巧用方差的性质解题
【K12学习】初二数学知识点归纳：方差
初二数学知识点归纳：方差方差的计算、知识点归纳方差在考试中考察不是很难，记住基本公式往里带就能解答正确，但是方差的概念让不少同学为此很是头痛。
那方差到底是什么，怎样计算呢，下面小编就为大家整理一些题型和解题方法技巧。
一、概念和公式方差的概念与计算公式，例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E=72;y：73，70，75，72，70E=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
基本定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E]2}存在，则称E{[X-E]2}为X的方差，记为D,Var或DX。
即D=E{[X-E]2}称为方差，而σ=D0.5称为标准差。
即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差D较小,若X 的取值比较分散，则方差D较大。
因此，D是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
当数据分布比较分散时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小二、计算方法和原理若x1,x2,x3......xn的平均数为m则方差方差公式方差公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E=72;y：73，70，75，72，70E=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
初二数学知识点归纳：方差
初二数学知识点归纳：方差初二数学知识点归纳：方差方差的计算、知识点归纳方差在考试中考察不是很难，记住基本公式往里带就能解答正确，但是方差的概念让不少同学为此很是头痛。
那方差到底是什么，怎样计算呢，下面小编就为大家整理一些题型和解题方法技巧。
一、概念和公式方差的概念与计算公式，例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E(X)=72;Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
基本定义：设X是一个随机变量，若E{X-E(X)]2}存在，则称E{X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5(与X有相同的量纲)称为标准差(或均方差)。
即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
(标准差、方差越大，离散程度越大。
否则，反之)若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小二、计算方法和原理若x1,x2,x3......xn的平均数为m则方差方差公式方差公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50E(X)=72;Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。
三招搞定方差
在近几年的中考试题中，经常出现一类比较两组数据方差大小的问题．那么应该怎样比较两组数据的方差大小呢？现归纳总结三种方法，以供参考．一、公式比较法先根据方差公式计算两组数据的方差，然后再比较方差的大小，这是比较方差大小的最直接也是最基本的方法．例110名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们身高(单位：cm)如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队177 176 175 172 175乙队170 175 173 174 183设两队队员身高的平均数依次为，，身高的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是( )A．=，＞ B．=，＜C．＞，＞ D．＜，＜解：=(177+176+175+172+175)=175，=(170+175+173+174+180)=175，所以=(177-175)2+(176-175)2+(175-175)2+(172-175)2+(175-175)2]=2.8，=[(170-175)2+(175-175)2+(173-175)2+(174-175)2+(183-175)2]=18.8．显然，=，＜，答案选B．点评：公式比较法的本质是计算两组数据的方差，由于方差是一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，所以求一组数据的方差可以简记为：先求平均数，再求差，然后平方，最后求平均数．二、极差比较法极差能够反映一组数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量．一组数据的极差越大，这组数据的波动范围就越大，这组数据就越不稳定．因此我们可以根据两组数据的极差并结合其他统计知识先判断两组数据的波动情况，然后比较方差大小．例2甲、乙两人5次射击命中的环数如下：甲 7 9 8 6 10乙 7 8 9 8 8则这两人5次射击命中的环数的平均数==8，方差＿＿．(填“＞”“＜”或“=”)解：甲组数据的极差是：10-7=3，乙组数据的极差是：9-7=2，且甲组数据中没有相同的数据，乙组数据中有3个相同的数据(都是8)，因此甲组数据波动大，即甲组数据的方差大，所以＞，故填“＞”．点评：同学们也可先计算两组数据的方差，然后再比较与的大小，看看结果与“极差比较法”的结果是否一致．另外“极差比较法”也正好体现了“极差”与“方差”这两个统计量的密切联系．三、折线统计图比较法由于折线统计图可以反映数据的变化趋势，如果一组数据的变化趋势越小，这组数据就越稳定；反之，如果一组数据的变化趋势越大，这组数据就越不稳定．于是我们可以借助折线统计图来判断两组数据的波动情况，进而比较方差大小．例3如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差，之间的大小关系是＿＿．解：从折线统计图不难看出，甲运动员的射击训练成绩变化趋势小，乙运动员的射击训练成绩变化趋势大，因此＜．点评：“折线统计图比较法”适合比较已经给出折线统计图的两组数据的方差．如果需要比较的两组数据没有给出折线统计图，这时宜选用“公式比较法”．如果已经给出折线统计图，那么“折线统计图比较法”就应该成为首先方法，因为运用它比较两组数据的波动情况非常直观．需要说明的是，以上三种方法体现了极差、方差和折线统计图在刻画一组数据的波动情况时的密切联系，无论运用“公式比较法”或者“极差比较法”还是“折线统计图比较法”，都要注意运用它们的前提条件是只有在两组数据的平均数相等或比较接近的情况下，才能运用上述三种方法．离开了这个前提条件再来比较两组数据的方差就没有意义，甚至会得出错误的结论，这一点请同学们一定要注意呦！做为练习，请同学们运用以上三种方法解决下面的问题，千万不要偷懒呦！为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出 10株苗，测得苗高如下(单位：cm)甲：12，13，14，15 ，10，16，13，11，15，11乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16设两种小麦苗高的方差依次为，，则，之间的大小关系是＿＿．(填“＞”“＜”或“=”)参考答案：＜一次函数图象与坐标轴的交点，两个一次函数图象之间的交点，常常是求解一次函数问题的关键点。
巧用方差的性质解题
巧用方差的性质解题由方差的计算公式s 2=n1[(x 1−x )2+(x 2−x )2+…+(x n −x )2]容易得出方差的两条性质：性质1 任何一组实数的方差都是非负实数．性质2 若一组实数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数．运用这两个性质和方差计算公式，常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题．例1、已知x+y=8，xy −z 2=16，求x+y+z 的值．解：∵x 、y 的平均数为2y x +=4，xy=16+z 2， ∴x 、y 的方差s 2=21 [(x −4)2+(y −4)2]= 21[x 2+y 2−8(x+y)+32]= 21[(x+y)2−2xy −8(x+y)+32] =21[64−2(16+z 2)−64+32]=−z 2 由性质1，得−z 2≥0，∴z 2≤0∴z 2=0，z=0，∴s 2=0由性质2，得x=y=4∴x+y+z=4+4+0=8．例2、已知a+b+c=6，a 2+b 2+c 2=12，求a+2b+ 3c 的值．解：∵a 、b 、c 的平均数是3c b a ++=2， ∴a 、b 、c 的方差s 2=31 [(a −2)2+(b −2)2+(c −2)2]= 31[(a 2+b 2+c 2)−4(a+b+c)+12]=31(12−24+12)=0． 由性质2，得a=b=c=2．∴a+2b+3c=12．例3、设m 、n 、p 均为正实数，且m 2+n 2−2p 2=0，求nm p +的最小值． 解：m 、n 的平均数x =2n m +． m 、n 的方差为s 2=21[(m −)2+(n −)2]= 21[(m 2+n 2)−2(m+n)+22]=21[(m 2+n 2)−(m+n)2+21(m+n)2]= 21[2p 2−21(m+n)2] 由性质1，得21[2p 2−21(m+n)2]≥0 ∴2p 2−21(m+n)2≥0，∴41)(2≥+n m p ． ∵m 、n 、p 为正实数，∴n m p +≥21． 练习：已知1,22=-=+z xy y x ，求z y x ++的值．。
高三知识点总结方差
高三知识点总结方差方差是统计学中常用的一种测量数据分散程度的方法，它能够给出数据的离散程度。
在高三阶段，方差是常见的数学概念之一，理解和掌握方差的计算方法对于解决实际问题和应对考试至关重要。
本文将总结高三阶段相关的知识点，并深入讨论方差的计算原理和应用。
一、方差的定义方差用于描述一组数据的离散程度，它是各个数据与平均数之差的平方和的平均值。
方差的计算公式如下所示：方差 = (x1-平均数)^2 + (x2-平均数)^2 + ... + (xn-平均数)^2 / n二、方差的计算步骤1. 计算平均数：首先需要计算数据的平均数，即将所有数据累加后除以数据的个数。
2. 求差平方：将每个数据与平均数之差进行平方。
3. 求和：将所有差平方的结果进行累加。
4. 求平均值：将累加的结果除以数据的个数，即可得到方差。
三、方差的应用场景方差在实际问题中具有广泛的应用，以下列举了几个常见场景：1. 股票投资：用方差来衡量股票的风险，方差越大，意味着股票价格波动越剧烈，风险越高。
2. 质量控制：方差可用于评估产品的质量稳定性，方差越小，产品质量越稳定。
3. 教育评估：方差可用于评估学生的成绩分布情况，方差越大，意味着学生的成绩分布越不集中，表现出较大的差异性。
四、方差的特性1. 方差非负：方差的计算结果必定大于等于零。
2. 相同数据的方差为零：如果所有数据都相等，则它们的差平方和为零，因此方差为零。
3. 方差的单位和原始数据单位相乘：由于方差是差的平方和的平均值，所以方差的单位是原始数据单位的平方。
