频率与概率 公开课课件
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《概率与频率》课件
频率与概率的近似关系
在大量重复试验中，频率可以作为概 率的近似值。
这种近似关系在统计学和概率论中非 常重要，因为在实际应用中，我们通 常无法知道事件的准确概率，只能通 过频率来估计。
随着试验次数的增加，频率会逐渐接 近概率。
大数定律
大数定律是指在大量重复试验中，某一事件的相对频率趋于其概率的极限定理。
概率的取值范围
概率的取值范围是0到1之间，其中0 表示事件不可能发生，1表示事件一 定发生。
概率的取值范围
概率的取值范围是0 到1之间，包括0和1 。
概率的取值对于理解 和预测随机事件的发 生非常重要。
概率的取值表示随机 事件发生的可能性大 小。
概率的基本性质
01
02
03
概率具有非负性
任何事件的概率都大于等 于0。
《概率与频率》PPT课件
目 录
• 概率的基本概念 • 频率与概率的关系 • 概率的运算 • 概率在生活中的应用 • 概率与统计的关系 • 概率在计算机科学中的应用
01
概率的基本概念
概率的定义
概率的定义
概率的基本性质
表示随机事件发生的可能性大小的数 值。
概率具有非负性、规范性、可加性等 基本性质。
随机数生成
在密码学中，随机数是非常重要的，因为它们用于生成加密密钥和初始化向量等 。概率可以用来评估随机数生成器的质量，例如，评估其是否足够随机和不可预 测。
人工智能中的概率
机器学习中的概率
机器学习是人工智能的一个重要分支，其中概率发挥着关键 作用。例如，在分类问题中，概率可以用来计算分类器对某 个实例属于某个类别的信任度。在聚类问题中，概率可以用 来评估聚类结果的稳定性。
3
随机事件的频率和概率ppt课件
优等品频率
m n
0.90 0.92 0.97 0.94
0.95
0.95
试估计该批乒乓球优等品的概率．
.
误区警示 因频率与概率的概念混肴而致错
【示例】 把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次 正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概 率． [错解] 由题意，根据公式 fn(A)＝nnA＝1409080＝0.498. 所以掷一次硬币正面朝上的概率是0.498. 不要混淆了频率与概率的概念，事实上频率本身是随机的， 做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的 0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确 定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
.
例1 判断下列哪些事件是随机事件,哪些是必然 事件, 哪些是不可能事件？
木柴燃烧,产生热量
必然事件
明天，地球还会转动
必然事件
实心铁块丢入水中, 铁块浮起 不可能事件 .
在-10C下，这些雪融
化
不可能事件
转盘转动后，指 针指向黄色区域
随机事件
这两人各买1张彩 票，她们中奖了
随机事件
.
知道随机事件发生的可能性大小是非 常重要的，能为我们决策提供关键性依据。
当姚明投篮很多次时，投篮命中 频率趋于常数0.55
.
.
结论:
随机事件A在每次试验中是否发生是不能预 知的，但是在大量重复试验后，随着次数的增 加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间 [0，1]中的某个常数上。
这个常数是什么呢？
.
