cosα+sin π4sinα=√22⋅(−13)+√22⋅2√23=4−√26．(2) 因为 sinα=2√23，cosα=−13，所以 sin2α=2sinα⋅cosα=−4√29，cos2α=cos 2α−sin 2α=−79， sin (2π3+2α)=sin2π3⋅cos2α+cos2π3⋅sin2α=√32⋅−79+−12⋅−4√29=4√2−7√318．【知识点】二倍角公式、两角和与差的余弦、两角和与差的正弦18. 【答案】(1) 根据对数有意义，得 1−cos2x >0，所以 cos2x ≠1，x ≠kπ(k ∈Z ) 定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有 f (−x )=f (x )，lg [1−cos2(−x )]+cos (−x +θ)=log (1−cos2x )+cos (x +θ)cos (−x +θ)=cos (x +θ)，展开整理得 2sinxsinθ=0 对一切 x ≠kπ(k ∈Z ) 恒成立，因为 θ∈[0,π2)，所以 θ=0，当函数是奇函数，那么任意定义域内 x 0 有 f (x 0)+f (−x 0)=0，例如 x 0=π4，f (π4)+f (−π4)=0，f (−π4)=lg (1−cos (−π2))+cos (−π4+θ)=cos (−π4+θ)，f (π4)=lg (1−cos π2)+cos (π4+θ)=cos (π4+θ)，f (π4)+f (−π4)=0，推得 cosθ=0，显然这样 θ∈(0,π2) 是不存在的，所以当 θ∈(0,π2) 时既不是奇函数又不是偶函数，说明假命题只能举反例．(2) f (π4+x)−f (3π4−x)<0 代入得 lg [1−cos2(π4+x)]+cos (π4+x +θ)−lg [1−cos2(3π4−x)]−cos (3π4−x +θ)<0，lg (1+sin2x )+cos (π4+x +θ)−lg (1+sin2x )−cos (3π4−x +θ)<0，化简 cos (π4+x −θ)+cos (π4+x +θ)<0，展开整理得 2cos (x +π4)cosθ<0，因为 θ∈(0,π2)，所以 cosθ>0，所以 cos (x +π4)<0，所以 { cos (x +π4)<0,π4+x ≠k 1π,3π4−x ≠k 2π, k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以不等式解集为 (2mπ+π4,2mπ+3π4)∪(2mπ+3π4,2mπ+5π4)，m ∈Z ．【知识点】函数的奇偶性、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】设点 P 的坐标为 (x,y )．因为π2<α<π，所以 x <0，y >0．由题意，得 {x 2+y 2=(3√10)2,y x=−13,x <0,y >0.解方程组，得 x =−9，y =3，即点 P 的坐标为 (−9,3)．【知识点】任意角的三角函数定义20. 【答案】(1) 因为 tanα=2，所以 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=2×222+1=45.(2) 因为 tanα=2，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43．因为 cosβ=513，且 β 为锐角，所以 sinβ=√1−cos 2β=√1−(513)2=1213，所以 tanβ=sinβcosβ=1213513=125，所以tan (2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=−43−1251+(−43)×125=5633.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式21. 【答案】设底角为 B ，顶角为 A ，则 A =π−2B ，而 sinB =45，则 sinA =sin (π−2B )=sin2B =2425，cosA =725，tanA =247．【知识点】二倍角公式22. 【答案】(1) {β∣ β=60∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−300∘，60∘．(2) {β∣ β=−75∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−75∘，285∘．(3) {β∣β=−824∘30ʹ+k ⋅360∘,k ∈Z )，−104∘30ʹ，255∘30ʹ．(4) {β∣ β=475∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−245∘，115∘．(5) {β∣ β=90∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−270∘，90∘．(6) {β∣ β=270∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−90∘，270∘．(7) {β∣ β=180∘+k ⋅360∘,k ∈Z }，−180∘，180∘．(8) {β∣ β=k ⋅360∘,k ∈Z }，−360∘，0∘．【知识点】任意角的概念。

高中数学人教(A)版高一必修第一册第五章《5.4 三角函数的图形与性质》练习题

5.4 三角函数的图形与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础过关练习题组一正弦函数、余弦函数的图象1、用“五点法”作1cos 2-=x y 在[]π2,0上的图象时，应取的五点为（）A 、()()()120231-021,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛B 、()()()121-233-1-21,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ C 、()()()()()143-3123-1,0，，，，，，，，ππππ D 、()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2-321-2031-361,0，，，，，，，，ππππ 2、函数y=−sinx ，x ∈[23,2-ππ]的简图（） A 、 B. C. D.3、已知函数()x cos 23+-=x f 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛b ，3π，则b= 。

4、用“五点法”作函数x y cos 311-=图象的简图。

题组二正弦、余弦曲线的运用5、使不等式0sin 22≥-x 成立的x 的取值集合是（）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,43242|ππππ B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,47242|ππππ C 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,25-2|ππππ D 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,7252|ππππ6、已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21cos |αα，B={}παα<<0|，且C B A = ,则C=（） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<60|παα B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<23|παπα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<30|παα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<παπα3|7、函数()x x f 4log =的图象与函数()x x g πsin =的图象的交点个数是（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 8、（多选）下列x 的取值范围能使x x sin cos >成立的是（）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛40π，B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛454ππ，C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ245，D 、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4524ππππ，， 9、函数x y cos =，[]π2,0∈x 的图象与直线21-=y 的交点有个。

高中数学第五章三角函数检测试题(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

第五章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)的值为( B )A.45 B ．－45C ．±45D.35解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角，∴cos σ＝45.∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45.2．计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( D ) A.12B.33 C.22D.32解析：原式＝cos45°cos15°＋si n45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.故选D.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，原函数的单调递增区间就是y ＝2sin2x －π6的单调递减区间，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，对比各选项，令k ＝0，得选项C 正确．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( B )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：T ＝2πω＝π，所以ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，所以φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝76π＋k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故选B.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)等于( C )A ．0B ．503C ．2 017D ．2 012解析：由题意知，函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝4.S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝504[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋1＝504×4＋1＝2017.选C.6．已知sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6解析：∵sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan －θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1，故选A. 7．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( C ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π.∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2X 围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的图象，需明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．10．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3向右平移π3个单位长度可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋56π－ωπ3. 因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 图象重合，所以ωx ＋5π6－ωπ3＝ωx ＋2k π(k ∈Z )．又ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为52，故选B.11．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( C )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6＝34sin2x ＋12cos 2x －14 ＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)，所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( D )A ．π B.3π4C.3π2 D.7π4解析：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根．由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为2弧度．解析：设扇形圆心角的绝对值为α弧度，则4＝12α·22，所以α＝2.14．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值为－45.解析：由已知得32cos α＋32sin α＝435，所以12cos α＋32sin α＝45，即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.15．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝143.解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝8k －103(k ∈Z )．①又π3－π6≤2πω(ω>0)，∴0<ω≤12.② 由①②得k ＝1，ω＝143.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )的最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③④. 解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 18．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡－π8，⎦⎥⎤π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.19．(12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x ·cos π3－sin2x ·sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋12＝12－32sin2x ， ∴当2x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝1＋32.T ＝2π2＝π. 故f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32. 又C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝223.∴sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，某某数m 的取值X 围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值X 围是[3＋1,3)．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x .(1)若f (x )＝0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，求x 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，若y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，求函数h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域．解：f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x＝3sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(1)由f (x )＝0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，∴2x －π6＝－π6＋2k π或2x －π6＝－5π6＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，∴x ＝－π3或0或2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＋1＝2sin2x ＋π2＋1＝2cos2x ＋1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2cos x ＋1.又y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋1. ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故函数h (x )的值域为(0,3]．22．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1＝32sin2ωx ＋1＋cos2ωx2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52 .。

第五章三角函数测试题(习题)- 2021-2022学年高一上数学人教A版(2019)必修(第一册)