五、常见的方差计算方法1. 总体方差：适用于给定总体数据，方差计算公式中的n表示总体中的数据个数。
2. 样本方差：适用于给定样本数据，方差计算公式中的n-1表示样本中的数据个数减1，用来修正因样本带来的偏差。
六、方差与其他统计指标的关系方差与标准差和均方差密切相关。
标准差是方差的平方根，用来度量数据的分散程度。
均方差是数据的平方差的平均值，也是测量数据分散的一种指标。
新高考数学复习知识点与题型专题讲解31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差
新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差一、单选题1．设样本数据1x ，2x ，3x ，…，19x ，20x 的均值和方差分别为2和8，若2i i y x m =+ (m 为非零常数，1,2,3,,19,20i =)，则1y ，2y ，3y ，…，19y ，20y 的均值和标准差为（）A ．2m +，32B ．4m +，．2m +，D ．4m +，32 【答案】B 【分析】设样本数据l x 的均值为x ，方程为2s ，标准差为s ，由已知得新样本2i i y x m =+的均值为2x m +，方差为222s ，标准差为2s ，代入可得选项. 【详解】设样本数据l x 的均值为x ，方程为2s ，标准差为s ，则新样本2i i y x m =+的均值为2x m +，方差为222s ，标准差为2s ，所以24y x m m =+=+，28s =，所以标准差为s =22s =⨯= 故选：B. 【点睛】本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为X ，2S ，重算时的平均数和方差分别为1X ，21S ，若此同学的得分恰好为X ，则（）A ．2211,X X S S =>B ．2211,X X S S ==C ．2211,X X S S =<D ．2121,X X S S ≠≠ 【答案】A 【分析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果. 【详解】设这个班有n 个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是12-1,,...n a a a ，被忘记登分的同学的分数为n a ， 则121...1n a a a X n -+++=-所以()121...1n a a a n X -+++=-，()11n X XX X n-+==，方差()()()()22221211...+1n S a X a X a X n -⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦-，()()()()2222121...+1n a XaXa Xn s -∴-+-+-=- ①因为()()()()222212121...++=n n a X aX a X a X S n--+-+-- ①将①代入到①得：2211=S n S n- 故221S S >故选：A 【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（） A ．6.1毫米B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米 【答案】C 【分析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ，平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．设随机变量()2,2N ξ，则122D ξ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．12C ．3D ．4 【答案】B 【分析】利用正态分布的方差可得()D ξ的值，然后利用方差的性质可求得122D ξ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】()2,2N ξ，()2D ξ∴=，由方差的性质可得()1111222442D D ξξ⎛⎫+==⨯= ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <> 【答案】A 【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．6．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（）A ．19和2B ．19和3C ．19和4D ．19和8 【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项. 【详解】解：①1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，①121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=4=． 故选：C ． 【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.7．已知样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，则121x +，221x +，…，21n x +的平均数和方差分别为（）A ．4和10B ．5和11C ．5和21D ．5和20【分析】利用平均数和方程的性质可算出答案. 【详解】因为样本1x ，2x ，…，n x 的平均数为2，方差为5，所以121x +，221x +，…，21n x +的平均数为2215⨯+=，方差为22520⨯= 故选：D 【点睛】本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）. A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项. 【详解】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()320125E X =⨯=，()3324201555D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =⨯=， 方差为()224551205D X =⨯=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题. 9．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于 ( )A ．16B ．11C ．2.2D ．2.3 【答案】A 【解析】由表格可求()00.320.240.5 2.4E X =⨯+⨯+⨯=，故()()54545 2.4416E X E X +=+=⨯+=①故选A ．10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为()E X ，方差记为()D X ，则（）A ．()6E X =，()4D X >B ．()6E X =，()4D X <C ．()6E X <，()4D X >D ．()6E X <，()4D X < 【答案】B 【分析】根据数学期望以及方差的公式求解即可. 【详解】设原来7个数分别为1237,,,,x x x x由71267x x x +++=，则12742x x x +++=由()()()222127166647x x x ⎡⎤-+-++-=⎣⎦则()()()22212766628x x x -+-++-= 所以1726426()688x x x X E +++++=== ()()()22221271287()666(66)4882D X x x x ⎡⎤=-+-++-+-==<⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（） A ．52B ．3C ．72D ．4 【答案】C 【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差． 【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键． 12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为13，乙、丙打中的概率均为4t（04t <<），若甲、乙、丙都打中的概率是948，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的数学期望是（） A ．14B ．25C ．1D ．1312【答案】D 【分析】 根据题意可得9148344t t=⨯⨯，求出3t =列出分布列，利用期望公式计算. 【详解】9148344t t=⨯⨯，3t =列出分布列，利用期望公式计算. 记ξ的所有可能取值为0，1，2∴7113212412E ξ=+⨯= 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解时注意概率的求解. 13．已知ξ的分布列为设25ηξ=-，则()E η=（） A ．12B ．13C ．23D ．32【答案】C 【分析】由条件算出m ，然后算出()E ξ，然后可算出答案. 【详解】由分布列的性质可得：1111663m +++=，解得13m =所以()111117123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=因为25ηξ=-，所以()()172252563E E ηξ=-=⨯-= 故选：C 【点睛】本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 14．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()E X =-，则(31)D X +=（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果. 【详解】 根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=，()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.15．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都加上(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A ．这组新数据的平均不变B ．这组新数据的平均数为amC ．这组新数据的方差为2a nD ．这组新数据的方差不变 【答案】D 【分析】考查平均数和方差的性质，基础题． 【详解】设这一组数据为()1,n X a a =，由()()E X a E X a +=+，()()D X a D X +=，故选：D ． 【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题. 16．设11p <<，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如下表：则当p 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E ξη+减小，()D ξη+增大B ．()E ξη+减小，()D ξη+减小C ．()E ξη+增大，()D ξη+增大D ．