巧用方差的性质解题

巧用方差的性质解题 由方差的计算公式])()()[(1222212

----+⋯+-+-=x x x x x x n s n 容易得出方差的两条性质：

性质1 任何一组实数所的方差都是非负实数．

性质2 若一组实数据的方差为零，则该组数据均相等，且都等于该组数据的平均数． 运用这两个性质和方差计算公式，常可帮助我们快捷解决一类与之相关的问题． 例1 已知8=+y x ，162=-z xy ，求z y x ++的值．

解：∵x 、y 的平均数为

2

y x +=4，216z xy +=， ∴x 、y 的方差 ])4()4[(21222-+-=y x s =]32)(8[2

122++-+y x y x =]32)(82)[(2

12++--+y x xy y x =]3264)16(264[2

12+-+-z =2z -． 由性质1，得02≥-z ，∴02

≤z ．

∴2z =0，0=z ．∴=2s 0． 由性质2，得y x ==4．

∴z y x ++=4+4+0=8．

例２ 已知c b a ++=6，222c b a ++=12，求c b a 32++的值．

解：∵a 、b 、c 的平均数是

3

c b a ++=2， ∴a 、b 、c 的方差 ])2()2()2[(3

12222-+-+-=c b a s =]12)(4)[(3

1222+++-++c b a c b a =)122412(3

1+-=0． 由性质2，得a =b =c =2．

∴c b a 32++=12．

例3 设m 、n 、p 均为正实数，且2m +2n -22p =0，求

n m p +的最小值． 解:m 、n 的平均数-x =2

n m +． m 、n 的方差为

2

s =])()[(2122---+-x n x m =]2)(2)[(2

1222--++-+x n m x n m =])(2

1)()[(212222n m n m n m ++

+-+ =])(2

12[2122n m p +- 由性质1，得])(2

12[2122n m p +-≥0． ∴22)(2

12n m p +-≥0． ∴4

1)(2≥+n m p ． ∵m 、n 、p 为正实数，∴21≥+n m p ． 练习：已知2=+y x ，12

=-z xy ，求z y x ++的值．