空间解析几何与向量代数知识分享
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
高等数学向量代数与空间解析几何总结 ppt课件
( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
高等数学——空间解析几何与向量代数
练 习 题
一、填空： 1 、向量是_________的量； 2 、向量的___________叫做向量的模； 3 、___________的向量叫做单位向量； 4 、_____________的向量叫做零向量； 5 、与_____无关的向量称为自由向量； 6 、平行于同一直线的一组向量叫做 _________ ，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________； 7、两向量___________，我们称这两个向量相等； 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 构成____________；
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点，坐标面上的点，
各卦象的点， z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
M ( x, y, z )若直线段落AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分， 则端点 A 的坐标为_________， 端点 B 的坐标为_________ .
二、在 yoz 面上，求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) ， B( 4 ,2 ,2 ) 和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则） （三角形法则）
b
c
a
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
空间解析几何和线性代数资料
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i
(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
第1章 向量代数与空间解析几何内容小结
m
n
p
（3）参数方程：若设 x x0 y y0 z z0 t,
m
n
p
则直线的参数方程为
x y
x0 y0
mt nt
．
z z0 pt
2.直线与直线、直线与平面的夹角
两直线的方向向量所成的不超过 的夹角称为两直线的夹角．直线和它在平面上的投 2
运算律：
○① 交换律 a b b a ；
○② 与数乘结合律 (a) b a (b) (a b) ；
○3 分配律 (a b) c a c bc ．
两向量夹角公式：设 a ax , ay , az ， b bx ,by ,bz ， ( a 0, b 0) ，则
曲线
f
x,
y
0
绕 y 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x2 z2 , y
0；
z0
曲线
f
x,
z
0
绕 x 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x,
y2 z2
0；
y0
曲线
f
x,
z
0
绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
若点 A 的坐标为 (x1, y1, z1) ，点 B 的坐标为 (x2, y2, z2 ) ，则 AB 的分解表示为 AB axi ay j azk ，
AB 的坐标表示为 AB ax , ay , az ，
其中 ax x2 x1, ay y2 y1, az z2 z1分别为 AB 在 x, y, z 轴上的投影． i, j, k 分别为 沿 x, y, z 轴正向的单位向量，它们称为空间直角坐标系的基本单位向量．
微积分下册知识点
微积分（下）知识点微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a = ,),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ;2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅ 1)2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b a微积分（下）知识点 z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2)b a //⇔0=⨯b a zy x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面: yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面:1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面:1222222=-+cz b y a x 4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x 5） 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+by a x 8） 双曲柱面：12222=-by a x 9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程 1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量:),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程:1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域,内点，外点，边界点，聚点,开集，闭集，连通集,区域，闭区域，有界集，无界集.2、 多元函数:),(y x f z =，图形：3、 极限：A y x f y xy x =→),(lim ),(),(00 4、 连续:),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y xy x =→5、 偏导数： xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l 的方向角.7、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。
向量代数与空间解析几何(11)
21,
cos
1 2
,
cos
22;
2
3
,
3
,
3
4
27
例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.
解: AB = {3, 1, 2} |AB| 32 12 (2)2 14
a AB { 3 , 1 , 2 } | AB | 14 14 14
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
37
数量积的坐标表达式
a
b
|
a
||
b
|
cos
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
38
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算 方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的件。
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
高等数学向量代数与空间解析几何总结