概率的定义
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机 事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，随机事件A 发生的频率具有稳定性，这时，我们把这个常数叫做随 机事件A的概率，记作P （A）, 0≤P （A）≤1
概率与频率PPT课件
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基本知识
随机试验：满足下列三个条件
试验可以在相同的情况下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个； 每次试验的结果无法预知，但有且只有一个结果。
概率与频率
概率是指某个随机事件发生可能性的一个度量，是该随机事件本身的属 性。 频率是指某随机事件在随机试验中实际出现的次数与随机试验进行次数 的比值。
perms(1:n) 生成由 1:n 组成的全排列，共 n! 个
第4页/共31页
Matlab 中的随机函数
random('name',A1,A2,A3,M,N)
name 的取值可以是
'norm' or 'Normal' 'unif' or 'Uniform' 'poiss' or 'Poisson' 'beta' or 'Beta' 'exp' or 'Exponential' 'gam' or 'Gamma' 'geo' or 'Geometric' 'unid' or 'Discrete Uniform'
k 0,1, , n
X ~ b(n, p)
例： n=500，p=0.05 时的二项式分布密度函数图
x=0:50; y=binopdf(x,500,0.05); plot(x,y)
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离散分布： Poisson 分布
泊松分布也属于离散分布，是1837年由发个数
学家 Poisson 首次提出，其概率分布列为：
基本知识
随机试验：满足下列三个条件
试验可以在相同的情况下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的，且不止一个； 每次试验的结果无法预知，但有且只有一个结果。
概率与频率
概率是指某个随机事件发生可能性的一个度量，是该随机事件本身的属 性。 频率是指某随机事件在随机试验中实际出现的次数与随机试验进行次数 的比值。
perms(1:n) 生成由 1:n 组成的全排列，共 n! 个
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Matlab 中的随机函数
random('name',A1,A2,A3,M,N)
name 的取值可以是
'norm' or 'Normal' 'unif' or 'Uniform' 'poiss' or 'Poisson' 'beta' or 'Beta' 'exp' or 'Exponential' 'gam' or 'Gamma' 'geo' or 'Geometric' 'unid' or 'Discrete Uniform'
k 0,1, , n
X ~ b(n, p)
例： n=500，p=0.05 时的二项式分布密度函数图
x=0:50; y=binopdf(x,500,0.05); plot(x,y)
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离散分布： Poisson 分布
泊松分布也属于离散分布，是1837年由发个数
学家 Poisson 首次提出，其概率分布列为：
频率与概率(课件)
其余均相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀……如此做大
量摸球试验后，小新发现摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于
50%，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率
稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸
球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( B )
所示：
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______.(精确到0.01)
0.95
提示：运用频率和概率之间的关系，根据频率的波动情况估算概率.
探究新知
归纳：频率估计概率的一般步骤：
①大量重复试验；
②检验频率是否已表现出_______；
稳定性
③频率的________即为概率．
稳定值
课堂练习
1.明天降雨的概率为0.85，则说明( B )
1
3
A.
2
3
B.
1
4
C.
1
6
D.
课堂练习
4.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针
落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是( A)
1
3
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
8
D.
5.如图，正方形ABCD内接于☉O,☉O的直径为 2分米,若在这个圆
面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是( A)
能是( D )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是
“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张
牌，其花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，
量摸球试验后，小新发现摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于
50%，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率
稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸
球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( B )
所示：
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______.(精确到0.01)
0.95
提示：运用频率和概率之间的关系，根据频率的波动情况估算概率.
探究新知
归纳：频率估计概率的一般步骤：
①大量重复试验；
②检验频率是否已表现出_______；
稳定性
③频率的________即为概率．
稳定值
课堂练习
1.明天降雨的概率为0.85，则说明( B )
1
3
A.
2
3
B.
1
4
C.
1
6
D.
课堂练习
4.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针
落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是( A)
1
3
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
8
D.
5.如图，正方形ABCD内接于☉O,☉O的直径为 2分米,若在这个圆
面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是( A)
能是( D )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是
“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张
牌，其花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，
频率与概率-PPT课件
库里输球.
北京、伦敦奥运会两届冠 军郭文珺止步资格赛. 意外…
二、深入情境，体会随机事件的规律性
每个人投三分球命中都是随机事件，为什么是库 里来完成最后一投而不是其他队员？
每个运动员获得金牌都是随机事件，为什么中国选 派张梦雪代表中国参加奥运会射击比赛？
为什么“ 石头剪刀布 ”来决定谁先看书是公平 的？
我校甲乙两位同学想看 同一本好书，于是采用 “石头剪刀布”的方式 决定谁先看，你能预先 决定甲和乙谁能获胜吗？
总结概括
库里命中三分球
张梦雪获得比赛金牌
甲获胜
从数学的角度研究事件，我们主要关注在一定条件下，事件是否会发生，结果是否 能预先确定.以上三个事件具有什么共同点？
随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件. 必然事件：在一定条件下，必然要发生的事件. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件.
数学抽象
频率
概率 数据分析 数学建模
作业：
练习1,2,3. 查阅相关资料，了解概率的发展史.
