中考数学新概念题材

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中考数学中的新概念题

题中小明的说法是正确的，明如下．证
思想方法，一个全新的情境中思考问题，在探
要标志．类试题思维含量丰富，以考查学此可生独立获取知识及知识迁移的能力．由于考生在阅读试题的过程中，解程度、维水理思平、合情推理能力各不相同，因此可以体现区分度，为具有选拔功能的中考提供了一种这行之有效的工具，以新概念试题越来越受所
升数 ” 是一种全新的、殊的概念，求考生特要在准确全面地理解这种新概念涵义的基础上，用这种特殊概念去创造性地思考并解运决问题．最小的两位数是１，大的两位数是０最９，９一共有９０个数字．在１而０到ｌ９中，上 “
到全国各地中考命题者的青睐．为应对中考中的这类问题，教学中应在
对学生加强以下几方面的训练．１加强对学生数学阅读理解能力的培养．
求问题的最终答案，一步培养了学生思考进问题和解决问题的能力．
新知识的理解接受能力，又能考查学生适应新问题、运用新知识解决实际问题的能力，从
而有利于学生在建构新知识的过程中养成探究习惯，高自主学习的能力，掘进一步学提发习数学的潜能．依据题中的已知条件可求得
升数 ” ８个；２有在０到２９中，上升数 ” ７ “ 有个； ……在９０到９９中，上升数 ” ０个． “ 有因此在１０到９９中“ 升数 ” 上有８＋７＋６＋４＋２＋１＝６个）５＋３＋３（．

中考数学复习《新定义新概念问题》

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

题型专项(二) 新定义或新概念问题

题型专项(二) 新定义或新概念问题新定义或新概念问题是四川中考中的常考题型，考查时主要以小题的形式呈现，偶尔在解答题中作为背景素材呈现，难度较大，解答此类题的关键是理解新运算或新概念，然后通过模仿、类比或归纳解决问题． (2017·成都)在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x ，y)，我们把点P′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”，直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A′，B ′均在反比例函数y ＝k x的图象上，若AB ＝22，则k ＝－43．【思路点拨】根据题意，设点A ，B 的坐标分别为A(a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，则k ＝1＝11－b ）①，再根据AB ＝值．，其实就是“1．(2017·，(B)A ．8 2．设a ，b ，⎪⎪ 2 1的值为－10．3．(2017·C ，D 分别是点的坐标为(1，0)．4．(2016·雅安)P 为正整数，现规定P ！＝P(P －1)(P －2)…×2×1.若m ！＝24，则正整数m ＝4．5．(2017·吉林)我们规定：当k ，b 为常数，k ≠0，b ≠0，k ≠b 时，一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝bx ＋k 互为交换函数．例如：y ＝4x ＋3的交换函数为y ＝3x ＋4.一次函数y ＝kx ＋2与它的交换函数图象的交点横坐标为1．6．(2016·成都)实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B(如图)，若AM 2＝BM·AB ，BN 2＝AN·AB ，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”．当b －a ＝2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n7．(2017·乐山)对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y′＝nx n －1＋mx m －1(m ，n 为常数)．例如y ＝x 4＋x 2，则y′＝4x 3＋2x.已知：y ＝13x 3＋(m －1)x 2＋m 2x. (1)若方程y′＝0有两个相等实数根，则m 的值为12； (2)若方程y′＝m －14有两个正数根，则m 的取值范围为m ≤34且m ≠12． 8．(2017·宜宾)规定：[x]表示不大于x 的最大整数，(x)表示不小于x 的最小整数，[x)表示最接近x 的整数(x ≠n ＋0.5，n 为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是②③．(写出所有正确说法的序号)①当x ＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；②当x ＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7； ③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x]＋(x)＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．。

