第1章 线性空间与线性变换
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
第1章 线性空间与线性变换
ka = 0 k = 0 or a = 0 -a = ( -1)a
维数，基与坐标
定义: 设V 是一个线性空间，a1, a2, … an∈V 若 (1) a1, a2, … an 线性无关， (2) a∈V , a 可由a1, a2, … an 线性表示， a = x1a1+ x2a2+ … +xnan 则称a1, a2, … an 为V 的一组基， 称 x1, x2 , …, xn为a 在基a1, a2, … an 下的坐标， 称 n 为V 的维数，记作 dimV = n 。
【基变换公式】
即 ( b 1 , b 2 , ，b n ) = (a 1 , a 2 , , a n ) P 【基变换公式】
则 P 称为由基 a1 , a 2 ,
p11 p21 P= p n1 p12 p22 pn 2
, a n 到基 b 1 , b 2 ,
p1n p2 n pnn
R
m n
= { A | A = (aij ) mn , aij R }
Amn + Bmn = C mn R m n ,
l Amn = Dmn R mn ,
∴ Rm×n是一个线性空间。
6
例3 次数小于n 的多项式的全体，记作 P[x]n
P[ x ]n = { an -1 x n-1 + + a1 x + a0 an -1 , , a0 R }
定义加法：
a + b = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , , x n + y n )T
定义数乘：
ka = ( kx1 , kx 2 , , kx n )T ,
第1章 线性空间与线性变换
请双面打印/复印(节约纸张)工程矩阵理论主讲: 张小向第一章 线性空间与线性变换第一节 线性空间的基本概念 第二节 基, 维数与坐标变换 第三节 子空间的和与交 第四节 线性映射 第五节 线性映射的矩阵 第六节 线性映射的值域与核 第七节 几何空间线性变换的例子 第八节 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念§1.1 线性空间的基本概念 一. 几个具体的例子 1.n= {(a1, …, an)T | a1, …, an ∈ }.2, 3).1. n. 2. [x]. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ 6. V = {α}.+, +非空集合(特例: 2. [x] ={a0+a1x+…+anxn a11 a21 … am1| a1, …, an ∈ }. .3. Mm×n( ) =a12 … a1n a22 … a2n 诸aij ∈ … …… am2 … amn共 同 点系数域 两种运算 八条规则∀k∈ .α +α = α, kα = α, ∀k∈ .第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念二. 线性空间的定义与性质 定义1.1.1 线性空间V(F). V——非空集合 F——数域 加法交换律 结合律 有零元素 每个元素都有负元素 1α = α k(lα) = (kl)α (k+l)α = kα + lα k(α+β) = kα + kβ定理1.1.1. (1) 零向量唯一; (2) 任一向量的负向量唯一; (3) 0α = θ; (4) kθ = θ; (5) (−1)α = −α, (−k)α = −(kα); (6) kα = θ ⇒ k = 0或α = θ.数乘272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念三. 线性组合, 线性表示 1. 设α1, …, αk ∈V(F), x1, …, xk ∈F, 则称 x1α1 + … + xkαk 为α1, …, αk的一个线性组合. 2. 设α1, …, αk, β ∈ V(F). 若∃ x1, …, xk ∈ F s.t. β = x1α1 +…+ xkαk 则称β能由向量组α1, …, αk线性表示. 3. 若β1, …, βl都能由α1, …, αk线性表示,则称向量组β1, …, βl能由α1, …, αk线性表 示.四. 形式矩阵 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). 1. 若α1 = β1, …, αk = βk , 则记(α1, …, αk) = (β1, …, βk). 2. 规定 (α1, …, αk) + (β1, …, βk) = (α1+β1, …, αk+βk). 3. 若a ∈F, 则规定 a(α1, …, αk) = (aα1, …, aαk).第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念4. 若x1, …, xk ∈F, 则记 x1α1 +…+ xkαk = (α1, …, αk) x1 . xk 5. 若A = (A1, …, As) ∈ Mk×s(F), 则规定 (α1, …, αk)A = ((α1, …, αk)A1, …, (α1, …, αk)As). …注: 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). a, b ∈ F, A, B ∈ Mk×s(F), C ∈ Ms×t(F). 记α = (α1, …, αk), β = (β1, …, βk), 则可以验证下列等式成立: ① a(α + β) = aα + aβ, ② (a+b)α = aα + bα, ③ a(bα) = (ab)α. ④ (α + β)A = αA + βA, ⑤ α(A+B) = αA + αB, ⑥ (αA)C = α(AC), ⑦ (aα)A = a(αA) = α(aA).第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章 线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念五. 线性空间的子空间 定义1.1.2 子空间, W ≤ V(F) 定理1.1.2. 设∅ ≠ W ⊆ V(F), 则 W ≤ V(F) ⇔ W关于的加法和数乘封闭. 注: V(F)的两个平凡的子空间. {θ}, V(F)六. 由子集合{α1, α2, …, αk}生成的子空间 {α1, α2, …, αk}——生成系, 生成元集i=1 k∑ xiαi —— α1, α2, …, αk的一个线性组合 组合系数 W = { ∑ xiαi | ∀xi∈ F}.k记为L[α1, α2, …, αk]或span{α1, α2, …, αk}.i=1272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换§1.2 基, 维数与坐标变换 一. 向量组的线性相关性 定义1.2.1 线性相关, 线性无关. 定理1.2.1 设(I) α1, α2, …, αs线性无关, 且能由 (II) β1, β2, …, βt线性表示, 则s ≤ t. 推论1 设(I)与(II)都线性无关, 且等价, 则s = t. 推论2 设(I)能由(II)线性表示, 且s > t, 则(I)必线性相关.二. 基、维数 定义1.2.2 基, 维数. 例子. 1. n. 2. [x], [x]n = {a0+a1x+…+an−1xn−1 | …}. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . 6. V = {θ}.+第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.2 若dimV = n, 则V中任意 n 个线性无 关的向量都构成V的一组基. 定理1.2.3 若W ≤ V, dimV = n, α1, …, αr 为W 的一组基, 则∃αr+1, …, αn∈ V 使得 α1, …, αr, αr+1, …, αn构成V的一组 基.三. 坐标 定义1.2.3 设α1, …, αn为V的一组基, ξ ∈ V. 若ξ = x1α1 + … + xnαn, 则称有序数组(x1, …, xn)为ξ在基 α1, …, αn下的坐标, (x1, …, xn)T称为ξ的坐标向量.第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.4 设α1, …, αn为V的一组基, (β1, …, βr) = (α1, …, αn)x11 … x1r x11 … x1r xn1 … xnr … …四. 坐标变换 V的两组基 , P, 可逆X=xn1 … xnr,p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnn 称P为从基α1, …, αn到β1, …, βn的过渡矩 阵.…则β1, …, βr线性无关 ⇔ 秩(X) = r.272365083@…3请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交四. 坐标变换 V的两组基 P, 可逆§1.3 子空间的和与交 一. 基本概念与结论 定义1.3.1 设V1, V2 ≤ V. V1与V2的和: V1 + V2 = {α1 + α2 | α1∈V1, α2∈V2}. V1与V2的交: V1∩V2 = {α∈V | α∈V1且α∈V2}. 