反比例函数与一次函数的综合运用
一次函数与反比例函数的综合运用ppt课件
A
D
EO
x
C
B
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小结4：看到求函数的关系式，想到利用待定系数法 ； 看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成 方程组的解； 看到面积，想到 三角形面积公式，不规则图形 的面积要转化为和它有关的规 则图形的面积来求解.
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点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增 大而增__大_ （在每个
k<0时，y随的x增 大而_减__小_
象限内）
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知识考点•对应精练
【知识考点】 （1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性 （2）一次函数与反比例函数图象的特点 （3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式 （4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题
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4．如图所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－4x的图象相交于 A，B 两
点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D.则
四边形 ACBD 的面积为
( D)
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题组二 函数图象的共存
【例 2】当 a≠0 时，函数 y＝-ax＋1 与函数 y＝ax在同一坐
标系中的图象可能是图中的
(B )
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一次函数与反比例函数的综合运用
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反 比例 函数 的解析式为 （
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＼ １Βιβλιοθήκη Ｃ Ｄ 解析 ： 是～ 道多 图象在 同一 坐标系 中的 这 一 判定 的问题 ． 注意到 “” 应 的符号必须 相同 ， 解
阁 １
冒０ 。 留
答时可用 排除法 ． ｋ 时 ，反 比例 函数 ｙ 当 ＞０ ＝
解析 ： 设点 ４的坐标为 （ ， ， 一１ｍ） 南点 在
ｙ ＝一 － Ｘ（ ） ， 的图象应位于第～ 、 象限 ，一次函数 ｙ ： 直线 ｌ 上 可得 ｍ＝－２ －１ ＝２所 以
（） ３ 由题 意 知 ＝（５ ＋ｌ （ｏ 一 １一ｍ ８３０
间成反 比例关 系． － 如图 ３ ，已知该材料 在操作加工前 的温度
点评： 通过 此例 的解答 ． 同学们 要学会 这 为 ｌ℃， ５ 加热 ５ 分钟后温度达到 ６ ℃． ０ 类 由点 的坐标求 函数关系式 ， 、由函数关 系式 （） １分别求 出将材料加热和停止加热进行 求点 的坐标的解法． 操作时 Ｙ与 之间的函数关系式 ； 例 ３ 如图 ２ ，点 Ｐ为反 比例 函数 ＝三 （） ２ 根据工艺要求 ， 当材料的温度低于１￣ ５Ｃ
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数可以综合应用在多种场景中，如物品价格根
据数量的变化而做出不同的变动，比如有折扣优惠时，可以利用反比
例函数表达，但是来看待折扣的优惠能力，可以利用一次函数表达，
即根据购买数量来折扣价格，数量增加，折扣价格也加大。
另一个例
子是根据对应物品质量的价格，反比例函数可以表达更高质量的物品
价格较较低质量的物品价格昂贵，但是相同质量的物品的价格的变化，不同厂家的不同，可以利用一次函数来表达价格与质量的综合数据关系。
一次函数和反比例函数综合题
一次函数和反比例函数综合题一次函数和反比例函数综合题一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数形式。
它们在实际应用中具有广泛的应用，能够帮助我们分析和解决很多问题。
在这篇文档中，我们将通过几个实际问题来介绍一次函数和反比例函数，并且阐述它们在问题求解中的作用。
一次函数（即线性函数）的一般形式为y = kx + b，其中k和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，通过给定的两个点，我们就可以确定唯一一条直线。
一次函数在直线上的特点使得它在很多实际问题中都起到了重要作用。
反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k是一个非零实数。
反比例函数的图像是一个拋物线，其与x轴和y 轴都有渐进线。
若要确定一条反比例函数的图像，我们需要已知一对坐标点。
反比例函数在实际生活中也能够很好地解决问题。
首先，我们来看一个一次函数的应用问题。
问题1：某校体育场的露天电视屏幕宽度为10米。
如果离电视屏幕距离为30米，站在距离电视屏幕10米处，该同学把电视屏幕的宽度误看为5米，请问该同学距离屏幕实际上有多远？解析：设该同学离电视屏幕的实际距离为x，则有一次函数关系式10/30 = 5/x。
解出x可得x = 15（米）。
所以该同学距离电视屏幕实际上是15米。
接下来，我们来看一个反比例函数的应用问题。
问题2：一个车间有6台机器，可以在20小时内完成一项任务。
