原子物理学 第四章

dt
dt
即 d
dt
因此， 称为磁矩绕磁场方向进动的角速度。
由于原子在磁场中附加了拉莫尔进动，会使其能量 发生变化。进动角动量叠加到L在磁场方向的分量上， 将使系统能量增加（L和B方向一致或具有同向的分量） （图a），或使系统能量减少（L和B方向相反或具有反 向的分量）（图b） 。
二、量子表示式
第四章 原子的精细结构： 电子的自旋
主要内容：
1、电子轨道运动的磁矩 2、史特恩-盖拉赫实验 3、电子自旋的假设 4、碱金属双线 5、塞曼效应
重 点：
1、一个假设：电子自旋 2、三个实验：碱金属双线、塞曼效应、史-盖实验 3、四个量子数：n、l、 ml 、ms 4、氢原子光谱的五步进展
如果用分辨率足够高的摄谱仪观察，可以发现原子光谱 中每条谱线并不是简单的一条线，而是由多条谱线组成。
，g 4 3
（3）
4D1/ 2：
s
3 2
，
l
2， j
1 2
，
g
0
四、史特恩 - 盖拉赫实验的解释
考虑电子的自旋后，原子的总磁矩是由轨道磁矩 和自旋磁矩两部分合成的，于是
z2
z
Bz z
dD 3kT
可表示为
z2
mJ
gJ B
Bz z
dD 3kT
mJ J , J 1, , J
即对应一个J，有2J+1个 mJ 值，即有2J+1条黑斑。
守恒量，它们绕J进动，不断改变方向。 在 - J方向的分
量 是 j守恒量，因此一般将 定j 义为总磁矩。
要计算 j ，只需把 l 和 s 在J延长
线上的分量相加就可以了
J L
j l coslj s cossj
S
由余弦定理可得
s
S2 L2 J 2 2LJ coslj
l
由此可得
L cos lj J 2 L2 S 2
他们认为，电子不是一个质点，除了轨道运动之外，还 存在着一种内禀运动，称为自旋。与轨道运动相联系，存 在轨道角动量L。与自旋运动相联系也存在一种角动量， 称为自旋角动量S，它是保持不变的，是电子的属性之一， 所以也称为电子的固有矩。
S的值与自旋量子数s有关，即
S s s 1
价电子绕原子实运动时，在固定于电子上的一个坐 标系中，就是相对于电子来说，带正电的原子实是绕 电子运动的。电子会感受到一个磁场的存在。这个磁 场的方向就是原子实绕电子的角动量方向，因而也就 是电子轨道运动角动量的方向。电子既然感受到了这 个磁场，它的自旋取向就要量子化。
量子力学中角动量L是取量子化的
L l l 1
l — 轨道角量子数
因此磁矩为
l L
l l 1
l l 1 e
2me
在z方向的投影为
l,z Lz ml
e 2me ml
即
l l l 1B l 0,1, 2,
l,z ml B
ml 0, 1, , l
其中
B
e 2me
—— 玻尔磁子
2 j j 1
朗德g因子随不同的耦合类型有两种计算法
（1）对LS耦合
J J 1 L L 1 S S 1
g 1
2J J 1
这里的J，L，S是各电子耦合后的数值。
（2）对jj耦合
g gJ1
j j 1
j1 j1 1 2 j j 1
j2 j2 1 gJ 2
j j 1
j2 j2 1 2 j j 1
电子的运动=轨道运动+自旋运动
根据量子力学，这些角动量的大小和相应的量子数有 如下关系：
轨道角动量： 自旋角动量：
总角动量：
L l l 1 S s s 1
J LS
l 0,1, 2 n 1 s1
2
J j j 1
式中j是总角动量量子数，它决定着总角动量J的大小。 量子数j的取值由l和s决定
j l s,l s 1, , l s
二、朗德g因子
单电子原子的总磁矩
原子内部封闭壳层的总轨道角动量和总自旋角动量 均为零，对原子磁矩没有贡献，只须考虑外层价电子。
电子作轨道运动时伴随有轨道磁矩 l
l
gl
e 2m
L
gl 1
电子具有自旋磁矩 s
s
gs
e 2m
S
gs 2
原子的总角动量为J=L+S，总磁矩为 l s，由 于 gl gs ，因此 不与J反平行。孤立原子的总角动量J 是守恒量，而轨道角动量L，自旋角动量S和总磁矩 不是
1921年史特恩（Stern）和盖拉赫（Gerlach）从实 验中首次直接观察到了原子在外磁场中的取向量子化。