中考数学中的新定义题型赏析

中考数学中的新定义题型赏析.近年来的中考，竞赛中，屡屡涌现出一种新型试题──新概念问题，它们立意考查学生阅读、阐发、仿练、归纳、内化等综合能力，在解决它们过程中又可发生了许多新方法、新不雅念，增强了学生创新意识．试题新颖别致，颇具魅力，成为中考、竞赛试题中的一朵朵奇葩，现采撷几束予以赏析．一、定义一种新数【例1】日常生活中，“白叟〞是一个模糊的概念，有人想用“白叟系数〞来暗示一个人的老年化程度，此中一个人的“白叟系数〞计算方法如下表：人的春秋x〔岁〕x≤6060＜x＜80 x≥800 1该人的“白叟系数〞按照这样的规定，一个春秋为70岁的白叟的“白叟系数〞为．赏析：一个春秋为70岁的白叟，因春秋在60～80岁之间，按照白叟系数的规定，这位白叟的“白叟系数〞为＝．【例2】〔“但愿杯〞邀请赛试题〕对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：暗示不是n的约数的最小自然数，如<7>=2，<12>=5，等等，那么<19>×<98>= (式子中“×〞暗示乘法)．赏析：按照的定义，<19>＝2，<98>＝3，故<19>×<98>＝2×3＝6．此题要求考生弄懂“新数〞的定义，抓住“新数〞的定义推理，斗胆演练，不难得到答案．二、定义一种新的运算【例3】用“〞定义新运算：对于任意实数a，b都有a b＝b2＋1，例如74＝42＋1＝17，那么53＝，m〔m2〕＝．赏析：依据新运算的定义，53＝32+1＝10，〔m2〕＝22+1＝5，故m〔m2〕＝〔m5〕＝52+1＝26．【例4】在有理数范围内规定一种新运算“*〞，其规那么为a*b＝a2－b2，按照这个规那么，求2*5的成果为.赏析：按照新运算的定义，2*5＝22－52＝4-25＝－21.【例5】用“←〞与“→〞定义：对于任意实数a，b，都有a←b=a，a→b＝b，例如：3←2＝3，3→2＝2，那么〔2006→2005〕←〔2004→2003〕＝．赏析：按照新运算“←〞与“→〞的意义：对于任意实数a，b，都有a←b=a，a→b ＝b，故〔2006→2005〕＝2005；〔2004→2003〕＝2003，〔2006→2005〕←〔2004→2003〕＝2005←2003＝2005．【例6】现定义两种运算：“〞，“〞，对于任意两个整数a，b，a b=a+b-1，a b＝a×b-1,求4【〔68〕〔35〕】的值．赏析：按照新运算的定义，〔68〕＝6＋8－1＝13，〔35〕＝3×5－1＝14，那么〔68〕〔3 5〕＝1314＝13＋14－1＝26那么4【〔68〕〔35〕】＝4 26＝4×26-1＝103．以上试题要求考生趁热打铁，现学现卖，抓住“新运算〞的定义，积极推理，模仿演练，可一举成功！三、给定一种新的规那么或要求，要求按规那么或要求解题【例7】同学们玩过“24点〞游戏吗？现给你一个无理数，你再找3个有理数，使它们颠末3次运算后得到的成果为24，请你写出一个符合要求的等式．赏析：此题集趣味性，开放型，娱乐性，挑战性于一身，试题的答案很多，只要我们开动脑筋，斗胆想象，就可找出最简单，最可行的方案．现举两例：×0+1+23＝24；，〔提示：〕此题值得回味的是，如何使无理数最终变成有理数.。

中考新定义题型解题技巧

中考新定义题型解题技巧
新定义题型是中考数学中的一种常见题型，主要考查学生对新概念、新运算、新符号的理解和应用能力。

解题时，学生需要将新定义的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

以下是一些解题技巧：
对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。

细细品尝新定义的观点、法例，对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求邻近知识点，明确它们的共同点和不一样点。

通过阅读材料渗透新概念、新运算、新符号、新规定等知识，结合已经学过的知识、掌握的技能进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移。