()E ξη+增大，()D ξη+减小 【答案】D 【分析】 求出1()3E ξ=-，()21E p η=-，从而4()23E p ξη+=-，8()9D ξ=，2()44D p p η=-，从而228117()444()929D p p p ξη+=-+=--+，由此得到当p 在1(,1)2内增大时，()E ξη+增大，()D ξη+减小．【详解】 解：112p <<， 211()333E ξ=-+=-，()121E p p p η=-+=-， 4()23E p ξη+=-， 2212118()(1)(1)33339D ξ=-+⨯++⨯=，222()(2)(1)(22)44D p p p p p p η=--+-=-， 228117()444()929D p p p ξη+=-+=--+，∴当p 在1(,1)2内增大时，()E ξη+增大，()D ξη+减小，故选：D ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力． 17．若样本数据1210,,,x x x 的方差为8，则数据1210212121x x x --⋯-，，，的方差为（）A ．31B ．15C ．32D ．16 【答案】B 【分析】本题根据已知直接求方差即可. 【详解】解：因为样本数据1210,,,x x x 的方差为8，所以数据1210212121x x x --⋯-，，，的方差为：22832⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题18．已知数据122020,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为4，若()()23,1,2,,2020i i y x i =--=⋅⋅⋅，则新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为（）A ．16B ．13C ．8-D ．16- 【答案】A 【分析】根据方差的性质直接计算可得结果. 【详解】由方差的性质知：新数据122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为：()22416=-⨯. 故选：A . 【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题. 19．若随机变量X 服从两点分布，其中()203P X ==，则()31E X +和()31D X +的值分别是（）A ．3和4B ．3和2C ．2和4D ．2和2 【答案】D 【分析】先由随机变量X 服从两点分布求出()E X 和()D X ，再根据性质求出()31E X +和()31D X +的值. 【详解】随机变量X 服从两点分布，且()203P X ==，113P X ， 211()01333E X ，2212112()0133339D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(31)3()13123E X E X ，13()13123E X +=⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A ．81.2，84.4B ．78.8，4.4C ．81.2，4.4D ．78.8，75.6 【答案】C 【分析】原来数据的平均数为80 1.2+,方差不改变，得到答案. 【详解】原来数据的平均数为80 1.281.2+=,方差不改变为4.4. 故选：C. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．若样本数据1x 、2x 、、10x 的方差为8，则数据121x -、221x -、、1021x -的方差为（）A ．8B ．15C ．16D ．32二、多选题【答案】D 【分析】设数据1x 、2x 、、10x 的平均数为x ，计算出数据121x -、221x -、、1021x -的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论. 【详解】解法一：设10110ii x x==∑，由题意可得()1021810i i x x =-=∑，数据121x -、221x -、、1021x -的平均数为()101010111212102121101010ii ii i i x x xx ===--==⨯-=-∑∑∑，因此，数据121x -、221x -、、1021x -的方差为()()()()101010222211121212244832101010i iii i i x x x x x x s ===⎡⎤-----⎣⎦===⨯=⨯=∑∑∑.解法二：由()8D x =，根据方差的性质得2(21)2()32D x D x -=⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 22．下列说法正确的是（）A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；B ．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14； C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为23. 【答案】BD 【分析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B ．利用古典概型的概率公式进行判断.C ．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D ．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可． 【详解】A:设一组数据为X ,则每个数据都乘以同一个非零常数a 后,可得Y aX =， 则()()()2D Y D aX a D X ==，所以方差也变为原来的2a 倍，故A 不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为14，故B 正确.C: 由1r →，两个变量的线性相关性越强，0r →，两个变量的线性相关性越弱，故C 不正确. D: 根据题意可得()()19P A P B ⋅=, ()()()()P A P B P A P B ⋅=⋅ 设()(),P A x P B y ==则()()()()111911x y x y y x ⎧--=⎪⎨⎪-⋅=-⋅⎩，得119x y xy x y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，即21219x x -+=解得23x =或43（舍） 所以事件A 发生的概率为23，故D 正确. 故选：B D 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题. 23．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（） A ．0.2q =B ．()()3, 1.4==E X D XC ．()()2, 1.8==E XD X D ．()()7, 5.6==E Y D Y 【答案】BD 【分析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出10.20.10.20.5q =---=，由此能求出()(),E X D X ，再由离散型随机变量Y 满足21Y X =+，能求出()E Y 和()D Y ． 【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列的性质得：10.20.10.20.5q =---=， 所以()10.2+20.1+30.2+40.53E X =⨯⨯⨯⨯=，()()()()()2322830.2230.1330.543 2.5 1.4=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=D X ，①()()217=+=E Y E X ，()()224 1.4 5.6D Y D X =⨯=⨯=，故选：BD ． 【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题. 24．下列说法中正确的是（） A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==，()11P x ξ==-，若102x <<，则()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大 【答案】ABD 【分析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质，即可判断选项C . 【详解】对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ，所以正态曲线的对称轴是2x =，因为()40.9P X <=，所以(0)0.1P X <=， 所以(02)0.4P X <<=，所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知，()1E x ξ=-，()()21D x x x x ξ=-=-+，由一次函数和二次函数的性质知， 当102x <<时，()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大，故选项D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．下列说法正确的有（）A ．若离散型随机变量X 的数学期望为()5E X =，方差为()2D X =，则()219E X -=，()218D X -=B ．若复数z 满足341z i --=，则z 的最大值为6C ．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法D ．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有39C 种不同分法 【答案】ABD 【分析】根据离散型随机变量X 的数学期望和方差的性质即可知A 正确；根据复数的几何意义可知B 正确；根据先分组再分配的原则可知C 错误，利用挡板法可知D 正确 【详解】解：对于A ，因为离散型随机变量X 的数学期望为()5E X =，方差为()2D X =，所以()212()19E X E X -=-=，()2212()8D X D X -==，所以A 正确；对于B ，因为341z i --=，所以复数z 对应的点(,)P x y 在以(3,4)C 为圆心，1为半径的圆上，所以z 表示点(,)P x y 与原点O 的距离，根据圆的几何性质可知，z 的最大值为16CO +=，所以B 正确；对于C ，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有246C =种情况，再分配给三人，有336A =种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C 错误；对于D ，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有39C 种不同的分法，D 正确， 故选：ABD 【点睛】此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题26．设随机变量ξ的分布列为()()1,2,51aP k k k ξ===+，()E ξ，()D ξ分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是（） A ．