高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
指数函数知识点总结教案
指数函数知识点总结教案班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标教学重难点指数函数知识点总结（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且∈*．u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）· ；（2）；（3）．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a1 0a1 定义域R 定义域R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数图象都过定点（0,1）图象都过定点（0,1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；1．比较大小例1已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．解：∈，∈函数的对称轴是．故，又，∈．∈函数在上递减，在上递增．若，则，∈；若，则，∈．综上可得，即．评注：∈比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．∈对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2已知，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∈，∈函数在上是增函数，∈，解得．∈x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3求函数的定义域和值域．解：由题意可得，即，∈，故,∈函数的定义域是．令，则，又∈，∈．∈，即．∈，即,∈函数的值域是．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．解：令，则，函数可化为，其对称轴为．当时，∈，∈，即．∈当时，, 解得或（舍去）；当时，∈，∈，即，∈ 时，，解得或（舍去）；∈a的值是3或．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5解方程．解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∈，∈，经检验原方程的解是．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．解：∈，∈把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．综合练习1 比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，且，比较a与b；（4）若，且，比较a与b．解：（1）由，故．又，故．从而．（2）由，因，故．又，故．从而．（3）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（4）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2 曲线分别是指数函数, 和的图象,则与1的大小关系是( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.3 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12；当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
高中数学：指数与指数函数导学案
指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．()(2)函数y＝a－x是R上的增函数．()(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()(4)当x＞0时，y＝a x＞1.()(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．()考点一指数幂的运算[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．考点三指数函数的性质命题点1.比较指数式的大小2.解指数方程或指数不等式[例3] (1)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间．3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解．[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________．二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.5．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )2．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称3．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．6．计算：＝________.7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．8．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论：4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1) (1)讨论f (x )的单调性；(2)若m ∈R 满足f (m )＞f (m 2＋2m －2)，求m 的范围．。
与指数函数、对数函数有关的最值（值域）问题
