《弧长与扇形的面积》

《弧长与扇形的面积》教案1

教学目标

【知识与技能】

理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.

【过程与方法】

经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力.

【情感态度】

调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点

弧长公式及其运用.

教学难点

运用弧长公式解决实际问题.

教学过程

一、情境导入，初步认识

如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？

【教学说明】学生根据AB 是120°是

周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础.

二、思考探究，获取新知问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______.

【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出.

问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____.

问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______.

【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.

结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为

·2360180

n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量.

三、典例精析，掌握新知

例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803

n R l cm πππ??===≈.

答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm .

【教学说明】此题是直接导用公式.

例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长.

【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可.

解:连接CD .

因为∠B =15°，∠BCA =90°，

所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°.

又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°.

所以∠DCA =180°-2∠A =30°.

所以AD 的长=306180

π?=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角.

例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿

顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？

解：由题可知∠A ′CB ′=60°.

∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm .

∴AA ′的长=12010201803

ππ?= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为

203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.

练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.

2、如课本图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角所对的圆弧和两条半径围城的，若该比赛场地的周界是34m ，求它的半径OA 长（精确到0.1m ）.

四、运用新知，深化理解

1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为( ) A .6cm B .12cm

C .

D cm

2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从

点A 到点B ，甲虫沿着1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿着路线ACB 爬行，则下列结论正确的是( )

A .甲先到

B 点 B .乙先到B 点

C .甲乙同时到达

D .无法确定

3.如果一条弧长等于l ，它所在圆的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加( )

A .1n

B .180R π

C .180l R π

D .1360

4.(山东泰安中考)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC =120°，OC =3，则BC 的长为()

A .π

B .2π

C .3π

D .5π

第4题图第5题图

5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚(如图)，那么B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______.

【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导过程后，在l 、n 、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.

【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.43π

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾本小节的知识点.

2.通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】1.n °的圆心角所对的弧长180

n R l π=.

2.学生大胆尝试公式的变化运用. 课后作业

1.教材P81页第1题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

《弧长与扇形面积》教案2

教学目标

知识与技能

1.掌握扇形的定义.

2.掌握扇形面积公式的推导过程，会运用扇形的面积进行有关计算.

过程与方法

经过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.

情感态度

经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题，加强合作交流，集思广益. 教学重点

扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.

教学难点

用公式求组合图形的面积来解决实际问题.

教学过程

一、情境导入，初步认识

如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图，你能求出做这把扇子用了多少纸吗？要想解决以上问题，需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.

二、思考探究，获取新知

1.扇形的定义

圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.

【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形；

2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.

2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：

(1)该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.

(2)设圆的半径为R，1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…，n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答

【教学说明】(1)360°(2)

360

π2

360

π2

360

π2

360

n R

因此，在半径为R的圆中，圆心角为n

l 为扇形的弧长. 例1如图，⊙O 的半径为1.5cm ，圆心角∠AOB =58°，求扇形OAB 的面积(精确到 0.1c m 2).

解：∵r =1.5cm ，n =58，

∴22

258 1.558 3.14 1.5 1.1360360

()S cm π????==≈ 例2已知半径为2的扇形，其弧长为43π，则这个扇形的面积为多

少？【分析】已知扇形弧长为l ，所在圆的半径为R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形=12

lR 求解.解: S 扇形=12lR =1442233

ππ??=. 【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.

3.组合图形的面积计算.

例3如图，把两个扇形OAB 与扇形OCD 的圆心重合叠放在一起，且∠

AOB =∠COD ，连接AC .

(1)求证:△AOC ≌△BOD ；

(2)若OA =3cm ，OC =2cm ，AB 的长为

π，CD 的长为π，求阴影部分的面积.

【教学说明】利用“边角边”证明△AOC ≌△BOD ，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.

(1)证明:∵∠AOB =∠COD ，

∴∠BOD =∠AOC .

又∵OA =OB ，OC =OD ，

∴△AOC ≌△BOD .

(2)延长CD ，交OB 于点F ，设AO 交CD 于点E .

∵S △AOC =S △BOD ，

S 扇形EOC =S 扇形DOF ， ∴S 图形AEC =S 图形BFD .

∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD 1315322224

πππ=??-??=.

例4、如课本图，是一条圆弧形弯道，已知OA =20m ，OC =12m ，弧CD 的长度为9πm ，求圆弧弯道的面积.

【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.

练习题：1、如课本图，在圆O 中，∠AOB =120°，弦AB 的长为才cm ，求扇形OAB 的面积. 2、如课本图，分别以△ABC 的顶点A ，B ，C 为圆心，以1为半径画圆，求图中绿色部分的面积.

三、运用新知，深化理解

1.(甘肃兰州中考)如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )

A .π

B .1

C .2

D .23π

.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a (a ≥3)的正方形内

任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面

积是( )

A .a 2-π

B .(4-π)a 2

C .π

D .4-π

3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 的三等分点.如果⊙O 的

半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.

4.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =⊙

A 与BC 相切于点D ，且交A

B 、A

C 于M 、N 两点，则图中阴影部分

的面积是______(保留π).

5.如图，⊙O 的半径为R ，直径AB ⊥CD ，以B 为圆心，BC 为半径作

弧CED ，求图中阴影部分的面积.

【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题

时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求

出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.

【答案】1.C 2. D 3.3π 43

π 5.解：S 阴=S 半圆OCAD +S △BCD -S 扇形BCED =22221

122

R R R R ππ+-

= 四、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.教师强调：①扇形的概念.

②圆心角为n°的扇形面积S扇=

3602

n R

= (l为扇形的弧长).

③组合图形的面积.

课后作业

1.教材P81第2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.