定理1.3.1 V1, V2 ≤ V ⇒ V1 + V2, V1∩V2 ≤ V.p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnnξ = (α1, …, αn)X = (β1, …, βn)Y,(α1, …, αn)PY ⇒ X = PY, Y = P−1X. ——坐标变换公式 =第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交注: ① 子空间V1∩V2与集合V1∩V2是一致的. ② 一般情况下, V1+V2 ≠ V1∪V2. 例如V =3,zOV1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴.定理1.3.2 (维数定理) 设V1, V2是V的两个有限维子空间, 则 dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2). 证明: (关键步骤) y(1) 取V1∩V2的一组基α1, …, αr ; (2) 把α1, …, αr扩充成V1的一组基 α1, …, αr, βr+1, …, βs ; (3) 把α1, …, αr扩充成V2的一组基 α1, …, αr, γr+1, …, γt ; (4) 验证α1, …, αr, βr+1, …, βs, γr+1, …, γt 线性无关(从而构成V1+V2的一组基).x③ V1+V2 = V1∪V2 的充分必要条件是 V1⊆V2 或 V2⊆V1.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs+lr+1γr+1+…+ltγt = 0 ⇒ lr+1γr+1+…+ltγt = −k1α1−…−krαr−kr+1βr+1−…−ksβs ∈ V1∩V2 ⇒ ∃l1, …, lr s.t. lr+1γr+1+…+ltγt = l1α1+…+lrαr i.e. l1α1+…+lrαr −lr+1γr+1−…−ltγt = 0 ⇒ l1 = … = lr = lr+1 = … = lt = 0 ⇒ k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs = 0 ⇒ k1 = … = kr = kr+1 = … = ks = 0dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2) 例1(1) V = 3, V1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴, dimV1 = dimV2 = 2, dim(V1+V2) = 3, dim(V1∩V2) = 1. zOyx272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交例1(2) V = V2 =2×2,V1 =x y z tx = y ≤ V,例1(3) V = V2 =2×2,V1 =x −x y −yx, y ∈ ≤ V,≤ V,x y z tx + y + z = 0 ≤ V,x y z tx y x yx, y ∈0 0V1+V2 = ______. V1∩V2 =x=y且x+y+z=0 ,则 0 0 , 构成V1的一组基, 1 −11 0 0 1 , 构成V2的一组基, 1 0 0 11 −1dimV1 = dimV2 = 3, dim(V1∩V2) = 2, 故dim(V1+V2) = 3 + 3 − 2 = 4 = dimV, 可见V1+V2 = V.故dimV1 = dimV2 = 2.x −x y −y ∈V2 ⇔ x = y. x −x 故V1∩V2 = x −x x ∈.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交可见1 −1 构成V1∩V2的一组基, 1 −1dim(V1∩V2) = 1. 故dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1∩V2) = 2 + 2 − 1 = 3. 事实上,1 0 0 1 1 −1 0 0 , , 1 0 , 0 1 线性相关, 0 0 1 −1二. 子空间的直和 定义1.3.2 设V1, V2 ≤ V. 若对于∀α∈V1+V2, ∃| α1∈V1, α2∈V2, s.t. α = α1 + α2, 则称V1 + V2为V1与V2的直和, 记为V1⊕V2.其中任意3个都线性无关, 因而构成V1+V2的 一组基.α = α1 + α2, α1∈V1, α2∈V2 ⇒ α = β1 + β2, β1∈V1, β2∈V2 α1 = β1, α2 = β2.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.3 设V1, V2 ≤ V, 则下列条件等价: (1) V1 + V2是直和; (2) V1 + V2中0分解式唯一, 即 0 = α1+α2 (αi∈Vi) ⇒ α1 = α2 = 0; (3) V1∩V2 = {0}; 当dimV1, dimV2 < ∞时, 上述条件还等价于 (4) dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2.定理1.3.4 设V1 ≤ V, dimV = n, dimV1 = r, 则存在V的n−r维子空间V2使得 V = V1⊕V2. 定义1.3.3 设V1, …, Vs ≤ V, 则V1, …, Vs的和 V1 + … + Vs = {α1 +…+ αs | αi∈Vi}. 若对于∀α ∈ V1 + … + Vs , ∃| αi∈Vi (i = 1, …, s) s.t. α = α1 + … + αs , 则称V1 +…+ Vs为V1, …, Vs的直和, 记为V1⊕…⊕Vs .272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.5 设Vi ≤ V (i = 1, …, s), 则TFAE: (1) V1 + … + Vs是直和; (2) V1 + … + Vs中0分解式唯一; (3) Vk∩Σi≠kVi = {0}, k = 1, …, s; 当dimVi < ∞ (i = 1, …, s)时, 上述条件还等价于 (4) Σ dimVi = dim( Σ Vi).i=1 i=1 s s例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ Fn. (2) ∀α∈Fn, 有α = (α − Aα) + Aα, A(α − Aα) = Aα − A2α = 0, A(Aα) = A2α = Aα. 可见α ∈ V1+V2. 这就证明了Fn ⊆ V1+V2. 又因为V1+V2 ⊆ Fn, 所以Fn = V1+V2.第一章 线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ (2) Fn = V1+V2. (3) 若α∈V1∩V2, 则α = Aα = 0. Fn. 可见V1∩V2 ⊆ {0}. 又因为{0} ⊆ V1∩V2, 所以V1∩V2 = {0}. 综上所述, Fn = V1⊕V2.§1.4 线性映射 一. 映射 定义1.4.1 像 原像 • • • 映射 • • • • • • 满射 • •第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • 单射 注:• • •• • • 双射• • •f:→; a → |a| ;a→ √a2(∀a∈ ) (∀a∈ )g: →f = g —— ∀a∈ , f(a) = g(a) 一般地, 若映射f, g: A → B满足 f(a) = g(a) (∀a∈A) 则称映射f与g相等, 记为f = g.• • •• • •• •• • •不是映射不是映射272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • • f • • •• • •• • • g • • • gf• • •注① 映射的复合运算满足结合律: f: A → B, g: B → C, h: C → D (hg)f = h(gf). A B f b• g C c• h D d•• • •a•[(hg)f](a) = (hg)[f(a)] = (hg)(b) = h[g(b)] = h{g[f(a)]} = h[(gf)(a)] = [h(gf)](a)f: A → B与g: B → C的乘积 gf: A → C定义为 ( gf )(a) = g[ f(a)] (∀a∈A).第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② 1A: A → A, f: A → B, 1B: B → B f⋅1A = f, A a• 1A A a• f 1B⋅f = f. B b• 1B B b• • • • 双射f • • • • • • • • •f的逆映射( f⋅1A)(a) = f [1A(a)] = f(a) (1B⋅f )(a) = 1B[ f(a)] = f(a)若映射f: A → B, g: B → A满足 gf = 1A, fg = 1B, 则称g为f 的逆映射, 记为g = f −1. 注① g = f −1 ⇒ f = g−1. 注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇒) 设f: A → B有逆映射g: B → A, 则 (1) ∀x, y ∈ A, 由 f(x) = f(y)可得 x = 1A(x) = gf(x) = gf(y) = 1A(y) = y. 