世界上有许多的事情我们看起来都带有偶然 性，但在这大量的偶然性的背后，隐藏着一种必 然的规律.概率就是这种偶然中的一种必然！
随机事件的概率
一、创设情境 案例1
交战双方：勇士VS雷霆 常规赛103平 加时赛118平 离比赛结束还有最后一秒， 金州勇士队30号库里刚 运球过中线，就出手了…
在场观众都屏住了呼 吸，目不转睛的看着 空中飞行的篮球…
一、创设情境 案例1
一、创设情境 案例2
为什么比赛如此扣人心弦？
一、创设情境 案例3
随机事件性质：(在一定条件下）不确定性、可重复性.
想一想 1、在刚才的投针试验中，每个小组得到的频率是是会变化的； 它反映某一随机事件出现的频繁程度.
《频率与概率》课件
$P(A|B) = frac{P(B|A) cdot P(A)}{P(B)}$，其中$P(A|B)$表示在 事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
贝叶斯定理应用
贝叶斯定理在统计学、机器学习、决策理论等领域有广泛应用， 尤其是在处理不确定性和主观概率方面。
全概率公式
全概率公式定义
全概率公式用于计算一个复杂事件发生的概率，该复杂事件可以分 解为若干个互斥且完备的子事件。
市场调查
在市场调查中，全概率公式可以用于计算某个事件发生的概率，例如消费者购买某产品的概率，可以通过考虑不 同市场细分和购买行为的条件概率来计算。
感谢您的观看
THANKS
概率的乘法性质是指一个事件发生后，另一个事件接着发生的概率等于前一事 件的概率乘以后一事件的概率。
详细描述
如果事件A和事件B有因果关系，即B的发生依赖于A的发生，那么 P(AB)=P(A)P(B)。如果事件A和事件B没有因果关系，那么P(AB)=P(A)P(B)。
条件概率与独立性
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，一个事件发生的概率。独立性是指两个事件之 间没有相互影响。
中心极限定理的实例
在投掷骰子实验中，随着投掷次数的增加，出现3.5次朝上的频率 逐渐接近正态分布。
大数定律与中心极限定理的应用
在统计学中的应用01 Nhomakorabea大数定律和中心极限定理是统计学中的基本原理，用于估计样
本均值和方差，以及进行假设检验和置信区间的计算。
在金融领域的应用
02
大数定律和中心极限定理用于金融风险管理和资产定价，例如
方差
方差是随机变量取值与其期望的差的 平方的平均值，表示随机变量取值的 离散程度。
05
大数定律与中心极限定理
贝叶斯定理应用
贝叶斯定理在统计学、机器学习、决策理论等领域有广泛应用， 尤其是在处理不确定性和主观概率方面。
全概率公式
全概率公式定义
全概率公式用于计算一个复杂事件发生的概率，该复杂事件可以分 解为若干个互斥且完备的子事件。
市场调查
在市场调查中，全概率公式可以用于计算某个事件发生的概率，例如消费者购买某产品的概率，可以通过考虑不 同市场细分和购买行为的条件概率来计算。
感谢您的观看
THANKS
概率的乘法性质是指一个事件发生后，另一个事件接着发生的概率等于前一事 件的概率乘以后一事件的概率。
详细描述
如果事件A和事件B有因果关系，即B的发生依赖于A的发生，那么 P(AB)=P(A)P(B)。如果事件A和事件B没有因果关系，那么P(AB)=P(A)P(B)。
条件概率与独立性
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，一个事件发生的概率。独立性是指两个事件之 间没有相互影响。
中心极限定理的实例
在投掷骰子实验中，随着投掷次数的增加，出现3.5次朝上的频率 逐渐接近正态分布。
大数定律与中心极限定理的应用
在统计学中的应用01 Nhomakorabea大数定律和中心极限定理是统计学中的基本原理，用于估计样
本均值和方差，以及进行假设检验和置信区间的计算。
在金融领域的应用
02
大数定律和中心极限定理用于金融风险管理和资产定价，例如
方差
方差是随机变量取值与其期望的差的 平方的平均值，表示随机变量取值的 离散程度。
05
大数定律与中心极限定理
频率与概率优秀课件ppt
114530.524. 21840
同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为：
0.521,0.512,0.512.
(2)各年男婴出生的频率在0.51~0.53之间，故该市男婴出生
的概率约是0.52.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
注意点： 1.随机事件A的概率范围 必然事件与不可能事件可看作随机事 件的两种特殊情况.