现在该车间购买了2台新机器，那么完成同样任务需要多少小时？解析：设新的完成任务所需小时数为x，则有反比例函数关系式6/20 = 8/x。
解出x可得x = 40（小时）。
所以完成同样任务现在需要40小时。
通过以上两个问题的分析，我们可以看出一次函数和反比例函数在解决实际问题中的作用。
一次函数可以用来建立两个变量之间的线性关系，而反比例函数用来建立两个变量之间的反比例关系，这样我们就能够通过已知条件确定未知量的值，解决问题。
另外，我们还可以将一次函数和反比例函数结合起来进行分析。
掌握反比例函数与一次函数综合题的分析思路
掌握反⽐例函数与⼀次函数综合题的分析思路学习⽬标：
1.熟练掌握反⽐例函数解析式的求法；
2.掌握反⽐例函数与⼀次函数综合题的分析思路；
3.利⽤反⽐例函数的相关知识解决实际问题.
重难点分析：
1.反⽐例函数解析式的求法；
2.反⽐例函数与⼀次函数综合题；
3.反⽐例函数实际应⽤问题.
要明确待定系数法的定义：先设某些未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的⽅法叫待定系数法．在利⽤⼏何图形的性质求函数解析式时，通过已知图形的性质确定所需点的坐标是
解题的关键.
本题主要考查了反⽐例函数与⼀次函数交点问题，出现线段问题要注意构造⼏何图形，利⽤⼏何性质解题.
反⽐例函数与实际问题
1.利⽤反⽐例函数解决实际问题：
（1）能把实际的问题转化为数学问题，建⽴反⽐例函数的数学模型．
（2）注意在⾃变量和函数值的取值上的实际意义．
（3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
2.跨学科的反⽐例函数应⽤题
要熟练掌握物理或化学学科中的⼀些具有反⽐例函数关系的公式，同时体会数学中的转化思想．
3.反⽐例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运⽤好数形结合的思想．
专题精准总结：
1. 反⽐例函数解析式的求解要注意反⽐例函数图像上点坐标的特征；
2. 反⽐例函数⼏何应⽤中求⾯积类的问题要注意与k的关系；
3. ⼀次函数与反⽐例函数结合题，综合性较强，注意分类型掌握；
4. 实际问题在反⽐例函数中运⽤要建⽴起等量关系。
反比例函数与一次函数综合教案
反比例函数与一次函数的综合
一、定义
一般地，形如 y = x
k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）三种常见的表达形式： y = x
k （k ≠ 0） ， xy = k （k ≠ 0） ，y=kx -1（k ≠0） 例1：函数22)2(--=a
x a y 是反比例函数，则a 的值是
T2 提高训练T1
二、图象和性质
1.形状：图象是双曲线。
2.位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；
（2）当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内
3.增减性：（1）当k>0时, y 随x 的增大而增大；
（2）当k<0时, y 随x 的增大而减小
4.变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交
5.对称性：对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点对称 T1 T4 T5 提高训练T2 T3
三、用待定系数法求解析式（与一次函数结合）相交问题 面积问题，
T6 提高训练T4 T5
例：如图,在平面直角坐标系中，直线2k y x =+与双曲线k y x
=在第一象限交于点A ，
与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求：
（1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．。
专题：反比例函数与一次函数结合
26.26(4)专题：反比例函数与一次函数结合一．【知识要点】1.反比例函数与一次函数结合二．【经典例题】k S 的取值范围。
3.如图，已知直线l :6-=x y 与x 轴，y 轴交于点A,B 两点，与反比例函数xk y =（x ＞0）的图象交于点C （a,-1）和点D 。
（1）求k 的值及点D 的坐标。
（2）若点P 在反比例函数图象上且位于直线l 上方，过点P 作PM ⊥x 轴于点M 交AB 于E ，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，求BE AF •的值。
4．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y＝（x＞0），图象上位于直线y＝﹣x+4下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，并且AF•BE＝4（1）求k的值；（2）若反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，求三角形OCD的面积．三．【题库】【A】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝．在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【B 】【C 】 1.（绵阳2018第22题本题满分11分） 如图，一次函数2521+-=x y 的图像与反比例函数)0(＞k xk y =的图像交与A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使P A +PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.2．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【D 】1.（2020年绵阳期末第12题）如图，已知点A(m ，m+3)，点B(n ，n-3)是反比例函数()0>=k xk y 在第一象限的图象上的两点，连接AB.将直线AB 向下平移3个单位得到直线l ，在直线l 上任取一点C ， 则△ABC 的面积为（ ） A.29 B.6 C. 215 D.92.在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P （x ，y ），我们把点P ′（，）称为点P 的“倒影点”，直线y ＝﹣x+1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝的图象上．若AB ＝2，则k ＝ ．。