{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
空间解析几何与向量代数知识讲解
空间解析几何与向量代数论文空间解析几何与向量代数呼伦贝尔学院计算机科学与技术学院服务外包一班2013级2014.5.4小组成员：宋宝文柏杨白鸽李强白坤龙空间解析几何与向量代数摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。
向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。
关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数第一节：向量一.向量的概念：向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。
表示法：有向线段a或a 。
向量的模:向量的打小，记作|a|。
向径（矢径）：起点为原点的向量。
自由向量：与起点无关的向量。
单位向量：模为1的向量。
零向量：模为0的向量，记作.0或0若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b；若向量a与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a的负向量，记作-a；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。
若K 3个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。
二.向量的线性运算1.向量的加法平行四边形法则：a三角形法则：a +b ba运算规律：交换律a +b =b +aa与b结合律：（a +b ）+c =a+（b +c ）三角形法则可推广到多个向量相加。
2.向量的减法b -a =b +（a ）ab -ab b -a a特别当b =a 时，有a -a =a （a）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b|；3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a。
规定： a 与a 同向时，|a |=|a|； 总之：|a | | |a|三.向量的模、方向角1.向量的模与两点间的距离公式设r（x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or由勾股定理得： |r | |OM|BA对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积一.两向量的数量积引例：设一物体在常力F 作用下，沿与力为夹角的直线移动，位移为S ，则力F 所做的功为W|F | |S |1.定义：设向量b ，a 的夹角为，称|a ||b | b a 为b 与a的数量积（点积）。
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。
以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
空间解析几何知识点
， ， }
二、向量的运算
定义
坐标表示
备注
向量的数量积
向量的向量积
方向与 、 都垂直，且 、 与 成右手系
=
与 平行
三、几类常见的二次曲面及其标准方程
曲面名称
方程
旋转曲面
曲线 绕 轴旋转构成
绕 轴旋转构成
球面
，半径 ，球心
椭球面
， 为椭球面的半径
圆柱面
， ，
椭圆柱面
， ，
抛物柱面
， ； ， ； ， （ 为正数）
空间解析几何知识点
第七章空间解析几何与向量代数
一、向量的有关定义和性质
定义
坐标表示
备注
向量
（矢量）
具有大小和方向的量
将 的起点放原点，其终点坐标为 ，则 =
=
①向量：
②零向量：
③设
，
则
向量
的模
向量的大小（或长度）
设 ， 则
向量的方向余弦
设 与三坐标轴正向的夹角为 、 、 ，则 、 、 为 的方向余弦
五、直线的表示
方程的形式
相关系数的意义
参数式方程
为直线上一点， 为直线的方向向量
标准方程（对称式）
同上
一般式方程
直线的方向向量为
两点式方程
， 为直线上两点，直线的方向向量为
双曲柱面
， ， （ 为正数）
圆锥面
，由直线 或 绕 轴旋转而成
椭圆抛物面
， ， （ 为正数）
双曲抛物面
， ， （ 为正数）
单叶双曲面
， ，
双叶双曲面
，
四、平面的表示
方程的形式
相关系数的意义
空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算7.1-1 向量概念称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r，向量a 的模通常表示为|a |或a r．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r−b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称−b 为b 的相反向量．在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu rAB uuu r AB uuu r|=AB .空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．7.1-2 向量的线性运算1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为向量a 与b 的和向 量，记为a +b ；或以向量a 的终点作为向量b 的起点，则由a 的 起点到b 的终点的向量亦是a 与b 的和向量．1在力学中，求作用在同一质点的两个不同方向力F 1,F 2的合 力F 时，所采用的平行四边形法则或三角形法则．推广 任意有限个向量相加．如图所示，OD 就是四个向量 a ,b ,c ,d 的和向量，即ba a +b +c +dcdOD =a +b +c +d ．在求多个向量的和向量时，采用首尾相接方法，显然要优于平行四边形法．向量的减法a -b ，实际上是a 与b 的负向量的和，因此从减 向量终点连向被减向量终点的向量，就是差向量a -b ；或者说差 向量是以a 和b 为邻边作平行四边形的反对角线向量．显然对于任何向量a 都有 a +0=a 向量的加法满足以下运算律：①交换律 a +b =b +a ；②结合律(a +b )+c =a +(b +c )=a +b +c ．2．向量与数的乘法设λ为一实数，向量a 与λ的乘积记作λa ，规定它为满足下列条件的一个向量：(1)|λa | =|λ|⋅|a | ；(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向 相反；当λ=0或a =0时，则λa =0．例如，设a 为已知的非零向量，当λ分别取-2,21, 2时，向量λa 如图所示．特别地，当a ≠0， (1) (-1)⋅a =-a ，即a 的相反向量是原向量数乘-1的结果； (2)记与向量a 方向相同的单位向量为e a ，e a =||1a a ．向量与数的乘法满足以下运算律，其中设λ,μ为实数，a ,b 为向量：(1) 结合律λ(μa )= （λμ）a = μ(λa )；(2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb ． 例1 见课本.292P 定理 1 设向量, 则向量b 平行于0a ≠r r ra r 的充分必要条件是存在唯一的实数λ, 使得b a λ=r r. 证明(略)注: 定理1是建立数轴的理论依据.7.1-3 空间直角坐标系在空间取三条相互垂直且相交于原点的数轴——x 轴, y 轴和z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O -xyz ．一般在各数轴上的单位长度相同．把x 轴, y 轴放置在水平平面上，z 轴垂直于水平平面，并规定x 轴, y 轴和z 轴的位置关系遵循右手螺旋法则：让右手的 四个手指指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向转向y 轴的 正向，大姆指所指的方向为z 轴的正向．