The Nobel Prize in Physics 1943
在电炉O内使银蒸发。银原子
通过狭缝S1和S2后，形成细束， 经过一个不均匀的磁场区域，
在磁场的垂直方向行进。最后撞
在相片P上，银原子经过的区域是
2J
J L
又
L2 S2 J 2 2SJ cossj
S
因此
S cos sj J 2 L2 S 2 s
2J
l
代入总磁矩表达式
j
1
J2
L2 2J 2
S2
e 2m
J
g
e 2m
J
g
1
J
2
L2 2J 2
S
2
—— 朗德g因子
于是
j j 1 l l 1 s s 1
g 1
原子的磁矩= 电子轨道运动的磁矩+电子自旋运动磁矩+核磁矩。
史特恩-盖拉赫实验在历史上有重要意义
• 证明了空间量子化的事实
• 证明电子自旋假设的正确，而且s=1/2
• 证明电子自旋磁矩数值的正确，s,z B，gs 2
他们同时也提出了一个重要的实验方法，其装置可以 做成粒子磁能态选择器。例如，在磁铁后面适当位置上安 放狭缝，可以选择处于某一能态的粒子通过，这类技术后 来被广泛应用。
根据j的取值，相邻的j均相差1，由于s=1/2，
所以对某一确定的 l ，j l 1 2, l 1 2 。
即当 l 0时，j只有两个取值 j l 1 2；当 l 0
时，j只有一个值1/2。
例1、求p电子的L，S和J的大小，并画出矢量图。
解：p电子对应的量子数为 l 1, s 1 2
所以 j 1 1 3 , 1 2 22
例如，氢原子的 H线并不是单线，而是由七条谱线组成;
常见的钠原子黄光是由 1 588.996nm 和2 589.593nm两条很 靠近的谱线组成的，其波长差约为0.6nm。
Na
0.6nm
谱线的这种细微结构称为光谱的精细结构。
§4.1、原子中电子轨道运动的磁矩
有关电磁学知识
1、电偶极矩 p ql
L 111 2
S
1 2
1 2
1
3 2
J j3 2
3 2
3 2
1
15 2
J j1 2
1 2
1 2
1
3 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
cos L2 S 2 J 2 l(l 1) s(s 1) j( j 1)
2LS
2 l(l 1) s(s 1)
和L 不S是平行
或反平行，而是有 一定的夹角。
2me
—— 旋磁比
磁力矩为 B
力矩将引起角动量的变化
则 d B
dt
dL B
dt
或者
d B — 拉莫尔进动
dt
在外磁场B中，一个高速旋转的磁矩并不向B方向靠
拢，而是以一定的角速度 绕B作进动， 的方向与B一
致。
考虑磁矩 的进动
磁矩元
d sin d
则
d sin d sin
q
F qE
F 0
l
E
F
q
M l F l (qE) p E
2、磁矩
环形电流的磁矩 iSn0
z
i 方向与 方向满足右手螺旋关系。
i
均匀磁场中： F 0
M B
3、力和力矩
力是引起动量变化的原因：F
d
(m )
dt
力矩是引起角动量变化的原因： M
r
F
r
d (m )
B
1 2
e2 c
2
mee2
e
1
2
ea1
磁相互作用比电相互作用小两个数量级！
三、角动量取向量子化
磁矩及其z分量的量子化 来源于角动量空间取向的量 子化
L和Lz的量子化 磁矩及其z分量的是量子化的
§4.2、史特恩-盖拉赫实验
前面已经讨论了，原子中电子轨道的大小、形状和电 子运动的角动量，以及原子的内部能量都是量子化的。本 节要再从实验的角度讨论，在磁场和电场中，原子角动量 取向的量子化。
v
2 re
可以估计出电子的赤道速度
5
v me re
v
代入电子的经典半径公式
re
e2
4 0 me c 2
就有
v c 5 1 违反狭义相对论！
正确的理解：电子确实具有 大小的自旋角动量，电 子自旋是一种量子效应，把自旋看成电子的经典转动是不 恰当的，它是电子的一种内禀属性，没有经典对应。
电子自旋是一个新的自由度，与其空间运动完全无关！
dL
dt dt
一、经典表示式