()50 3.56P ξ<<=B ．()317E ξ+=C ．()2D ξ=D ．()316D ξ+= 【答案】ABC 【分析】利用分布列的性质求a ，而()()()0 3.512P P P ξξξ<<==+=，根据期望、方差公式即可求()31E ξ+、()D ξ、()31D ξ+，进而可确定选项的正误. 【详解】因为随机变量ξ的分布列为()()1,2,51aP k k k ξ===+， 由分布列的性质可知，()()()1251236a a aP P P ξξξ=+=+==++=，解得1a =，①()()()50 3.5126P P P ξξξ<<==+==，A 选项正确；()1111252236E ξ=⨯+⨯+⨯=，即有()()31313217E E ξξ+=+=⨯+=，B 选项正确；()()()()2221111222522236D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，C 选项正确()()31918D D ξξ+=⨯=，D 选项不正确.故选：ABC. 【点睛】本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养. 27．已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是则当p 在()0,1内增大时，下列选项中正确的是（） A ．()()E E ξη=B ．()()V V ξη= C ．()E ξ增大D ．()V η先增大后减小 【答案】BC 【分析】由2ηξ=+，根据期望和方差的性质可得()()2E E ηξ=+，()()V V ξη=；求出()E ξ，()E η，()V η根据函数的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，2ηξ=+，()()2E E ηξ∴=+，故A 错误； 对于B ，2ηξ=+，()()V V ξη∴=，故B 正确；对于C ，11()22E p ξ=-+，∴当p 在(0,1)内增大时，()E ξ增大，故C 正确；对于D ，113()2322222p p p E η-=+⨯+⨯=+， 2221111315()()()()(2)22222222244p p p p p V p η-∴=--⨯+-+-⨯=--+，∴当p 在(0,1)内增大时，()V η单调递增，故D 错误．故选：BC ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．28．一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（）A ．a =7B ．a =11C ．b =12D ．b =9 【答案】BD 【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E (X )，D (X )，进而求得平均值a ，方差b . 【详解】12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，设()123,,,,n X x x x x =⋯，∴(21)2()17E X E X +=+=，得E (X )=3，D (2X +1)=4D (X )=4，则D (X )=1，12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ， ∴a =E (3X +2)=3E (X )+2=11，b =D (3X +2)=9D (X )=9. 故选：BD . 【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.三、填空题29．已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差为5，则数据12310310,310,310,,310x x x x ----的方差为___．【答案】45 【分析】依据()()2D ax b a D X +=计算即可.【详解】由题意可得，数据12310310,310,310,,310x x x x ----的方差为：23545⨯=．故答案为：45.30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为____________. 【答案】200 【分析】设没有发芽的种子数为Y ，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解. 【详解】设没有发芽的种子数为Y ，则有2X Y =， 由题意可知Y 服从二项分布，即Y(1000,0.1)B ,则()10000.1100E Y =⨯=，所以()2()200E X E Y ==. 故答案为：200.31．已知随机变量X 的分布列为若()1E X =，则()E aX b +=______． 【答案】23【分析】根据变量间的关系计算新的均值． 【详解】由概率分布列知23a b +=． 2()()3E aX b aE X b a b +=+=+=． 【点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．()()E aX b aE X b +=+．32．已知离散型随机变量13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，随机变量21ηξ=+，则η的数学期望()E η=________. 【答案】52【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出()E ξ的值，然后利用期望的性质可求得()E η的值. 【详解】由于离散型随机变量13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()13344E ξ∴=⨯=，又因为随机变量21ηξ=+，由期望的性质可得()()()3521212142E E E ηξξ=+=+=⨯+=. 故答案为：52. 【点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 33．随机变量ξ的分布如下表，则()54E ξ+=_______.【答案】13 【分析】根据表格中的数据计算出E ξ，然后可得()54E ξ+的值. 【详解】因为00.420.340.3 1.8E ξ=⨯+⨯+⨯= 所以()545413E E ξξ+=+= 故答案为：13 【点睛】本题考查的是期望的算法和性质，较简单.34．设随机变量X 的分布列为()1,2,3,44k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，a 为常数，则()4E X =________． 【答案】3 【分析】 根据()1,2,3,44k P X ak k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由()12341a +++=解得a ，再利用期望公式结合性质求解. 【详解】因为()12341a +++=，所以110a =， 所以()1122334434104104104104E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 故()()443E X E X ==． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.35．已知样本数据1x ，2x ，…，n x 的均值3x =，则样本数据121x +，221x +，…，21n x +的均值为______. 【答案】7 【分析】利用平均数计算公式求解. 【详解】①数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为均值3x =，则样本数据121x +，221x +，…，21n x +的均值为：213217x +=⨯+=. 故答案为：7. 【点睛】此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.36．设离散型随机变量X 可能取的值为1,2,3，()()1,2,3P X k ak b k ==+=.又X 的均值()52E X =，则a =______. 【答案】14【分析】由概率之和为1得到一个方程，由()52E X =得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果. 【详解】离散随机变量X 可能取的值为1,2,3，()()1,2,3P X k ak b k ==+=， 故X 的数学期望5()()2(2)3(3)2E a b a b a X b =+++++=， 而且()(2)(3)1a b a b a b +++++=，联立方程组()(2)(3)15()2(2)3(3)2a b a b a b a b a b a b +++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩，解得14a =. 故答案为：14.【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式11()n n E X x p x p =++.四、双空题37．已知01p <<，随机变量X 的分布列如图.若13p =时，()E X =________；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______.【答案】62 【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得211()22D X p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，进而可得max ()D X ，结合方差的性质即可得解. 【详解】当13p =时，1111533()0122226E X -=⨯+⨯+⨯=； 在p 的变化过程中，111()0122222p p E X p -=⨯+⨯+⨯=+， 则2222111111()0122222224p p D X p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21122p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，max 1()2D X =， 所以max max (21)4()2D X D X +==. 故答案为：56；2.38．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0的有10个，记上n 号的有n 个（n ＝1，2，3，4），现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，则(2)p X ==______，若2Y X m =+，且()1E Y =，则m =_____. 【答案】1102- 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求出()E X ，化简2()1E X m +=即得解. 【详解】（1）由题得21(2)2010p X ===； （2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，X 的分布列为：111313()01234220102052E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()1E Y =，所以(2)2()1E X m E X m +=+=.