因此空间直角坐标系 也可以认为，是平面直角坐标系xOy 按右手法则，在原点添加 z 轴所得．在空间直角坐标系O -xyz 中，点O 称为坐标原点，简称原点；x 轴, y 轴, z 轴又分别称为横轴、纵轴、竖轴，三条数轴统称为坐标轴；由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，共 有xOy 、yOz 、zOx 三个坐标面； 三个坐标面把空间分隔成八 个部分，每个部分依次分别称为第一、第二直至第八卦限，其 中第一卦限位于x ,y ,z 轴的正向位置，第二至第四卦限也位于 xOy 面的上方，按逆时针方向排列；第五卦限在第一卦限的正下方，第六至第八卦限也在xOyx 如图所示，设M 为空间的任意一点，M 1为它在xOy平面上的正投影，设M 1在xOy 坐标系中的坐标为(x ,y )；过M 作z 轴的垂线，垂足R 在z 轴上的坐标为z ，这样点 M 就唯一地确定了一组三元有序数组(x , y , z )．反之，如果任给一组三元有序数组(x , y , z )，过xOy 平面上坐标为(x ,y )的点M 1作xOy 平面的垂线l ，过z 轴上坐标为z 的点R 作z 轴的垂直平面，可得与l 唯一的交点M ．称这样的三元 有序实数组(x ,y ,z )为点M 在该空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ,y ,z )或M =(x ,y ,z )，x ,y ,z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，也称为点M 坐标的x ,y 和z 分量．上述讨论也表明，在建立了空间直角坐标系后，就能在空间点M 与其坐标之间建立一一对应的关系．原点O 的坐标均为0，即O (0,0,0）；点M 在xOy 坐标面上⇔M =(x ,y ,0)；点M 在x 轴上⇔M =(x ,0,0)．类似可得其它坐标面或坐标轴上点的坐标特征．八个卦限内点的三个坐标均不为零，各分量的符号由点所在卦限确定．类似于平面直角坐标系下的情形，可以讨论关于坐标轴、坐标面、坐标原点对称的点的坐标关系．例如，与点(x , y , z )关于x 轴对称的点为(x , -y , -z )；与点(x , y , z )关于xOy 坐标面对称的点为(x , y , -z )；与点(x , y , z )关于原点对称的点为(-x , -y , -z )等．例1 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，以顶点A 为原点、过A 的三条棱为坐标轴，建立直角坐标系如图．求长方体各顶点、各个面的中心及长方体中心在该坐标系中的坐标．解 顶点坐标：A (0,0,0), B (a ,0,0), C (a ,b ,0), D (0,b ,0),A 1(0,0,c ),B 1(a ,0,c ),C 1(a ,b ,c ),D 1(0,b ,c )； 各面中心坐标：E 1(2a ,2b ,0), E 2(2a ,2b ,c ), E 3(2a ,0, 2c ), E 4(2a ,b ,2c ), E 5(a ,2b ,2c ), E 6(0,2b ,2c )；长方体中心F 坐标：F (2a ,2b ,2c )．#例2 正圆锥母线与中心轴成ϕ角，P 为锥面上一点，OP =l ；以圆锥顶点为原点、中心轴为z 轴建立坐标系，OP 1为OP 在xOy 坐标面上的正射影，从x 轴正向到OP 1的角为α．试用l , ϕ, α表示点P 的坐标．解 P 坐标的x ,y 分量与P 1在xOy 坐标系中的坐标 相同；OP 1=OP cos(2π-ϕ)=l ⋅sin ϕ，所以P 坐标的x ,y 分量x =l ⋅sin ϕcos α, y =l ⋅sin ϕsin α；P 坐标的z 分量是P 在z 轴上投影P 2的坐标，所以z =l ⋅cos ϕ．综合之，点P 坐标为(l ⋅sin ϕcos α, l ⋅sin ϕsin α, l ⋅cos ϕ)．#同时,如果取x 轴, y 轴和z 轴的单位为单位向量,,i j k r r r或i ,j , k ,则空间中的任意点M 可以看成是原点O 与M 的有向线段,即向量, 其对应于OM OM uuuu r xi y j zk =++uuuu r r rr ,得到向量OM 的坐标分解式, 其中uuuu r ,,xi y j zk r r r称为向量OM uuuu r 沿三个坐标轴方向的分向量.反之, 设在空间中已建立了直角坐标系O -xyz ，把已知向量a 的起点移到原点O 时，其终点在M ，即a =OM ． 称OM 为向径（或矢径），通常记作r ；称点M 的坐标 (x ,y ,z )为a 的坐标，记作a =(x ,y ,z )，即向量a 的坐标 就是与其相等的向径的终点坐标．这样在建立了直角坐标系空间中，向量、向径、坐标之间就有一一对应的关系． 若a =(x ,y ,z )，则|a |=222z y x ++ 例3 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的过顶点A 的三条棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，直角坐标系O -xyz 的x ,y ,z 轴依次平行于AB ,AD ,AA 1．求以A 和B 为始点的各对角线向量的坐标．解 如图所示，以A 为始点的对角线向量有1AB ,,1AD ,1AC ．1AB 对应的向径为2OB ，2OB =(a ,0,c )，所以1AB =(a ,0,c )；AC 对应的向径为2OC ，2OC =(a ,b ,0)，所以AC =(a ,b ,0)；同理可得1AD =(0,b ,c ), 1AC =(a ,b ,c )．以B 为始点的对角线向量有1BA ,BD ,1BD ,1BC ．1BA 对应的向径为2OA ， 2OA =(-a ,0,c )，所以1BA =(-a ,0,c )； 同理可得BD =(-a ,b ,0), 1BD =(-a , b , c ), 1BC =1AD = (0,b ,c )．#把向量a 的始点移到点M 时，终点在N ．若已知点M ,N 的坐标为(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)，则a =MN 对应向径OP 的终点P 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)，所以 a =(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)即向量坐标为终点坐标减去对应始点坐标．根据公式，立即得到空间两点距离公式：若M (x 1,y 1,z 1),N (x 2,y 2,z 2)，则|MN | =212212212)()()(z z y y x x −+−+−例4 已知向量a =AB =(-3,0,1)始点A 的坐标为(-3,1,4)，求终点B 的坐标．解 设B =(x ,y ,z )，则 =(x +3,y -1,z -4)=(-3,0,1)，所以x =-6,y =1,z =5，即B =(-6,1,5)．# 例5 求点M (x , y , z )到三条坐标轴的距离．解 设点M (x , y , z )在x 轴上的投影为点P ，则点P 为P (x ,0,0)，且线段MP 的长就是点M 到x 轴的距离．由公式得|MP |=()22222)0()0(z y z y x x +=−+−+−．同理可得，点M 到y 轴, z 轴的距离分别为|MQ |=22z x +，|MR |=22y x +，其中点Q , R 分别是点M 在y 轴、z 轴上的投影． #例6 在y 轴上求与点A (1,-3,7)和B (5,7,-5)等距离的点．解 因为所求的点在y 轴上，故可设它为M (0, y ,0)．根据题意有|MA |=|MB |，即()()()()()()2222220570507301−−+−+−=−+−−+−y y ，两边平方去根号，整理后得20y =40，从而有y =2．