求与指数函数㊁对数函数有关的最值(值域)问题的关键是转化与化归思想的应用,下面归类举例说明此类问题的求解方法㊂一㊁求函数的最值例1 设函数f (x )=l o g ax (a >0且a ʂ1)的图像经过点(2,1),当2ɤx ɤ4时,求函数h (x )=f (2x )fx8的最值㊂解:由函数f (x )=l o g ax (a >0且a ʂ1)的图像经过点(2,1),可得l o g a2=1,解得a =2,所以函数f (x )=l o g 2x ,且定义域为{x |x >0}㊂所以函数h (x )=f (2x )fx8=l o g 2(2x )㊃l o g 2x 8=(l o g 2x +1)(l o g 2x -3),且x ɪ[2,4]㊂令t =l o g 2x ,t ɪ12,2,则函数h (x )等价于g (t )=(t +1)㊃(t -3)=t 2-2t -3,其对称轴为t =1㊂因为函数g (t )在t ɪ12,1上单调递减,在t ɪ[1,2]上单调递增,所以h (x )m i n =g (t )m i n =g (1)=-4㊂又因为g 12=-154,g (2)=-3,所以h (x )m a x =g (t )m a x =g (2)=-3㊂故函数h (x )的最大值为-3,最小值为-4㊂评注:解答本题的关键是通过换元变形,将原问题转化为熟悉的一元二次函数在区间上的最值问题,再借助 配方 变形即可得到最值㊂二㊁求函数的值域例2 已知函数f (x )=l o g 3x +1,x ɪ[1,9],求函数h (x )=[f (x )]2+f (x 2)的值域㊂解:因为函数f (x )的定义域为[1,9],所以1ɤx ɤ9,1ɤx 2ɤ9,解得1ɤx ɤ3,即x ɪ[1,3],所以函数h (x )=[f (x )]2+f (x 2)的定义域为[1,3]㊂h (x )=[f (x )]2+f (x 2)=(l o g 3x +1)2+l o g 3x 2+1=(l o g 3x )2+4l o g 3x +2㊂设t =l o g 3x ,因为x ɪ[1,3],所以t ɪ[0,1],所以函数h (x )等价于函数φ(t )=t 2+4t +2=(t +2)2-2,且φ(t )在t ɪ[0,1]上单调递增㊂当t =0,即x =1时,h (x )取得最小值,可得h (x )m i n =φ(0)=2;当t =1,即x =3时,h (x )取得最大值,可得h (x )m a x =φ(1)=7㊂故函数h (x )的值域是[2,7]㊂评注:求函数y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域时,容易忽视1ɤx 2ɤ9的情况㊂在复合函数中,外层函数的定义域是内层函数的值域,若已知f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ɤg (x )ɤb 解出;若已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],求g (x )的定义域,相当于x ɪ[a ,b ],求g (x )的值域(即f (x )的定义域)㊂三㊁由给定的最值,求参数的值例3 设函数f (x )=a x -a -x(a >0且a ʂ1)㊂已知f (1)=83,函数g (x )=a 2x+a-2x-2m f (x )在区间[1,+ɕ)上的最小值为-2,求实数m 的值㊂解:依题意得f (1)=a -1a =83㊂因为a >0且a ʂ1,所以a =3,所以函数f (x )=3x -3-x ,所以函数g (x )=32x +3-2x -2m (3x-3-x )=(3x -3-x )2-2m (3x -3-x)+2,且x ɪ[1,+ɕ)㊂令t =3x -3-x ,由函数t =3x -3-x在[1,+ɕ)上单调递增,可得t ȡ83,即t ɪ83,+ɕ㊂83 创新题追根溯源 高一数学 2023年11月函数g (x )等价于函数h (t ),且h (t )=t 2-2m t +2在83,+ɕ上的最小值为-2㊂函数h (t )=t 2-2m t +2的图像的对称轴为t =m ,当m >83时,h (t )m i n =h (m )=-m 2+2,由-m 2+2=-2,解得m =ʃ2,不符合题意;当m ɤ83时,函数h (t )=t 2-2m t +2在83,+ɕ上单调递增,h (t )m i n =h 83=829-163m ,由829-163m =-2,解得m =2512㊂因为2512<83,所以实数m =2512,符合题意㊂故实数m =2512㊂评注:利用恒等式(a x -a -x )2=a 2x+a-2x-2进行转化是解题的关键㊂四㊁由给定的值域,求参数的取值范围例4已知函数f (x )=2x-a ,x <4,l o g 2x ,x ȡ4,若f (x )存在最小值,则实数a 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,4] B .[-2,+ɕ)C .(-ɕ,-2)D .(-ɕ,-2]解:已知函数f (x )=2x-a ,x <4,l o g 2x ,x ȡ4,当x <4时,f (x )=2x-a 的值域是(-a ,16-a );当x ȡ4时,由f (x )=l o g 2x ,可得f (x )m i n =2㊂由题意知,f (x )存在最小值,所以-a ȡ2,解得a ɤ-2,即实数a ɪ(-ɕ,-2]㊂应选D ㊂评注:准确理解指数函数和对数函数的图像与性质,有助于顺利破解与指数函数和对数函数有关的最值(值域)问题㊂已知函数f (x )=9x+m ㊃3x+19x +3x+1㊂(1)若对任意的x ɪR ,f (x )>0恒成立,求实数m 的取值范围㊂(2)若函数f (x )的最大值为2,求实数m 的值㊂(3)若对任意的x 1,x 2,x 3ɪR ,均存在以f (x 1),f (x 2),f (x 3)为三边长的三角形,求实数m 的取值范围㊂提示:(1)因为对任意的x ɪR ,f (x )>0恒成立,所以9x+m ㊃3x+19x +3x+1>0,可得9x+m ㊃3x +1>0,即-m <3x+13x 恒成立㊂因为3x >0,所以3x+13x ȡ2,当且仅当x =0时取等号,所以-m <2,可得m >-2,即实数m ɪ(-2,+ɕ)㊂(2)函数f (x )=9x +m ㊃3x+19x +3x+1=1+(m -1)㊃3x9x +3x +1=1+m -13x +3-x+1㊂因为3x +3-x ȡ2,所以3x +3-x+1ȡ3㊂当m -1<0,即m <1时,1>f (x )ȡ1+m -13,不符合题意;当m =1时,f (x )=1,不符合题意;当m -1>0,即m >1时,1<f (x )ɤ1+m -13,可得1+m -13=2,所以m =4㊂综上可得,实数m =4㊂(3)由题意知,f (x 1)+f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1,x 2,x 3ɪR 恒成立㊂当m >1时,2<f (x 1)+f (x 2)ɤ2m +43,且1<f (x 3)ɤm +23,所以m +23ɤ2,可得1<m ɤ4;当m =1时,f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=1,符合题意;当m <1时,2m +43ɤf (x 1)+f (x 2)<2,且m +23ɤf (x 3)<1,所以2m +43ȡ1,可得-12ɤm <1㊂综上所述,实数m ɪ-12,4㊂作者单位:1.江苏省无锡市第六高级中学2.江苏省无锡市青山高级中学(责任编辑 郭正华)93创新题追根溯源高一数学 2023年11月。
高中数学必修1 指数函数与对数函数教案(知识点+例题+练习)
学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。
高中数学必修第一册人教A版4.2《指数函数的图象和性质》名师课件
2
1
2
小值为(2ሻ = 2 , ∴ − 2 = ,解得 = 或 = 0(舍去).