第五章测试题一、单选题(每小题5分，共40分)1．电流I (A )随时间t (s )变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( ) A ．150 B ．50 C ．1100 D ．1002．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＞0)，规定：比值y －x r 叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝15 (0＜α＜π)，则tan α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．434．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α ＝( ) A ．－3 B ．－17 C ．－43D ．－75．已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 6．若sin (π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＋2sin (6π－α)的值为( ) A ．－23 mB ．－32 mC ．23mD ．32m7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A ．π2 B ．3π8 C ．π4 D ．5π88．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3 cos ωx (ω∈N *)在(0，π)上恰有两个不同的零点，则ω的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．若角α是第二象限角，则α2 不可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 10．下列说法错误的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α≤π2＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α11．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，则以下结论正确的是( ) A ．函数的最小正周期为π2B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 上为减函数12．关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论，其中正确的结论是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π 单调递增C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2三、填空题(每小题5分，共20分)13.sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α ＝________．14．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝34 ，则sin (π4 －α)＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)15．若sin α＝－45 ，且α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________．16．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos (2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 ，则f (x )的取值范围是________．四、解答题(共70分) 17．(10分)已知tan α＝－34 .(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin （4π－α）cos （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值． 19.(12分)如图，是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？20．(12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π).(1)若点Q 的坐标是(m ，45 )，其中m <0，求cos (π－α)＋sin (－α)的值；(2)设点P ⎝⎛⎭⎫32，12 ，函数f (α)＝sin (α＋β)，求f (α)的值域．21．(12分)设x ∈R ，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π2 <φ<0)的最小正周期为π，且f (π4 )＝32 .(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．22.(12分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 m ，点P 到MN 的距离为50 m ．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围．一、单选题(每小题5分，共40分)1．电流I (A )随时间t (s )变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( ) A ．150 B ．50 C ．1100 D ．100分析选A.T ＝2π100π ＝150.2．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限分析选B.因为角α是第三象限角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，所以－k ·360°－270°<－α<－k ·360°－180°，k ∈Z .所以角－α的终边在第二象限．3．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＞0)，规定：比值y －x r 叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝15 (0＜α＜π)，则tan α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43分析选D.因为角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＞0)，规定：比值y －xr叫做α的正余混弦，记作sch α. 若sch α＝15 (0＜α＜π)＝y －x r ＝y －xx 2＋y2，所以25(y －x )2＝x 2＋y 2，即24⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－50y x ＋24＝0，y ＞x .求得tan α＝y x ＝43 或tan α＝y x ＝910 (舍去).4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α ＝( ) A ．－3 B ．－17 C ．－43 D ．－7分析选B.由α为锐角，cos α＝55 ，所以sin α＝255. 故tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝41－4 ＝－43 ，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α ＝tan π4＋tan 2α1－tan π4tan 2α ＝1－431＋43＝－17 . 5．已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 分析选C.由图象可知A ＝2，因为π8 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8 ＝π4 ＝T4 ，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4 .故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 .6．若sin (π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＋2sin (6π－α)的值为( ) A ．－23 mB ．－32 mC ．23mD ．32m分析选B.因为sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＋2sin (6π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A ．π2 B ．3π8 C ．π4 D ．5π8分析选D.由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为T ＝2πω ＝π，可得ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋|φ|）＋π4 的图象，因为平移后图象关于y 轴对称，所以2|φ|＋π4 ＝k π＋π2 (k ∈Z )，所以|φ|＝k π2 ＋π8(k ∈Z )，k ＝1⇒φ＝±5π8. 8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3 cos ωx (ω∈N *)在(0，π)上恰有两个不同的零点，则ω的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4分析选B.f (x )＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2sin (ωx ＋π3)，又在(0，π)上恰有两个不同的零点，令ωx ＋π3 ＝2π可得，x ＝5π3ω ，令ωx ＋π3 ＝3π可得，x ＝8π3ω，由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω<π，8π3ω≥π，解得，53 ＜ω≤83 ，所以ω∈N *，则ω的值是2.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．若角α是第二象限角，则α2 不可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角分析选BD.因为α是第二象限角，所以π2 ＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4 ＋k π<α2 <π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2 是第一象限角；当k 为奇数时，α2 是第三象限角．10．下列说法错误的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α≤π2＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α分析选ABC.对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误；对于B ，若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )，命题错误；对于C ，若角α的终边过点P (3k ，4k )(k≠0)，则sin α＝±45 ，命题错误；对于D ，当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α，命题正确．11．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，则以下结论正确的是( ) A ．函数的最小正周期为π2B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 上为减函数分析选AC.该函数的最小正周期T ＝π2 ，A 正确；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6 ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ，因此它是非奇非偶函数，B 错误；直线x ＝π3 是函数图象的一条对称轴，C 正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6 上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6 上是增函数，D 错误．12．关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论，其中正确的结论是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π 单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点 D ．f (x )的最大值为2分析选AD.f (－x )＝sin |－x |＋|sin (－x )|＝sin |x |＋|sin x |＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，故A 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 时，sin |x |＝sin x ，|sinx |＝sin x ，则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故B 错误；当0≤x ≤π时，f (x )＝sin |x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[－π，0)上还有一个零点x ＝－π，即函数f (x )在[－π，π]有3个零点，故C 错误；当sin |x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2，故D 正确．三、填空题(每小题5分，共20分) 13.sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α ＝________．分析原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α sin αcos α[－（－sin α）]＝－1.答案：－114．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝34 ，则sin (π4 －α)＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)分析sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ，因为α为钝角，所以34 π<π4 ＋α<54 π.所以cos (π4 ＋α)<0.所以cos (π4＋α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342 ＝－74 .cos (α－π4 )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝34.答案：－74 3415．若sin α＝－45 ，且α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________．分析1＋tan α21－tan α2 ＝1＋sinα2cosα21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2，因为α是第三象限角，所以α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 ，所以cos α2 －sin α2＜0，所以上式＝－（cos α2＋sinα2cos α2－sinα2）2＝－1＋sin α1－sin α＝－1－451＋45＝－13 . 答案：－1316．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos (2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 ，则f (x )的取值范围是________．分析因为f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，所以f (x )与g (x )的最小正周期相等，因为ω>0，所以ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ，因为0≤x ≤π2 ，所以－π6 ≤2x －π6 ≤5π6 ，所以－12 ≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ≤1，所以－32 ≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 四、解答题(共70分) 17．(10分)已知tan α＝－34 .(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin （4π－α）cos （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α 的值．分析(1)原式＝2（sin 2α＋cos 2α）＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1 ＝98－34＋11＋916＝2225 .(2)原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α（－cos α）sin αsin αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α ＝－sin αcos α ＝－tan α＝34 . 18．(12分)已知函数f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．分析(1)由f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3 (2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 .所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2 ≤2x ＋π6 ≤2k π＋π2，k ∈Z 得k π－π3 ≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6 ，k ∈Z . (2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 上为增函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.19.(12分)如图，是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？分析(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322 ＝12 ，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322 ＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6 ＝π，所以ω＝2πT＝2.所以y ＝12sin (2x ＋φ)－1.当x ＝π6 时，2×π6 ＋φ＝π2 ，所以φ＝π6 .所以所求函数的解析式为y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －1. (2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6 个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12 ，得到y ＝12 sin (2x ＋π6 )的图象，最后把函数y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的图象向下平移1个单位长度，得到y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －1的图象．20．(12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π).(1)若点Q 的坐标是(m ，45 )，其中m <0，求cos (π－α)＋sin (－α)的值；(2)设点P ⎝⎛⎭⎫32，12 ，函数f (α)＝sin (α＋β)，求f (α)的值域．分析(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1m <0，得m ＝－35，所以cos α＝m ＝－35 ，sin α＝45 .所以cos (π－α)＋sin (－α)＝－cos α－sin α＝－15 .(2)由已知得β＝π6 ，因为α∈[0，π)，则α＋π6 ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，7π6 ，所以－12 <sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ≤1.故f (α)的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 .21．(12分)设x ∈R ，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π2 <φ<0)的最小正周期为π，且f (π4 )＝32 .(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．分析(1)因为函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.因为f (π4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ ＝－sin φ＝32 ，且－π2 <φ<0，所以φ＝－π3 . (2)由(1)知f (x )＝cos ⎛⎪⎫2x －π3 ，列表如下：x0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x －π3－π3π2π3π25π3f (x )121 0 －1 012作图象如图所示：(3)因为f (x )>22 ，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 >22 ，所以2k π－π4 <2x －π3 <2k π＋π4 (k ∈Z )，则2k π＋π12 <2x <2k π＋7π12(k ∈Z )，即k π＋π24 <x <k π＋7π24 (k ∈Z ).所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π24<x <k π＋7π24，k ∈Z .22.(12分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 m ，点P 到MN 的距离为50 m ．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围．分析如图所示，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40 cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)， △CDP 的面积为12 ×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ).过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK ＝KN ＝10.连接OG ，令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14 <12 ，可知θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 .当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤θ0，π2 时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 .故矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)m 2，△CDP 的面积为1 600(cos θ－sinθcos θ)m 2，sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 .。

专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版

第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
一．题源探究·黄金母题
（求函数的单调递增区间．
【解析】设，函数的单调递增区间为．由，得．易知．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得，
∵函数（，）的图像与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的周期为，故，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的恒成立”等价于“ 对于任意的恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得在上的取值范围是的子集去处理，由此通过不等式可得的范围，结合选项得解．
④将的图象向右平移个单位可得到图像．
【答案】①②③
【解析】对于，
令，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令，可得，故函数f(x)在区间是增函数，故③正确，
由的图象向右平移个单位长度可以得到故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．

人教A版数学高二任意角的三角函数精选试卷练习(含答案)3

C． cos sin tan
D． cos tan sin
2
2．若点 P 在角的终边上，且｜OP｜＝2，则点 P 的坐标是（）
3
A． (1, 3)
B． ( 3, 1)
C． (1, 3)
D． (1, 3)
sin cos 3．若α是第三象限角，则 sin － cos ＝( )
2
标 x, y
46．设 sin 0 且 tan 0 ,确定角是第几象限角.
47．(1)已知角α的终边经过点 P(4，－3)，求 2sinα＋cosα的值； (2)已知角α的终边经过点 P(4a，－3a)(a≠0)，求 2sinα＋cosα的值； (3)已知角α终边上一点 P 与 x 轴的距离与 y 轴的距离之比为 3∶4，求 2sinα＋cosα的值．
A． 2cos 2, 2sin 2
B． 2cos, 2sin
C． cos 2,sin 2 D． 4cos, 4sin
20．下列形式中，正确的是（）
A． 2k 45, k Z
B．
2k

2

2k

,
k

Z

为第二象限的角
C． cos1 tan1 sin1
D． cos1 sin1 tan1
9．点 Acos 2019,sin 2019 在平面直角坐标系中位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．已知角α的终边与单位圆的交点 P
，则 tanα＝( )
A．
B．±
C．
Hale Waihona Puke D．±11．若角α的终边落在 y=-x 上，则 tanα的值为( )

人教A版高中数学必修四三角函数模型的简单应用评估训练

高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《1.6三角函数模型的简单应用》评估训练双基达标限时20分钟1．函数y ＝sin |x |的图象( )．A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性解析 ∵x ∈R ，且f (－x )＝sin |－x |＝sin |x |＝f (x )．∴函数y ＝sin |x |是偶函数，图象关于y 轴对称．答案 C2．电流I (A )随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )．A.150 B ．50 C.1100D ．100 解析由题知T ＝2πω＝2π100π＝150. 答案 A3．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的交点有( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析当x ＝0时，sin x ＝0，tan x ＝0，(0,0)为两函数图象的交点，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，两函数图象无交点．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，两函数图象无交点．所以所求交点只有1个．答案 D4．振动量函数y ＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．解析 T ＝1f ＝23，∴ω＝2πT ＝3π， ∴相位ωx ＋φ＝3πx －π.答案 3πx －π5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3与y ＝－a (a ∈R )的交点中距离最小为________．解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3与y ＝－a 的交点中距离最小为一个周期T ＝π2. 答案 π26．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (0<φ<2π)．(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图可知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．(2)∵从6时到14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴12T ＝14－6，∴T ＝16，ω＝π8，A ＝12(30－10)＝10， b ＝12(30＋10)＝20，此时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20. 将x ＝6，y ＝10代入上式，得φ＝3π4，综上所求的解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．综合提高限时25分钟7．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆来回摆动一次所需的时间为( )．A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1s 解析单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，∵ω＝2π，∴T ＝2π2π＝1 s. 答案 D8．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π4对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数”的一个函数是( )． A ．y ＝sin x 2B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos x2 解析最小正周期为π，可排除A 、D ；B 、C 的周期均为π，但当x ＝π4时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＝cos π2＝0， ∴x ＝π4不是y ＝cos 2x 的对称轴，排除B. 答案 C9．(2012·盐城高一检测)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转．当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．解析经过t s 秒针转了π30t rad.由图知sin πt 60＝d 25，所以d ＝10sin πt 60. 答案 10sin πt 6010．(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析由题可知T 2＝7－3＝4，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4. 又⎩⎨⎧5＋92＝B ，9－52＝A ，∴⎩⎨⎧ A ＝2，B ＝7. 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7(*) 又过点(3,9)，代入(*)式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. 由3π4＋φ＝π2，且|φ|<π2，∴φ＝－π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 11．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解 (1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180min. (2)f ＝1T＝80. (3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ，p (t )min ＝115－25＝90 mmHg.即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高．12．(创新拓展)某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24) (小时)的函数，记作y ＝f (t )，下表是某天各时的浪高数据：(1)(小时)的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下：依据散点图，可以选用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (米)与t 时间(小时)的函数关系．从表中数据和散点图可知，A ＝1.5－0.52＝12，T ＝12，所以2πω＝12，得ω＝π6.又h ＝1.5＋0.52＝1，于是y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1.由图可知，点(0,1.5)是“五点法”中的第二点，即π6×0＋φ＝π2，得φ＝π2，从而y＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫π6t＋π2＋1，即y＝12cosπ6t＋1.(2)由题意可知，当y≥1时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，所以12cosπ6t＋1≥1，即cos π6t≥0，所以2kπ－π2≤π6t≤2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3≤t≤12k＋3(t∈Z)．而0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.故一天内的上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即上午9时至下午15时．。