所以，所求的点M 的坐标为(0, 2, 0)．#7.1-4 利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标可得向量的加法,减法以及向量的数乘运算如下:在空间中已建立了坐标系O -xyz ．以O 为始点的三个单位向量i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)称为坐标基向量 a =(x ,y ,z )为已知向量，对应的向径为OM ．OM 在三个 坐标轴上的投影依次OP ,,OR ，则=x i , OQ =y j , =z k ，依次称这三个向量为向量a 关于x 轴、y 轴和z 轴的分量． a =OM =x i +y j +z k ，设 a =(x 1,y 1,z 1)=x 1i +y 1j +z 1k , b =(x 2,y 2,z 2)=x 2i +y 2j +z 2k ，则 a ±b =(x 1i +y 1j +z 1k )±(x 2i +y 2j +z 2k )=(x 1±x 2)i +(y 1±y 2)j +(z 1±z 2)k ，所以a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2, z 1±z 2)． λa =(λx 1,λy 1, λz 1). 例7 设a =(0,-1,2)，b =(-1,3,4)，求a +b ，2a -b ． 解 a +b =(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6)；2a -b =(2×0,2×(-1),2×2)- (-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0)．# 例8 设a =(1, 1,-2)，2a -3b =(-1,3,-4)，求b ．解 设b =(x ,y ,z )．则 (2×1,2×1,2×(-2))- (3x ,3y ,3z )=(2-3x ,2-3y ,-4-3z )=(-1,3,-4)，2-3x =-1, x =1；2-3y =3, y =-31；-4-3z =-4, z =0．所以 b =(1, -31,0)．#例9 设a =2i +3j +6k ，试求方向相反、长度为14的向量b ．解 e a =71(2i +3j +6k )， b =14(-e a )=-2(2i +3j +6k )= -4i -6j -12k ．#例2-3 见课本.296P 7.1-5 向量的模,方向角,投影向量的模: 若a =(x ,y ,z )，则|a |=222z y x ++ ;AB uuu r=212212212)()()(z z y y x x −+−+−例4-6 见课本.297298P − 方向角:1. 向量间夹角计算公式:非零向量a ,b 的夹角公式：(,)a b r r(,)a b r r=arccos ||||b a ba ⋅若已知向量a =a x i +a y j +a z k ,b =b x i +b y j +b z k ，则=arccos(,)a b r r222222zyxzyxz z y y x x bb b a a a b a b a b a ++⋅++++．2.向量的方向余弦的坐标表示非零向量a 与三条坐标轴的夹角α, β, γ称为向量a 的方向角，方向角的余弦cos α, cos β, cos γ称为向量a 的方向余弦． 如图所示，设向量a =(a x ,a y ,a z )，把a 的起点移到坐标原点O ，设它的终点为Ａ，则向量a 与三条坐标轴的夹角即为向 量OA 与三个坐标基向量i , j , k 的夹角．所以ka zcos α=||||i a i a ⋅⋅=222z y x xa a a a ++, cos β=||||j a j a ⋅⋅=222zy x ya a a a ++,cos γ=||||k a k a ⋅⋅=222zy x za a a a ++，即为向量的方向余弦的坐标表示式．比照向量单位化公式，可以发现，实际上向量a 的方向余弦就是a 的单位化向量e a 的坐标，因此任何向量的方向余弦必定满足关系式．1cos cos cos 222=++γβα例7-8 见课本.299P 向量在轴上的投影: 定义(略), 非零向量a 与三条坐标轴的夹角为α, β, γ , 则分别在三条坐标轴的投影为 ()cos ,()cos ,()cos x yz a a a a a a αβγ===r r r r r r .记作 Prj u a r.投影的性质: 见课本.300P 例9 见课本.300P [作业]: 习题7-1: 4, 6, 13, 15, 19.§7.2数量积 向量积 *混合积7.2-1 两向量的数量积1．向量的数量积的概念F 设有一个物体在常力F 的作用下沿直线运动，产生了位移S 力F 可以分解成在位移方向的投影F 1和垂直于位移方向的投影F 2两部分，仅F 1对位移作功．记θ为F 与S 的夹角，则力F 对位移 作功为W =|F ||S |⋅cos θ， (1)等式(1)的右端F 在S 方向上投影与S 模的积．这是两个向量F ,S 的一种运算，称为F ,S 的数量积或点积．(1)向量夹角设a ,b 为非零向量，将它们的起点都平移到同一点，那么表示a ,b 的两个线段所成的在0与π之间的角，称为量a ,b 的夹角，记为(a ,b )或(b ,a )；若(a ,b )=2π，则称a ,b 垂直，记作a ⊥b ；0与任何向量夹角无意义；向量与坐标轴的夹角就是向量与轴正向所成的角．(2)向量的数量积定义 设a ,b 是两个向量，它们的模|a |,|b |及夹角的余弦cos(a ,b )的乘积，称为向量a 与b 的数量积(或称点积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |⋅cos(a ,b )向量的数量积是一个数量，它由两个因子构成，第一因子是向量a 在向量b 方向上投影向量的模|a |⋅cos(a ,b )；第二因子则是向量b 的模|b |．因此向量的数量积实际上是一个向量在另一个向量上的投影积．由向量的数量积的定义，立即可得三个坐标基向量i ,j ,k 之间的数量积关系为 i ⋅i =j ⋅j =k ⋅k =1；i ⋅j =i ⋅k =j ⋅i =j ⋅k =k ⋅i =k ⋅j =0． 数量积有以下运算性质：①a ⋅a =|a |2, (a ⋅a 允许简写成a 2)；②a ⋅0=0，其中0是零向量；③交换律：a ⋅b =b ⋅a ；④结合律：(λa )⋅b =a ⋅(λb )=λ(a ⋅b )，其中λ是任意实数；⑤分配律：(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．例 已知(a , b )=π32，|a |=3,|b |=4，求向量c =3a +2b 的模．解 |c |2=c ⋅c =(3a +2b )⋅(3a +2b )=3a ⋅(3a +2b )+2b ⋅(3a +2b )=9a ⋅a +6a ⋅b +6b ⋅a +4b ⋅b =9a 2+12a ⋅b +4b 2=9a 2+12|a ||b |cos(a ,b )+4b 2，将|a |=3,|b |=4, (a , b )=π32代入，即得|c |2=9×32+12×3×4cos π32+4×42=73，所以，|c |=|3a +2b |=73．#2 数量积的坐标表示式设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ． a ·b = (a x i +a y j +a z k )·(b x i +b y j +b z k )=a x i ·(b x i +b y j +b z k )+ a y j ·(b x i +b y j +b z k )+ a z k ·(b x i +b y j +b z k )即 a ·b =a x b x +a y b y +a z b z例 设a =2i +3j -k ，b =i -j +k ，求a ·b , a 2, (2 a )·(2b )． 