②当 > 1时,函数(ሻ = ( > 0, 且 ≠ 1ሻ 在 [1,2]上的最大值为(2ሻ = 2 ,最小值为
(1ሻ =
1
= , ∴
综上所述, =
1
2
2
− =
3
2
或 = .
故函数 = 2+2 − 4 + 1 的最小值为
11
4
.
1
2
−2
2
+5=
11
.
4
典例讲授
例3、比较下列各组中两个值的大小.
(1)
5 −1.8 5 −2.5
,
7
7
；(2)
2 −0.5 3 −0.5
,
；(3)
3
4
0.20.3 , 0.30.2
解析
5
7
(1)∵ 0 < < 1, ∴函数 =
5
在定义域R上单调递减,又−1.8
4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：
5.数学建模：通过由抽象到具体,由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.
探究新知
研究初等函数性质的基本方法和步骤：
描点法
1、画出函数图象
2、研究函数性质
探究新知
作出函数 = 2 的图象
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.25
(1)求, 的值；
(2)若不等式 − ⋅ 4 ≥ 0在 ∈ [−1,1]上有解,求实数的取值范围.
指数函数教案(精选多篇)
指数函数教案(精选多篇)第一篇：指数函数教案.doc一．思考题1.学来回答其变化的过程和答案2.通过ppt来讲解思考题二、问题1.直接说出指数函数2.同学来思考问题23.给出指数函数的概念三．例题1.念下题目，叫学生思考几秒钟，请学生来回答。
2.对学生的回答进行分析四．思考1.第一个思考，引导学生说出图像的做法，2.请学生来画出4个图像3.对图像进行补充4.从函数的三要素来分析图像的性质5.从图像上的到恒过的点及单调性6.进行底数互为倒数的函数图像的比较、得到对称的性质（换算）7.进行底数不同大小的比较，说明其大小的变化五．例题先思考，再请同学来回答，再进行点评六、总结七、布置作业第二篇：《指数函数概念》教案《指数函数概念》教案（一）情景设置，形成概念1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=2x②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），得出结论ｙ=（1/2）ｘ引例2：《庄子。
天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。
2、形成概念：形如ｙ=ax（a 0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈r。
提出问题:为什么要限制a 0且a≠1？这一点让学生分析，互相补充。
分a﹤=0，a=1讨论。
1）a 0时，ｙ=(-3)x对于x=1/2，1/4，??(-3)x无意义。
2）a=0时，x 0时，ax=0；x≤0时无意义。
3）a=1时，a= 1=1是常量，没有研究的必要。
（二）发现问题、深化概念问题：判断(转载需注明来源：)下列函数是否为指数函数。
1）ｙ=-3ｘ2）ｙ=31/x3) ｙ=31+x4) ｙ=(-3)x5) ｙ=3-x=(1/3) x1、1）ax 的前面系数为1； 2）自变量x在指数位置； 3）a 0且a≠1。
2、问题中4）ｙ=(-3)x的判定，引出上面讨论的问题：即指数函数的概念中为什么要规定a 0且a≠1。
数学学案：指数函数()
学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修1第三章3。
1。
2 指数函数1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象．2．探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质．3．利用计算工具，比较指数函数增长的差异．1．指数函数的定义函数______________叫做指数函数，其中________是自变量．对指数函数定义的理解应注意以下两点：（1)定义域：因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数．(2）规定底数a大于零且不等于1的理由是：如果a＝0,错误!如果a＜0,比如y＝(－4)x，这时对于x＝错误!，x＝错误!，…y＝（－4)x都无意义．如果a＝1，对于任何实数x,y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了．【做一做1】指数函数y＝（a－1）x中，实数a满足的条件是__________．2．指数函数的图象和性质定义域：______值域:______图象过定点______在______上是增函数在______上是减函数指数函数y＝a x（a＞1)在R上为单调增函数,在闭区间［s，t］上存在最大、最小值，当x＝s时，函数有最小值a s；当x＝t时，函数有最大值a t.指数函数y＝a x（0＜a＜1)在R上为单调减函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当x＝s时,函数有最大值a s；当x＝t 时，函数有最小值a t。
【做一做2－1】函数y＝2－x的图象是( ）【做一做2－2】函数y＝a x－1＋2 011(a＞0且a≠1)中,无论a取何值恒经过一个定点，则这个定点的坐标为________．【做一做2－3】(1）已知3x≥9，求实数x的取值范围；（2)已知0。
2x＋1＜5，求实数x的取值范围．一、指数函数y＝a x（a＞0,且a≠1）的函数值的变化规律剖析:先从具体函数入手：列表：从上表中很容易发现：①当x＜0时，总有2x＞3x；②当x＞0时，总有2x＜3x；③当x从1增加到3，y＝2x的函数值从2增加到8,y＝3x的函数值从3增加到27,说明当x＞0时，函数y＝3x的函数值比y＝2x的函数值增长得要快．又对于指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)，当将底数a由2变为3，发现它们的图象发生了显著变化，在第一象限内，底数a越小,函数的图象越接近x轴．再类似地列表分析函数y＝错误!x和y＝错误!x的函数值的变化．由上面的探究过程可以得出底数a对函数值的影响：指数幂a x和1的比较:当x＜0，a＜1或x＞0，a＞1时，a x＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，a x大于1,简称为“同大"．当x＜0，a＞1或x＞0，a＜1时，a x＜1，即指数x和0比较,底数a和1比较，当不等号的方向相反（异）时,a x小于1，简称为“异小”．因此简称为“同大异小”．二、指数函数的图象分布规律剖析：先从特例入手：在同一个坐标系中画出下列各函数的图象:①y＝2x;②y＝5x；③y＝错误!x；④y＝错误!x。