反比例函数与一次函数的综合运用(优质课教案)
反比例函数与一次函数的综合运用蒲岐中学章青海一、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1．知识与技能：通过本节学习，巩固反比例函数和一次函数的图像和性质，并能用它解决相关问题．2．过程与方法：通过观察简单图象入手，步步引入，逐渐掌握解决本节例题的方法，通过动手操作，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想．3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值．教学重点：利用反比例函数和一次函数的图像和性质解决有关问题教学难点：1、综合运用反比例函数和一次函数的图像和性质知识解决创新型问题2、对数形结合思想的理解与深入应用二、教学流程(一) 简单图象导入，温故知新教师：同学们好，请同学们看屏幕．如图，问题1.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2、BC=1，你可以得出哪些结论？设计意图：让学生复习解直角三角形的知识及一般情况三角形会求哪些结论？引出面积为反比例函数的引入作铺垫。
问(2)将Rt△ABC如图放入直角坐标系中；还可以得出什么结论？设计意图：让学生体会当直角坐标系与简单几何图形结合，点线都可以用代数知识来表示，充分理解直角坐标系是数形结合很好的工具。
．借助哪个函数工具可以画出和它面积一样的直角三角形？设计意图：引入反比例函数，复习反比例函数解析式的求法，充分理解掌握k=xy 面积不变性，认识应用的基本图形，为等积法解决原题作铺垫。
问(3) .在平面直角坐标系中找到点D,使得以A 、B 、C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形。
设计意图：比较自然的引出（0，-1）；（4，1）又可以得出直线y=21x －1,从数学思想看也复习了分类讨论思想。
问（4）.如图反比例函数y=x 4 与一次函数y=21x －1交于C,D 两点 你能提出一个新问题吗?并尝试解决.设计意图：预设3副图解决三类常见问题求交点，求三角形面积及大小比较 让学生总结方法技巧问（5）. 直线y=21x-1与x 轴交于点B,过点B 作x 轴的垂线交反比例函数y=x4于点C,连接AC 你能判断三角形ABC 的形状吗?（创新型综合问题）设计意图：还是让学生观察图形特征，总结点规律，为解决原题作基础。
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出0-≥+xm b kx 时x 的取值范围．2．如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点 C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A （2，3）、B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式＞kx +b 的解集；（3）若P 是y 轴上一点，且满足△P AB 的面积是5，求点P 的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．5．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围．（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？6.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．7．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．9．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？10、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．。
《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计
（一）、知识与技能：
1、理解和掌握一次函数与反比例函数的表达式，图象及其性质。
2、能熟练运用待定系数法求函数的表达式；利用联立方程组思想求交点坐标；数形结合的思想求变量取值范围，转化思想等方法解决函数综合应用题。
（二）、过程与方法：
1、通过对零散知识点运用思维导图进行系统梳理，让学生对一次函数、反比例函数的知识体系结构化。
2、广东省近几年数学中考中一次函数与反比例函数综合题的考查情况表：
年份2012年2013年2014年
题号第17题第10题第23题
1、学生听
1、教师在此 活 动中，要重点关注的是：
（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；
（2）学生
是否高度重视，有主动积极参与到活动中来， 有种跃跃欲试的感觉。
教师对本
节课内容
1、（2011年湖南怀化中考题）正比例函数
y2x与反比例函数y1在同一坐标系中的
x
大致图像是（ B）
2、（2017湖南张家界中考题）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与ym