(新教材)人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题含答案

绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题试卷副标题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.若α＝－3 rad，则它是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ()A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π2＋2kπD．α＋β＝(2k＋1)π3.化简√1－2sin4cos4的结果是()A． sin 4＋cos 4B． sin 4－cos 4C． cos 4－sin 4D．－sin 4－cos 44.当x∈[－2π，－32π]时，化简√1＋sinx＋√1－sinx的结果为()A．－2sin x2B．－2cos x2C．－2sin x2－2cos x2D． 2cos x25.已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A．43B．34C．－43D．－346.设tan(π＋α)＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)等于() A． 3B．13C． 1D．－17.设α是第二象限角，且cosα2＝－√1−cos2(π−α2)，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8.下列函数中，同时满足：①在(0,π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tan xB．y＝cos xC．y＝tan x2D．y＝|sin x|9.函数f(x)＝sin(x+π3)＋sin(x−π3)的最大值是()A． 2B． 1C．12D．√310.函数f(x)＝sin x－√3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[−π,−5π6]B．[−5π6,−π6]C．[−π3,0]D．[−π6,0]11.为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的()A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变12.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.角α∈(－π，－π2)，化简√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝________.14.若k ∈{4,5,6,7}，且sin(kπ2－α)＝－sin α，cos(kπ2－α)＝cos α，则k 的值为________.15.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________. 16.关于f (x )＝4sin (2x +π3)(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos (2x −π6)；③y ＝f (x )图象关于(−π6,0)对称；④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.三、解答题(共6小题, 共70分)17.(1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角. 18.证明：cosx1－sinx ＝1＋sinx cosx .19.已知cos (π6−α)＝√33，求cos (56π+α)－sin 2(α−π6)的值.20.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合.(1)sin x ＞－12且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.21.证明：cos 20°cos(－70°)＋sin 200°sin 110°＋1+tan15°1+tan165°＝√3.22.如下图，f (x )＝A sin (2ωx +φ)(ω＞0，A ＞0，－π2＜φ＜0). (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－π，－π2]上的值域.答案1.【答案】C【解析】根据角度制与弧度制的转化，1 rad ＝(180π)°，则α＝－3 rad ＝－(540π)°≈－171.9°，分析可得，α是第三象限角.2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验. 3.【答案】C【解析】√1－2sin4cos4＝√sin 24−2sin4cos4＋cos 24＝|sin 4－cos 4|. ∵5π4＜4＜3π2，∴由三角函数线易知cos 4＞sin 4. ∴√1－2sin4cos4＝cos 4－sin 4. 4.【答案】B【解析】∵x ∈[－2π，－32π]， ∴x2∈[－π，－34π]，∴sin x2＜0，cos x2＜0，sin x2－cos x2＞0， sin x2＋cos x 2＜0，则原式＝√sin 2x2+cos 2x2+2sin x2cos x2+√sin 2x2+cos 2x2−2sin x2cos x2＝√(sin x2+cos x2)2＋√(sin x2−cos x2)2＝|sin x2＋cos x2|＋|sin x2－cos x2|＝－sin x2－cos x2＋sin x2－cos x2＝－2cos x2. 5.【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sin α＝35， ∴cos α＝－√1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sinαcosα＝－34，则tan(π＋α)＝tan α＝－34. 6.【答案】A【解析】由tan (π＋α)＝2，得tan α＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)＝－sinα－cosα－sinα－(－cosα)＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3.7.【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴α2为第一或第三象限角. 又∵cos α2＝－√1−cos 2(π−α2)＜0，∴α2是第三象限角.8.【答案】A【解析】经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 9.【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos π3＝sin x ，所以最大值为1. 10.【答案】D【解析】f (x )＝2sin (x −π3)，f (x )的单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+5π6](k ∈Z )，因为x ∈[－π，0]，所以令k ＝0得单调递增区间为[−π6,0]. 11.【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 12.【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合；当0＜|a |＜1时， T ＞2π，且最小值为正数，A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D. 13.【答案】－2tan α【解析】∵角α∈(－π，－π2)，则√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|＝－1＋sinαcosα－(－1－sinαcosα)＝－2sinαcosα＝－2tan α.14.【答案】4【解析】由k ∈{4,5,6,7}，sin(kπ2－α)＝－sin α，可得k ＝4，由cos(kπ2－α)＝cos α，可得k ＝4.15.【答案】(2kπ−π,2kπ−π2)，(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )【解析】由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时单调递增的区间为(2kπ−π,2kπ−π2)，(2kπ−π2,2kπ)k ∈Z ).16.【答案】②③【解析】对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z ). ∴x ＝k2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin (2x +π3)利用公式得 f (x )＝4cos [π2−(2x +π3)]＝4cos (2x −π6)，∴②对；对于③，f (x )＝4sin (2x +π3)的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k2π－π6，k ∈Z ，∴(−π6,0)是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋kπ2，k ∈Z ，∴④错. 17.【答案】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角.(2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°. 18.【答案】cosx1－sinx ＝cosx(1+sinx)(1−sinx)(1+sinx)＝cosx(1+sinx)cos 2x ＝1＋sinx cosx.19.【答案】cos (56π+α)－sin 2(α−π6)＝cos [π−cos(π6−α)]－sin 2(π6−α)＝－cos (π6−α)－[1−cos 2(π6−α)]＝cos 2(π6−α)－cos (π6−α)－1＝(√33)2－√33－1＝－2+√33.20.【答案】(1)作出单位圆，如图①则同时满足sin x ＞－12且cos x ＞12的区域部分为阴影部分，此时在[0,2π]内满足条件的角x ∈[0，π3]，则满足sin x ＞－12且cos x ＞12的角x 的集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3}＝[2k π，2k π＋π3]，k ∈Z .(2)如图②所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于P 和P ′，则射线OP 、OP ′就是满足tan α＝－1的角α的终边， ∵在[0,2π)内，满足条件的∠POx ＝π－π4＝3π4，∠P ′Ox ＝－π4， ∴满足条件tan α＝－1的角α的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }，则满足tan x ≥－1的角α的集合是{x |－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z }.21.【答案】左边＝cos 20°cos 70°＋(－sin 20°)sin 70°＋tan45°+tan15°1−tan45°tan15° ＝cos(20°＋70°)＋tan(45°＋15°)＝0＋√3＝√3＝右边． 22.【答案】(1)由题知A ＝2，T ＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (x )的图象过(0，－1)， ∴2sin φ＝－1，又∵－π2＜φ＜0， ∴φ＝－π6. ∴f (x )＝2sin(2x －π6).(2)∵x ∈[－π，－π2]，∴2x －π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x －5π6)∈[－1,2]，∴函数f (x )在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].。

第5章三角函数(一)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)

＝
3，则
cos
α＋β 2
＝(
)
22
3
3
A． 3 3
B．－ 3 3
C．5 3 9
D．－ 6 9
【答案】C
【解析】：根据条件可得α＋π∈
π，3π 44
，π－β∈
π，π 42
，所以
sin
α＋π 4
＝2
2，sin
π－β 42
＝
6，
4
42
3
3
α＋β 所以 cos 2 ＝cos
π＋α π－β 4 －4 2
π＋α π－β ＝cos 4 cos 4 2 ＋
4
A． 2
B． 1
C．1
4
D．
3
）
D． 2
7.若
cos
2
2 ，则 cos 2 （
3
）
A． 2 9
C． 5 9
2
B．
9 5
D．
9
8 （2020 海南卷改编）右图是函数 y sin( x ) 的部分图像，则 sin( x ) （
）
A． sin(x ) 3
C． cos(2x ) 6
2020-2020 学年高一数学必修一第一册提优卷
第 5 章三角函数（一）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1、在平面直角坐标系 xOy 中，角
与
均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，若 sin
4
，则
5
2020-2020 学年高一数学必修一第一册提优卷
第 5 章三角函数（一）

3.5.3 函数的周期性和对称性-(人教A版2019必修第一册) (学生版)