可见 f: A → B为单射. (2) ∀b ∈ B, ∃a = g(b) ∈ A s.t. f(a) = f[g(b)] = fg(b) = 1B(b) = b. 可见 f: A → B为满射. 所以 f: A → B为双射.注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇐) 设 f: A → B为双射, 则 ∀b ∈ B, ∃| a ∈ A s.t. f(a) = b. 令g(b) = a, 可得 映射g: B → A. 而且 (1) ∀b ∈ B, 有 fg(b) = f[g(b)] = f(a) = b. 这就是说, fg = 1B. (2) ∀a ∈ A, 令b = f(a) ∈ B, 按g的定义, gf(a) = g[ f(a)] = g(b) = a. 这就是说, gf = 1A, 可见 f: A → B有逆映射g: B → A.272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射例1. 设A为数域F上的n阶方阵, Fn = {(a1, …, an)T | a1, …, an∈F}. 映射f: Fn→ Fn定义为 f(x) = Ax. 证明下列条件等价: (1) f: Fn→ Fn为单射; (2) f: Fn→ Fn为满射; (3) A可逆.证明: (1)⇒(3) 假设A不可逆, 则|A| = 0, 故r(A) < n, 因而Ax = 0有非零解, 即存在x ≠ 0使得Ax = 0, 于是f(x) = Ax = 0 = A0 = f(0). 这与“f: F n→ F n为单射”矛盾. 所以A可逆. (3)⇒(1) 对于任意的x, y ∈ F n, 若f(x) = f(y), 即Ax = Ay, 因为A可逆, 所以x = A−1Ax = A−1Ay = y. 可见 f: F n→ F n为单射.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射证明: (2)⇒(3) 因为f: F n→ F n是满射, 所以存在n阶方阵B = (ξ1, …, ξn)使得 AB = (Aξ1, …, Aξn) = ( f(ξ1), ..., f(ξn)) = (e1, …, en) = I. 从而|A|×|B| = |AB| = |I| = 1, 故|A| ≠ 0, 因而A可逆. (3)⇒(2) 对于任意的y ∈ F n, 令x = A−1y, 则x ∈ F n, 而且f(x) = Ax = AA−1y = y. 可见f: F n→ F n为满射.二. 线性映射与线性变换 定义1.4.2 设U, V为数域F上的线性空间. 若映射 f: V → U保持加法和数乘, 即 f(α+β) = f(α) + f(β), f(kα) = kf(α), ∀α, β ∈ V, k ∈ F, 则称 f 为线性映射. 特别地, 当U = V时, 称线性映射 f: V → V为V上的线性变换. 注① f(kα+lβ) = kf(α) + lf(β), ∀α, β ∈ V, k ∈ F.第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② Hom(V, U) = { f: V → U | f为线性映射}. 注③ 若 f ∈ Hom(V, U), 则 f(0V) = 0U; f(−α) = −f(α); f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs); α1, …, αs线性相关 ⇒ f(α1), …, f(αs)线性相关. 注④ 若 f: V → U 满足 f(α) = 0, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, U), 称为零映射, 记为0.注⑤ 若 f: V → V 满足 f(α) = α, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, V), 称为V上的恒等变换, 记为 I 或 IdV . 注⑥ 对于 f ∈ Hom(V, U), 可以把 ( f(α1), …, f(αs))记为f(α1, …, αs). 相应地, 可以把 f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs) 改写成 ( α1, ), …, f(α f((α1, …, αs)X) = f(f(α1…, αs)X. s))X272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射三. 线性映射的运算 定义1.4.3 (1) 线性运算 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F. 定义 ( f + g)(α) = f(α) + g(α), (kf )(α) = kf(α), ∀α∈V. (2) 复合运算 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W). 定义 (gf )(α) = g[ f(α)], ∀α∈V.注: 对于V上的线性变换 f 及正整数s, 定义 f 0 = I, f 1 = f, f 2 = ff, …, f s = ff s−1. 定理1.4.1(1) 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F, 则 f + g, kf ∈ Hom(V, U). (2) 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W), 则 gf∈ Hom(V, W). 证明: (2) (gf )(kα+lβ) = g[ f(kα+lβ)] = g[kf(α) + lf(β)] = kg[ f(α)] + lg[ f(β)] = k(gf )(α) + l(gf )(β).第一章 线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.4.2 设 f ∈ Hom(V, U). 若 f 可逆, 则 f −1 ∈ Hom(U, V). 证明: ∀ξ, η ∈ U, k, l ∈ F, 令α = f −1(ξ ), β = f −1(η)∈ V, 则 f [ f −1(kξ + lη)] = kξ + lη = kf(α) + lf(β) = f(kα + lβ), 故 f −1(kξ + lη) = kα + lβ = kf −1(ξ ) + lf −1(η).§1.5 线性映射的矩阵 一. 线性映射在给定的基偶下的矩阵 设α1, …, αn为V的一组基, β1, …, βs为U的一组基, f ∈ Hom(V, U), 则存在A = (aij)s×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (β1, …, βs)a11 … a1n as1 … asn,简记为 f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 称为 f 在基偶{α1, …, αn}与{β1, …, βs}下 的矩阵表示. A —— f 在基偶…下的矩阵.……第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵特别地, 设α1, …, αn为V的一组基, f ∈ Hom(V, V), 则存在A = (aij)n×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (α1, …, αn)a11 … a1n an1 … ann注① 零映射在任意基偶下的矩阵都是O; 恒等变换在任一组基下的矩阵都是I. 注② 设α1, …, αn为V的一组基, ,…简记为 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A. 称为 f 在基{α1, …, αn}下的矩阵表示. A —— f 在基{α1, …, αn}下的矩阵.…β1, …, βs为U的一组基, f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 若ξ = x1α1 + … + xnαn = (α1, …, αn)X, 则 f(ξ) = f(x1α1 + … + xnαn) = x1 f(α1) + … + xn f(αn) = ( f(α1), …, f(αn))X = f(α1, …, αn)X = (β1, …, βs)AX.272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例2. 在 [x]n中, D[p(x)] = p′(x), D(1, x, x2, …, xn−2, xn−1)0 0 0 . 0 … 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 … 2, …, xn−2, xn−1) 0 0 0 = (1, x, x n−2 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 … … …例3. D: [x]n → D(1, x, x2,[x]n−1, D[p(x)] = p′(x), …, xn−2, xn−1)0 0 0 . …0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 = (1, x, x2, …, xn−2) 0 0 0 … … … ……n−1…0 0 0 … 0 n−1n−2例4. 