中南大学线性代数试卷

考试试卷1

闭卷考试时间：100分钟

一、填空题（本题15分，每小题3分）

1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。

2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。

3、设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----=2531312311

112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。

4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 011

1)(++++=-- 必有

特征值 。

5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为2

2214y y f +=，

则=a 。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。

（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为

其余行的线性组合；

（D ）必有一行元素为其余行的线性组合。

2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（

）

（A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。

3、设向量组()()()，，，，，，，，，T

T

T

t 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。

（A ）5

（B ）4

（C ）3

（D ）2

4、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。

（A ）

)(21213

2ηηηη-++k ； （B ）

)(21213

2ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(2

1321213

2ηηηηηη-+-+-k k 。

5、设方阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（ ）。

（A ）0>k ； （B ）1>k ； （C ）2>k ； （D ）1->k 。 三、（本题8分） 计算行列式

x

a x a x a a n n 0

1000

100011

21

-----，其中1,,2,1,0,0-=≠n i a i 。 四、（本题12分） 设X A E AX +=+2，且⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=101020101A ，求矩阵X 及()

*

-1X ，

其中()

*

-1X 为1-X 的伴随矩阵，E 为单位矩阵。

五、（本题14分） 设向量组()()()T

T

T

531110101

321，，，，，，，，===ααα不能由向量组 (),1111T ，，=β(),3,2,12T =β()T

k ,4,33=β线性表示。 （1）求向量组321ααα，，的一个极大无关组； （2）

求k 的值； （3）将向量1β用321ααα，，线性表示。

六、（本题14分） 设齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+0042

21x x x x ，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为

()()T

T

k k 1,2,2,10,1,1,021-+。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公

共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。

七、（本题14分） 设矩阵⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=11001000001

0010

x A ，

（1）已知A 的一个特征值为，2 求x ； （2）求方阵P ，使()()AP AP T

为对角阵。 八、（本题8分） 试证明：

n 阶矩阵⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=111

2 b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a -+，其中10<

参考答案

一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、

9

1

； 3、4； 4、)(λf ； 5、1。

二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、B. 三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘x 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：

原式=122110----++++n n n n a x a x a x a 。

四、（本题12分）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，

)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=+=201030102E A X ；

由于09≠=X ，()

⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛===∴---*-201030102911)(1

1

11X X X X X 。 五、（本题14分） 解：（1） 令),,(321ααα=A ，3)(,01=∴≠=A R A ，

则321,,ααα线性无关， 故321,,ααα是向量组321ααα，，的一个极大无关组；

（2）由于4个3维向量 )3,2,1(321=i i αβββ，，，线性相关，

若321βββ，，线性无关，则i α可由321βββ，，线性表示，与题设矛盾；

于是321βββ，，线性相关，从而5,05314213

11||321=∴=-==k k k

βββ，，。

（3）令⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==110040102001151113101101),,,(1321 βαααB ，321142αααβ-+=∴。

六、（本题14分）解：（1） ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010100110100011A ，所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：

()()T

T 1,0,1,1,010021-==ηη，，，；

（2）设()()2413211,2,2,10,1,1,0ηηk k k k T

T

+=-+，即

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000011001010

10011010012110211010,010100121102110104321 k k k k ，

故上述方程组的解为T k )1,1,1,1(-，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：