所以32122m m ⨯+=∴=-，. 故答案为：1;210-.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.39．已知随机变量ξ服从二项分布，1~(6,)2B ξ，则(23)E ξ+=________，(23)D ξ+=________. 【答案】96 【分析】由二项分布的期望公式求出()E ξ．()D ξ，再由数据变换间的关系求得新期望和方差． 【详解】①随机变量ξ服从二项分布，162()3E ξ⨯∴==，1132)622(D ξ⨯⨯== 则2(23)2()39,(23)2()6E E D D ξξξξ+=+=+=⨯=． 故答案为9；6． 【点睛】本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．五、解答题40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额X 的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z 的数学期望值，比较得出结论. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=. 故X 的分布列为，所以()0500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量X 的分布列和数学期望，解题步骤如下： （1）判断随机变量X 的可能取值；（2）说明随机变量X 取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率； （3）列表写出随机变量X 的分布列； （4）利用期望公式求值41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（①）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率； （①）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；（①）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论） 【答案】（①）37；（①）X 的分布列见解析，数学期望()67E X =；（①）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大． 【分析】（①）由题意得，在园人数为840% 3.2⨯=万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（①）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得X 的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案； （①）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论． 【详解】解：①40%以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人， ①在园人数为840% 3.2⨯=万人以下为“舒适”，（①）10月1日至7日的下午14时去该公园游览，“舒适”的天数为3天， ①甲同学遇上“舒适”的概率37P =； （①）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日， ①X 的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，①()204327620217C C P X C ====， ()1143271241217C C P X C ====，()024327312217C C P X C ====， ①X 的分布列为①X 的数学期望()60127777E X =⨯+⨯+⨯=；（①）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．。
方差问题的回答(栖龙坛上)
目录
• 方差的概念 • 方差的应用场景 • 如何降低方差 • 方差与其他统计量的关系 • 方差问题的实际案例
01
方差的概念
方差的定义
方差是用来衡量一组数值的离散程度 的统计量。具体来说，它表示各个数 值与平均值之间的偏差的平方的平均 值。
方差越大，说明这组数值的离散程度 越高，即数值分布越不集中；方差越 小，说明这组数值的离散程度越低， 即数值分布越集中。
通过比较不同数据的方差，可以判ห้องสมุดไป่ตู้数据的可靠性和稳定性。
用于推断统计
03
在回归分析和假设检验等统计推断中，方差是重要的参考依据。
数据分析中的方差
数据清洗
在数据分析过程中，方差可以帮助识别异常值和 离群点，进行数据清洗和预处理。
特征选择
通过比较不同特征的方差，可以判断特征的重要 性和差异性，进行特征选择和降维。
方差的计算方法
方差的计算公式为：方差 = Σ[(xi - μ)²] / N，其中xi表示各个数值，μ表示平均值，N表示数值的数量。
这个公式包括了求和符号Σ、平方运算²、减法运算-、除法运算/等基本数学运算。
方差的作用
方差是数据分析中非常重要的一个指标，它可以用来评估数据的稳定性、可靠性以 及预测精度等。
评估情感分析模型的性能和稳定性。
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03
如何降低方差
增加样本数量
总结词
通过增加样本数量，可以减少估计的 误差，从而降低方差。
详细描述
样本数量越大，我们对总体分布的了 解就越准确，因此可以降低估计的波 动性，即降低方差。
调整模型复杂度
总结词
过复杂的模型容易产生过拟合，导致高方差。通过调整模型复杂度，可以降低过拟合现象，从而降低方差。
方差的性质
方差的性质1、设C是常数，则D（C）=02、设X是随机变量，C是常数，则有D（CX）=C2D（X），D（X+C）=D（X3、设X与Y是两个随机变量，则D（X土Y）=D（X）+D（Y）土2Cov（X，Y）其中协方差Cop（X，Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则D（X土Y）=D（X）+D（Y）此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
4、D（X）=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即P{X=E （X）}=1（当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，D（X）=0.）注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。
5、D（aX+bY）=a2DX+b2DY+2abCov（X，Y）。
证明1、D（C）=E{[C-E（C）]2}=02、D（CX）=E{[CX-E（CX）]}=C2E{[X-E（X）]}=C2D（X）D（X+C）=E{[X+C-E（X+C）]}=E{[X-E（X）}=D（X）3、D（X土Y）=E{（X+Y）-E（X+Y）]}=E{[（X-E（X）+（Y-E （Y）]}=E{（X-E（X））2}+E{（Y-E（Y））2}+2E{[X-E（X）][Y-E（Y）}上式右端第三项为。
2E{[X-E（X））[Y-E（Y）]=2E[XY-XE（Y）-YE（X）+E（X）E（Y）]=2{E （XY）-E（X）E（Y）-E（Y）E（X）+E（X）E（Y）}=2{E（XY）-E （X）E（Y）}若X，Y相互独立，由数学期望的性质知道上式为0.4、充分性：P{X=E（X）}=1，则有P{x2=[E（X）}=1，E（X2）=E{[E（X）2}=[E（X）]2D（X）=E{[X-E（X）]}2=E{x2-2XE（X）+[E （X）}D（X）=E（x2）-[E（X）]2=0必要性：用反证法，概率不会大于1，只需考虑是否等于1或小于1.假设P{X=E（X）}<1，则对于某--个数ε>0，P{|X-E（X）|≥e}>0.但是由切比雪夫不等式，当D（X）=0，满足P{|X-E（X）|≥e}≤0与上式矛盾。
八年级下册数学同步辅导学习方差应注意的问题
新知速递 学习方差应注意的问题 □ 山东 苗伟 一、要注意方差使用的前提方差的作用是用来比较两组数据波动大小的，值得注意的是，在实际情境中，只有在数据的平均数相等或比较接近时，才能用这种方法，否则一般是不能用方差比较数据波动大小的，现举例说明：例1 为了从甲、乙、丙三名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测验，三人在相同的条件下各射靶10次，命中环数如下（单位：环）：甲：7 8 6 6 5 9 10 7 4 8乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7丙：7 5 7 7 6 6 6 5 6 5（1）求2S 甲，2S 乙，2S 丙．（2）你认为应该选拔哪位同学参加射击比赛？为什么？解：（1）78665910748710x +++++++++==甲， 9578768677710x +++++++++==乙， 7577666565610x +++++++++==丙． 22221[(77)(87)(87)]310S =-+-++-=L 甲， 22221[(97)(57)(77)] 1.210S =-+-++-=L 乙， 2221[(76)(56)(56)]0.610S =-+-++-=L 2丙． （2）仅从方差角度看，丙的方差最小，成绩较稳定，如果凭此判断丙的成绩最好，则很明显是不合理的．这是因为x x x =>甲乙丙，所以首先应把丙排除在外，比较甲、乙的方差可知22s s >乙甲，说明乙的成绩较稳定，所以应选乙参加射击比赛．二、并非方差越小越好一般而言，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，因此有同学认为在实际生产生活中方差越小越好，这种观点是片面的．现举例说明：例2 为了从甲、乙两人中选拔一人参加初中物理实验操作能力竞赛，每个月对他们的实验水平进行一次测试，如图绘出了两个人赛前5次测验成绩（每次测验成绩都是5的倍数）（1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数与方差；（2）如果你是他们的辅导老师，应该选择哪位同学参加这次竞赛，并结合图形简要说明理由．（3）若要选择一名学生能代表学校取得最好的成绩，应该选哪位同学参加？解：（1）x甲=15×（65+80+80+85+90）＝80；215S=甲×（225+25+100）＝70；x 乙=15×（75+90+80+75+80）＝80；215S=乙×（25+100+25）＝30.（2）根据（1）的计算结果，可得甲、乙的平均数相等；但甲的方差比乙的方差大，即乙的成绩比甲的稳定；故应选乙参加这次竞赛．（3）甲、乙两人的平均数相同，但甲的成绩总体呈上升趋势，且上升幅度大，所以为了能取得最好成绩，应选择甲参加竞赛.。
苏教版数学高一-2.3素材 利用方差公式的非负性巧解题
方差公式的非负性在解题中的应用
由于方差是反映样本数据12n x x x ，，，波动大小的特征数，而数学中的许多问题又都与
变量取值的波动性有关．因此，对于这些问题，若能从方差概念的本质属性的角度进行思考、分析，通过构造方差模型求解，则会出奇制胜.