设A ∈F s×n, f: F n → F s, f(X) = AX. f(e1, …, en) = (Ae1, …, Aen) = AIn = A = IsA = (ε1, …, εs)A.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵二. 线性映射在两对基偶下的矩阵间的联系 定理1.5.1 设 f ∈ Hom(V, U), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P; U的一组基ξ1, …, ξs到另一组基 η1, …, ηs的过渡矩阵为Q. 若 f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A, f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B, 则B = Q−1AP.证明: (β1, …, βn) = (α1, …, αn)P (η1, …, ηs) = (ξ1, …, ξs)Q f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B⇒(ξ1, …, ξs)AP = f(α1, …, αn)P = f((α1, …, αn)P) = f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B = (ξ1, …, ξs)QB ⇒ AP = QB ⇒ B = Q−1AP.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.5.2 设 f ∈ Hom(V, V), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P. 若 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A, f(β1, …, βn) = (β1, …, βn)B, 则B = P−1AP.三. 线性变换运算的矩阵 设V的一组基为α1, …, αn , 线性变换 f: V→V在这组基下的矩阵记为 [ f ]. 定理1.5.3 设 f, g ∈ Hom(V, V), k ∈ F, 则 (1) [ f + g] = [ f ] + [g]. (2) [kf ] = k[ f ]. (3) [ fg] = [ f ][g]. (4) f 可逆⇒[ f −1] = [ f ]−1.272365083@10请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (1)( f + g)(α1, …, αn) = (( f + g)(α1), …, ( f + g)(αn)) = ( f(α1)+g(α1), …, f(αn)+g(αn)) = ( f(α1), …, f(αn)) + (g(α1), …, g(αn)) = f(α1, …, αn) + g(α1, …, αn) = (α1, …, αn)[ f ] + (α1, …, αn)[g] = (α1, …, αn){[ f ]+[g]}.证明: (2)(kf )(α1, …, αn) = ((kf )(α1), …, (kf )(αn)) = (kf(α1), …, kf(αn)) = k( f(α1), …, f(αn)) = kf(α1, …, αn) = k{(α1, …, αn)[ f ]} = (α1, …, αn){k[ f ]}.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (3)( fg)(α1, …, αn) = (( fg)(α1), …, ( fg)(αn)) = ( f(g(α1)), …, f(g(αn))) = f(g(α1), …, g(αn)) = f(g(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)[g]) = f(α1, …, αn)[g] = ((α1, …, αn)[ f ])[g] = (α1, …, αn)([ f ][g]).证明: (4) 设[ f −1] = B, 即 f −1(α1, …, αn) = (α1, …, αn)B, 则(α1, …, αn) = ( ff −1)(α1, …, αn) = f( f −1(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)B) = f(α1, …, αn)B = ((α1, …, αn)[ f ])B = (α1, …, αn)([ f ]B), 由此可得[ f ]B = I, 因而[ f −1] = B = [ f ]−1.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例5. 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I. 证明: [ f ]相似于 Ir O (0 ≤ r ≤ n). O −In−r证明: 令V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α}, 则V1, V2 ≤ V 且V1∩V2 = {0}. 1 1 ∀α∈V, 令β = −(α +f(α)), γ = −(α −f(α)), 2 2 则由f 2 = I 可得 f(β) = β, f(γ) = γ, 故β ∈V1, γ ∈V2, α = β + γ ∈V1 + V2. 可见V1 + V2 ⊆ V ⊆ V1 + V2.因而V = V1 + V2 = V1⊕V2 . 设V1的一组基为α1, …, αr , V2的一组基为βr+1, …, βn , f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩阵为 Ir O . O −In−r 由定理1.5.2可知, [ f ]相似于 Ir O . O −In−r272365083@11请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵四. 不变子空间 定义1.5.1 设 f ∈ Hom(V, V), W ≤ V. 若∀α∈W, 有 f(α)∈W, 则称W为V的关于 f 的不变子空间, 简称为 f 的不变子空间. 此时, 定义 f |W: W → W; α → f(α), 则 f |W ∈ Hom(W, W), 称为f 在W上 的限制.例如: ① 例5中, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I, 则 V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α} 都是 f 的不变子空间. ② ∀ f ∈ Hom(V, V), {0}和V都是 f 的不变子空间.第一章 线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核注: 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), V = U⊕W, 其中U, W都是 f 的不变子空间, U的一组基为α1, …, αr , W的一组基为βr+1, …, βn , 则 f |U(βi) = 0, i = r+1, …, n, f |W(αi) = 0, i = 1, …, r. 设 f |U在U的基α1, …, αr下的矩阵为A, f |W在W的基βr+1, …, βn下的矩阵为B, 则 f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩 A O 阵为 O B .§1.6 线性映射的值域与核 一. 定义 设 f ∈ Hom(V, U), 则称 f(V) = { f(α) |α∈V}为 f 的值域, 记为R( f ); 称K( f ) = {α∈V | f(α) = 0}为 f 的核. VK( f )U f → f(V) 0U第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核二. 性质 定理1.6.1 设 f ∈ Hom(V, U), 则 (1) R( f ) ≤ U. (2) K( f ) ≤ V. (3) 当U = V时, R( f )和K( f )都是 f 的不变子空间. VK( f )U f → f(V) 0U例1. 设A ∈ Fs×n, f: Fn→ Fs定义为 f(X) = AX. 则R( f ) = {AX | X ∈ Fn} ≤ Fs, 这是A的列空间, 也称为A的值域, 记为R(A); K( f ) = {X ∈ Fn | AX = 0}, 这是AX = 0的解空间, 也称为A的核, 记为K(A).272365083@12请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核定理1.6.2 设 f ∈ Hom(V, U), dimV < ∞, 则 dimR( f ) + dimK( f ) = dimV. VK( f )U f → f(V) 0U ...... ...证明: 设α1, …, αk为K( f )的一组基, α1, …, αk, αk+1, …, αn为V的一组基, 则R( f ) = span{ f(αi) | i = 1, …, n} = span{ f(αi) | i = k+1, …, n}. 