函数的周期性和对称性一函数的周期性1 概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数f(x)=sinx的图像①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2 常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)，则y=f(x)的周期是T=2a.③若f(x+a)=1f(x)二函数的对称性1 函数图象自身的对称关系.①轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 ,c2)对称.2 两个函数图象之间的对称关系①轴对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与 y=f(b−x)的图象关于直线x=b−a2对称.特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.②中心对称若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a2 ,c2)对称.特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a2,0)对称.3 周期性与对称性拓展①若函数y=f(x)同时关于直线x=a ,x=b对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|a|；②若函数y=f(x)同时关于点(a ,0) ,(b ,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b−a|；③若函数y=f(x)同时关于直线x=a 对称，又关于点(b ,0)对称 , 则函数y=f(x)的周期T=4|b−a|；特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=4|a|.【题型一】函数的周期性【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)= ．巩固练习1(★★) 已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f (x +4)=−f(x)，且在[0 ,2]上单调递减，则( ) A ．f(8)<f(11)<f(15) B ．f(11)<f(8)<f(15) C ．f(15)<f(11)<f(8)D ．f(15)<f(8)<f(11)2(★★) 已知f(x)是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈[−1 ,1]时，f(x)=|x|，那么当x ∈[−7 ,−5]时，f(x)= .3(★★★)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f (x +1)=−f(x −1)，若f (−1)>1，f (5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是 .【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x 都有f (x )=−f(x +32)且f (−1)=1 ,f (0)=−2，则f(1)+f(2)+⋯+f(2014)= .【典题2】已知函数f(x)=2x 2x 2−4x+8，则( )A．函数f(x)的图象关于x=2对称B．函数f(x)的图象关于x=4对称C．函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称D．函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 ,0)对称的是() A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)C．y=log0.1(1−x)D．y=log0.1(2−x)【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2的对称中心为(b ,1)，则a=；b=．x−62(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么() A．f (2−x)=f (x)B．f (1−x)=f (1+x)C．函数y=f (x+1)是偶函数D．函数y=f (x−1)是偶函数3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为() A．0B．1C．lna D．−14(★★★)已知函数f(x)=ln x，则()4−xA．y=f(x)的图象关于点(2 ,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称C．f(x)在(0 ,4)上单调递减D．f(x)在(0 ,2)上单调递减，在(2 ,4)上单调递增5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称6 (★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则()A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 ,0)对称C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（） A ．512π B ．4π C ．3π D ．6π3．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（） A ．2425-B ．725-C ．7-D ．17-4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．已知函数()()2sin ,0,2f x x x x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=7．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．sin15cos15+=（） A ．12B ．22C ．32D ．629．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（）． A ．1B ．2C ．2.5D ．410．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-12．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 二、填空题13．已知()0,απ∈且tan 3α=，则cos α=______. 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______.15．已知α、β均为锐角，且sin 10α=，()cos 5αβ+=，则cos 2β=_______________16．下列函数中，以π2为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是______.①()cos2f x x =；②()sin 2f x x =；③()cos f x x =；④()sin f x x = 17．若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____.18．方程21sin cos 2x x x =在[0,]4π上的解为___________19．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________． 20．若0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 三、解答题21．已知函数()()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值和最小值. 22．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解.23．已知 3sin 5α=，12cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 24．已知函数25()23sin cos()2cos (0)32f x wx wx wx w π=+-+>的图像上相邻的两个最低点的距离为π. （1）求w 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间.25．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.26．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈，由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行：（1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．D解析：D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-，代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=，因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤，所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.6．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题7．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下：（1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.8．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.9．B解析：B【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．10．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 11．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出.【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误；对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．【分析】本题考查同角三角函数及其关系借助公式求解即可求解时需要判定符号的正负【详解】解：法一：由可得代入解得因为所以所以法二：由且可取终边上的一点坐标为根据三角函数终边定义公式故答案为：【点睛】方法解析：10【分析】本题考查同角三角函数及其关系，借助公式sin tan cos ααα=，22sin +cos =1αα求解即可，求解时需要判定符号的正负. 【详解】解：法一：由sin tan =3cos ααα=可得sin =3cos αα，代入22sin +cos =1αα解得cos α= 因为()0,tan 30απα∈=>，，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=. 法二：由()0,απ∈且tan 3α=可取α终边上的一点坐标为(1,3)，根据三角函数终边定义公式cos 10α===.【点睛】方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧：（1）弦切互化利用公式sin tan ()cos 2k απααπα=≠+实现角α的弦切互化；（2）和(差)积转换利用2(sin cos )=1sin 2ααα±±进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换22222211sin+cos =cos (tan 1)sin (1)tan αααααα=+=+. 14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为：解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解；【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-.故答案为：3320-15．【分析】先由题意得到求出根据由两角差的余弦公式求出再由二倍角公式即可求出结果【详解】因为均为锐角所以又所以所以则故答案为：解析：45【分析】先由题意得到，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，求出sin 10α=，()cos 5αβ+=，根据()cos cos βαβα=+-，由两角差的余弦公式，求出cos β，再由二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为α、β均为锐角，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，又sin 10α=，()cos 5αβ+=，所以cos 10α==，()sin 5αβ+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++==，则294cos 22cos 1155ββ=-=-=. 故答案为：45. 16．①【分析】利用与的关系确定①②的周期在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性化简和后可得其性质从而判断③④【详解】周期是时是增函数①满足题意；周期是时是减函数②不满足题意；周期是③不满足题意；不是周期解析：① 【分析】利用()f x 与()f x 的关系确定①②的周期，在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性，化简cos x 和sin x 后可得其性质，从而判断③④【详解】()cos2f x x =周期是2π，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos2cos2f x x x ==-是增函数，①满足题意；()sin 2f x x =周期是2π，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin 2f x x x ==是减函数，②不满足题意；()cos cos f x x x ==，周期是2π，③不满足题意； sin ,0()sin sin ,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩不是周期函数，④不满足题意．故答案为：①．【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的周期性与单调性，解题时可利用如下结论：①()sin()f x A x ωϕ=+（或cos()A x ωϕ+，函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数．17．【分析】利用来求解【详解】因为函数的最小正周期为所以都有成立故则故答案为：解析：0【分析】利用()()f x f x π=+来求解. 【详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，所以x R ∀∈，都有()()f x f x π=+成立，故()2cos 2cos 2cos a x a x a x π+=++=-，则0a =. 故答案为：0.18．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论．【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 21222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈，又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=．故答案为：12π．【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．19．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一）【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.20．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：解析：)+∞【分析】根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 42x π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥故答案为：)+∞.三、解答题21．（1）2ω=，6πϕ=-；（2）max ()f x =min ()2f x =-. 【分析】（1）由图象上相邻两个最高点的距离为π得()f x 的最小正周期T π=，故2ω=，由函数图象关于直线3x π=对称得232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，再结合范围得6πϕ=-；（2）由（1）得()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得52666x πππ-≤-≤，再结合正弦函数的性质即可得答案. 【详解】（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又22ππϕ-≤<，所以2236ππϕπ=-=-. 综上，2ω=，6πϕ=-.（2）由（1）知()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知52666x πππ-≤-≤.故当226x ππ-=，即3x π=时，max ()f x =当266x ππ-=-，即0x =时，min ()f x =. 【点睛】本题解题的关键在于先根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题.22．（1）[-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案；（2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案. 【详解】（1）2()sin cos 2sin 2222a f x x a x x x x =--=-当1a =，1()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+由7[0,],2[,],cos(2)[1,266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈-所以()f x 的值域为[-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立2sin 22sin 222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=所以由3()24f x x ==-得cos 22x =-又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±± 23．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin13β===-，所以3124516 sin()sin cos cos sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4123533cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为sin3tancos4ααα==-，所以22322tan244tan21tan7314ααα⎛⎫⨯-⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan27α=-.24．（1）1；（2）()36k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式()f x化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间.【详解】（1）5()(cos cos sin sin)(1cos2)332f x wx wx wx wxππ=--++23sin23sin cos222wx wx wx=--+1cos2323cos222wxwx wx-=-⨯-+12cos22wx wx=+sin(2)6wxπ=+又因为()f x图象上相邻的两个最低点间的距离为π，0w>，所以22w，解得1w=.（2）据（1）求解知，()sin(2)6f x xπ=+令222()262k x k k Zπππππ-+≤+≤+∈，所以()36k x k k Zππππ-+≤≤+∈，所以所求的单调递增区间是()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将()f x 化为sin cos a x b x 的形式；（2）构造())f x x x +；（3）和差公式逆用，得())f x x ϕ=+ (其中ϕ为辅助角，tan b aϕ=)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 25．（1）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（1）由[]0,x α∈，得到2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，即可求解；（2）根据函数正弦函数的形式，求得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，进而得出函数的单调递增区间. 【详解】方案一：选条件①由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，解得1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x，又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤；当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方案二：选条件②：由()12cos sin 62f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12cos sin cos cos sin 662x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 2cos 2222x x x x x ωωωωω=+-=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，所以1ω=，可得()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x，又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤；当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为()sin()f x A wx ϕ=+或()cos()f x A wx ϕ=+的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.26．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上，则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 22AQ PA PAB =∠=⨯= 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ；（2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒，则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ， 300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan 2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。