因此，随机事件发生的概率都满足： 0≤P(A)≤1
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
人们经过大量试验和实际经验的积累逐 渐认识到：在多次重复试验中，同一事件 发生的频率在某一数值附近摆动，而且随 着试验次数的增加，一般摆动幅度越小，
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
概率的意义
像木棒有长度，土地有面积一样，概率 是对随机事件发生的可能性大小的度量， 它反映了随机事件发生的可能性的大小。 但随机事件的概率大，并不表明它在每一 次试验中一定能发生。概率的大小只能说 明随机事件在一次试验中发生的可能性的 大小，即随机性中含有的规律性。认识了 这种随机性中的规律性，就使我们能比较 准确地预测随机事件发生的可能性。
4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金
频率与概率PPT课件
也可用如下方法求概率：
开始
硬币1
正
反
硬币2 正 反 正 反
树状图
P（出现两个正面）=
树状图：从上至下每条路径就是一个可能出现的结果。
我们把这种列举试验中所有机画会树均状等图的结关果键的：图1确形定称为
树状图
层数，2是确定每层分叉
的个数。
第7页/共14页
树状图 法练习
1.小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的 袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只 就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子 的概率是多少？
第5页/共14页
例题：对两枚骰子可能出现的情况进行分析，列表如下
第
第
二
一个 个
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
解第二：只 设两第双一只 袜子A分1 别为AA12、A2、B1B1、BB2，2 则
A1
开始 （A2，A1） （B1,A1） （B2，A1）
AA21
（AA1，2A2） B1
B2 （B1,A2） （B2，A2）
B1
（A1，B1） （A2，B1）
（B2，B1）
A所2 以BB21穿B相2 同A一1 双（BA11袜，BB2子）2 的（A概A12，率BA2）1为B（2B41,B2）A11 A2 B1
频率与概率(优秀)课件
率都相等。由 此，我们可以 画出树状图.
综上，共有以下八种机会均等的结果： 正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
P（正正正）＝P（正正反）学＝习交流P1PT
所以，这一说法正确.
9
8
练习
1.小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的 袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只 就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子 的概率是多少？
P（出现两个正面）=
试验得到的频率与理论分析计 算出的概率有何关系？
列表法：事件包含两步时，用表格列出事件所有可能出现的结果
学习交流PPT
5
也可用如下方法求概率：
开始
硬币1
正
反
硬币2 正 反 正 反
树状图
P（出现两个正面）=
树状图法：按事件发生的次序从上至下每条路径 列出事件的一个可能出现的结果。
（1）满足两个骰子的点数相同的结果有6个，
则
P（点数相同）=
6 36
1
=6
（2）满足两个骰子的点数之和是9的结果有4个， 则
4
P（和为9）= 36
1
=9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2的结果有11
个，则
11
P（至少一个点数为2）= 学习交流PPT
36
8
例：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出
用力旋转图25.2.2所示的转盘甲和转盘乙的 指针，如果你想让指针停在蓝色区域，那么选哪 个转盘成功的概率比较大？
学习交流PPT
12
思考
1、有同学说：转盘乙大，相应地，蓝色区域的面积也大， 所以选转盘乙成功的概率比较大。你同意吗？
成功的概率不由扇形面积的大小决定，而由 扇形面积所占转盘面积的百分比决定的。
频率与概率_课件
探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀地的硬币的实验，设事件 A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算 频率，再与其概率进行比较，你发现了什么规律？
连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗 ？ 概率具有随机性，试验次数太少的时候偏差容易很大 。
探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀地的硬币的实验，设事件 A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算 频率，再与其概率进行比较，你发现了什么规律？
我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡 洛.
1、从所在班级任意选出6名同学，调查它们的出生年月，假 设出生在一月，二月......十二月是等可能的.舍事件A=“至少 有两人出生年月份相同”，设计一种实验方法，模拟20次， 估计事件A发生的概率.
0.7 0
2、有一次奥运会男子羽毛球比赛中，运动员甲和乙进入了决 赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率是0.4， 利用计算机模拟实验，估计甲获胜得冠军的概率.