若ck+1 f(αk+1) + … + cn f(αn) = 0, 则 f(ck+1αk+1 + … + cnαn) = 0, 即ck+1αk+1 + … + cnαn ∈ K( f ), 故存在c1, …, ck使得 ck+1αk+1 + … + cnαn = c1α1 + … + ckαk , 即c1α1 + … + ckαk − ck+1αk+1 − … − cnαn = 0, 由此可得ck+1 = … = cn = 0. 可见 f(αk+1), …, f(αn) 线性无关, 故dimR( f ) + dimK( f ) = dimV.第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例2. 设A = 1 1 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E21) = E11 + E21, f(E12) = f(E22) = E12 + E22, 且E11 + E21, E12 + E22线性无关, 因此, E11 + E21, E12 + E22构成R( f )的一组 基.1 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x1 + x3 = x2 + x4 = 0 ⇔ X = x1(E11 − E21) + x2(E12 − E22). 又因为E11 − E21, E12 − E22线性无关, 可见E11 − E21, E12 − E22构成K( f )的一组基. (E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 0 1 0x x= (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 ,1 0 −1 0 0 1 0 −1第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核(E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 = (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 0 1 0 0 其中r 0 1 −1 1 = 4. 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 1 , 0 −1故E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22线性 无关, 因而R( f ) + K( f )为直和.事实上, 若B ∈ R( f ) ∩ K( f ), 则存在X∈ 2×2 使得B = AX, 而且AB = O. 于是可得 2AX = A2X = A(AX) = AB = O, 故B = AX = O. 可见R( f ) ∩ K( f ) = {O}, 因此R( f ) + K( f )为直和.272365083@13请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章 线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例3. 设A = 0 0 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E12) = O, f(E21) = E11, f(E22) = E12, 且 E11, E12 线性无关, 因此, E11, E12构成R( f )的一组基.0 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x3 = x4 = 0 ⇔ X = x1E11 + x2E12. 又因为E11, E12 线性无关, 可见E11, E12构成K( f )的一组基. 因为R( f ) = span{E11, E12} = K( f ), 因此R( f ) + K( f )不是直和.x x第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子§1.7 几何空间线性变换的例子 一. 辐射相似变换 f:3二. 平行于某矢量的投影变换 对于任意的OP ∈P e23,e3→3OP → kOP (k > 0).设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3, 令 f(OP) = x1e1 + x2e2, 则 f ∈ Hom(3, 3),e3 P O e1 1 0 0 0 0 0 e2O e1f在3的任意一组基下的矩阵都是kI.OP − f(OP) // e3,→ 0<k<1 压缩→ k>1 放大f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 , R( f ) = span{e1, e2}, K( f ) = span{e3}.第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子三. 平行于某一方向的压缩(或延伸) 对于任意的OP ∈3,四. 平行于某一方向的推移 对于任意的OP ∈P e23,e3e3P e2设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,f(OP) = x1e1 + x2e2 + ax3e3, O (a > 0).e13, 3),设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,O e1f(OP) = (x1+ax2)e1 + x2e2 + x3e3, (a ≠ 0). 则 f ∈ Hom(3, 3),则 f ∈ Hom(OP − f(OP) // e3,1 0 0 0 0 a→OP − f(OP) // e1, f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .0 0 1 1 a 0f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .272365083@14请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子五. 旋转变换 见下一章. 六. 镜像变换 见下一章.平面上的例子:0 • 7 • 5 7 0 • 7 • 5 6• 0 5 x 7 0 y5 0 1 0 −0.2 1 0 5 x 7 0 y • 5 −1第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子平面上的例子:平面上的例子:β αAβ = 0.5β2 0 A = 0 0.5β αcosφ sinφ B = −sinφ cosφ π/6Aα = 2 α第一章 线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构平面上的例子: Cβ = β§1.8 线性空间的同构 一. 定义 设V, U都是数域F上的线性空间. 若∃双射σ∈ Hom(V, U), 则称V与U同构, 记为V ≅ U. 并且称σ为V到U的一个同构映射.βCα = − αα0 C = −1 1 0272365083@15请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构→二. 性质 定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇒) 设α1, …, αk线性无关, 则 c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = 0 ⇒ σ(c1α1 + … + ckαk) = 0 = σ(0) ⇒ c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见σ(α1), …, σ(αk)线性无关.→→第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构二. 性质 定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇐) 设σ(α1), …, σ(αk)线性无关, 则 c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = σ(c1α1 + … + ckαk) = σ(0) = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见α1, …, αk线性无关.三. 判定 定理1.8.2 设V与U是数域F上的有限维线性空 间, 则V ≅ U ⇔ dimV = dimU. 证明: (⇒) 设σ为V到U的一个同构映射, 则R(σ) = U, K(σ) = {0}. 故dimV = dimR(σ) + dimK(σ) = dimU.第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(⇐) 设dimV = dimU = n, α1, …, αn为V的一组基, ξ1, …, ξn为U的一组基. 对于任意的α = a1α1 + … + anαn ∈ V, 令σ(α) = a1ξ1 + … + anξn, 则 (1) σ : V → U为单射. 事实上, … (2) σ : V → U为单射. 事实上, … (3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, … 故V ≅ U.