人教B版高中数学必修一教案-3.1 指数与指数函数
2.1.2 指数函数及其性质（1）三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质..能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体、学案. 教学过程（一）新课导学探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的关系式是问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的关系式是【讨论】：（1）这两个关系式是否构成函数？我们发现：在两个关系式中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式2x y= 和 1()2xy = 都是函数关系式。
（2）这是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？我们发现： 函数2x y= 和 1()2xy =在在形式上是是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上。
底数是常数，指数是自变量。
结论：函数2x y= 和 1()2x y =都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数. （引入新课，书写课题）（二）概念讲解指数函数的概念：一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①xa 前面的系数为：1 ②a 的取值范围：a ＞0，a ≠1③指数只含x2：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？①当0=a ，ⅰ若0>x ，则00=xⅱ若0≤x ，则x0无意义，如：21-=x ，则010102121===-y 无意义。
高中数学_指数函数图象与性质教学设计学情分析教材分析课后反思
“指数函数的图象与性质”教学设计一、教材内容分析：教学内容：本节教学内容见《普通高中教科书人民教育出版社A版必修1第一册第四章第二节第二课（4.2.2）《指数函数图象与性质》》的第二节即指数函数及其性质的第二课时，所需要进行教学的内容为：指数函数的图象、性质及简单应用。
内容分析：指数函数的底数取值情况为1a且，a为底数，底数对于0≠>a指数函数来说至关重要，其影响指数函数的图象和性质。
本节课程需要学生并能够绘制指数函数图象，了解底数a对于图象如何影响，通过对图象观察、对比、分析得到指数函数的性质，从而提高学生的观察能力，通过性质的产生过程，学生逐步掌握“分类讨论”与“数型结合”的数学核心素养。
二、学生学情分析学生学习基础：在初中时期，学生已经接触到一些函数即一次函数、二次函数以及反比例函数，不仅熟悉这些函数的图象和性质，而且对于函数的研究有了一些了解与认识，其中包括描点法绘制函数图象，这一系列的函数基础，能够初步使用数形结合的思想来考虑抽象问题。
学生学习阻碍：学生的思维方式依旧以直观思维方式为主，因此尽管具备了基础的函数学习的技能，但在本节课程中要想清晰的理解底数a在对指数函数的图象和性质的影响中起到何种作用依旧存在困难。
三、教学目标分析（一）课程目标：在学生的画图过程中，发现底数a的变化是如何影响指数函数的图形及其性质，并且得到指数函数的图象，通过对图象的观察、分析，掌握指数函数的性质。
（二）课时目标及目标解析：【课时目标】1、通过分组画指数函数y=2x与y=(1/2)x，y=3x与y=(1/3)x的图象，感悟底数a的变化对指数函数的图象的影响。
2、观察指数函数图象，对图象进行细致的分析与研究，进而获得指数函数的性质，在这一学习过程中，学生的观察学习水平以及数形结合的思想均能够得到提升，培养学生的数学思维能力。
3、结合具体例题，对涉及指数函数图象和形制的问题进行解决，以此让学生掌握相关基础知识的应用，使学生对用图形来分析函数性质这一学习方式得以重视。
新人教版高中数学必修一教案：第3节 指数函数
2.3指数函数【知识要点】1. 指数函数：一般地，函数y=xa （a>0,且a ≠1）叫做指数函数。
2. 指数函数y=xa （a>0,且a ≠1）的图像与性质3.指数函数的运算性质 （1）m n a a ∙= m na +（a>0，m,n ∈R ）（2）()m nmna a= （a>0，m,n ∈R ）（3）()n n nab a b = （a>0，m,n ∈R ） （4）mnm na a a-÷= （a>0，m,n ∈R ）（5） ()nn n a a b b= （a>0,b>0,n ∈R ）4. 指数函数图像的平移规律若已知y=xa 的图像，则把y=xa 的图像向左平移b(b>0)个单位，则得到y=x ba +的图像；把y=xa 的图像向右平移b （b>0）个单位，则得到y=x ba-；把y=xa 的图像向上平移b(b>0)个单位，则得到y=xa +b 的图像；把y=xa 的图像向下平移b(b>0)个单位，则得到y=xa -b的图像。
5. 指数函数的实际运用在实际生活中经常遇到的与指数函数有关的函数模型：（1）指数增长模型，在(1)x y N p =+型函数中N 为原产值，p 为平均增长率，y 为总产值，x 为时间。
（2）复利计算公式(1)xy a r =+（a 为本金，r 为每期利率，x 为期数，y 为本利和），我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算。
【知识应用】1. 方法：判断一个函数是否为指数函数，通过知道指数函数y=xa （a>0,且a ≠1）解析式的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：自变量x ；（3）系数：1. （特别提醒：指数函数的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可）【J 】例1 指出下列函数中哪些是指数函数：（1）y= 4x （2）y= 4x （3）y=-4x（4）y= (4)x- （5）xy π=【L 】例2已知函数2(33)xa a a -+是指数函数，则a=_________【C 】例3 指出下列函数哪些是指数函数：（1）y=24x （2）y=xx (3)y= (21)xa -(a>12,且a ≠1) （4）31xy =+2. .方法：利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的的方法，记忆指数函数性质时可以联想函数的图像。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
高中数学学案：指数函数