一.求代数式的值
例1.已知实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+=+②
z xy y x ①y x ，02,822 ,试求)2(log 2z x x y x y -++的值.
分析：方差公式表明方差具有非负性，应用这一性质可求值、解方程、证明不等式等． 解：由⎩
⎨⎧=+-+=+②z xy y x ①y x ，02,822 ①-②得：xy-z 2=8，
即：xy=z 2+8，③
①2得：x 2+(2y )2=64-4xy.④
将③代入④得：x 2+(2y)2＝32-4z 2，把x 、2y 视为 一组数据，由方差公式得
点拨：本题的解法比较巧妙，利用方差公式的非负性这一性质来求值、解方程，通过本题体会解题技巧.
二.用于证明
例2.设△ABC 的三边a,b,c 满足：b+c=8，bc=a 2-12a+52，试问：△ABC 是什么三角形（按边分类）？并证明．
解：△ABC 为等腰三角形，证明如下：
由已知得b 2+c 2 =64-2bc ＝-2a 2+24a -40.
由方差公式得：
∴△ABC 是以a 为底，以b,c 为腰的等腰三角形．
点拨：通过本题体会利用方差的非负性解题的技巧.。
活用方差的性质巧解题
的 个数 分别 为 ２ 十 和 ２ 一１ 个 即 ３ ２个 和 ３ １十 ．
例 ２ 若集 台 Ｂ＝ｊ ， ， ， ， ， Ｃ ｛ １２ ３ ４ ５ ０ ２． ０
４６ ８ ， 合 ＾ 满 足 条 件 Ａ Ｂ 且 Ａ Ｃ， Ａ ， １ 集 则 的个数为
ｉ
．．．． ．．．．．．．．．．一
３ ４ ５ 的 集 合 Ａ 的 个 数是 （ ） ，．ｌ
（ ５ Ａ） 个 （】 Ｂ ６个 （ ７个 Ｃ） （ ８个 ０）
ｃ 上 中 的 （ Ａ 且 Ｃ Ｂ， 条 件 Ａ Ｃ Ｂ ； ’ ≠ ≠ 而
中 Ｃ可 “等 于 Ａ， 也可 “等 于 上． 是 满足 条 件 ｆ于 Ａ Ｃ Ｂ的 ｃ 的 个数 ， 比满 足 条件 Ａ ＣＣ Ｂ 的 ＿ Ｃ 的 个 数 少 ２个 由（） ， 足条件 Ａ ｃ Ｂ １知 满
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维普资讯
２０ ０ ２年 第 ６期
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一 一
数 学 学 习 与研 究
法 ４ （ 造 摸 型 法 ） 结 Ａ． Ｂ ．则 在 四 构 连 Ｂ． Ｕ ． 面 体 中 易 知 Ａｌ ＝ ｃｌ Ｈ ＝Ａｌ ＝ ２ 』ｌ √ ． Ｃｌ √ Ｈｊ ： ３
分析
．Ｂ 和 Ｃ 的 元 素分 别有 ２个 和 ５个 ， －
。 定理 ３ ２ 知 ． 足 条件 Ｂ Ａ Ｃ 的 集 由 （） 满 合 Ａ 的个 数最 多 为 ２ —１ 个 ７个 ， 选 （ ． 即 故 Ｃ）
站蒯订羞鞠性质巧掰画
（ 山东 滕 州 市 西 关 学 校
方差在数学解题中的应用
方差在中学数学解题中的应用填表说明1、指导教师意见由指导教师填写；2、开题小组意见由开题指导小组负责人填写；3、其余由学生在指导教师指导下填写。
4、此表供学院参考使用，各学院可根据各自学科专业的学术规范作适当调整。
方差在中学数学解题中的应用摘要：方差公式不仅在数理统计中应用广泛，而且在数学解题中也有极其广阔在应用。
由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，义务教材中也很少介绍，故给人一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用，为延伸教材内容、紧跟素质教育的步伐，经过研究总结了方差公式在求求取值范围、最大（小）值；解（证明）不等式、等式及几何问题；求未知数的值；解方程（组）、应用题；判断三角形的形状等中的应用，其解法新颖、简捷、富有启发性。
关键词：方差公式；中学数学；解题；应用1 引言1.1 方差的价值方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值. 然而由于这部分内容列入中学数学教学的时间不长, 因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少, 故给同学们一种错觉, 好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已, 别无它用. 其实利用方差公式能使复杂的运算变得非常简单, 几乎无从下手的问题, 利用方差公式能使问题得到巧妙的解决, 甚至可以出奇制胜, 达到事半功倍的效果. 为延伸教材内容, 紧跟素质教育和新课程改革的步伐, 下面对方差公式做简要的介绍：1.2方差的基本概念设在一组数据123...nx x x x++++中，各数据与它们的平均数x的差的平方和的1n，用来衡量这组数据的波动大小，叫做这组数据的方差。
总体是与个体或样本相对而言的，方差是对一组数据而言的。
个体不存在方差的问题（没有波动），总体和样本都存在方差。
抽样的目的是用样本的性质去估计总体的情况。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差性质的应用及拓展
㊀㊀㊀方差性质的应用及拓展◉甘肃省天水市秦安县第二中学㊀任亚丽摘要:在统计中方差是刻画数据波动程度的量,根据方差的定义可以得到方差的两条性质．结合实例分析说明合理灵活地应用方差的性质,可巧妙解决多元变量问题．关键词:方差;求值;证明;解方程;拓展１方差的性质若x－为一组数据x１,x２,x３, ,x n的平均数,S２为这组数据的方差,则有S２＝１n[(x１－x－)２＋(x２－x－)２＋ ＋(x n－x－)２]＝１n[(x１２＋x２２＋ ＋x２n)－n x－２],由方差定义公式,容易得出方差的两条性质．性质１:S２ȡ０,即任何一组实数的方差都是非负实数．性质２:当且仅当x１＝x２＝ ＝x n时,S２＝０,即若一组实数数据的方差为零,则该组每个数据均相等,且都等于该组数据的平均数．运用这两个性质和方差计算公式,常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题．２方差性质的应用２．１求值例１㊀已知x＋y＝８,x y－z２＝１６,求x＋y＋z的值．解:因为x,y的平均数为x＋y２＝４,x y＝１６＋z２,所以x,y的方差为s２＝１２[(x－４)２＋(y－４)２]＝１２[x２＋y２－８(x＋y)＋３２]＝１２[(x＋y)２－２x y－８(x＋y)＋３２]＝１２[６４－２(１６＋z２)－６４＋３２]＝－z２．由性质①,得－z２ȡ０,所以z２ɤ０．z２＝０,即z＝０,所以s２＝０．由性质②,得x＝y＝４．所以x＋y＋z＝４＋４＋０＝８．２．２求最值例２㊀设m,n,p均为正实数,且m２＋n２－２p２＝０,求pm＋n的最小值．解:m,n的平均数x－＝m＋n２．