(1) σ : V → U为单射. 事实上, 若α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, 且σ(α) = σ(β), 则 a1ξ1 + … + anξn = b1ξ1 + … + bnξn, 故(a1−b1)ξ1 + … + (an−bn)ξn = 0, 由此可得 a1−b1 = … = an−bn = 0, 即(a1, …, an) = (b1, …, bn), 因而α = a1α1 +…+ anαn = b1α1 +…+ bnαn = β.272365083@16请双面打印/复印(节约纸张)第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(2) σ : V → U为满射. 事实上, ∀ξ∈U, 设ξ = a1ξ1 + … + anξn, 于是令α = a1α1 +…+ anαn, 则α ∈ V 且σ(α) = a1ξ1 + … + anξn = ξ.(3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, ∀α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, k, l ∈ F, 有 σ(kα + lβ) = σ((ka1+ lb1)α1 +…+ (kan+ lbn)αn) = (ka1+ lb1)ξ1 + … + (kan+ lbn)ξn = k(a1ξ1 +…+ anξn) + l(b1ξ1 +…+ bnξn) = kσ(α) + lσ(β).第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构四. 例子 1. [x]n = {a0+…+an−1xn−1 | a0, …, an−1x∈ }. dim [x]n = n = dim 事实上, 容易验证n,2. dimM2×3( ) = 6, 故M2×3( ) ≅ 事实上, 容易验证6.故 [x]n ≅n;n.σ : M2×3( ) →a11 a12 a13 a21 a22 a236;σ : [x]n →a0+…+an−1xn−1 → 为同构映射.a0 an−1 …a11 a12 a → a13 21 a22 a23为同构映射.第一章 线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构3.= {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . dim + = 1, 故 + ≅ . 事实上, 容易验证 → ; x → logax++为同构映射.272365083@17。
矩阵论第一章线性空间和线性变换
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
工程硕士矩阵论第一章
n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ， 如果存在一组数 量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）
01.线性空间与线性变换
称线性空间Vn 的一个基 x1, x2, , xn 为Vn的 一个坐标系，设向量 x V n ，在该基下的线性
表示为 x 1x1 2 x2 n xn
则称1, 2 ,
分量，记为
,n1是,2x,在该,坐n T标系下的坐标或
定理:设 x1, x2, , xn是V n 的一个基，x V n ， 则x可以唯一的表示为 x1, x2, , xn 的线性组合
过渡矩阵的性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 x1, x2 , , xn; y1, y2, , yn 为V的两组基,
且由基 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的过渡矩阵为C，
即 ( y1, y2 , , yn ) ( x1, x2, , xn )C
2）若由基 x1, x2 , , xn到基y1, y2 , , yn 过渡矩阵为C, 则由基 y1, y2 , , yn到基x1, x2 , , xn 过渡矩阵为C-1.
3）若由基 x1, x2 , , xn到基y1, y2 , , y过n 渡矩阵为C, 由基 y1, y2 , , yn到基z1, z2 , , zn过渡矩阵为B，则 由基 x1, x2 , , xn到基z1, z2 , , zn过渡矩阵为CB.
y1, y2,
y1 c11x1 c21x2
,yy2n
c12
x1 c22 x1, x2 ,
x2 ,
xn
c1c1n1 xcn12 c2c1n2 xcn22
c1n
c2n
yn c1n x1 c2n x2 cnc1 nn xcnn2
cnn
第1章_线性空间与线性变换
图1.2.1中 直线 l ，平面 是 R3 的两个线性子空间，而在 图1.2.2中由于直线 m 和平面 不含原点所以不能形成 R3 的 子空间。
图1.2.1
图1.2.2
由于零子空间不含线性无关的向量，因此 没有基，它的维数规定为零。而对于 V 的其它 的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可 能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所 以子空间的维数比原空间的维数小，即
W { k11 k22 kmm,i V, ki P 1 i m}
容易验证，W 对 V 中定义的加法和数乘运算是 封闭的，所以 W 是 V 的线性子空间.这个子空 间称为由 V 中向量 S {1, 2 ,, m} 生成的线性子 空间，记为
W L(1,2,,m ) Span{1,2,,m} (1.2.2)
（2） T(k ) kT( ) V , k P
称作V 的一个线性变换或线性算子。特别 当 V W 时，称 T :Vn Vn 是 Vn 上的线性变换.
注:定义中两个条件可以用一个表达式来表示， 即T 是线性变换的充要条件是：
T (k l ) kT() lT( )
例：两个特殊线性变换 (1) 如果对任意 V ，恒有 T() 0，则
例1.2.4
dim(V1 V2 ) 1
定义1.2.2 如果 V1 V2 中任一向量只能唯
一的表示成子空间 V1 的一个向量和子空间
V2 中的一个向量的和，则称 V1 V2 是 V1,V2
的直和，记为 V1 V2（或
）. •
V1 V2
定理1.2.5 两个子空间的和是直 和的充分必要条件是：
V1 V2 L(0)
定义1.1.4 设 S {1, 2 ,, n} 是线性空间 Vn 的 一个基（底）， 是 Vn 中的一个向量，而且
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
a1n
a2n
ann
前述关系可以表示为 AT 或 T T A
则称矩阵 A 为基 到基 的过渡矩阵（唯一且可逆）
定义2 （坐标变换）
设x V L(P) ，向量 x 在 基 和基 下的
坐标之间的关系，称之为坐标变换。
坐标变换与过渡矩阵的关系：
设 x k1x1 k2 x2 kn xn 和 x t1 y1 t2 y2 tn yn
和 W W1 W2 为直和，记为 W W1 W2 。
例6 设 R4的3个子空间：
① V1 (a, b, 0, 0)T a, b R ② V2 (0,0,c, 0)T c R ③ V3 (0,d,e, 0)T d,e R
容易验证V1 是V2直和， V1 V3不,V是2 直 V和3。
事实上 不妨设简单基为 (III )e1, e2 , , en ( x1, x2 , , xn ) (e1, e2 , , en )C1 ( y1, y2 , , yn ) (e1, e2 , , en )C2
( x1, x2 , , xn )C11C2
C C11C2
例4 设线性空间P3[t] 的两个基为： (I ) f1(t) 1, f2(t) 1 t, f3(t) 1 t t 2,
表示，不妨记
y1 a11x1 a21x2
y2
a12 x1
a22 x2
yn a1n x1 a2n x2
称上述关系为两组基的基变换。
an1xn an2 xn
ann xn
x1
y1
a11 a12
若记
x2
,
y2
A
a21
a22
xn
yn
an1 an2
第1,2章 线性空间与线性变换
§1·4 线性变换(Linear Transformations)
一、 线性变换的概念
1. 线性变换的来历；
Definition： （i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有线性性：
T（＋）=T（）＋T（）
(保持加法的三角形法则)
T（k）=kT（ ）
(保持比例关系)
2 线性变换的性质：
2 坐标变换公式
已知 ➢空间中两组基：
{1, 2,..., n} {1, 2 ,..., n}
满足:(1, 2 ,..., n ) (1,2 ,..., n )Cnn
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
讨论X和Y的关系
X=CY
例 已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3
Rmn ；Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵
第1章 线性空间与线性变换
所以 {e x , e 2x , e3x , , e nx }线性无关 .