高中数学学案：指数函数1. 理解指数函数的概念、图象和性质．2. 能利用函数图象的平移与对称变换讨论指数函数的图象．3. 会利用换元法及分类讨论的数学思想,求解一些复杂函数的值域.1. 阅读必修1第64～67页,理解指数函数的定义和图象特征,能用自己的语言概括第65页表格的内容．2. 理解教材第66页例2和例3及第67页思考,结合指数函数的图象特征理解左右平移和上下伸缩变换的关系．3. 完成教材第67页练习第3、5题,加深理解指数函数的图象和性质.基础诊断1. 下列函数中是指数函数的有__④__．(填序号)①f(x)＝2·3x；②f(x)＝31x；③f(x)＝3x＋1；④f(x)＝(a－1)x(a>1,a≠2)．解析：由指数函数的定义可知④是指数函数．2. 不等式6x2＋x－2<1的解集是__(－2,1)__．解析：由题意得x2＋x－2<0,解得－2<x<1.3. 如图所示的曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y＝a x,y＝b x,y＝c x,y＝d x的图象,则a,b,c,d的大小关系为__b<a<d<c__.解析：y轴左、右两侧的图象对应函数的底数按逆时针方向增大,所以c>d>1,1>a>b>0.4. 已知函数f(x)＝a x－b的图象如图,a,b为常数,则下列结论正确的是__④__．(填序号)①a>1,b<0；②a>1,b>0；③0<a<1,b>0；④0<a<1,b<0.解析：由f(x)＝a x－b的图象知函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减,所以0<a<1；函数f(x)＝a x －b 的图象是在f(x)＝a x 的基础上向左平移得到的,所以b<0.范例导航考向❶ 指数函数的图象及其应用 例1 已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1) 作出函数的图象(简图)； (2) 由图象指出其单调区间；(3) 由图象指出当x 取什么值时函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|有最值,并求出最值．解析：(1) 方法一：由函数解析式可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1， x<－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)――→向左平移1个单位长度y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x<0)――→向左平移1个单位长度y ＝3x ＋1(x<－1)． 如图所示．方法二：①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|可知函数是偶函数,其图象关于y 轴对称,故先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象,保留x ≥0的部分,当x<0时,其图象是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)图象关于y 轴对折,从而得出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|的图象．②将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|的图象向左平移1个单位长度,即可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|的图象,如图所示．(2) 由图象知函数的单调增区间为(－∞,－1),单调减区间为(－1,＋∞)．(3) 由图象知当x ＝－1时,有最大值1,无最小值．若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点,则b 的取值范围为__[－1,1]__．解析：分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围. 曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示,由图象可得：若|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．考向❷ 指数函数的性质及其应用例2 若函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a>0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14,求实数a 的值． 解析：设t ＝a x ,则y ＝f(t)＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.①当a>1时,t ∈[a －1,a],所以y max ＝a 2＋2a －1＝14,解得a ＝3或a ＝－5(舍去)； ②当0<a<1时,t ∈[a,a －1],所以y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14,解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 故所求a 的值为3或13.已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3.(1) 求f(x)的定义域； (2) 证明：f(－x)＝f(x)； (3) 证明：f(x)>0.解析：(1) 由2x －1≠0得x ≠0, 所以定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)．(2) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3可化为f(x)＝2x ＋12（2x－1）·x 3, 则f(－x)＝2－x ＋12（2－x －1）(－x)3＝2x ＋12（2x－1）x 3＝f(x),所以f(－x)＝f(x)．(3) 当x>0时,2x>1,x3>0,所以f(x)＝(12x－1＋12)x3>0.因为f(－x)＝f(x),所以当x<0时,f(x)＝f(－x)>0.综上所述,f(x)>0.考向❸运用分类讨论思想解决指数函数的综合问题例3已知函数f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)．(1) 判断函数f(x)的奇偶性；(2) 讨论函数f(x)的单调性；(3) 若当x∈[－1,1]时,f(x)≥b恒成立,求实数b的取值范围．解析：(1) 因为函数定义域为R,关于原点对称,又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x),所以函数f(x)为奇函数．(2) 当a>1时,a2－1>0,因为y＝a x为增函数,y＝a－x为减函数,从而y＝a x－a－x为增函数,所以函数f(x)为增函数．