解 a ·b =(2,3,-1)·(1,-1,1)=2×1+3×(-1)+(-1)×1=-2； a 2=22+32+(-1)2=14；(3a )·(2b )=(6,9,-3)·(2,-2,2)=6×2+9×(-2)+(-3)×2=-12．#例1-3 见课本.303305P −7.2-2 向量的向量积1.向量的向量积概念陀螺就在原地旋转，并不移动，能量表现在有一种垂直向上或向下的力，使陀螺保持直立不倒．(1)向量积的定义定义 两向量a 与b 按例方式确定一个向量c ，(1)c ⊥b 且c ⊥a ，即c 垂直于向量a ,b 所决定的平面， 且按a ,b ,c 顺序构成右手系；(２)c 的模|c |=|a ||b |sin(a ,b )．则称向量c 为a ,b 的向量积，记作a ×b ．即c =a ×b ．因为向量积的运算符号是‘×’，故也直观地称叉积． 向量积的模的几何意义，表示以向量a 与b 为边所 构成的平行四边形的面积．向量积有以下运算性质：(1)a ×a =0；(2)a ×0=0，其中0是零向量； (3)b ×a =-a ×b ；(4)数乘结合律：（λa ）×b =a ×(λb )= λ（a ×b ）， 其中λ是任意实数；(5)左、右分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c ； a ×(b +c )=a ×c +a ×b ．性质(3)说明，向量的向量积不满足交换律．如任意两个基向量的向量积， i ×j =k , j ×k =i , k ×i =j ，而j ×i =-k , k ×j =-i , i ×k =-j ．分配律有左右之分：使用左分配率的向量只能在‘×’的左边；使用右分配率的向量则只能在‘×’的右边．结合律只能是对实数的结合，向量本身也不成立结合律，例如(a ×b )×c 与a ×(b ×c )一般是两个不同的向量． 2．向量积的坐标表示式设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ，根据向量积的运算律，有a ×b =( a x i +a y j +a z k )×(b x i +b y j +b z k )=a x i ×(b x i +b y j +b z k )＋a y j ×(b x i +b y j +b z k )＋ a z k ×(b x i +b y j +b z k )=(a y b z -a z b y )i -(a x b z -a z b x )j +(a x b y -a y b x )k ．此即向量积的坐标表示式．为了便于记忆，把上述结果写成三阶行列式形式，然后按三阶行列式展开法则，关于第一行展开，即i j ka ×b = =i -j + k ． 例 设a =-i +2j -k ，b =2i -j +k ，求a ×b ．解a ×b = = i - j + k =i - j -3k ．#例设已知点A (1,-2,3), B (0,1,-2)及向量a =(4,-1,0)，求a ×AB 及AB ×a ． 解 =(0-1)i +[1-(-2)]j +(-2-3)k =-i +3j -5k ，a ×AB =i -j +k =5i +20j +11k ；AB ×a =-j -11k ．#例 已知三点A (1,0,0),B (-1,1,4),C (2,5,-3)，求以这三点为顶点的空间三角形的面积S ． 解 AB =(-1-1, 1-0, 4-0)=(-2,1,4)；AC =(2-1, 5-0, -3-0)=(1,5,-3)，a a x a y zb x b y b za y a z a x a z a x a yb x b yb y b z b x b z i j k-1 2 -12 -1 12 -1 -1 1 -1 -1 2 1-1 2 2 -1-1 0 3 -5 4 0 4 -1-1 3-1 -5所以i j k AB ×AC = =i -j +k =-23i -2j -11k ；|AB ×AC |=654)11()2(23222=−+−+． S =79.12265421≈=S ．# 7.2-3 向量的关系及判断1.向量垂直及其判定若非零向量a ,b 的夹角(a ,b )=90°，则称向量a ,b 垂直，且记作a ⊥b ．当a ⊥b ，据(9-8)立即可得a ⋅b =|a ||b |⋅cos (a ,b )=0；反之，若a ⋅b =0且a ,b 为非零向量，则必定有cos (a ,b )=0，(a ,b )=90°，即a ⊥b ．由此可得 定理1 两个非零向量a ,b 垂直 ⇔ a ⋅b =0． 定理1以坐标形式如下：定理1′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ，a ,b 垂直 ⇔ a x b x +a y b y +a z b z =0．(9-13)2．两个向量平行及其判定若把向量a ,b 的始点移到同一点后，它们的终点与始点都位于同一条直线上，则称两个向量平行，记作a ∥b ．规定零向量0平行于任何向量．平行向量也称共线向量，如图所示，a ∥b , a ∥c ，也可以说 a ,b ,c 是共线的．共线向量的方向或相同或相反，但模可以不等．定理2 a ∥b ⇔ 存在实数λ使 a =λb ． (9-14) 定理2的坐标形式如下：定理2′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ．为两个非零向量，则a ∥b ⇔zzy y x x b a b a b a ==． (9-15)其中若分母某坐标分量为0，则分子对应坐标分量也为0． 又若a ∥b ，则(a ,b )=0或π，由此sin (a ,b )=0． 定理3 两个非零向量a ∥b ⇔ a ×b =0．例试判定下列向量中哪些是平行的，哪些是垂直的？)2,2,2()2,1,1(),1,1,1()1,1,0(),0,1,1(54321−−=−−=−=−=−=a a a a a 解 ∥5352a a a 所以−=3a 4151314151310a a a a a a a a a a a a ⊥⊥⊥=⋅=⋅=⋅，，，所以 #例 求同时垂直于向量和)1,2,2(=a )3,5,4(=b 的单位向量于和c .解 a ×b 同时垂直a 和b ，a ×b=i-2j+2k所求单位向量有两个，即)22(31)22(2)2(11222k j i k j i b a b a c +−±=+−+−+±=××±=.# -2 1 41 5 -31 4 5 -3-2 41 -3-2 11 5b •ac •••7.2-4 *向量的混合积(略)[作业]: 习题7-2: 1, 2, 7, 9.§7.3 曲面及其方程7.3-1 曲面方程的概念球面，是空间中到定点M 0(球心)的距离为常数R (半径)的动点M 的轨迹Σ.若已经建立了空间直角坐标系O-xyz ，M 0的坐标为(x 0,y 0,z 0)，动点M 的坐标为(x ,y ,z )，则据空间两点距离公式，有M (x ,y ,x )∈∑ ⇔ (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2, (*)或 Σ={(x ,y ,x )|(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2}．(*)式称为是球面∑在给定坐标系中的方程，简称球面方程．特别地，当定点M 0是原点时，球面方程是 x 2+y 2+z 2=R 2．一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹Σ．在建立了坐标系后，以M (x ,y ,z )表示动点,以F (x ,y ,z )=0 (1)表示构成Σ的约束条件，则称x ,y ,z 的三元方程(1)为曲面∑O • xM 0•RM的方程.在坐标系中描出满足(1)的点，得到的就是曲面Σ的图 象．例如,描出满足(*)的点，得到的是图中所示的球面． 空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面：(1)据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程；(2)已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质． 