二、线性空间的基和维数
• 基与维数的概念：
定义1.2 设V是线性空间 , 若存在一组线性无关的 向量
1 , 2 ,, n , 使得空间中任一向量可 由它们线性表出 , 则称向量组 {1 , 2 ,, n }为V的一组基.基所含向量个数
因此R 22中任何一个向量都可以 写成向量组 0 0 0 , E 22 0 1 0 k1 k 2 的线性组合 .又k1 E11 k 2 E12 k3 E21 k 4 E22 k 0, k 4 3 得ki 0, i 1,2,3,4, 故E11 , E12 , E21 , E22 线性无关, 因此{E11 , E12 , E21 , E22 }是R 22的一组基, dim R 22 4. 推广 : {Eij , i 1,2, , m; j 1,2, , n}是矩阵空间 R mn的一组基, dim R mn m n 问题 : 矩阵空间R nn : A A T R nn的维数和基?
11
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n n } 是空间 xi i ，则 Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = i 1 x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关
坐标的表达形式
例1：求 R22中向量
– V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 – 只研究有限维线性空间。
二、线性空间的基和维数
例5 : 求矩阵空间 R 22的维数与一组基 . a 11 解 : 任取矩阵A a 21 1 0 0 A a11 a 12 0 0 0 1 E11 0 0 0 , E 12 0 0 a 12 , 有 a 22 1 0 a 21 1 0 1 0 , E 21 1 0 0 0 a 22 0 0 0 , 1
矩阵理论第一章线性空间与线性变换精品PPT课件
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
第一章线性空间与线性变换4-7
下证唯一性 T 设有V1到V2 上的线性映射 T1， 2 使得 T1 (α 1， 2， ， n ) = ( β 1， 2， ， m ) A， α Lα β L β
T2 (α 1， 2， ， n ) = ( β 1， 2， ， m ) A α Lα β L β ⇒ T1 (α 1， 2， ， n ) = T2 (α 1， 2， ， n )， α Lα α Lα 任取α ∈ V1 且α = (α 1， 2， ， n ) X，则 α Lα T1 (α ) = T1 [(α 1， 2， ， n ) X ] = [T1 (α 1， 2， ， n )] X α Lα α Lα = [T2 (α 1， 2， ， n )] X = T2 [(α 1， 2， ， n ) X ] = T2 (α )， α Lα α Lα ⇒ T1 = T2，故唯一性成立 .
一 第 章线 空 和 性 换 性 间 线 变
第四节 线性映射
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一、线性映射 1、定义：设V1， 2为线性空间，若映射 T : V1 → V2 满足： 定义： V 为线性空间， 满足： ∀α，β ∈ V1，λ ∈ F，有 (1)T (α + β ) = T (α ) + T ( β )； ( 2)T (λα ) = λT (α ). 的线性映射， 称为原像， 则称T为V1到V2的线性映射， 其中α称为原像，T (α )称为α的像 . 例1、定义T : V → V如下T (α ) = α， T为线性映射， 则 为线性映射， 记为T = E . 称为恒等映射或恒等变 换 例 2、定义T : V1 → V2如下T (α ) = 0， T为线性映射， 则 为线性映射， 记为 T = O . 称为零映射 例 3、设A = (aij ) m×n，定义T : R n → R m 如下T (α ) = Aα， T 则
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-子空间与维数定理、线性空间的同构
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
子空间举例
零子空间{0}与线性空间V 本身称为平凡子空间.
例1 线性空间V 的子集：(1,2 ,,m V )
m
L(1,2 ,,m ) { | kii , ki P} i 1
是V的子空间，称为由
称为子空间 V1 与 V2 的交；
（2）集合 V1 V2 { | V1, V2 }
称为子空间 V1 与 V2 的和；
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
定理1-3：线性空间V 的两个子空间V1与V2的 交W=V1∩V2也是V 的子空间.
证 (1) W 是非空集合， 0 W ；
生成的子空间.
例2 在n维线性空间V=Pn 中，子集
W { | A 0, Pn}
是V 的一个n-r 维子空间，r是的ຫໍສະໝຸດ .目录 上页 下页 返回 结束
第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
二、子空间的运算
定义：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则
（1）集合 V1 V2 { | V1且 V2 }
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
推论：若n维线性空间V 的两个子空间的维数之和
大于n，则其交V1∩V2必含非零向量. dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
定义1-5：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间， 若和 W V1 V2 具有性质：
（4） dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) .
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矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性变换的概念、线性变换的矩阵、不变子空间
(2) T(k ) kT( ).
则称T 是线性空间V 的一个线性变换.
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第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
若′T ( ) , 则T ( )或′称为向量 ∈V 在线 性变换T 下的象,而 称为T ()或′的原象.
第一章 线性空间与线性变换
第五节 线性变换的概念 第六节 线性变换的矩阵 第七节 不变子空间
第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
第五节 线性变换的概念
一、线性变换的定义
设V 是数域P上的线性空间,从V 到V 的映 射称为V 的变换. 定义1-7：设V 是数域P上的线性空间，若V 上
R[a,b]:实连续函数空间
t
T ( f (t)) a f (u)du (a t b).
5. V , T ( ) 0.
零变换 0
6. V , T ( ) .
单位变换 I
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第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
二、线性变换的性质
1、若T是线性变换，则 T(0) 0, T( ) T( ).
2、线性变换T保持向量的线性组合与线性关系式,
即
m
m
kii T ( ) kiT (i );
i 1
i 1
m
m
kii 0
kiT (i ) 0 .
i 1
i 1
3、线性变换T 把线性相关的向量组变换成线性
相关的向量组.
注：线性变换不能保持线性无关的关系.