当0<a<1时,a2－1<0,因为y＝a x为减函数,y＝a－x为增函数,从而y＝a x－a－x为减函数,所以函数f(x)为增函数．故当a>0,且a≠1时,函数f(x)在定义域内单调递增．(3) 由(2)知f(x)在R上是增函数,所以在区间[－1,1]上为增函数,所以f(－1)≤f(x)≤f(1),所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1,所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立,则只需b≤－1,故b的取值范围是(－∞,－1]．自测反馈1. 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,则实数a ＝__2__．解析：因为y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,所以a 2－3a ＋3＝1,解得a ＝2或a ＝1(舍去)． 2. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的值域是__(0,＋∞)__．解析：通过换元,令u ＝1－x 转为指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ,u ∈R,所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u的值域为(0,＋∞),即原函数的值域为(0,＋∞)．3. 已知函数f(x)＝a 2x －1－1(a>0,a ≠1)过定点,则此定点坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0__．解析：由2x －1＝0得,x ＝12,则此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 0－1＝0,所以函数f(x)过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.4. 已知函数f(x)＝e |x －a| (a 为常数),若f(x)在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是__(－∞,1]__．解析：可以利用复合函数的单调性原则,将f(x)在区间[1,＋∞)上单调递增,转化为y ＝|x －a|在区间[1,＋∞)上单调递增,即a ≤x,故实数a 的取值范围为(－∞,1]．1. 比较两个指数幂大小时,尽量化为同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小；当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小．2. 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y 轴的左侧还是右侧,底数均是按逆时针方向变大．3. 你还有哪些体悟,写下来：。
高中数学人教A版 必修1《4.2.2指数函数的图象和性质》说课（23张PPT）教案（说课稿）
4.2.2 指数函数的图象和性质说课稿今天我说课的题目是《指数函数的图象和性质》，下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计这五个方面进行我的说课。
一、说教材首先，教材的地位和作用。
本节课选自人民教育出版社2019版必修第一册第四章第二节第二课时。
前面幂函数的学习为指数函数的研究提供了方法和依据，也为后续对数的学习奠定基础，在知识系统中起了承上启下的作用。
同时，在实际生活中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材。
其次，教学目标。
根据数学核心素养的要求，制定如下目标：1.能画出具体指数函数的图象2.能根据指数函数的图象说明指数函数的性质3.掌握指数函数的性质并解决简单问题。
最后，教学重难点。
通过对教学目标的分析，确定本节课的重点为指数函数的图象、性质，难点为指数函数图象和性质的探索与概括的过程。
…………………………………………………………………………………第二，说学情通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识有了一定的认知结构，主要体现在三个层面: 知识层面:学生已初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。
能力层面:学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。
情感层面:学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。
…………………………………………………………………………………第三，说教法学法在教法上，本节课主要采用四个问题与两个探究为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。
德国教育家第斯多惠曾说过“一个坏的教师奉送知识，一个好的教师则教人发现知识。
”在终身学习的时代背景之下，这就要求教师在教学过程中不能仅仅教授学科专业知识，更加注重学生对学习方法的把握，培养学生独立获取知识的能力。
为此，在教学过程中我将从以下几个方面渗透学法：1.学会作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。
高中数学_指数函数的图象和性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《指数函数的图象和性质》教学设计一、学习目标1.能画出具体指数函数的图象；2.观察指数函数图象，归纳出指数函数的性质，培养解决问题的能力3.通过观察图象、归纳总结指数函数性质的活动，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要。
二、数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.三、教学重难点教学重点：指数函数的概念和性质.教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.四、教法与学法教学策略：小组合作讨论策略;讲练有效结合策略;自主探究式学习策略教学手段：多媒体化课件；几何画板3、借助几何画板画出xx x x x x y y y y y y ）（）（41,31,)21(,4,3,2====== 的图象，通过图象不同的变化趋势， 可以将底数分为哪两类？ 底数分为a>1和0<a<14、观察图中的函数图象的位置，公共点，变化趋势，总结共同特征，小组分工分别讨论a>1和0<a<1的图象，汇报小组讨论结果，师生一起画出指数函数图象：)10(<<=a a y x )1(>=a a y x4、请同学们对照x a y =的图象，得出性质归纳：指数函数图象和性质图象，独立思考后回答。