x
m≠0）的图象可能是（D）
针对引例题 2 类型的变式训练题：
3、（2011年浙江杭州中考题）函数y1x1和
引例 2：(2011 年贵州贵阳中考题)如图，反
k1
比例函数y1=x和正比例函数y2=k2x的图象
k1
交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若x＞k2x，
则x的取值范围是（C）A、-1＜x＜0
B、-1＜x＜1
C、x＜-1或0＜x＜1D、-1＜x＜0或x＞1
k1
解析：根据题意，若x＞k2x，则只须y1＞y2，
（2）并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合反比例函数和一次函数，听起来像是数学课上的两个“老朋友”，对吧？其实它们各有各的个性，有趣得很，像极了生活中的那些“朋友”。
反比例函数就像是个调皮捣蛋的小子，总是让你意想不到。
你想要的东西，它偏偏给你反着来。
比如说，假设你在做生意，客户越多，利润越分散，这不就是反比例吗？简单点说吧，反比例就是那种一个增大，另一个必定减小的关系，像是两个人在拔河，谁拉得用力，谁就得让步。
想象一下，一边是越来越多的客户，另一边则是你的工作量就像山一样高，真是让人哭笑不得。
再说说一次函数，这家伙可稳重多了。
它就像那个老实巴交的邻居，绝对不会让你意外。
一次函数就是那种一直在“直线”上的家伙，没啥花里胡哨的。
他的图像看起来就像是顺风车，稳稳地往前开。
你想要的结果，输入什么值，它都能给你个正经八百的答案。
就像你跟朋友约好了去看电影，票价是固定的，不管你们几个人去，价格都一样，明明白白，清清楚楚。
把这两个“朋友”放到一起，简直是奇妙的组合。
反比例函数和一次函数就像是两个性格截然不同的搭档，你得靠着反比例的灵活机智来解决问题，有时候又需要一次函数的稳定来确保安全。
想想看，在一个团队里，活泼的和稳重的往往能产生奇妙的化学反应。
就像在生活中，我们常常需要有人来给我们带来新鲜感，也需要有人来给我们提供安全感。
这种互补关系真是妙不可言。
比如说，你正在筹划一次活动，想要吸引更多的人来参加。
这时候，你的宣传方式就需要反比例的思维。
试着用一些新鲜的点子，增加活动的吸引力，但你要明白，越多的人参与，活动的质量可能会受影响。
就好比聚会上的美食，食材越多，口味可能就得妥协。
反比例函数就像是个提醒，要学会找到那个平衡点。
而如果你用一次函数的方式来计划，事情可能就简单多了，所有的步骤都有章可循，这也会让你的创意受限，难免就显得乏味。
说到这，我不禁想起了小时候做数学题的那些日子。
拿着圆规，画出漂亮的图形，想着这些函数的奥妙，心里总是充满了成就感。
中考数学复习-一次函数与反比例函数综合题型-教案
专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、求一次函数与反比例函数的解析式 1、待定系数法.2、一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点. 二、图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 1、反比例函数k .2、将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、图形面积与坐标点之间的关系 三、交点问题 根据已知量求未知量四、根据图象直接写出自变量的取值范围 数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015•资阳）如图10，直线y ＝ax ＋1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线y ＝k x（x＞0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，点A 的坐标为2,0 （）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标.解：（1）把A （﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，∴y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），∵Q（a，b）在y=上，∴b=，当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，∴a﹣2=2b，即a﹣2=，解得：a=4或a=﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，整理得：2a﹣4=，解得：a=1+或a=1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．【例2】（2016•资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），∴点D的坐标是（1，2），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）∵直线AC交y轴于点E，∴S △C D E =S △E D A +S △A D C =，即△CDE 的面积是3．【课后练习】1、（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值解：（1）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0）和A （﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x ﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A （﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B （，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．