1.球面的一般方程例 方程x 2+y 2+z 2-4x +2z =0表示怎样的曲面？解 通过配方，把原方程写成(x -2)2+y 2+(z +1)2=5，由(9-35)可知该方程表示球心为(2,0,-1）、半径为5 的球面． #推广例到一般情况，方程A (x 2+y 2+z 2)+Dx +Ey +Fz +G=0 (2)总可以通过配方成为(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=H 的形式，如果H >0，则满足(2)的点表示球面，因此称(2)为球面的一般方程． 例2-3见课本.311312P −Γ7.3-2．旋转曲面(1)旋转曲面的一般定义.ΣL若动点在曲线Γ上移动，同时曲线Γ又绕定直线L 旋转(简称曲线Γ绕一条定直线L 旋转一周)，称这样的动点所形成的轨迹Σ为旋转曲面．称曲线Γ为旋转曲面的母线，称定 直线L 为旋转曲面的轴．例 (1)求xOy 平面上的直线Γ：x =R 绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程； (2)求xOy 平面上的圆Γ：x 2+y 2=R 2绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程． 解 (1)点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(R ,y 1,0)通过Γ绕y 旋转得到．设P 为M , M 0 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ R=|PM 0|=|PM |=22z x +．x• M 0R•• P • OM 所以Σ 的方程为x 2+z 2=R 2．(2)点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转 得到 ⇔ 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系：设P 为M 0,M 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）所以 |x 0|=|PM 0|=|PM |=22z x +(．因为M 0∈Γ，=R 220y x +2， x zO•M PM 0于是 M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ (22z x +)2+y 2=R 2，即x 2+y 2+z 2=R 2． 所以Σ的方程为x 2+y 2+z 2=R 2．#(2)一类特殊旋转曲面的方程把例作推广，考虑如下特殊情况：以xOy 坐标面上的曲 线f (x ,y )=0为母线Γ，绕y 轴旋转，得到旋转面Σ，求Σ的方程． 如图所示(旋转面Σ在第一卦限部分)，点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转得到⇔ 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系： 设P 为M 0,M 在在旋转轴y 轴上的投影，则|x 0|=|PM 0|=|PM |=22z x +,因为M 0∈Γ，f (x 0,y 0)=0，于是M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ f (±22z x +,y )=0． 所以Σ的方程为f (±22z x +,y )=0．由推导过程可见，旋转面Σ的三元方程可以直接从母线二元方程得到．其规律是：母线方程中旋转轴坐标y 不变，非旋转轴坐标x 变为除旋转轴坐标外另外两个坐标x ,z 平方和的正负方根，所得者即为Σ的方程．考虑用如下一类特殊的旋转面Σ：母线Γ在某坐标平面，旋转轴是该坐标面两根轴之一，通过类似的推导，Σ的方程都可从母线方程按上述相同的规律得到．具体结果如下表所列：z 轴f (±22y x +,z )=0f (±22y x +,z )=0Γ•zΓ： xM 0y =•• MP •例(@) 求出下列旋转曲面Σ的方程：(1)xOy 平面上的椭圆2222ay b x +=1绕x 轴和绕y 轴旋转； (2)xOz 平面上的抛物线x 2=az 绕对称轴旋转；(3)yOz 平面上的双曲线-2222a z b y +=1绕实轴和虚轴旋转；(4)xOy 平面上直线y =ax +b 绕x 轴和y 旋转．解 (1)绕x 轴、y 轴旋转所得旋转面的方程依次为22222az y b x ++=1, 22222ay b z x ++=1．称此曲面为旋转椭圆面．(2)绕对称轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程依次为x 2+y 2=az ．称此曲面为旋转抛物面． (3)绕实轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程为 -22222a z b y x ++=1，称此曲面为双叶旋转双曲面；绕虚轴(y 轴)旋转所得旋转面的方程为-22222az x b y ++=1，称此曲面为单叶旋转双曲． z(4)绕x 轴旋转所得旋转面的方程为±22z y +=ax +b ，即y 2+z 2=(ax +b )2x•• a ••baOx •O-bayzOb• y -ba• 是顶点在(-ab,0,0)的圆锥面；绕y 轴旋转所得旋转面的方程为y =±a 22z x ++b ，即(y -b )2=a 2(x 2+z 2)，它是顶点在(0,b ,0)的圆锥面．特别地，若b =0，即母线为经过原点的直线y =ax ，则绕x 或y 轴旋转而成的圆锥面的顶点都在原点，方程成为以x 轴为旋转轴：a 2x 2=y 2+z 2；以y 轴为旋转轴： y 2= a 2(x 2+z 2)．#ΓL7.3-3 柱面(1)柱面的一般定义.若动点在直线L 上移动，同时直线L 又沿定曲线Γ平行移动(简称动直线L 沿定曲线Γ平行移动)，称这样的动点所形成的轨迹Σ为柱面．定曲线Γ称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线．(2)一类特殊柱面的方程.考虑特殊的柱面Σ：准线Γ在xOy 平面上，母线L 平行于z 轴．设Γ在xOy 平面上的方程为F (x ,y )=0，则Γ在空间坐标系O-xyz 中考虑时,方程应为(3) .0,0),(==z y x F 因为母线L M Γ: 为准线,F (x ,y )=0．柱面；轴的柱面．例 (1)(x 解 线平行于y (2)，所以方程表示准线为xOy 平面的椭圆轴的O •y xaz bO(3)方程缺变量x ，所以方程表示准线为yOz 平面的抛物线 、母线平行于x 轴的,0,12=+−=z y z 抛物柱面，其图象为(4)方程缺变量y ，所以方程表示准线为xOz 平面的双曲线 ,0,12222==+−y a z b x 母线平行1O1••于y 轴的双曲柱面，其图象为yzO• • a b #7.3-4 二次曲面例如：(1)把例@(1)的三个平方项系数改为不同，成为方程1222222=++cz b y a x ,(a ,b ,c >0), (4)它的图象称为椭球面，任何平行于坐标面的平面去切割椭球面，只能交得椭圆或点． (2)把例@(2)的两个平方项系数改为不同，成为方程2222b y a x +=z (a ,b >0) (类似地还有2222b z a x +=y ，2222bz a y +=x ), (5) 它的图象称为椭圆抛物面.以垂直于一次项的坐标轴的平面去切割曲面，能得到交线的都是椭圆．