观察图象，做出分类类比、探究，独立思考后由小组讨论，由小组派代表起来发言，说出发现的结果或规律。
由图象总结性质数两种不同的变化趋势，对指数函数分类研究做铺垫。
充分利用信息技术作图，学生对图象认识更加准确直观。
自然的将指数函数分为a>1和0<a<1两类。
让学生经历观察图象、发现规律的过程，目的是让学生通过对函数图象的观察与比较，归纳出指数函数中a 对图象的影响，同时培养学生数形结合地观察、思考5、课件出示：指数函数图象的性质6、完善学案上指数函数的图象与性质 10<<a1 a图象定义域 值域性质学生一起回答问题的意识与能力。
指数函数最值及函数值范围问题
指数函数最值及函数值范围问题
指数函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式可以表示为f(x) = a^x，其中 a 是一个常数。
本文将讨论指数函数的最值以及函数值的范围问题。
1. 指数函数的最值
指数函数的最值是指函数在定义域内的最大值或最小值。
对于指数函数 f(x) = a^x，最值的情况如下：
- 当 a>1 时，函数 f(x) 在定义域内是递增的，因此它的最小值是 f(0) = a^0 = 1，而没有最大值。
- 当 0<a<1 时，函数 f(x) 在定义域内是递减的，因此它的最大值是 f(0) = a^0 = 1，而没有最小值。
- 当 a=1 时，函数 f(x) = 1^x = 1，其值恒为1，既没有最大值也没有最小值。
2. 指数函数的函数值范围
指数函数的函数值范围是指函数在定义域内所有可能取到的值
的集合。
对于指数函数 f(x) = a^x，函数值的范围取决于 a 的取值范围：
- 当 a>1 时，函数值范围是(0, +∞)，即函数的值可以大于0且
无上界。
- 当 0<a<1 时，函数值范围是 (0, 1)，即函数的值介于0和1之间，不包括0和1。
- 当 a=1 时，函数的值恒为1，函数值范围只有一个值，即 {1}。
需要注意的是，指数函数在定义域外可能没有定义，因此我们
讨论的函数值范围仅限于定义域内。
通过对指数函数的最值和函数值范围的讨论，我们可以更好地
理解和分析指数函数的特性和行为。
参考文献：。
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授课类型T-指数函数C-函数的值域与最值T-指数函数教学目的1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。
3、掌握函数值域与最值的解法教学内容1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2xy =.2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下12米，再从中间剪一次剩下14米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.问题：这两个函数有何特点?同步讲解一、指数函数的概念 一般地，函数xy a=()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .注意：为何规定0a >，且1a ≠?你知道么？图象性质①定义域：R ②值域：（0,+∞）③过点（0,1）,即x =0时y =1④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时,y ＞1④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;当x ＞0时,0＜y ＜1利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.（1）32和 1.72； （2）230.6-和340.6-.【分析与解答】（1）因为指数2xy =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以31.722>.（2）因为指数函数0.6xy =在(),-∞+∞上是减函数，又2334->-，所以23340.60.6-->.求下列函数的定义域与值域。
（1）142x y -= （2）23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）1421x x y +=++【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。
【解】（1）由404x x -≠⇒≠所以定义域为}{,4x x R x ∈≠且1410214x x -≠∴≠-Q所以值域为{}0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。
2331322xxx y --≥⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==≥= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q 故值域为{}1y y ≥（3）定义域为R ，令2xt =，则()220,2111t y t t t >=++=+>所以值域为{}1y y >函数()(),x x f x a g x b ==的图像如图，试确定,a b 的大小；若()()3127f g ==，求()(),f x g x 的解析式。
【分析与解答】由图像知，()()11,1f g a b <∴<< 由题意：327a b == 所以，3,27a b ==所以函数的解析式分别为：()()3,27x x f x g x ==已知函数)1(122>-+=a a ay x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值【分析与解答】解： )1(122>-+=a a a y x x，换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a =3 (a = －5舍去)银行一年定期储蓄年利率为1.89%，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%利息缴纳利息税）自动转存一年期定期储蓄.（1）某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问5年后，这笔钱扣除利息税后的本利和为多少，精确到1元. （2）设本金为a 元，年利率为r ，扣除利息税20%后的本金和为y ，写出y 随年x 变化的函数式. 【分析与解答】（1）1年后的本利和为()12020 1.89%80%201 1.89%80%y =+⨯⨯=+⨯；2年后的本利和为()()221111.89%80%1 1.89%80%201 1.89%80%y y y y =+⨯⨯=+⨯=+⨯ ；……5年后的本利和为 ()55201 1.89%80%y =+⨯. 由计算器计算得 521.5584y ≈. 所以，5年后的本利和为215584元.()()()112111212221212xx xxf x f x-+-=+==--=----所以()11212xf x=+-是奇函数。