例如，2023年北京中考数学第28题中的新定义“关联点”，学生首先要通过阅读提取新的信息，再利用已有认知加工信息，将新定义转化为熟悉的旧知，建立模型，最后利用已有经验在新定义的框架内解决问题。

初中新定义题型

初中新定义题型通常是指那些基于新的概念、定义或解题方法的数学题。

这些题目往往要求学生理解并运用新的知识点，从而培养学生的创新思维和解决问题的能力。

举一个例子，假设有如下新定义题型：
题目：在平面直角坐标系中，我们定义一个新的运算“★”，对于任意两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，规定A★B = (x1 + x2, max{y1, y2})。

其中
max{y1, y2}表示y1和y2中的较大值。

(1) 根据新定义，求点C(3, 4)★点D(5, 2)的结果；
(2) 若点E(p, q)★点F(m, n)与点G(2, -3)相同，求满足条件的所有点F的坐标；
这种新定义题型的解题关键在于理解题目给出的新运算规则，并基于此规则进行运算和推理。

在上面的例子中，学生需要理解“★”运算的定义，并运用它来解决给定的问题。

请注意，这里的新定义题型只是一个示例，实际的初中新定义题型可能涉及更多的数学知识点和更复杂的解题思路。

因此，学生在面对这类题型时，需要充分理解题目要求，掌握相关知识点，并灵活运用解题方法来解决问题。

中考数学新概念型专题

数学中考复习——新概念型一、定义新的运算或新的法则例1 现定义运算“★”：对于任意实数,a b ，都有a ★b 23a a b =-+，如3★5=23335-⨯+. （1）计算2★4=_________；（2）若x ★2=6，则x=_________.例2 若分式b a 满足11b a a =+，则称11a +是b a 的 “带分式”，记作《11a 》. （1）分式1x x+的“带分式”是_______________________. （2）计算：《111x -》221x x --.练习：1.规定一种新运算a ※b=a 2－2b,如1※2=-3，则2※（－2）= . 2．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a ≥b 时，a *b =2b ；当a ＜b 时，a *b =a ，则当2x =时，(1*)(3x x ⋅-*)x =____________________.3. 已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）A 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同B 、因为y 1,y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ，则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k4.若两个不同的一元二次方程有一个相同的根，那么称这两个方程为友好方程.（1）试判断一下方程0232=+-x x 与0632=-x x 是不是友好方程.（2）若一元二次方程0232=+-x x 与a x ax x 332+=+是友好方程，试求a 的值.二、定义一个新的概念例3．若a ＋b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数.（1） 3与是关于1的平衡数，5－2与是关于1的平衡数；（2）若(m ＋3)×(1－3)＝－5＋33，判断m ＋3与5－3是否是关于1的平衡数，并说明理由.B C A 练习： 5．定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④6．若ab=4，则称a 与b 是关于2的“比例数”；（1）3关于2的比例数是________；3—5与___________是关于2的比例数；（2）若x 1、x 2是方程x 2+(m-4)x+m 2+3=0的两根，且x 1、x 2是关于2的比例数，试求m 的值。

初三数学专题复习——新概念题型

初三数学专题复习新概念型问题一、选择题1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数".从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中,符合这一规律的是( ） A 。

13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D 。

49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位:秒），他与教练距离为y (单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的( ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q答案：D.3。

如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6;④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ )个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个答案:B4．已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线"，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）O30 t / 秒y /米QNM PC B AA 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同B 、因为y 1，y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ,则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案:D二、填空题5。

中考数学新定义题型归纳总结

中考数学新定义题型归纳总结随着中考改革的不断深入，数学考试中的题型也在不断变化和创新。

其中，新定义题型在中考数学中占据了重要的位置。

本文将对中考数学新定义题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地备战中考。

一、新定义题型的概念新定义题型是指在题目中给出一个新的概念或定义，要求学生根据该概念或定义进行推理、计算或论证的题型。

这种题型不仅考查学生对基本概念的掌握，还要求学生具备一定的逻辑思维能力和推理能力，能够灵活运用所学知识。

二、新定义题型的分类根据出题人的意图和难度程度，新定义题型可分为以下几种：1. 基本概念运用型：考查学生对基本概念的掌握和应用能力，如“用余角公式求三角函数值”。