x •• (3)把例@(3)的三个平方项系数改为不同，成为方程x)O a • •• 222222c z b y a x −+=±1或222222c z b y a x +−=±1 或222222c z b y a x ++−=±1 (a ,b ,c >0) , (6)等式右端取‘－’时的图象称为双叶双曲面，当以垂直于非相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，能得到交线的都是椭圆；等式右端取‘+’时的图象称为单叶双曲面，当以垂直于非c b za zy zO •相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，得到交线都是椭圆． (4)把例@(4)中b =0情况下的两个个平方项系数改为不同，成为方程2222b y a x +=z 2 或2222c z a x +=y 2 或2222c z b y +=x 2(a ,b >0). (9-39) 它的图象称为椭圆锥面，以垂直于等号右端项的坐标轴的平面 去切割曲面，得到交线都是椭圆或点．上述曲面公共特征，是他们的方程都是x ,y ,z 的二次方程．一般地，若其方程为x ,y ,z 的二次方程，则称它为二次曲面．可以证明，所有的二次曲面如果有意义，那么它的图象只有五类：椭球面、抛物面、双曲面(单叶或双叶)、锥面以及我们还没有学过的双曲抛物面(标准的方程形式为2222b y a x −=±z )，只是曲面的位置不那样规范． [作业]: 习题7-3: 1, 2, 5, 6, 7.§7.4 空间曲线及其方程7.4-1 空间曲线方程的概念及一般方程常见的空间曲线Γ，常常是由两张空间曲面Σ1： F 1(x ,y ,z )=0, Σ2：F 2(x ,y ,z )=0相交而成的，因此点 M (x ,y ,z )∈Γ ⇔ M (x ,y ,z )∈Σ1且M (x ,y ,z )∈Σ2 ⇔ M 的坐标(x ,y ,z )同时满足Σ1, Σ2的方程．所以的方程可以表示为.0),,(,0),,(21==z y x F z y x F 空间曲线的这种方程形式称为一般方程．例 方程组 表示怎样的曲线？3,25222==++z y 解 方程组表示球心在原点、半径为5的球面：x 2+y 2+z 2=52与平面z = 3的交线，它是在平面z = 3上圆心为(0,0,3)、半径为4的一个圆．#例 求球面x 2+y 2+z 2=(2R )2与圆柱面(x -R )2+y 2=R 2解 截交线的方程：．2222222)(,)2(R y R x R z y x =+−=++圆柱面过球心且其直径与球面的半径相等，得图象如图所示(图上仅画出了上半球面上的截交线)．这条 交线在数学上常称为维维尼曲线．#7.4-2．空间曲线的参数方程例 在一张透明的矩形纸上有一条与底边成θ角的直 线L ，现在把它卷成半径为R 的圆筒，若忽略纸的厚度， 则矩形成为直圆柱面，L 成为绕卷圆柱面上的曲线．称此曲线为等距螺线，称θ为螺旋角，它的特征a• b• O xΣ1Σ2ΓOO• 2R •是相邻两圈之间等距为b =2πR ⋅tan θ．称b试求等距螺线的方程．解 如图建立坐标系，其中的x 轴 经过L 与矩形底边交点．任取螺旋线上 一点M (x ,y ,z )，M 在xOy 面上的投影为 M 1，从x 轴正向到OM 1转过的角度为t ， 则z =M 1M =b t⋅π2=(R ⋅tan θ)t ，x =R cos t , y =R sin t ．M (x ,y ,z )的坐标满足方程，那么M 必定在螺旋线上．由此得到等距螺线的方程是x =R cos t ,y =R sin t , (t ≥0) (*) z =(R ⋅tan θ)t ，所得到的方程与曲线的一般式不同，它含有一个参数t ，因此称为等距螺线的参数式方程．#曲线从本质上来说是一维图形，即曲线上任何一点，如果确定了一个坐标，另外两个坐标也就跟着被确定了，也就是说它只有一个自由度．这个本质决定了如果它的方程用参数表示，那么参数就只能有一个．因此曲线参数方程的一般形式应该是x =x (t ),y =y (t ), (α≤t ≤β)．(**) z =z (t )，例 求参数方程,2sin 1,sin cos ,sin cos t z t t y t t x −=−=+=所表示的曲线Γ． 解 前两个方程两边平方相加得 x 2+y 2=2；又 y 2=1-2cos t sin t =1-sin2t =z ， 所以曲线方程又能写成．z y y x ==+222,2x参数方程表示的曲线Γ是圆柱面x 2+y 2=2与抛物柱面y 2=z 的交线．其图象如图所示.#7.4-3. 空间曲线在坐标面上的投影(1)空间曲线在坐标面上的投影曲线.在例中，xOy 平面上的圆x 2+y 2=2，是以Γ为准线、母线于平行z 轴的柱面与坐标面xOy 的截交线，这条截交线称为Γ在xOy 面上的投影曲线；同理，yOz 平面上的曲线y 2=x 则是以Γ为准线,母线于平行x 轴的柱面与坐标面yOz 的截交线，这条截交线称为Γ在yOz 面上的投影曲线．得到了曲线在坐标面上的投影曲线，不但可以加强曲线的直 观形象，而且也有助于了解曲线变化范围．O 22••L xΣx对一般的空间曲线Γ，以Γ准线，作母线平行于z 轴的柱面Σz ，称Σz 与xOy 平面的交线L z 为Γ在xOy 平面上的同样曲线(简称投影)，称柱面Σz 为Γ关于xOy 面上的投影柱面(图)．类似地，若柱面的母线平行于x 轴或y 轴，得到的是Γ在yOz 平面或xOz 平面上的投影L x ,L y 及相应的投影曲面Σx , Σy ．(2)从曲线的一般方程求投影曲线的方程为了求出空间曲线Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要能把Γ表示成方程0),,(,0),(==z y x g y x f (1)就行了．因为方程f (x ,y )=0表示母线平行于z 轴的柱面Σz ，这样就把Γ表示成了Σz 与另一个曲面g (x ,y ,z )=0的交线，Σz 正好是Γ关于坐标面xOy 的投影柱面，因此,0),(==z y x f ． 即为Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程．因此以对以一般方程),,(,0),,(==z y x G z y x F (2)给出的空间曲线Γ，为了求得它在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要作等价变换，在(2)的两个方程之一中消去z ，使之成为形式(1)．同理，若在(2)的两个方程之一中消去x 或y ，使之成为形式0),,(,0),(==z y x g z y f 或 0),,(,0),(==z y x g z x f ，那么 0,0),(==x z y f ， 0,0),(==y z x f 就依次是Γ在yOz 平面上的投影L x 和Γ在xOz 平面上的投影L y 的方程的方程．例 求曲面4z =2x 2+y 2与平面x -z =0的交线Γ，在xOy 平面上的投影曲线L z 和yOz 平面上的投影曲线L x 的方程．解 Γ的方程为2224,0y x z z x +==−． 为了求得L z 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去z ．为此，把第一个方程的z =x代入第二个方程，得4x =2x 2+y 2，即2(x -1)2+y 2=2 或 (x -1)2+22y =1，所以Γ的方程可写为 12)1(,022=+−=−y x z x ．由此可得L z 的方 程为012)1(22==+−z y x ．这是xOy 平面上的一个椭圆 ． 为了求得L x 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去x ．为此，把第一个方程的x =z 代入第二个方程，得4z =2z 2+y 2，即2(z -1)2+y 2=2 或 (z -1)2+22y =1，22 •L x• 1•O •所以Γ2以2x 2+y 2=#21• • 例4-5见课本.323324P −[作业]: 习题7-4: 1(1), 2, 4, 5(1), 6.§7.5 平面及其方程7.5-1 平面的点法式方程称垂直于平面α的非零向量N 为α的法向量．一个平面的法向量可以有无限多个，他们互相平行．在空间给定一点M 0和向量N ，要求平面α过M 0(因此平面不能移动)、且以N 为法向量(因此平面不能转动)，那么平面α 就唯一被确定了．如图所示，设点M 0坐标为(x 0,y 0,z 0)，N =(A ,B ,C )， 把N 平移到以M 0为始点,则有 点M (x ,y ,z )∈平面α ⇔0M M uuuuu u r⊥N ⇔0M M uuuuu u r ⋅N =0，0M M uuuuu u r=(x -x 0,y -y 0,z -z 0)，据向量数量积坐标公式,得点M (x ,y ,z )在平面α上的充分必要条件是 A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0 (*)称方程(*)为平面的点法式方程． 例1-2 见课本.325326P −7.5-2 平面的一般方程。