2、如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的解析式为y ＝2x.3、(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10； (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.4、如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且0≠k ）的图像与反比例函数xy 8-=的图像交于()b A ,2-，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后与反比例ABOy x函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值. 解：（1）将()b A ,2-代入反比例函数xy 8-=，得： 428=--=b∴()4,2-A将()4,2-A 代入一次函数5+=kx y ，得： 4=-2k+5，解得21=k ∴一次函数的表达式为521+=x y （2）直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后的表达式为m x y -+=521， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=x y m x y 8521得：08)5(212=+-+x m x ，16)5(8214)5(4222--=⨯⨯--=-=∆m m ac b∵平移)0(>m m 个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公共点；∴Δ=0，即016)5(2=--m ，解得9,121==m m ， ∴m 的值为1或9.5、(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数直线my x=的图象都经过点A(2，-2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交 于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积。
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数1、反比例函数与一次函数的比较函数正比例函数反比例函数解析式 y kx k 0ky 一 k 是常数，k 0 x图象形状 直线双曲线K>0位置第、三象限 fr 产第一、三象限增减性y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 K<0位置第二、四象限第二、四象限k增减性y 随x 的增大而减小 y 随x 的增大而增大举一反三：1. 3. 4.函数 y =— ax + a 与 y2.1函数y=-x 与y=在同一直角坐标系中的图象是()x)ky=-(k 工已知关于x 的函数y=k (x+1 )和(a ^ 0)在同一坐标系中的图象可能是(函数的关系式为=”填空)3、求一次函数和反比例函数的关系式.k例：如图，反比例函数 y —的图象与一次函数 y ax b 的图象交于 M N 两点。
x(1 )求反比例函数和一次函数的解析式。
2、反比例函数与一次函数交点反比例函数与一次函数交点分两种情况: 练习题： 有两个，或者没有 1.1在函数y=—与函数y=x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是xA . 1个B . 2个C . 3个D . 2. 已知正比例函数 y ik i x 和反比例函授y 0个k 2—的图像都经过点(x4. 5. ).2, 1)，则&、k 2的值分别为(1 1 1A &= — , k = —B k t =2, k ?=—222C k 1 =2，k 2=2已知一次函数y=2x — 5的图象与反比例函数y=-的图象都经过点(2, m ),则一次函数的解析式是 _______________x ky=—(k 工的图象交于第四象限的一点P (a, — 3a ),则这个反比例x6.7. 若函数y (2m 1)x 与y ——m的图象交于第一、三象限，则 m 的取值范围是xk若一次函数y=x+b 与反比例函数y=—图象，在第二象限内有两个交点，？则kx0,(用“＜、'3.已知关于x 的一次函数y=kx+1和反比例函数(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的k解：(1)将点N (- 1 , - 4)代入y ，得k=4X4•••反比例函数的解析式为 y 4x4又T M 边在y 上X• m=29 b 4，解得 a 2,b 22a b 2• 一次函数的解析式为 y 2x 2(2)由图象可知当x1和0 x 2时，反比例函数的值大于一次函数的值举一反三：(1)求反比例函数与一次函数的表达式( 2)根据图象求出一次函数大于反比例函数的值时的图象在第一象限交于 C 点,CD 丄x 轴，垂足为D,若0A=0B=0D=1求(1)点A,B,D 坐标；(2)一次函数与反比例函数 的解析式。
(中考复习)第14讲 一次函数与反比例函数的综合运用