m,n的方差为s２＝１２[(m－x－)２＋(n－x－)２]＝１２[(m２＋n２)－２(m＋n)x－＋２x－２]＝１２[(m２＋n２)－(m＋n)２＋１２(m＋n)２]＝１２[２p２－１２(m＋n)２]．由性质①,得１２[２p２－１２(m＋n)２]ȡ０．所以２p２－１２(m＋n)２ȡ０,所以(p m＋n)２ȡ１４．因为m,n,p为正实数,所以p m＋nȡ１２．２．３证明不等式例３㊀已知x＋y＋z＝a,求证:x２＋y２＋z２ȡ１３a２．证明:设x２＋y２＋z２＝ω,由方差公式,得x,y,z的方差为s２＝１３[(x２＋y２＋z２)－１３(x＋y＋z)２]＝１３(ω－１３a２)．因为s２ȡ０,所以１３(ω－１３a２)ȡ０．所以ωȡ１３a２,即x２＋y２＋z２ȡ１３a２．２．４证明等式例４㊀已知实数a,b,c满足a＝６－b,c２＝a b－９,求证:a＝b．６９教育纵横师生园地㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀证明:由已知得a ＋b ＝６,则a ２＋b ２＝３６－２a b ＝３６－２(c ２＋９)＝１８－２c ２．由方差公式,得实数a ,b 的方差为s ２＝１２[(a ２＋b ２)－１２(a ＋b )２]＝１２[(１８－２c ２)－１２ˑ６２]＝－c ２．因为s ２ȡ０,所以－c ２ȡ０．所以c ＝０,因此s ２＝０,则a ＝b ．２．５解方程例５㊀解方程:４(x ＋y －１＋z －２)＝x ＋y ＋z ＋９．解:设x ＝a ,y －１＝b ,z －２＝c ．则x ＝a ２,y ＝b ２＋１,z ＝c ２＋２,原方程可化为４(a ＋b ＋c )＝a ２＋b ２＋c ２＋１２．所以a ２＋b ２＋c ２＝４(a ＋b ＋c )－１２．由方差公式,得a ,b ,c 的方差为s ２＝１３[(a ２＋b ２＋c ２)－１３(a ＋b ＋c )２]＝１３[４(a ＋b ＋c )－１２－１３(a ＋b ＋c )２]＝－１９(a ＋b ＋c －６)２．因为s ２ȡ０,所以(a ＋b ＋c －６)２ɤ０．因此a ＋b ＋c ＝６．于是s ２＝０,a ＝b ＝c ＝２．所以x ＝４,y ＝５,z ＝６．经检验,x ＝４,y ＝５,z ＝６是原方程的解．２．６判断三角形形状例６㊀设әA B C 的三边a ,b ,c 满足:b ＋c ＝８,b c ＝a ２－１２a ＋５２,试问әA B C 是什么三角形(按边分类)?并证明你的结论．解:әA B C 为等腰三角形,证明如下:由已知得b ２＋c ２＝６４－２b c ＝－２a ２＋２４a －４０．由方差公式,得b ,c 的方差为S ２＝１２[(b ２＋c ２)－１２(b ＋c )２]＝１２[(－２a ２＋２４a －４０)－１２ˑ８２]＝－(a －６)２．因为S ２ȡ０,所以－(a －６)２ȡ０,即a ＝６,于是S ２＝０．所以,b ＝c ＝４．故әA B C 是以a 为底,以b ,c 为腰的等腰三角形．３引伸与推广定理:若a １,a ２,a ３, ,a n ɪR ,则n (a ２１＋a ２２＋a ２３＋ ＋a ２n )ȡ(a １＋a ２＋a ３＋ ＋a n )２．证明:n 个数a １,a ２,a ３, ,a n 的方差为S ２＝１n[(a ２１＋a ２２＋a ２３＋ ＋a ２n )－n(a １＋a ２＋a ３＋ ＋a nn)２]．因为S ２ȡ０,所以n (a ２１＋a ２２＋a ２３＋ ＋a ２n )ȡ(a １＋a ２＋a ３＋ ＋a n )２．当且仅当a １＝a ２＝a ３＝ ＝a n ＝１n(a １＋a ２＋a ３＋ ＋a n )时,取 ＝ 号．该定理反映了 n 个数的平方和 与 n 个数的和的平方 之间的内在联系．例７㊀已知a ,b ,c ɪR ,且a ＋b ＋c ＝１,求证１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１ɤ４３．证明:由定理知３[(１３a ＋１)２＋(１３b ＋１)２＋(１３c ＋１)２]ȡ(１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１)２．所以(１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１)２ɤ３[１３(a ＋b ＋c )＋３],即１３a ＋１＋１３b ＋１＋１３c ＋１ɤ４３,当且仅当１３a ＋１＝１３b ＋１＝１３c ＋１,且a ＋b ＋c ＝１,即a ＝b ＝c ＝１３时取 ＝ 号．４结语由上面几道例题我们可以知道,方差中的大多数问题都是利用方差大于零或者是方差等于零时建立等式与不等式(即方差的非负性)来作为突破口解决的．方差性质的运用往往能使同样的一道题由繁变简,由难变易,并能快速求解．参考文献:[１]章启平．应用方差公式妙求代数最值[J ]．中学生数学,２０２１(１２)．[２]于志洪．方差公式在求最大值和最小值中的应用[J ]．现代中学生(初中版),２０２１(Z １)．７９２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
方差推导两个结论公式
方差推导两个结论公式好的，以下是为您生成的关于“方差推导两个结论公式”的文章：在数学的世界里，方差这个概念就像是一个神秘的小怪兽，有时候让人觉得头疼，但一旦掌握了它的奥秘，就会发现它其实挺有趣的。
今天咱们就来聊聊方差推导的两个结论公式。
先来说说啥是方差。
简单来讲，方差就是一组数据离散程度的度量。
比如说，咱们班某次考试的成绩，方差小就说明大家的分数都比较接近，方差大呢，就表示同学们的成绩差距比较大。
咱们从一个简单的例子开始。
假设咱有一组数据：5、7、9、11、13。
这几个数看起来是不是有点乱？别急，咱们先算一下它们的平均数。
（5 + 7 + 9 + 11 + 13）÷ 5 = 9。
接下来算方差，先把每个数和平均数的差平方，（5 - 9）² = 16，（7 - 9）² = 4，（9 - 9）² = 0，（11 - 9）² = 4，（13 - 9）² = 16，然后把这些平方差加起来除以数据个数，（16 + 4 + 0 + 4 + 16）÷ 5 = 8，这就是这组数据的方差。
那这跟咱们要推导的两个结论公式有啥关系呢？咱们接着来。
第一个结论公式是：如果一组数据同时加上或减去一个常数，方差不变。
比如说刚才那组数据 5、7、9、11、13，咱都给它们加上 2，变成 7、9、11、13、15。
平均数变成了 11，再算方差，（7 - 11）² = 16，（9 - 11）² = 4，（11 - 11）² = 0，（13 - 11）² = 4，（15 - 11）² = 16，（16 + 4 + 0 + 4 + 16）÷ 5 = 8，嘿，方差还是 8，没变！这是为啥呢？其实很好理解，你想啊，大家都一起往上或者往下移动了，相互之间的差距并没有改变，所以方差也就不变啦。
我记得有一次给学生们讲这个知识点，有个调皮的小家伙就问我：“老师，那要是乘以一个数呢？”这就引出了咱们的第二个结论公式：如果一组数据同时乘以一个常数，方差乘以这个常数的平方。
苏教版数学高一-2.3素材 方差在解题中的应用
