高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)

授课类型

T-指数函数

C-函数的值域与最值

T-指数函数

教学目的

1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质

2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。

3、掌握函数值域与最值的解法

教学内容

1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x

y =.

2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下

12米，再从中间剪一次剩下1

4

米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x

y ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

问题：这两个函数有何特点?

同步讲解

一、指数函数的概念 一般地，函数x

y a

=()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .

注意：为何规定0a >，且1a ≠?

你知道么？

图象

性质

①定义域：R ②值域：（0,+∞）

③过点（0,1）,即x =0时y =1

④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1;

当x ＞0时,y ＞1

④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;

当x ＞0时,0＜y ＜1

利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.

（1）3

2和 1.7

2； （2）23

0.6

-

和34

0.6

-

.

【分析与解答】（1）因为指数2x

y =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以3

1.72

2>.

（2）因为指数函数0.6x

y =在(),-∞+∞上是减函数，又2334

->-，所以23

3

40.60.6-->.

求下列函数的定义域与值域。

（1）1

4

2

x y -= （2）23x

y -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

（3）1

42

1x x y +=++

【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。

【解】（1）由404x x -≠⇒≠

所以定义域为}{

,4x x R x ∈≠且

1

41

0214

x x -≠∴≠-Q

所以值域为{}

0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。

2331322x

x

x y --≥⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∴==≥= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

Q 故值域为{}

1y y ≥

（3）定义域为R ，

令2x

t =，则()2

2

0,2111t y t t t >=++=+>

所以值域为{}

1y y >

函数()(),x x f x a g x b ==的图像如图，试确定,a b 的大小；若()()3127f g ==，求()(),f x g x 的解析式。 【分析与解答】由图像知，()()11,1f g a b <∴<< 由题意：3

27a b == 所以，3,27a b ==

所以函数的解析式分别为：()()3,27x x f x g x ==

已知函数)1(122>-+=a a a

y x x

在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值

【分析与解答】解： )1(122>-+=a a a y x x

，

换元为)1

(

122

a t a

t t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a =3 (a = －5舍去)

银行一年定期储蓄年利率为1.89%，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%利息缴纳利息税）自动转存一年期定期储蓄.

（1）某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问5年后，这笔钱扣除利息税后的本利和为多少，精确到1元. （2）设本金为a 元，年利率为r ，扣除利息税20%后的本金和为y ，写出y 随年x 变化的函数式. 【分析与解答】（1）1年后的本利和为()12020 1.89%80%201 1.89%80%y =+⨯⨯=+⨯；

2年后的本利和为()()2

21111.89%80%1 1.89%80%201 1.89%80%y y y y =+⨯⨯=+⨯=+⨯ ；

……

5年后的本利和为 ()5

5201 1.89%80%y =+⨯. 由计算器计算得 521.5584y ≈. 所以，5年后的本利和为215584元.

()()()

112111

212221

212

x

x x

x

f x f x

-

+

-=+==--=-

--

-

所以()

11

212

x

f x=+

-

是奇函数。

8、解不等式22

125

0.20.2

x x x x

++-+

>

【解】00.21

<<

Q所以指数函数0.2t

y=在R上是减函数。

又22

12522

0.20.2125

x x x x x x x x

++-+

>∴++<-+

Q

解得

1

1

3

x

<<

所以原不等式的解集为

1

1

3

x x

⎧⎫

<<

⎨⎬

⎩⎭

方法回顾教师：你还有哪些收获和感悟？