第7章 空间解析几何与向量代数
在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。 （又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2
而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中 是单位向量, 的方 向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的 正向时大拇指所指的方 . 向
空间解析几何与向量代数知识点总结
空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。
常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。
2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。
直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。
单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。
曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。
7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。
8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。
9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。
10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。
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空间解析几何与向量
代数
第八章 空间解析几何与向量代数
一、 选择题
1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==ϖϖ若b a ϖϖ//，则 B
（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6
(C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3
2．平面x -2z = 0的位置是 D 。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴
3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。
（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1
4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。
（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７
5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。
（Ａ）、
2π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６
6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。
（A ）233211+=+=-z y x （C ）1
0101z y x =-=+ （B ）{
4404=--=--y x z x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t
y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。
（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。
（D ）、L 1与L 2为异面直线。
二、填空题
1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。
2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。
3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线
51232-==-z y x 的直线方程 为
5
32/1134-=+=-z y x 。
三、计算题
1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程.
解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为
3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.
2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程.
解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
(x -2)-2(y +3)+3z =0,
即 x -2y +3z -8=0.
3·求过三点M 1(2, -1, 4)、M 2(-1, 3, -2)和M 3(0, 2, 3)的平面的方程.
解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n .
因为→)6 ,4 ,3(21--=M M , →)1 ,3 ,2(31--=M M ,
所以 →→
k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M . 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0,
即 14x +9y - z -15=0.
4· 求过点(4, -1, 3)且平行于直线5
1123-==-z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为 5
31124-=+=-z y x . 5·求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.
解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为 1
12243-=+=--z y x . 6. 求与两平面 x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解 平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ,
因为 )34(
512 401 )52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=, 所以所求直线的方程为 1
53243-=-=+z y x . 7.一个平面过两点M 1(1, 11, 1)、M 2(0, 1, -1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程 解：1098=-+z y x。