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第一章第五六七节 线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
第一章 线性空间与线性变换
是 n 维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
é a11 êa 21 ê b , b , , b = a , a ××× , a L [ 1 2 [ 1 2 n ] êL n] ê ë an1
é a11 a12 êa a22 21 ê P= L êL ê ë a n1 a n 2 L L L L a1n ù a2 n ú ú L ú ú ann û
线性空间的例子
例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R上的线性空间。 例2：复数域 C上的全体 m×n 阶矩阵构成的集合Cm×n 为 C 上 的线性空间。 例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 Pn 构成实数域 R上的线性空间。 例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数 域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+
于是有：
é x1 ù é y1 ù êx ú êy ú ê 2ú = Pê 2ú êM ú ê Mú ê ú ê ú ë xn û ë yn û
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间
R
2´2
中，向量组
é0 e1 = ê ë1 é1 e3 = ê ë0
1ù é1 ,e2 = ê ú 1û ë1 1ù é1 ,e4 = ê ú 1û ë1
都是 R
2´2
的基。R 2´2 是4维线性空间。
基底的例子（续）
例 3 实数域 R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向 量组 1, x, x 2 , ×××, x n
2 n 1, x 2,( x 2) , ××× ,( x 2) 与向量组
都是 Pn 的基底，Pn的维数为 n+1。 注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
第一章 矩阵论
例 设V为数域P上的线性空间， 1 , 2 ,, m 是V中的一组元素，则
Span 1 , 2 , , m k1 1 k 2 2 k m m k1 , k 2 , , k m P
是V 的子空间，称为 1 , 2 ,, m的生成子空 间， 1 , 2 ,, m称为该子空间的生成元. •
定义1.7 设 1 , 2 ,, n和 1 , 2 ,, n是n维线性空间 V 的两组基，显然它们可以互相线性表示，若
1 c11 1 c 21 2 c n1 n , 2 c12 1 c 22 2 c n 2 n , n c1n 1 c 2n 2 c nn n ,
1 x 3 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 3 x 3 2x 2 x 1 4 x 3 x 2 1
求由基 渡矩阵.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若W关于V中的线性运算也 构成数域P上的线性空间，则称W是V的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
二.线性空பைடு நூலகம்的定义与性质
1、线性空间的定义
定义
n 例2 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间。
例3 全体 m n实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例4 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
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进行研究。
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
二、向量组的探讨（Review)
向量组的极大线性无关组： 1，2，…，s为向量组A的一个部分组
（精英组合）
满足 向量组1，2，…，s线性无关
（彼此工作不可替代）
任意A的向量可以由1，2，…，s线性表示
（公司的任何人的工作可由精英组合完成）
向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数
dim（W1W2）=0 W1W2={0} 直和的定义： 若 dim（W1W2）=0 ，则和为直和 W=W 1＋W2=W1W2，
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ：
Theorem 设W=W1＋W2，则下列各条等价：
(1)
W=W1W2；
(2)
X W，X=X 1＋X2的表
是惟一的；
W1＋W2是子空间，被称为“和空间”，
例 设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}
求和空间W1＋W2。 比较：集合W1W2和集合W1＋W2。
如果 则
W1=Span{1，2，…， m }， W2=Span{1，2，…， k}，
W1＋W2=Span{1，2，…，m，1，2，…， k }
§1.2 子空间
概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系：
Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合WV，W ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W是V的子空间。 判别方法：Important Theorem W是子空间 W对V的线性运算封闭。
V2 span{1,2},其中1 (1,1,0,1)T ,2 (1,0,2,3)T ,
求 V1 V2, V1 V2.
§1.3 线性空间V与Fn的同构
坐标关系
V
Fn
V的基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V，X Fn， （）=X
（1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
(3)
0 的分解是唯一的；
(4)
dim W =dimW1＋dimW2
例 设在Rn×n中，子空间
W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。
例
设R4的两个子空间 V1 {(x1, x2, x3, x4 )T | x1 2x2 x4 0},
Rmn ；Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
Span{1，2，···，m }= Span{1，2，···， r}
组基1，2，···，r是Span{1，2，···，m }的一
题型举例
已知
P
1 0
23，令W {A R22 | AP PA}
1. 证明：W是R22的子空间；
2. 求W的基与维数；
设构成T1的，新T2的都变是换空：间V中的线性变换，常见的用它们
（i） T1＋T2 V， （T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）
（ii） T1T2 V， (T1T2)（）=T1（T2（））
M=｛X ： AX=b｝
重要的子空间：生成子空间
➢ 切设线向性量组组合｛生成1，的子2，空··间·，： m｝V，由它们的一 Span{1，2，···，m }=L(1，2，···，m)
= ｛k11+k22+···+kmm| ki}
➢ 生成子空间的重要的性质： 1）如间果Spa1n，{1，2，·2·，·，···，m线m性}的无一关组，基则；其为生成子空 2）如最果大线1，性无2，关·组··，，则r是向量组1，2，···，m的
讨论X和Y的关系
X=CY
例 已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3
1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 1 2
线性组合.
五、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1设基空变间换中公有式两组基：{{11,,
2 ,...,
2 ,...,
n}
n}
过 渡 矩 阵
则(1, 2 ,..., n ) (1,2 ,..., n )Cnn
过渡矩阵C的性质：
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
dim C[a，b]= 约定：
本书主要研究有限维线性空间。
四、坐标
坐标的来历：设{1，2，…， n } 是空间V的一 组基， V, 可以由基1，2，…， n唯一 线性表示
=x11+x22+…+xn n 则x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关
三、线性空间的基和维数
抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义 和Rn一样：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
三、线性空间的基和维数
1. 线性变换的来历；
Definition： （i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有线性性：
T（＋）=T（）＋T（）
(保持加法的三角形法则)
T（k）=kT（ ）
(保持比例关系)
2 线性变换的性质：
（i） T(0)=0
线性变换保持线
（ii） T(－)=－T()
性相关性不变！
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： ➢ V={x=(x1，x2，0｝R 3，是子空间 ➢ V={x=(x1，x2，1｝R 3，不是子空间
➢矩阵AR m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间
S=｛X ： AX=0｝Rn，
•非齐次线性方程的解集： 不是子空间
3. 求W中矩阵的一般形式.
2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩同构。
同构的性质
定理1.3.1:数域F上两个有限维线性空间 同构的充分必要条件是他们的维数相同。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
§1·4 线性变换(Linear Transformations)
一、 线性变换的概念
例 (P018) Rn中的变换 T：设A Rn×n是一个给定的 矩阵，XRn，T(X)=AX。 (1)T是线性变换； (2)Ker(T)是AX=0的解空间； (3)Im(T)=Span{a1，a2，…，a n}, 其中ai是矩阵A的 列向量；
(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n
4 线性变换的运算
V={X=（x1，x2，1）T：xi R}
运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质：
0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （4） = （1）
二、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人 合力完成）
向量组1，2，…，s线性无关
任何一个向量不能由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 只有系数都为0
向量组1，2，…，s线性相关
其中一个向量可以由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 必须有非零系数
基(basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数：