【2019-2020高一数学试卷】人教A版必修4《三角函数》单元测试卷一答题卡及答案解析

必修4《三角函数》单元测试卷一(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若点(,)P x y 是330︒角终边上异于原点的一点，则yx的值为( )A B ．C D ． 2．已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α的值为( ) A ．34-B ．35C ．45-D ．43-3．若|cos |cos θθ=，|tan |tan θθ=-，则2θ的终边在( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上4．如果函数()sin(2)(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ，且当1x =时取得最大值，那么( ) A ．1T =，2πθ=B ．1T =，θπ=C ．2T =，θπ=D ．2T =，2πθ=5．若sin()2x π-=2x ππ<<，则x 等于( )A ．43π B ．76π C ．53π D ．116π6．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．7．为得到函数sin()6y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数，则||m n -的最小值是( )A ．3π B ．23π C ．π D ．2π8．若tan 2θ=，则2sin cos sin 2cos θθθθ-+的值为( )A ．0B ．1C ．34D ．549．函数tan 1cos xy x=+的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数10．函数()cos f x x =在(0,)+∞内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点11．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是( ) A ．[3k ππ-，]()6k k Z ππ+∈ B ．[k π，]()2k k Z ππ+∈C ．[6k ππ+，2]()3k k Z ππ+∈ D ．[2k ππ-，]()k k Z π∈12．函数()3sin f x = (2)3x π- 的图象为C ．①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间(12π-，5)12π内是增函数； ③由3sin y = 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知2sin()sin()2παπα-=+，则tan()πα-的值是．14．函数y ＝3cos x （0≤x ≤π）的图象与直线3y =-及y 轴围成的图形的面积为． 15．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则ϕ=16．给出下列命题：①函数2cos()32y x π=+是奇函数；②存在实数x ，使sin cos 2x x +=；③若α，β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；④8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的一条对称轴； ⑤函数sin(2)3y x π=+的图象关于点(,0)12π成中心对称．其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（10分）已知sin α是方程25760x x --=的根，求333sin()sin()tan (2)22cos()cos()22αππαπαππαα-----+的值．18．（12分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)x R ∈在一个周期内的图象如图所示，求直线y =()f x 图象的所有交点的坐标．19．（12分）已知3()sin(2)62f x x π=++，x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样变换得到？20．（12分）已知函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0)ω>的图象过点(12P π，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(3π，5)．（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值，并写出相应的x 的值；（3）求使y ≤0时，x 的取值范围．21．（12分）已知cos()2sin()22ππαα+=-．（1）求4sin 2cos 3sin 5cos αααα-+的值．（2）求22111sin sin cos cos 432αααα++的值．22．（12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，且过点(0,1)，其中0A >，0ω>，||2πϕ<．（1）求函数的解析式．（2）若函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数()h x 是奇函数，求满足条件的最小正实数m ．（3）设函数()()1g x f x a =++，[0x ∈，]2π，若函数()g x 恰有两个零点，求a 的范围．必修4《三角函数》单元测试卷一答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级姓名座号密封装订线必修4《三角函数》单元测试卷一答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．若点P（x，y）是330°角终边上异于原点的一点，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由三角函数的定义知＝tan330°，计算即可．【答案】解：由题意知，＝tan330°＝﹣tan30°＝﹣．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．2．已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【分析】由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【答案】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，则cosα＝＝，故选：B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝﹣tanθ，则的终边在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或x轴上D．第二、四象限或x轴上【分析】利用已知条件，判断θ所在象限，然后求解即可．【答案】解：|cosθ|＝cosθ，∴θ是第一、四象限或x轴正半轴；|tanθ|＝﹣tanθ，说明θ是二．四象限或x轴；所以θ是第四象限或x轴正半轴，∴k•360°+270°＜θ≤k•360°+360°，k∈Z，则k•180°+135°＜≤k•180°+180°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+135°＜≤n•360°+180°，n∈Z；在二象限或x轴负半轴；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+315°＜≤n•360°+360°，n∈Z；在四象限或x轴正半轴；故选：D．【点睛】本题考查三角函数的符号，象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限．4．如果函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么（）A．T＝1，θ＝B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝2，θ＝【分析】利用函数的周期公式求出T，通过当x＝1时取得最大值求出θ判断即可．【答案】解：函数f（x）＝sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，可得T＝＝1；当x＝1时取得最大值，sin（2π+θ）＝1，0＜θ＜2π，可得θ＝．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的周期以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．5．若sin（﹣x）＝且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得cos x的值，结合角x的范围，以及特殊角的三角函数的值，求得x的值．【答案】解：sin（﹣x）＝＝cos x，且π＜x＜2π，则x＝，故选：D．【点睛】本题主要考查诱导公式，特殊角的三角函数的值，属于基础题．6．已知a是实数，则函数f（x）＝1+a sin ax的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据当a＝0时，y＝1，可判断图象哪个符合，当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．【答案】解：∵函数f（x）＝1+a sin ax（1）当a＝0时，y＝1，函数图象为：C故C正确（2）当a≠0时，f（x）＝1+a sin ax周期为T＝，振幅为a若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，当0＜a≤1，T≥2π．∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾故D错误，故选：D．【点睛】本题考察了三角函数的图象和性质，分类讨论的思想，属于中档题，关键是确定分类的标准，和函数图象的对应．7．为得到函数y＝sin（x+）的图象，可将函数y＝sin x的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数，则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．πD．2π【分析】根据函数左右平移关系，求出m，n的表达式，然后根据绝对值的意义进行求解即可．【答案】解：y＝sin x的图象向左平移+2kπ个单位长度，即可得到函数y＝sin（x+）的图象，此时m＝+2kπ，k∈Z，y＝sin x的图象向右平移+2mπ个单位长度，即可得到函数y＝sin（x+）的图象，此时n＝+2mπ，m∈Z，即|m﹣n|＝|+2kπ﹣﹣2mπ|＝|2（k﹣m）π﹣|，∴当k﹣m＝1时，|m﹣n|取得最小值为2π﹣＝，故选：A．【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，利用函数平移关系是解决本题的关键．8．若tanθ＝2，则的值为（）A．0 B．1 C．D．【分析】将所求分子分母同除cosθ，利用同角三角函数基本关系式化简，代入tanθ＝2，即可得到选项．【答案】解：∵tanθ＝2，∴＝＝＝．故选：C．【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数基本关系式的应用，已知函数值求表达式的其它函数值，考查计算能力，常考题型．9．函数的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【分析】先考虑函数的定义域关于原点对称，其次判定f（x）与f（﹣x）的关系即可．【答案】解：先考虑函数的定义域关于原点对称，其次，故选：A．【点睛】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件．判定函数奇偶性常见步骤：1、判定其定义域是否关于原点对称；2、判定f（x）与f（﹣x）的关系．10．函数f（x）＝在（0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【分析】作函数y＝与y＝cos x的图象，从而利用数形结合的思想判断．【答案】解：作函数y＝与y＝cos x的图象如下，∵函数y＝与y＝cos x的图象有且只有一个交点，∴函数f（x）＝在（0，+∞）内有且仅有一个零点，故选：B．【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．11．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【分析】由题意求得φ的值，利用正弦函数的性质，求得f（x）的单调递增区间．【答案】解：若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则f（）为函数的函数的最大值或最小值，即2×+φ＝kπ+，k∈Z，则φ＝kπ+，k∈Z，又f（）＞f（π），sin（π+φ）＝﹣sinφ＞sin（2π+φ）＝sinφ，sinφ＜0．令k＝﹣1，此时φ＝﹣，满足条件sinφ＜0，令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）．则f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，属于基础题．12．函数f（x）＝3sin （2x﹣）的图象为C．①图象C关于直线x＝π对称；②函数f（x）在区间（﹣，）内是增函数；③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．以上三个论断中，正确论断的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①②由三角函数图象的对称性和单调性判断即可；③根据图象的平移可得．【答案】解：函数f（x）＝3sin （2x﹣）的图象为C．①f（π）＝﹣3，故x＝π是函数的一条称对称轴，故正确；②函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，故在区间（﹣，）内是增函数，故正确；③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象y＝3sin2（x﹣）的图象，故错误．故选：C．【点睛】考查了三角函数图象的对称性，单调性和函数图象的平移．属于基础题型，应熟练掌握．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知，则tan（π﹣α）的值是﹣2 ．【分析】由已知利用诱导公式可得﹣2cosα＝﹣sinα，根据同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．【答案】解：∵，∴﹣2cosα＝﹣sinα，可得tanα＝2，∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．函数y＝3cos x（0≤x≤π）的图象与直线y＝﹣3及y轴围成的图形的面积为3π．【分析】由题意画出图形，利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算求值．【答案】解：函数y＝3cos x（0≤x≤π）的图象与直线y＝﹣3及y轴围成的图形如图：面积为＝（3sin x+3x）＝3π；故答案为：3π．【点睛】本题考查了定积分的应用；关键是利用定积分表示出所围成的图形面积．15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ＝﹣【分析】根据三角函数图象和性质，求出函数的周期，即可求出ω和φ的值．【答案】解：由图象得＝＝，则T＝＝，即ω＝，即f（x）＝sin（x+φ），∵f（）＝sin（×+φ）＝1，∴×+φ＝+2kπ，即φ＝﹣+2kπ，∵﹣π≤φ＜π，∴当k＝0时，φ＝﹣，故答案为：﹣．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．16．给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sin x+cos x＝2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为①④．【分析】利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【答案】解：①函数＝﹣sin x，而y＝﹣sin x是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sin x，cos x不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sin x+cos x＝2成立，故②错误．③令α＝，β＝，则tanα＝，tanβ＝tan＝tan＝，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x＝代入函数y＝sin（2x+），得y＝﹣1，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y＝sin（2x+）图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．【点睛】本题主要考查诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，属于基础题．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，求的值．【分析】由已知求得sinα，然后利用三角函数的诱导公式化简求值．【答案】解：由sinα是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，可得sinα＝或sinα＝2（舍），∴＝＝＝﹣tanα．由sinα＝﹣可知α是第三象限或者第四象限角．∴tanα＝或﹣．即所求式子的值为．【点睛】本题考查一元二次方程根的求法，考查利用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y＝与函数f（x）图象的所有交点的坐标．【分析】根据函数的最大值，得到A＝2．由函数的周期为4，算出ω＝，再根据当x＝时，函数f（x）有最大值为2，解出φ＝．因此得到f（x）＝2sin（x+），然后解方程2sin（x+）＝，结合正弦函数的图象可得x＝+4kπ或+4kπ（k∈Z），由此即可得到直线y＝与函数f（x）图象的所有交点的坐标．【答案】解：根据题意，得A＝2，T＝＝4π，可得ω＝∵当x＝时，函数f（x）有最大值为2∴ω×+φ＝×+φ＝+2kπ（k∈Z），解之得φ＝+2kπ（k∈Z），取k＝0得φ＝因此，函数表达式为f（x）＝2sin（x+）当f（x）＝时，即2sin（x+）＝，可得sin（x+）＝∴x+＝+2kπ或x+＝+2kπ（k∈Z），可得x＝+4kπ或+4kπ（k∈Z）由此可得，直线y＝与函数f（x）图象的所有交点的坐标为（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．【点睛】本题给出函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并求函数图象与y＝的交点坐标，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于基础题．19．（12分）已知f（x）＝sin（2x+）+，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调减区间；（3）函数f（x）的图象可以由函数y＝sin2x（x∈R）的图象经过怎样变换得到？【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：（1）对于f（x）＝sin（2x+）+，x∈R，它的周期为T＝＝π．（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以所求的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）把y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝sin（2x+）的图象；再向上平移个单位，即得函数f（x）＝sin（2x+）+的图象．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．20．（12分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图象与P点最近的一个最高点坐标为（，5）．（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值，并写出相应的x的值；（3）求使y≤0时，x的取值范围．【分析】（1）由函数的最大值求A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数取最大值的条件以及函数的最大值，得出结论．（3）由5sin（2x﹣）≤0，可得2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z），由此求得x的取值范围．【答案】解：（1）由题意知＝﹣＝，∴T＝π．∴ω＝＝2，由ω•+φ＝0，得φ＝﹣，又A＝5，∴y＝5sin（2x﹣）．（2）函数的最大值为5，此时，2x﹣＝2kπ+（k∈Z）．∴x＝kπ+（k∈Z）．（3）∵5sin（2x﹣）≤0，∴2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z）．∴x的取值范围是{x|kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈Z）}．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的值域，解三角不等式，属于基础题．21．（12分）已知cos（+α）＝2sin（α﹣）．（1）求的值．（2）求sin2α+sinαcosα+cos2α的值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简已知条件，化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可．（2）所求表达式的分母通过平方关系式代换，然后化简所求表达式为正切函数的形式，求解即可．【答案】解：cos（+α）＝2sin（α﹣）．可得﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2（1）＝＝＝．（2）sin2α+sinαcosα+cos2α＝＝＝＝．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．22．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，且过点（0，1），其中A＞0，ω＞0，|φ|＜．（1）求函数的解析式．（2）若函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数h（x）是奇函数，求满足条件的最小正实数m．（3）设函数g（x）＝f（x）+a+1，x∈[0，]，若函数g（x）恰有两个零点，求a的范围．【分析】（1）由函数的图象可得T＝（+）解得ω，图象经过（﹣，0），0＝A sin（2×﹣+φ），|φ|＜，解得φ，图象经过（0，1），1＝A sin（2×0+），可得A，从而可求函数的解析式．（2）由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y＝sin（2x+2m+）为奇函数，可得2m+＝kπ，k∈z，由此求得m的最小值．（3）根据正弦函数的单调性，得到当t＝sin（2x+）∈[，1）时，方程g（x）＝0有两个零点，即2t+a+1＝0，t∈[，1），由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．【答案】解：（1）由函数的图象可得T＝（+）＝π，T＝，解得ω＝2．图象经过（﹣，0），0＝A sin（2×﹣+φ），|φ|＜，解得φ＝，图象经过（0，1），1＝A sin（2×0+），可解得A＝2，故f（x）的解析式为y＝2sin（2x+）．（2）把函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数的解析式为：y＝sin[2（x+m）+]＝sin（2x+2m+），再根据y＝sin（2x+2m+）为奇函数，可得2m+＝kπ，k∈z，故m的最小值为．（3）g（x）＝f（x）+a+1＝2sin（2x+）+a+1，∵当x∈[0，]时，且x≠时，存在两个自变量x对应同一个sin x（2x+），即当t＝sin（2x+）∈[，1）时，方程g（x）＝0有两个零点，∵g（x）＝f（x）+a+1在x∈[0，]上有两个零点，即2t+a+1＝0，t∈[，1），∴t ＝∈[，1），解之得a∈（﹣3，﹣2]．【点睛】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．21。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角函数的概念(课后习题)【含答案及解析】