课时跟踪训练14：一次函数与反比例函数的综合运用A组基础达标一、选择题1．(2013·凉山)如图14－1所示，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(－1，2)，若y1>y2>0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是图14－2中的(A)图14－1图14－22．(2012·无锡)若双曲线y＝kx与直线y＝2x＋1的一个交点的横坐标为－1，则k 的值为(B) A．－1 B．1C．－2 D．23．如图14－3所示，在直角坐标系中，直线y＝6－x与函数y＝4x(x>0)的图象相交于点A、B，设点A的坐标为(x1，y1)，那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别为(A)图14－3A．4，12 B．8，12C ．4，6D ．8，64．如图14－4，直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM ＝2，则k 的值是( A)图14－4A ．2B ．－2C ．－4D ．4二、填空题5．(2013·宁波)已知一个函数的图象与y ＝－2x 的图象关于y 轴成轴对称，则该函数的解析式为__y ＝2x __． 6．(2013·山西)如图14－5，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y ＝12x －1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y ＝kx 经过点D ，则k 的值为__1__． 解析：根据矩形的性质知点C 的纵坐标是y ＝1，∵y ＝12x －1经过点C ，∴1＝12 x －1，解得，x ＝4，即点C 的坐标是(4，1)．∵矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，∴D (1，1)，∵双曲线y ＝ kx经过点D ，∴k ＝xy ＝1×1＝1，即k 的值为1.故答案是1.7. 反比例函数y ＝kx 的图象上有一点P (m ，n )，其中m 、n 是关于t 的一元二次方程t 2－3t ＋k ＝0的两根，且P 到原点O 的距离为13，则该反比例函数的解析式为__y ＝－2x __．解析：∵m 、n 是关于t 的一元二次方程：t 2－3t ＋k ＝0的两个根，∴m ＋n ＝3，图14－5mn＝k，又∵P到原点的距离为13，即m2＋n2＝(13)2，∴﹙m＋n﹚2－2mn＝13，∴9－2k＝13，∴k＝－2，∴反比例函数的解析式为y＝－2 x.8．(2012·十堰)如图14－6，直线y＝6x，y＝23x分别与双曲线y＝kx在第一象限内交于点A，B，若S△OAB＝8，则k＝__6__.解析：由y＝6x，y＝kx得x＝k6，y＝6k，由y＝23x, y＝kx得x＝3k2，y＝2k3，∴AF＝k6，EF＝3k2＝3AF，BD＝2k3，DE＝6k，AE＝2k6，BE＝22k3，由S△OAB＝S矩形ODEF －S△OAF－S△OBD－S△ABE＝8得关于k的方程，解得k＝6.三、解答题9．(2013·钦州)如图14－7所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A(－2，m)，B(4，－2)两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D.(1)求这两个函数的解析式；解：y＝－8x，y＝－x＋2.(2)求△ADC的面积．解：S△ADC＝8.10．(2013·泰安)如图14－8，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(0，－3)，反比例函数y＝kx的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过点A，点C.图14－8(1)求反比例函数与一次函数的解析式；图14－6图14－7解：y ＝－15x ；y ＝－x ＋2.(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点的坐标． 解：设P 点的坐标为(x ，y )．∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积， ∴12×OA ·()x ＝52，∴12×2·||x ＝25，解得x ＝±25. 当x ＝25时，y ＝－35； 当x ＝－25时，y ＝35，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，35.B 组 能力提升11．(2013·绍兴)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃，停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系．直至水温降至30 ℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时，接通电源后，水温y (℃)和时间(min)的关系如图14－9所示，为了在上午第一节下课时(8∶45)能喝到不超过50 ℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( A )图14－9A ．7∶20B ．7∶30C ．7∶45D ．7∶5012．如图14－10，点A 在双曲线y ＝6x 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为( C )图14－10A ．47B ．5C ．27D.2213．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数y ＝6x 的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么(x 2－x 1)(y 2－y 1)值为__24__．14．(2013·成都)若关于t 的不等式组⎩⎨⎧t －a ≥0，2t ＋1≤4 恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝3a ＋2x 的图象的公共点的个数为__0或1__．15．(2013·义乌)如图14－11所示，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E (4，n )在边AB 上，反比例函数y ＝k x (k ≠0)在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA ＝12.