方差在解题中的应用龚兵初中代数中曾介绍过一组数据的方差，设a a a a n 123,,,…。
记a n a a a a n =++++1123()…，那么s na a a a a a n 2122221=-+-++-[()()()]…叫做这组数据的方差。
运算变形后得： s na a a a n 21222221=+++-()…。
灵活运用s 20≥（当且仅当a a a a n 12====…时取“=”号）进行解题，可以收到很好的效果。
1. 巧用方差解题 例1. 已知a b a b ≥≥+=001，，，求证：a b +++≤12122 证明：令u a b =+++>12120，则a b ++1212与的平均数M u =2。
方差s a b u 22221212220=+++-≥()()() 整理得44022-≥≤u u ，， 即a b +++≤12122 当且仅当a b +=+1212，且a b +=1，即a b ==12时取“=”号。
例2. 已知a b c a b c +-+-=++1212()，求a b c ,,的值。
分析：数a b c ,,--12的平均数a a b c =++16() 方差s a b c a b c 222221312160=+-+--++≥[()()()][()] 整理得-++-≥[()]16102a b c 当且仅当a b c a b c =-=-=++1216()时取“=”号。
又知161()a b c ++= 所以a b c =-=-=121求得a b c ===123，，例3. 求满足方程x y x y 222113+-+-=()()的一切实数x ，y 的值。
解：设数据---x y x y ，，()1的平均数为a x y x y =-+-+-=-13113[()()()] 方差s x y x y a 22222131=+-+--[()()]=--19132() 当且仅当-=-=-==-x y x y a 113时，s 20= 此时x y ==1323， 小结：在构造不等式中，要设法使不等号的一边变成常数和注意等号成立的条件。
中考数学精选例题解析：方差
中考数学精选例题解析：方差知识考点：了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。
精典例题：【例1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。
（1）－2，1，4 （2）－1，1，2 （3）79，81，82 分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：[]222212)()()(1x x x x x x nS n -+⋅⋅⋅+-+-=求方差较简便；（2）中各数据虽为较小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅++=____2222212)(1nx x x x n S n 求方差较简便；（3）中数据较大且接近80，因此取80=a 运用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'+⋅⋅⋅+'+'=____2222212)(1x n x x x n S n 求方差较简便。
答案：（1）62=S ；（2）9512=S ；（3）9512=S【例2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示，乙甲10987654321十九八七六五四三二一次数环数（1）请填写下表：平均数 方差 中位数 命中9环以上次数甲 7 1.2 1 乙（2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。
①从平均数和方差相结合看；②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力） 解：（1）略；（2）①∵平均数相同，乙甲22S S <，∴甲的成绩比乙稳定；②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些； ③∵平均数相同，命中9环以上环数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些； ④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力。
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巧用方差的性质解题 由方差的计算公式])()()[(1222212
----+⋯+-+-=x x x x x x n s n 容易得出方差的两条性质：
性质1 任何一组实数所的方差都是非负实数．
性质2 若一组实数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数． 运用这两个性质和方差计算公式，常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题． 例1 已知8=+y x ，162=-z xy ，求z y x ++的值．
解：∵x 、y 的平均数为
2
y x +=4，216z xy +=， ∴x 、y 的方差 ])4()4[(21222-+-=y x s =]32)(8[2
122++-+y x y x =]32)(82)[(2
12++--+y x xy y x =]3264)16(264[2
12+-+-z =2z -． 由性质1，得02≥-z ，∴02
≤z ．
∴2z =0，0=z ．∴=2s 0． 由性质2，得y x ==4．
∴z y x ++=4+4+0=8．
例２ 已知c b a ++=6，222c b a ++=12，求c b a 32++的值．
解：∵a 、b 、c 的平均数是
3
c b a ++=2， ∴a 、b 、c 的方差 ])2()2()2[(3
12222-+-+-=c b a s =]12)(4)[(3
1222+++-++c b a c b a =)122412(3
1+-=0． 由性质2，得a =b =c =2．
∴c b a 32++=12．
例3 设m 、n 、p 均为正实数，且2m +2n -22p =0，求
n m p +的最小值． 解:m 、n 的平均数-x =2
n m +． m 、n 的方差为
2
s =])()[(2122---+-x n x m =]2)(2)[(2
1222--++-+x n m x n m =])(2
1)()[(212222n m n m n m ++
+-+ =])(2
12[2122n m p +- 由性质1，得])(2
12[2122n m p +-≥0． ∴22)(2
12n m p +-≥0． ∴4
1)(2≥+n m p ． ∵m 、n 、p 为正实数，∴21≥+n m p ． 练习：已知2=+y x ，12
=-z xy ，求z y x ++的值．。