三角函数的概念三角函数的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021河北唐山高一期末)sin(-1 080°)=()A.-12B.1C.0D.-1-1 080°)=-sin(3×360°+0°)=0.故选C.2.点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为()A.√3B.-√3C.√33D.-√33由三角函数定义知yx=tan 60°=√3. 3.代数式sin(-330°)cos 390°的值为()A.-34B.√34C.-32D.14,sin(-330°)cos 390°=sin 30°×cos 30°=12×√32=√34.4.tan(-356π)的值等于()A.√33B.-√33C.12D.√3(-356π)=tan(-3×2π+π6)=tanπ6=√33.5.已知角α的终边与单位圆交于点P-12,y,则cos α=()A.-√33B.-12C.-√32D.±12解析角α的终边与单位圆交于点P-12,y,∴cos α=-12.6.已知角α的终边经过点P (x ,-6),且tan α=-35,则x 的值为 .,得tan α=y x =-35,即-6x =-35,解得x=10.7.(2020浙江丽水高一检测)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点P (-√3,-1),则tan α= ;cos α-sin α= .1-√32角α终边过点P (-√3,-1),|OP|=2,∴tan α=-√3=√33,sin α=-12,cos α=-√32, ∴cos α-sin α=1-√32.8.求下列各式的值:(1)sin (-15π4)+tan 25π3;(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.原式=sin (-4π+π4)+tan (8π+π3) =sin π4+tan π3=√22+√3.(2)原式=sin(-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=√32×√32+1=74. 等级考提升练9.在△ABC 中,若sin A cos B tan C<0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形sin A>0,所以cos B ,tan C 中一定有一个小于0,即B ,C 中一定有一个钝角,故△ABC 是钝角三角形.10.设α是第二象限角,且|cos α2|=-cos α2,则α2是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角α是第二象限角,∴α2为第一或第三象限角.又|cosα2|=-cosα2,∴cosα2<0.∴α2是第三象限角.11.(2021江苏南京高一期末)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则()A.sin α>0B.sin α<0C.cos α>0D.cos α<0角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),∴由三角函数的定义可知sin α=√3+a2符号不确定,故A,B均错误;cos α=√3+a2>0,故C正确,D错误.故选C.12.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=√55,则a等于()A.1B.92C.1或92D.1或-3由题意得√a2+(a-3)=√55,化简得a2+2a-3=0,解得a=-3或1,当a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cosα<0,与题意不符,舍去,选A.13.(多选题)(2020山东聊城高一期末)已知x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},则函数y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|的值可能为()A.3B.-3C.1D.-1x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},当x在第一象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1+1-1=1;当x在第二象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1-1+1=1;当x在第三象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=-1-1-1=-3;当x 在第四象限时,y=sinx |sinx |+cosx |cosx |−tanx |tanx |=-1+1+1=1. 14.角α的终边过点P (-3a ,4a )(a ≠0),则cos α= . -35或35|OP|=√(-3a )2+(4a )2=5|a|,且a ≠0.当a>0时,|OP|=5a ,则cos α=-3a 5a =-35.当a<0时,|OP|=-5a ,则cos α=-3a -5a =35.15.sin(-1 740°)cos 1 470°+cos(-660°)sin 750°+tan 405°= .=sin(60°-5×360°)cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°=√32×√32+12×12+1=2.16.已知1|sinα|=-1sinα,且lg cos α有意义.(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上一点M (35,m),且|OM|=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.由1|sinα|=-1sinα,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM|=1, ∴(35)2+m 2=1,解得m=±45.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m|OM |=-451=-45. 新情境创新练17.已知角α的终边在直线y=-3x 上,求10sin α+3cosα的值.α的终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则x=k ,y=-3k ,r=√k 2+(-3k )2=√10|k|.当k>0时,r=√10k ,α是第四象限角, sin α=y r =√10k =-3√1010, 1cosα=r x =√10k k =√10,所以10sin α+3cosα=10×(-3√1010)+3√10=-3√10+3√10=0; 当k<0时,r=-√10k ,α为第二象限角, sin α=y r =-√10k =3√1010, 1cosα=r x =-√10k k=-√10, 所以10sin α+3cosα=10×3√1010+3×(-√10)=3√10-3√10=0. 综上,10sin α+3cosα=0.。

三角函数的概念专题练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

三角函数的概念专项练习题一、选择题1、(多选)若角α的终边经过点P (x ，－3)且sin α＝－31010，则x 的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 32、已知点P(－3，y)为角β终边上一点，且sinβ＝1313，则y 的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案：B5、在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形6、 (多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( ) A ．sin 2α>0 B ．cos 2α>0C ．cos α2>0 D ．tan α2>07、若角α的终边在直线y ＝3x 上，sinα<0，且P(m ，n)是角α终边上一点，|OP|＝10(O 为坐标原点)，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9、 (多选)下列选项中，符号为负的是( )A ．sin(－100°)B ．cos(－220°)C ．tan 10D ．cos π10、已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限11、已知sin α＝513，cos α＝－1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫513，－1213B.⎝⎛⎭⎫－513，1213C.⎝⎛⎭⎫1213，－513D.⎝⎛⎭⎫－1213，51312、(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、点A (x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－3314、代数式sin(－330°)cos 390°的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－32 D.1415、若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 316、(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )A ．cos(－280°)<0B ．sin 500°>0C ．tan ⎝⎛⎭⎫－7π8>0D ．tan 53π12>017、已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角18、函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}二、填空20、已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝.21、已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝.22、若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为．23、已知角α终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，则cos α＝，sin α＝.24、点P (tan 2 020°，cos 2 020°)位于第象限．25、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是．26、求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．.三、解答题27、角θ的终边落在直线y ＝2x 上，求sin θ，cos θ的值．28、求下列函数的定义域：（1）y =)lg(cos x ；（2）y =lgsin2x +29x -．29、求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．30、求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．31、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.32、求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．33、利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．求(1)sinα≥12；(2)cosα＜22.34、设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．35、求满足sin α>的角α的取值范围；（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。

人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)

第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是（） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则（）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α；（2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值：（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。

安徽省巢湖市第一中学高中数学第一章三角函数第一章《三角函数》复习测试题新人教A版必修4(1)