2. 推理证明型：要求学生根据给出的概念或定义进行推理证明，如“证明正弦函数是奇函数”。

3. 综合应用型：要求学生综合运用多个概念或定义，进行推理和计算，如“已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2+3x+1，求g[f(-2)]”。

三、新定义题型的解题技巧1. 掌握基本概念：新定义题型中会涉及到各种数学概念和定义，学生要先掌握这些基本概念，理解其含义和特点，才能更好地应用到解题中。

2. 善于推理思维：新定义题型需要学生进行推理、计算和论证，要求学生运用数学知识进行推理思考，从而得到正确答案。

3. 熟练掌握定理和公式：新定义题型中常涉及到各种定理和公式，学生要熟练掌握它们的使用方法，能够灵活运用。

4. 注意思维上的转化：有些新定义题型需要学生进行思维上的转化，例如将一个复杂的问题转化为简单的问题进行求解。

四、新定义题型的应试策略1. 先读清题目中的定义和条件，理解题目的意思，把握核心思想。

2. 根据题目要求，选择合适的方法进行求解，不要死板地套公式或定理。

3. 计算过程要清晰，逻辑要严密，注意符号和单位的使用。

4. 若遇到困难或不会做的题目，可放弃暂时跳过，等做完其他题目之后再来解决。

总之，新定义题型不仅考查学生对基本概念的掌握，还要求学生具备一定的逻辑思维和推理能力。

中考新概念数学试卷及答案

1. 已知实数a、b满足a+b=2，ab=1，则a^2+b^2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 在等差数列{an}中，若a1=3，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 21C. 23D. 253. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = 1/x4. 若等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则第n项an=（）A. 2^nB. 2^(n-1)C. 2^(n+1)D. 2^(n-2)5. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 在直角坐标系中，点A(2,3)，B(4,5)关于直线y=x对称的点分别是（）A. A'(3,2)，B'(5,4)B. A'(5,4)，B'(3,2)C. A'(4,5)，B'(2,3)D.A'(2,3)，B'(5,4)7. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > xB. x > 2xC. x < 2xD. x > 08. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公差d=2，则S5=（）A. 15B. 20C. 25D. 309. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a、b、c满足（）A. a=0，b≠0，c≠0B. a≠0，b=0，c≠0C. a≠0，b≠0，c=0D. a=0，b=0，c=010. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则前n项和Sn=（）A. n^2 + nB. n^2 + 2nC. n^2 - nD. n^2 - 2n二、填空题（每题5分，共20分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在x=2时取得极值，则极值为______。

中考数学新概念型问题

新概念型问题
考点二：运算题型中的新概念
2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．
考点三：探索题型中的新概念
例3 （2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B 重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；
②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B
两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2
于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB
与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
对应训练
3．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴
有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的
三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直
角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三
角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，
求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）。

中考数学复习专题-新概念型问题(含答案)

中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念考点二：运算题型中的新概念2．（株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．考点三：探索题型中的新概念例3 （南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．∴∠AOB=90°．当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练3．（陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念考点五：阅读材料题型中的新概念例5 （常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①满足m=1，且n=0的点M的集合；②满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）四、中考真题演练一、选择题1．（六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）A．5 B．6 C．7 D．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．（丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A ．2010B ．2012C ．2014D ．2016二、填空题4．（常德）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为． 5．（随州）概念：平面内的直线1l 与2l 相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）A ．2B ．1C ．4D ．34三、解答题2．64解：∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64，故答案为64．四、中考真题演练一、选择题1．A2．B．解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，∵2010÷12=167…6，2012÷12=167…8，2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数．故选D．二、填空题4．4解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]=4，故答案为：4．5．C解：如图所示，所求的点有4个，故选C．三、解答题，②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4，。