8、解不等式221250.20.2x x x x++-+>【解】00.21<<Q所以指数函数0.2ty=在R上是减函数。
又22125220.20.2125x x x x x x x x++-+>∴++<-+Q解得113x<<所以原不等式的解集为113x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭方法回顾教师：你还有哪些收获和感悟？--------函数的值域和最值知识结构一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
二、基本函数的值域1、 一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；2、 二次函数）（02≠++=a c bx ax y ；]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时3、 反比例函数()0k xky ≠=的值域为}0y |y {≠； 4、 指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 5、 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。
6、 函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-三、求函数值域的方法（注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域） 1、 观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域；题型Ⅰ求一元二次函数为背景的函数的值域求函数22()4422f x x ax a a =-+-+在[0, 2]上的最值 【分析与解答】： 22()4()222a f x x a =--+(1)当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在上递增．∴ f (x )max ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.(2)当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在上递减．∴ f (x )max ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.(3)当0≤a2≤2时，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－2a ＋2.①当0≤a2≤1时，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝a 2－10a＋18；②当1≤a2≤2时，即2≤a ≤4时，f (x )max ＝a 2－2a ＋2.题型Ⅱ求以分式为背景的函数的值域求函数22221x x y x x -+=++ 的值域？若是求(2,3)x ∈ 的值域呢？【分析与解答】（1）方法一：2222(1)33211x x x xy x x x x ++-==-++++ 转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得[1,5]y ∈ ；方法二：由题意得x R ∈ ，此式可看成是关于x 的方程在R 上有解，故得22(1)22y x x x x ++=-+ ，整理可得22(1)20y x y x y -+++-=（）在R 上有解（1）2y = 时，0x = ；（2）2y ≠ 时，2214(2)0y y ∆=+--≥（），得[1,5]y ∈ ； 综上所述：[1,5]y ∈（3）当x有范围时只能考虑方法一了，解题步骤如方法一，2222(1)33211x x x xyx x x x++-==-++++，(2,3)x∈，转化为分子为一次分母为二次的函数的值域为817(,)713y∈1.若x为实数，则函数532-+=xxy的值域是（）A. RB.),0[+∞ C.),7[+∞- D. ),5[+∞-2．已知,25≥x则4254)(2-+-=xxxxf有（）A. 最大值45B. 最小值45C. 最大值1D. 最小值13．函数xxxf4)(2+-=在],[nm上的值域是],4,5[-则nm+的取值所成的集合为（）A.]6,0[B. ]1,1[- C. ]5,1[ D. ]7,1[4.函数)(xf=1232++-xx的值域为（）A.[)∞+，0 B. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-43,C. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-332, D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡332,05.函数)(xf=)1(11xx--的最大值是（）A.54B.45C.43D.346．函数]1,3[,1--∈-=xxy的最大值与最小值的差为7．函数]3,21[,1)(∈+=xxxxf的值域是8．（1）函数322++-=xxy的值域是1.能力培养（2012四川文）函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（ ）【解析】采用特殊值验证法. 函数(0,1)xy a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. 【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.（2012北京文）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <, 则m 的取值范围是________ .【解析】首先看()22xg x =-没有参数,从()22xg x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.2.检测总结16． 若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .17．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性； （2）求f (x )的值域；（3）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.我的感悟和收获：。