(4) 概率为
3、(1) 掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率 (2) 利用随机模拟的方法，实验120次，计算出现点数和为7 的概率 (3) 所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
(2) 由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述 对男婴出生率的估计值具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑 “生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
2、一个游戏包内含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲 获胜，事件B发生则乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件 A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中，甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到 1000次是，自己才胜300次，而乙却胜了700次，据此，甲认 为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的，你更支持谁的结论？ 为什么？
相关主题
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用表格表示
1 红桃
黑桃
2
3
4
5
6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
• 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
概率的定义 事件A发生的频率接近于某个常数，这时就把 这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
0≤P(A)≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
• 问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 正面、反面向上2种，可能性相等
• 问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？ 6种等可能的结果
如果某水果公司以2元/千克的成本进了10000千克柑橘,则这批柑橘中完 好柑橘的质量是________,若公司希望这些柑橘能够获利5000元,那么售 价应定为_______元/千克比较合适.
归纳
利用频率估计概率
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的 可能性不相等时，我们一般可以通过统计频率来估计概率.
27
2.如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背 面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽 出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大 时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜 的机会是否相同．
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有5
第25章 随机事件的概率 25.2 随机事件的概率
第2课时 频率与概率
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.知道通过大量试验得到的频率可以作为事件发生概率的估计 值；（重点）
2.学会用列表法、画树状图法计算概率. (难点)
导入新课
回顾与思考
• 必然事件 在一定条件下必然发生的事件.
• 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件.
种情况，小于等于乙的有7种情况，
∴P（甲胜）= 7 ，P（乙胜）=
5
，
12
12
∴甲、乙获胜的机会不相同．
课堂小结
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较 多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表 的办法.
当一次试验要涉及两个以上因素,并且可能出现的结果数 目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用 画树状图的办法.
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等满足两张牌的数 字之积为奇数(记为事件A)的有 (1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以P(A)= 9 . 1
36 4
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较 多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表 的办法.
二 用画树形图求概率
现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包，B盘中有 一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C盘中有一个酸菜包和一个糖包以 及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒 头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
(%) 70 60
56.5
50 40 30 20 10
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
议一议
国家在明年将继续实施山川秀美工程,各地将大力开展植树造林活动. 并给农民发放养护补助费，为此林业部要考查幼树在一定条件下的 移植成活率,应采用什么具体做法?
从一定高度落下的图钉，会有几种可能的结果？ 它们发生的可能性相等吗？
试验累计 次数
钉帽着地的 次数(频数)
钉帽着地的 频率( %)
试验累计次 数
钉帽着地的 次数(频数)
钉帽着地的 频率(%)
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
思考: 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃 和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你 从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分， 为偶数我得1分,先得到10分的获胜”.如果你是小亮,你愿 意接受这个游戏的规则吗?
这个游戏对小亮和小明公平吗？
你能求出小亮得分的概率吗?
解：画树形图： 酸
Hale Waihona Puke A B 酸 糖韭酸糖
酸 糖 韭 酸 糖韭
C 酸 糖酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖
由树形图，得所以可能出现的结果有18种，它们出现的可能 性相等.选的包子全部是酸菜包的结果有3种，故P（全是酸菜 包)= 3 1 .
18 6
三 用频率估计概率
做做试验
当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性 不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重 复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生 概率.
∴一共有27种等可能的情况；
（1）∵三辆汽车继续直行的有1种情况，
∴三辆汽车继续直行的概率为： 1 ；
27
（2）两辆车向右转，一辆车向左转的有3种， ∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为 3 1 ；
27 9 （3）至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直
左，左右左，左左直，左左右，左左左， 则至少有两辆车向左转的概率为： 7 ．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的 频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
当堂练习
1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左 或向右转，如果这三种可能性的大小相同．三辆汽车经过 这个十字路口，（画树状图）求下列事件的概率： （1）三辆汽车继续直行的概率； （2）两辆车向右转，一辆车向左转的概率； （3）至少有两辆车向左转的概率． 解：画树状图得：
• 问题3 从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根，抽出的签上的 标号有几种可能？ 5种等可能的结果
等可能性事件
讲授新课
一 用列表法求概率
等可能性事件 等可能性事件的两个特征： 1.出现的结果有限多个； 2.各结果发生的可能性相等； 等可能性事件的概率可以用列举法而求得. 列表法就是把要求的对象一一用表格表示出来分析求解的 方法．