电子轨道运动的闭合电流为： i e T
“-”表示电流方向与电子运动方向相反
面积： dS 1 r rd 1 r2dt
2
2
一个周期扫过的面积：
S dS T 1 r2dt 1
T mr2dt 1
T
L
Ldt T
02
2m 0
2m 0
2m
因此 iS e L L
束分为两条。在上式中，除了 z 外，其他都是常数， 因此，说明有两个 z。
z cos
也就是说有两个 值，即原子在磁场中有两个空 间取向。这就有力地证明了原子在空间的取向是 量子化的。
如果测得相片上两黑斑的距离，再把式中其他数值代
入，就可以计算出 z ，取 值分别为 0 和 180 ，就得
到 ，这样求得的 值正是一个玻尔磁子的理论值。
因此，根据上式，我们就可以解释史特恩-盖拉赫实 验的结果。
由实验测得黑线条数可以推得未知状态原子的J值。 例如，当有两条黑线时，J=1/2；三条黑线时，J=1；五 条黑线时，J=2等等。测出了S的大小，并推断出J值后， 由上式就可以求出原子的朗德因子g，从而得到有关原子 态的信息。
对基态银原子，测得黑线条数为2，可以知道其 J=1/2。由于轨道角动量量子数是整数，此时必然有 L=0，因此也必有J=S=1/2，所以银原子的基态为 2S1 2
原子在纵向是作匀速直线运动，其速度 根据热平衡关系得到
mv2 3kT 则原子在磁场中运行的时间为 t D
v
而原子在横向受到磁场力的作用，将作加速运动，距离为
z1
1 2
Fz m
t2
则在屏上偏离的距离为
z2
z
Bz z
dD 3kT
其中，D为P离磁场区中心的距离。
在相片上出现了两条黑斑，表示有两个z2，即原子
可见磁场中基态银原子束的分裂，完全是由于电子 自旋运动引起的。实验结果证明了自旋量子数为1/2的正 确性，因此该实验是电子存在自旋运动的有力证明。
外场方向投影：s,z
e m
ms
B
共两个 偶数,与实验结果相符。
1928年，Dirac从量子 力学的基本方程出发，很 自然地导出了电子自旋的 性质，为这个假设提供了 理论依据。
在电子不受外力矩作用时，其处于某一状态的总 角动量J是守恒的。
自旋角动量应绕由轨道运动产生的磁场进动；同
样，轨道角动量也应绕自旋运动产生的磁场进动。
J
在无外磁场存在时，总角动
量J应该守恒，它的方向不变，S
L
与L都绕它进动。进动时应该保
持L与S的夹角不变。
S
总之，电子自旋与轨道运动及绕J的附加运动会产 生附加能量，造成能级精细分裂。
如果设自旋量子数为s，按照关于轨道角动量取向的 考虑，自旋角动量的取向也应该有2s+1个。实验观察 到的能级是双层的，所以自旋取向只有两个，2s+1=2， 因此，s=1/2。
它在z方向的分量只有两个
sz
1 2
即自旋量子数在z方向的分量只能取 1 2
Sz ms
ms
Leabharlann Baidu
1 2
洛仑兹的质疑
I
2 5
me re2
对原子的描述仍然不完整。
§4.3、电子自旋的假设
一、乌伦贝克和古兹米特提出电子自旋假设
要使2l+1为偶数，只有角动量为半整数，而轨道角动 量是不可能给出半整数的。
而且为了试图说明碱金属原子能级的双层结构以及后面 要提到的反常塞曼效应，在1925年，两位年轻的荷兰研究 生乌楞贝克（Uhlenbenck）和古德史密特（Goudsmit） 提出了关于电子自旋的大胆假设并解决了上述问题。
抽成真空的。当时在显像后的相片上看到两条黑斑，表示银 原子在经过不均匀磁场区域时已分成两束。
不均匀的磁场是由不对称的磁极产生的。
实验的主要目的是要观察 在磁场中取向情况。用不均
匀的磁场是要把不同的 z值的原子分出来。磁场对原子的
力是垂直于它的前进方向的，这样，原子的路径会偏转。
N S
无磁场
有磁场
j1 j1 1
例2、求下列原子态的g因子：1P1 2P3/ 2 4D1/ 2
解： g 1 j( j 1) l(l 1) s(s 1) 2 j( j 1)
n2s1L j
（1） 1P1 ： s 0， l 1 ， j 1 ， g 1
（2）
2P3/ 2 ：
s
1 2
，
l 1，j 3 2