第一章《三角函数》复习测试题一、选择题1.若角的终边上有一点，则角的值可以是( ).A. B. C. D.考查目的：考查任意角三角函数的定义.答案：A.解析：因为，且在第三象限，故.2.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是( ).A. B. C. D.考查目的：考查三角函数的图象和性质.答案：C.解析：∵最小正周期为，∴，又∵图象关于直线对称，∴，故只有C符合.3.函数的部分图象如图，则，可以取的一组值是( ).A. B.C. D.考查目的：考查函数的图象与性质的灵活应用.答案：D.解析：∵，∴，，又由得.4.要得到的图象，只需将的图象( ).A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位考查目的：考查三角函数图象的平移变换.答案：C.解析：∵，故选C.5.为三角形的一个内角，若，则这个三角形的形状为( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形考查目的：考查三角函数的性质和同角三角函数基本关系式的综合应用.答案：B.解析：将两边平方，得，∴.又∵，∴为钝角.6.设为常数，且，，则函数的最大值为( ).A. B. C. D.考查目的：考查三角函数与二次函数性质的综合应用.答案：B.解析：，∵，∴.又∵，∴.二、填空题7.在扇形中，已知半径为，弧长为，则圆心角是________弧度，扇形面积是_______. 考查目的：考查扇形的弧长公式和面积公式.答案：，48.解析：圆心角，扇形面积.8.函数的最大值为________.考查目的：考查余弦函数的有界性、分式型函数值域的求法及转化化归思想.答案：3.解析：由得，∴，解得.9.函数的单调递减区间是________.考查目的：考查正弦函数的单调性、周期性.答案：.解析：由得.10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是________.考查目的：考查三角函数的图象和性质，以及分析和解决问题的能力.答案：.解析：由对恒成立知，或.若，即，则，此时，矛盾，∴，∴，∴的单调递增区间是.11.给出下列命题：①在中，若，则；②在同一坐标系中，函数与的交点个数为2个；③将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象；④存在实数，使得等式成立；其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．考查目的：考查三角函数图象和性质的综合应用.答案：①.解析：②中两函数图象交点应为3个；③应向右平移个单位长度得到的图象；④中，故只①对.三、解答题12.已知是第三角限角，化简.考查目的：考查同角三角函数关系式的综合应用.答案：解析：∵是第三角限角，∴，，，∴.13.已知角的终边在直线上，求角的正弦、余弦和正切值.考查目的：考查任意角三角函数的定义，及分类讨论思想.答案：，，2或，，2.解析：设角终边上任一点()，则，，.当时，，是第一象限角，，，；当时，，是第三象限角，，，.综上，角的正弦、余弦和正切值分别为，，或，，14.⑴当，求的值；⑵设，求的值.考查目的：考查同角的三角函数关系式和三角函数的诱导公式.答案：⑴；⑵.解析：⑴∵，且，∴原式；⑵，∴.15.已知函数，.⑴求函数的最小正周期和单调递增区间；⑵求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.考查目的：考查三角函数的图象和性质.答案：⑴，；⑵最大值为，此时；最小值为，此时.解析：⑴∵，∴函数的最小正周期为.由得，∴函数的递调递增区间为()；⑵∵在区间上为增函数，在区间上为减函数.又∵，，，故函数在区间上的最大值为，此时；最小值为，此时.。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(40)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1.化简√1−sin2160∘的结果是( )A．cos160∘B．−cos20∘C．±cos160∘D．sin70∘2.已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(ωx+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( )A．3π4B．π4C．0D．−π43.若ω>0，函数y=cos(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y=sinωx的图象重合，则ω的最小值为( )A．112B．52C．12D．324.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A．3π4B．π4C．0D．−π45.已知−π2<α−β<π2，sinα+2cosβ=1，cosα−2sinβ=√2，则sin(β+π3)=( )A．√33B．√63C．√36D．√666.设a=√22(sin17∘+cos17∘)，b=2cos213∘−1，c=√32，则( )A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c 7.若角a的终边经过点P(−2,3)，则tana=( )A．−23B．23C．−32D．328. 已知 sin (α−π2)=√32(0≤α≤π)，则 tan (π−α)= ( ) A ．√33B ． √3C ． −√33D ． −√39. 函数 y =−xcosx 的部分图象是 ( )A ．B ．C ．D ．10. 若 α 是第二象限角，则点 P (sinα,cosα) 在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（共6题）11. 已知 a ，b ∈R ，a 2−2ab +5b 2=4，则 ab 的最小值为．12. 将函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 的图象上所有点向左平行移动 π3 个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则 f (x )= ．13. 化简下列各式：（1）cos (α+β)cosβ+sin (α+β)sinβ= ；（2）cos (90∘+α)+sin (180∘−α)−sin (180∘+α)−sin (−α)= ；（3）sin (π−α)tan (π+α)⋅cot(π2−α)tan(π2+α)⋅cos (−α)sin (2π−α)= ．14. 化简：sin(15π2+α)cos(α−π2)sin(9π2−α)cos(3π2+α)= ．15. 已知 tan2θ=−2√2，π2<2θ<π，则2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(π4+θ)的值为．16. 将下列各角度化为弧度：（1）30∘=；（2）120∘=；（3）−60∘=；（4）−30∘=；（5）−200∘=；（6）180∘=；（7）135∘=；（8）−75∘=；（9）270∘=；（10）0∘=；三、解答题（共6题）17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+π,−2)．若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若函数y=f(kx)+1(k>0)的周期为2π3，当x∈[0,π3]时，方程f(kx)+1=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．18.如图，摩天轮上的一点P在x时刻距离地面的高度满足y=Asin(ωx+φ)+b，φ∈[−π,π]，已知该摩天轮的半径为60米，摩天轮转轮中心O距离地面的高度是70米，摩天轮逆时针做匀速转动，每6分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点P0处．(1) 根据条件求出y（米）关于x（分钟）的解析式．(2) 在摩天轮从最低点P0开始计时转动的一圈内，有多长时间点P距离地面不低于100米？19.某种波的传播是由曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0)来实现的，我们把解析式f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．(1) 已如“1类波”中的两个波，f1(x)=sin(x+π6)与f2(x)=sin(x+π3)加后是一个“A类波”，求A的值；(2) 已知三个不同的“A类波”，从f1(x)=Asin(x+φ1)，f2(x)=Asin(x+φ2)，f3(x)=Asin(x+φ3)（其中φ1，φ2，φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1(x)+ f2(x)+f3(x)=0，求cos(φ1−φ2)cos(φ2−φ3)cos(φ3−φ1)的值．20.化简(1+sinα+cosα)(sinα2−cosα2)√2+2cosα（其中180∘<α<360∘）．21.已知函数f(x)=tan(π2x+π3)，(1) 求f(x)的最小正周期和定义域；(2) 求f(x)的单调区间．22.已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x．(1) 求函数f(x)的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；(2) ∣f(x)−m∣<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】 160∘ 是钝角，所以 √1−sin 2160∘=∣cos160∘∣=−cos160∘=cos20∘=sin70∘．【知识点】同角三角函数的基本关系2. 【答案】B【解析】函数 y =sin (ωx +φ) 的两条相邻的对称轴的间距为 π2，所以 π2=πω，解得 ω=2，现将 y =sin (2x +φ) 的图象向左平移 π8 个单位后得到一个 g (x )=sin (2x +π4+φ) 为偶函数，则 φ+π4=kπ+π2(k ∈Z )，整理得 φ=kπ+π4(k ∈Z )，当 k =0 时，φ=π4．【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】B【解析】 y =cos (ωx +π3) 的图象向右平移 π3 个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为 y =cos [ω(x −π3)+π3]=cos (ωx −ωx 3+π3)，其图象与函数 y =sinωx =cos (ωx −π2+2kπ)，k ∈Z的图象重合．所以 −π2+2kπ=−ωπ3+π3，k ∈Z ，所以 ω=−6k +52，k ∈Z ，又 ω>0，所以 ω 的最小值为 52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】B【知识点】三角函数的图象变换5. 【答案】A【解析】因为 sinα+2cosβ=1，cosα−2sinβ=√2，两式平方相加可得sin 2α+cos 2α+4sin 2β+4cos 2β+4cosβsinα−4sinβ⋅cosα=3，所以 5+4sin (α−β)=3，即 sin (α−β)=−12．因为 −π2<α−β<π2，所以 α−β=−π6，即 α=β−π6．代入 sinα+2cosβ=1 可得 sin (β−π6)+2cosβ=1，所以√32sinβ+32cosβ=1，√3sin (β+π3)=1，则 sin (β+π3)=√33．故选A ．【知识点】两角和与差的正弦6. 【答案】A【解析】根据两角差的余弦公式，得 a =cos45∘cos17∘+sin45∘sin17∘=cos28∘，根据倍角公式，得 b =cos26∘，c =√32=cos30∘，因为 26∘<28∘<30∘，所以 cos30∘<cos28∘<cos26∘，即 c <a <b ，故选A ．【知识点】两角和与差的余弦、二倍角公式7. 【答案】C【知识点】任意角的概念8. 【答案】A【解析】因为 0≤α≤π，可得 −π2≤α−π2≤π2，又 sin (α−π2)=√32，所以 α=5π6，所以 tan (π−α)=tan π6=√33．故选：A ．【知识点】诱导公式、同角三角函数的基本关系9. 【答案】D【解析】因为 y =−xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A ，C 项；当 x ∈(0,π2) 时，y =−xcosx <0，所以排除B项．【知识点】余弦函数的图象、函数图象10. 【答案】D【解析】因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以点P(sinα,cosα)在第四象限．【知识点】任意角的三角函数定义二、填空题（共6题）11. 【答案】1−√52【解析】因为a2−2ab+5b2=4，所以(a−b2)2+b2=1，令a−b2=cosθ，b=sinθ(0≤θ<2π)，所以a=2cosθ+sinθ，所以ab=(2cosθ+sinθ)sinθ=sin2θ−12cos2θ+12=√52sin(2θ−φ)+12.（其中cosφ=2√55）所以当sin(2θ−φ)=−1时，ab取得最小值1−√52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】2sin(2x−π3)【解析】将函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，所得函数g(x)=Asin(ωx+π3ω+φ)，由g(x)图象可得A=2，T4=π12−(−π6)=π4，所以T=π，所以ω=2πT =2ππ=2，所以g(x)=2sin(2x+2π3+φ)，代入(−π6,0)得：g(−π6)=2sin(π3+φ)=0，π3+φ=kπ，k∈Z，当k=0时，φ=π3符合∣φ∣<π2，故f(x)=2sin(2x−π3)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】cosα；2sinα；sinα【知识点】同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦14. 【答案】−1【解析】原式=sin(3π2+α)cos(π2−α)sin(π2−α)sinα=(−cosα)⋅sinαcosα⋅sinα=−1.【知识点】诱导公式15. 【答案】−3+2√2【解析】因为tan2θ=−2√2，所以2tanθ1−tan2θ=−2√2．解得tanθ=√2或tanθ=−√22．因为π2<2θ<π，所以π4<θ<π2，所以tanθ>0，所以tanθ=√2，所以原式=√2(√22cosθ+√22sinθ)=cosθ−sinθcosθ+sinθ=1−tanθ1+tanθ=√21+√2=−3+2√2.【知识点】二倍角公式16. 【答案】 π6 ；2π3； −π3； −π6； −10π9； π ； 3π4； −5π12； 3π2； 0【知识点】弧度制三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意，知函数 f (x ) 的周期 T =2π，且 A =2，所以 ω=2πT=1，故 f (x )=2sin (x +φ)，将函数 f (x ) 的图象向左平移 π3 个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为 y =2sin (x +π3+φ)，因为函数 y =2sin (x +π3+φ) 的图象关于原点对称，所以 π3+φ=kπ(k ∈Z )，即 φ=kπ−π3(k ∈Z )，又 ∣φ∣<π2，所以 φ=−π3，故 f (x )=2sin (x −π3)．(2) 由（1）得函数 y =f (kx )+1=2sin (kx −π3)+1，其周期为 2π3，又 k >0，所以 k =2π2π3=3，令 t =3x −π3，因为 x ∈[0,π3]，所以t∈[−π3,2π3]．若sint=s在[−π3,2π3]上有两个不同的解，则s∈[√32,1)，所以当m∈[√3+1,3)时，方程f(kx)+1=m在x∈[0,π3]上恰有两个不同的解，即实数m 的取值范围是[√3+1,3)．【知识点】三角函数模型的应用18. 【答案】(1) 由题意知，A=60，b=70，T=6，所以ω=2π6=π3，易知当x=0时，sinφ=−1，因为φ∈[−π,π]，所以φ=−π2，所以y=60sin(π3x−π2)+70．(2) 令60sin(π3x−π2)+70≥100(0≤x≤6)，化简得sin(π3x−π2)≥12，所以π6≤π3x−π2≤5π6，解得2≤x≤4，故有2分钟的时间点P距离地面不低于100米．【知识点】三角函数模型的应用、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】(1) f1(x)=sin(x+π6)与f2(x)=sin(x+π3)加后是一个“A类波”，即：f1(x)+f2(x)=sin(x+π6)+sin(x+π3)=sinxcosπ6+cosxsinπ6+sinxcosπ3+cosxsinπ3=√3+12sinx+√3+12cosx=√6+√22sin(x+π4),由定义解析式f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以A=√6+√22．(2) 设 f 1(x )=Asin (x +φ1)，f 2(x )=Asin (x +φ2)，f 3(x )=Asin (x +φ3)，由 f 1(x )+f 2(x )+f 3(x )=0 恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得 (cosφ1+cosφ2+cosφ3)sinx +(sinφ1+sinφ2+sinφ3)cosx =0，易得 cosφ1+cosφ2+cosφ3=0, ⋯⋯①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0, ⋯⋯②由两式变型平方可得 cosφ1+cosφ2=−cosφ3；sinφ1+sinφ2=−sinφ3，两式左右完全平方相加可得 2+2cos (φ1−φ2)=1；cos (φ1−φ2)=−12，同理可得 cos (φ2−φ3)=−12；cos (φ3−φ1)=−12，所以 cos (φ1−φ2)cos (φ2−φ3)cos (φ3−φ1)=−18．【知识点】辅助角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】原式=(2cos 2α2+2sin α2cos α2)(sin α2−cos α2)√4cos 2α2=2cos α2(cos α2+sin α2)(sin α2−cos α2)2∣∣cos α2∣∣=cos α2(sin 2α2−cos 2α2)∣∣cos α2∣∣=−cos α2cosα∣∣cos α2∣∣.因为 180∘<α<360∘，所以 90∘<α2<180∘，所以 cos α2<0，所以原式=cosα．【知识点】半角公式21. 【答案】(1) 对于函数 f (x )=tan (π2x +π3)，它的最小正周期为 ππ2=2，令 π2x +π3≠kπ+π2，求得 x ≠2k +13，k ∈Z ，可得函数的定义域为 {x∣ x ≠2k +13,k ∈Z}．(2) 令 kπ−π2<π2x +π3<kπ+π2，求得 2k −53<x <2k +13，可得函数f(x)的增区间为(2k−53,2k+13)，k∈Z，此函数没有减区间．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) 因为f(x)=[1−cos(π2+2x)]−√3cos2x=1+sin2x−√3cos2x=1+2sin(2x−π3).f(x)max=3，此时，因为2x−π3=π2+2kπ，所以x=512π+kπ(k∈Z)．(2) 因为x∈[π4,π2 ]，所以π6≤2x−π3≤2π3，即2≤1+2sin(2x−π3)≤3，所以f(x)max=3，f(x)min=2．因为∣f(x)−m∣<2⇔f(x)−2<m<f(x)+2，x∈[π4,π2 ]，所以m>f(x)max−2且m<f(x)min+2，所以1<m<4，即m的取值范围是(1,4)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

