第十章非欧几何诞生
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❖ 代表人物：萨凯里、兰伯特
1733年萨凯里(意, 1667-1733) 《欧几里得无懈可击》
萨凯里的工作
1733 年 ， 萨 凯 里
（意大利， Saccheri，1667— 1733）：《欧几里 得无懈可击》
锐角？直角？钝角？ 萨凯里四边形
钝角时很快引出矛盾。但当锐角时，却得出了许多有 趣的推论：三角形内角之和小于两直角；过给定直线 外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交； 在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相 接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两 条直线将在无限远点有共同的垂线；等等
微分几何
❖ 平面曲线理论17世纪基本完成 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了 平面曲线理论
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何
❖ 18世纪的空间曲线、曲面理论 1697年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》： 弧长、曲率
克莱罗(法, 1713-1765)
微分几何
1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 《关于曲面上曲线的研究》：曲率、 绕率，建立了曲面理论
1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)关 于可展曲面与直纹面
1795年蒙日(法, 1746-1818) 《关于分析的几何应用的活页论文》 借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究
蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了 处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808 年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎 高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西
蒙日(法, 1746-1818)
❖ 萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确， 以至于走到伟大发现的门前而却步
克吕格尔的工作
❖ 克吕格尔(德, Klügel， 1739--1812) 是第一个对 “平行公设能由其他公设推 出”表示怀疑的数学家。
❖ 1763年, 克吕格尔 在其博士论文中指出：(1) 公理的实质在于经验，而并非不证自明，人 们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人 们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的 可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾， 他只得到似乎异于经验的结果。
第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊 数学家托勒密，他依赖如下假设：
“过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已 普莱菲尔 知直线平行.”（普莱菲尔公设， 1795年以后
的《几何原本》版本） J. Playfair， 中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也 (苏格兰, 1748-1819) 曾尝试过对第五公设的证明
数学史
主 讲 人 张跃辉
10、痛苦的分娩——几何学的革命
关于第五公设的思考 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 非欧几何学 黎曼对非欧几何的贡献
18世纪由于微分方程、变分法一些 新数学分支的出现，形成分析、几何、 代数这三大数学学科，而在这一世纪 中分析领域远远超过了几何、代数。 虽然分析的光芒使18世纪综合几何黯 然失色，但分析的方法应用却开拓出 了一个崭新的分支——微分几何。
来自百度文库
❖ 萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛 盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。
❖ 萨凯里的错误在于把有限图形的性质扩大到 无限图形，以为在有限远处不成立的东西在 无限远处也不成立。
❖ 萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情 理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛 盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾
欧几里得几何
欧氏几何及其平行公设
公设一：过不同两点可连一直线 公设二：直线可无限地延长 公设三：以任意一点为中心和任一线段
之长为半径可作一圆 公设四：所有直角均相等 公设五：一平面上两条直线被另一直线
所截，若截线一侧的两内角和小于两个 直角，则此二直线必在这一侧相交
10.1 关于第五公设的思考
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：关于三 角形的三个内角和的定理 应该认为是那些基本真理 之一。这些真理是不容争 论的，它们是数学永恒真 理的不朽的例子。(1832)
A+B+C=2π
勒让德(法, 1752-1833)
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得 一统天下。解析几何改变了几何研究的方法， 但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。 解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了 人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为 数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
欧几里得平行公设 ？？？？？
“几何原理中的家丑”—— 达朗贝尔
❖ 19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗 克洛斯(Proclus，约公元412—485年，雅典柏拉图学园晚 期的导师，在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注)、萨 凯里(意， Saccheri，1667—1733)、克吕格尔(德, Klügel，1739--1812) 、兰伯特（德，Lambert,1728— 1777） 、普莱菲尔(苏格兰，Playfair，1748—1819) 、 勒让德(法, 1752-1833) 、施魏卡特（普鲁士， Schwcikart，1780-1959）和托里努斯（普鲁士，Taurinus， 1794-1874）等等．
《几何原本》共48条命题，只有证明第29条命题时唯 一应用了第五公设
欧几里得
10.1 关于第五公设的思考
从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平 行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全 不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一 点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的 欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图 由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没 有成功．