人教A版必修1 第5章三角函数单元测试卷(解析版)

第5章三角函数单元测试卷一、选择题（共9小题）.1．已知sin x cos y＝，则cos x sin y的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣1，1]2．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若，且，则f（x）取最大值时x的值为（）A．B．C．D．3．已知A是函数f（x）＝sin（2018x+）+cos（2018x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．4．若函数f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g （x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（）A．B．C．3πD．4π5．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|＜）的图象的对称轴完全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（）A．最大值为3B．在（）单调递减C．（）是它的一个对称中心D．x＝﹣是它的一条对称轴6．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]7．定义运算＝ad﹣bc、若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．8．函数y＝x cos x+sin x的图象大致为（）A．B．C．D．9．函数y＝sin x2的图象是（）A．B．C．D．二、填空题10．已知2sinθ﹣cosθ＝1，则＝．11．将函数f（x）＝a sin x+b cos x（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则＝．12．已知函数f（x）＝4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）＝．13．若0，﹣＜β＜0，cos（）＝，sin（+）＝，则cos （2α+β）＝．14．定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是．三、解答题15．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x）．（1）求证：tan（α+β）＝2tanα；（2）求f（x）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．16．已知函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+．（1）求的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．参考答案一、选择题（共9小题，每小题0分，满分0分）1．已知sin x cos y＝，则cos x sin y的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣1，1]【分析】由题意可得﹣1≤sin（x+y）≤1，sin（x+y）＝+cos x sin y，由此求得cos x sin y 的取值范围．再根据﹣cos x sin y＝sin（x﹣y），且﹣1≤sin （x﹣y）≤1，求得cos x sin y 的范围，再把这两个范围取交集，即得所求．解：由于﹣1≤sin（x+y）≤1，sin x cos y＝，sin（x+y）＝sin x cos y+cos x sin y＝+cos x sin y，再根据sin x cos y﹣cos x sin y＝sin（x﹣y），且﹣1≤sin （x﹣y）≤1，结合①②可得﹣≤cos x sin y≤故选：A．2．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若，且，则f（x）取最大值时x的值为（）A．B．C．D．【分析】由，可知函数关于x＝对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n，然后结合，可求f（x）的表达式，进而可求解：∵f（x）＝sin（2x+φ），满足，函数关于x＝对称，∴φ＝，n∈z，∵，∴f（x）取最大值时，2x＝，k∈z，故选：C．3．已知A是函数f（x）＝sin（2018x+）+cos（2018x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1﹣x2|的最小值，从而可得答案．解：f（x）＝sin（2018x+）+cos（2018x﹣），＝sin2018x+cos2018x+cos2018x+sin2018x，＝2sin（2018x+），又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，|x1﹣x3|的最小值为T＝，又A＝2，故选：B．4．若函数f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g （x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（）A．B．C．3πD．4π【分析】运用正弦函数的图象变换可得g（x）＝sin x，再由正弦函数的图象和性质，解方程可得所求和．解：函数f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），f（x）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，可得y＝sin（x﹣），函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点，可得x＝﹣3π+arcsin，﹣π﹣arcsin，arcsin，π﹣arcsin，2π+arcsin，4π﹣arcsin，故选：C．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|＜）的图象的对称轴完全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（）A．最大值为3B．在（）单调递减C．（）是它的一个对称中心D．x＝﹣是它的一条对称轴【分析】根据两个函数的对称轴相同求出ω和φ的值，结合三角函数的最值性，单调性，对称性分别进行判断即可．解：∵两个函数的图象的对称轴完全相同，∴两个函数的周期相同，即ω＝2，由2x﹣＝kπ+得x＝+，即f（x）的对称轴为x＝+，k∈Z，得kπ++φ＝mπ，∵|φ|＜，∴当m﹣k＝1时，φ＝π﹣＝，当＜x＜时，＜2x+＜，此时f（x）不单调，故B错误，g（x）的对称轴为x＝+，k∈Z，则当k＝﹣1时，对称轴为x＝﹣+＝﹣，故D正确，故选：D．6．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2]【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[﹣，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．解：函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，∴，k∈Z∵ω＞0，故选：B．7．定义运算＝ad﹣bc、若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．【分析】根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α＜，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β＝[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ＝sin（α﹣β）＝．又∵cosα＝，∴sinα＝．＝×﹣×＝，故选：D．8．函数y＝x cos x+sin x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解：因为函数y＝x cos x+sin x为奇函数，所以排除选项B，由当x＝时，，由此可排除选项A和选项C．故选：D．9．函数y＝sin x2的图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断选项即可．解：函数y＝sin x2是偶函数，排除A、C，当x2＝，即x＝时，函数取得最大值6，因为，x＝时，y＝sin≈sin2.5≈0.04，故选：D．二、填空题10．已知2sinθ﹣cosθ＝1，则＝0或2．【分析】由已知结合同角平方关系可求sinθ，cosθ，代入即可求解．解：由题意可得2sinθ﹣1＝cosθ，两边同时平方可得，4sin8θ﹣4sinθ+1＝cos2θ＝1﹣sin2θ，∴sinθ＝0，cosθ＝﹣1，或sinθ＝，cosθ＝，或sinθ＝，cosθ＝，则＝2．故答案为：0或2．11．将函数f（x）＝a sin x+b cos x（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则＝．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：因为f（x）＝a sin x+b cos x（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移单位长度，得到偶函数图象，所以，所以．故答案为：12．已知函数f（x）＝4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）＝﹣2．【分析】首先根据题意易得函数是为奇函数，根据奇函数性质可以求出φ，再结合与x 轴任意交点之间距离的最小值为1，则半个周期为1，进而求出ω，从而求出f（x）的解析式，进而求出f（）＝﹣2．解：∵函数f（x）＝4cos（ωx+φ）为奇函数，且0＜φ＜π，则f（0）＝4cosφ＝8，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，则，∴，则．故答案为：﹣2．13．若0，﹣＜β＜0，cos（）＝，sin（+）＝，则cos （2α+β）＝．【分析】利用两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sinβ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosβ的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵cos（）＝（cosα﹣sinα）＝，可得：cosα﹣sinα＝，①∴两边平方可得，1﹣sin2α＝，解得：sin2α＝，∴由①②解得：cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝，∴cos（6α+β）＝cos2αcosβ﹣sin2αsinβ＝×﹣×（﹣）＝．故答案为：．14．定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是[]．【分析】首先利用函数的定义域求出ωx﹣，进一步利用函数的零点和值域建立，最后求出ω的范围．解：由于x∈[0，π]时，所以ωx﹣．所以，所以ω的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题15．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x）．（1）求证：tan（α+β）＝2tanα；（2）求f（x）的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简条件可得4cos（α+β）sinα＝2sin（α+β）cosα，从而证得要证得等式成立．（2）由条件根据tanβ＝tan[（α+β）﹣α]，利用两角差的正切公式，求得函数f（x）的解析式．（3）利用条件可得0＜α＜，tanα∈（0，），即x∈（0，），由此求得函数f （x）＝＝，利用基本不等式以及函数的单调性，求得函数f（x）的值域．解：（1）证明：∵sin（2α+β）＝3sinβ，∴sin[（α+β）+α]＝3sin[（α+β）﹣α]，展开可得sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝4sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα，（2）∵tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x），即函数f（x）的解析式y＝f（x）＝．则函数f（x）＝＝≤＝，当且仅当x＝时，取等号．当x趋于零时，f（x））＝趋于2，当x趋于时，f（x））＝趋于，故函数f（x）的值域为（0，]．16．已知函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+．（1）求的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）直接利用平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的值域和恒成立问题的应用求出结果．解：（1）＝＝，所以．（2），所以，整理得，所以实数c的取值范围为．17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．【分析】（1）利用函数的图象和关系式的变换的应用求出函数的解析式，进一步求出函数的最小正周期和对称中心．（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和利用函数的额＝的定义域求出函数的值域．解：已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（其中A＞0，ω＞0，﹣＜ϕ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，所以：周期T＝π，且图象上一个最低点为M，所以：f（x）＝2sin（2x﹣），解得：x＝（k∈Z），（2）函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin（4（x+）﹣）＝2cos4x的图象，故：，所以：﹣1≤g（x）≤4．。