1733年萨凯里(意, 1667-1733) 《欧几里得无懈可击》
萨凯里的工作
1733 年 ， 萨 凯 里
（意大利， Saccheri，1667— 1733）：《欧几里 得无懈可击》
锐角？直角？钝角？ 萨凯里四边形
钝角时很快引出矛盾。但当锐角时，却得出了许多有 趣的推论：三角形内角之和小于两直角；过给定直线 外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交； 在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相 接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两 条直线将在无限远点有共同的垂线；等等
微分几何
❖ 平面曲线理论17世纪基本完成 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了 平面曲线理论
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何
❖ 18世纪的空间曲线、曲面理论 1697年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》： 弧长、曲率
克莱罗(法, 1713-1765)
微分几何
1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 《关于曲面上曲线的研究》：曲率、 绕率，建立了曲面理论
1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)关 于可展曲面与直纹面
1795年蒙日(法, 1746-1818) 《关于分析的几何应用的活页论文》 借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究
蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了 处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808 年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎 高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西
蒙日(法, 1746-1818)
❖ 萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确， 以至于走到伟大发现的门前而却步
克吕格尔的工作
❖ 克吕格尔(德, Klügel， 1739--1812) 是第一个对 “平行公设能由其他公设推 出”表示怀疑的数学家。
❖ 1763年, 克吕格尔 在其博士论文中指出：(1) 公理的实质在于经验，而并非不证自明，人 们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人 们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的 可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾， 他只得到似乎异于经验的结果。
第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊 数学家托勒密，他依赖如下假设：
“过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已 普莱菲尔 知直线平行.”（普莱菲尔公设， 1795年以后
的《几何原本》版本） J. Playfair， 中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也 (苏格兰, 1748-1819) 曾尝试过对第五公设的证明
数学史
主 讲 人 张跃辉
10、痛苦的分娩——几何学的革命
关于第五公设的思考 高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作 非欧几何学 黎曼对非欧几何的贡献
18世纪由于微分方程、变分法一些 新数学分支的出现，形成分析、几何、 代数这三大数学学科，而在这一世纪 中分析领域远远超过了几何、代数。 虽然分析的光芒使18世纪综合几何黯 然失色，但分析的方法应用却开拓出 了一个崭新的分支——微分几何。
来自百度文库
❖ 萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛 盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。
❖ 萨凯里的错误在于把有限图形的性质扩大到 无限图形，以为在有限远处不成立的东西在 无限远处也不成立。
❖ 萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情 理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛 盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾
欧几里得几何
欧氏几何及其平行公设
公设一：过不同两点可连一直线 公设二：直线可无限地延长 公设三：以任意一点为中心和任一线段
之长为半径可作一圆 公设四：所有直角均相等 公设五：一平面上两条直线被另一直线
所截，若截线一侧的两内角和小于两个 直角，则此二直线必在这一侧相交
10.1 关于第五公设的思考
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：关于三 角形的三个内角和的定理 应该认为是那些基本真理 之一。这些真理是不容争 论的，它们是数学永恒真 理的不朽的例子。(1832)
A+B+C=2π
勒让德(法, 1752-1833)
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得 一统天下。解析几何改变了几何研究的方法， 但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。 解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了 人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为 数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
欧几里得平行公设 ？？？？？
“几何原理中的家丑”—— 达朗贝尔
❖ 19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗 克洛斯(Proclus，约公元412—485年，雅典柏拉图学园晚 期的导师，在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注)、萨 凯里(意， Saccheri，1667—1733)、克吕格尔(德, Klügel，1739--1812) 、兰伯特（德，Lambert,1728— 1777） 、普莱菲尔(苏格兰，Playfair，1748—1819) 、 勒让德(法, 1752-1833) 、施魏卡特（普鲁士， Schwcikart，1780-1959）和托里努斯（普鲁士，Taurinus， 1794-1874）等等．
《几何原本》共48条命题，只有证明第29条命题时唯 一应用了第五公设
欧几里得
10.1 关于第五公设的思考
从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平 行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全 不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一 点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的 欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图 由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没 有成功．