图14－11(1)求边AB 的长；解：∵点E (4，n )在边AB 上，∴OA ＝4， 在Rt △AOB 中，∵tan ∠BOA ＝12， ∴AB ＝OA ×tan ∠BOA ＝4×12＝2. (2)求反比例函数的解析式和n 的值； 解：根据(1)，可得点B 的坐标为(4，2)， ∵点D 为OB 的中点，∴点D (2，1)∴k2＝1，解得k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2 x，又∵点E(4，n)在反比例函数图象上，∴解得n＝1 2.(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F 重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．解：设点F(a，2)，∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴2a＝2，解得a＝1，∴CF＝1，连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t，在Rt△CGF中，GF2＝CF2＋CG2，即t2＝(2－t)2＋12，解得t＝54，∴OG＝t＝54.16．(2013·丽水)如图14－12所示，点P是反比例函数y＝kx(k<0)图象上的点，P A 垂直x轴于点A(－1，0)，点C的坐标为(1，0)，PC交y轴于点B，连接AB，已知AB＝ 5.图14－12(1)k的值是__k＝－4__；(2)若M(a，b)是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA<∠ABC，求a的取值范围．解：(2)①延长线段BC交双曲线于点M.由(1)知，直线BC的解析式是y＝－2x＋2，反比例函数的解析式是y ＝－4x ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－4x ， 解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2 或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4，(不合题意，舍去)． 根据图示知，当0＜a ＜2时，∠MBA ＜∠ABC ；②如图，过点C 作直线AB 的对称点C ′，连接BC ′并延长BC ′交双曲线于点M ′. ∵A (－1，0)，B (0，2)， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋2. ∵C (1，0)，∴C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，85，则易求直线BC ′的解析式为y ＝211x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝211x ＋2，y ＝－4x ，解得x ＝－11＋332或x ＝－11－332， 由图示知，当－11－332＜a ＜－11＋332时，∠MBA ＜∠ABC . 综合①②知，当0＜a ＜2或－11－332＜a ＜－11＋332时，∠MBA ＜∠ABC .。
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专题复习：反比例函数与一次函数
谷城县茨河镇中心学校文有书
学习目标：1.进一步理解反比例函数中k的几何意义，并能熟练计算图形的面积；能根据图象比较函数值的大小.
2.通过数形结合、转化的思想方法总结解题的一般思路.
教学重点：面积的计算方法及函数值的大小比较方法.
教学难点：利用转化的方法计算图形的面积.
教学过程：
一、诊断练习
已知直线y=mx(m≠0)与双曲线y=n
x
(n≠0)交于A、B两点.
1. 如图(1)若点A(−1,4)，则点B的坐标为______，直线解析式______，双曲线解析式______
(1) (2)
2.如图(2)，过点A作AC⊥x轴垂足为C，若S∆AOC=3，则双曲线的解析式为_________
二、反思归纳
1.正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称
2.反比例函数k的几何意义
三、合作探究
例：已知直线AB与双曲线交于A、B两点.
(1)如图，点C(−8,4)，点D在x轴上，若四边形OACD是菱形，求双曲线及直线CD的解析
式
求反比例函数解析式的关键：找到曲线上一点坐标.
求反比例函数解析式的方法：
1.利用k的几何意义求解
2.通过利用勾股定理、平移、全等、相似等方法求出点的坐标.
(2)将直线AB向上平移后，若A(−1,4)，B(2,−2)，求△OAB的面积
归纳：当坐标轴穿过所求图形时，宜用分割的方法求面积.
变式一：在上图中，BO的延长线交双曲线于点F，连接AF，求△OAF的面积
归纳：当所求图形在同一象限时，可用割补法求面积.
变式二：如图，若A(−1,4)，F(−2,2)，分别过A、F两点向x轴作垂线，垂足分别为N、M.求四边形AFMN的面积.
x
x
x
x
归纳：合理转化图形，充分利用反比例函数k 的几何意义. 求反比例函数中图形面积的方法：
1.若所求图形面积是可直接求出的，则可以按照相应图形面积公式直接计算；
2.若所求图形面积是不可直接求出的，则采用割补法;
3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义.
(3)直线AF ：y 1=2x +6的图象与双曲线：y 2=−4
x
的图象交于A 、F 两点，请写出y 1>y 2时，
自变量x 的取值范围.
归纳：根据函数图象比较大小的一般步骤：1.找交点2.分区域3.写范围
变式一：直线：y 1=−2x +2的图象与双曲线：y 2=−4
x
的图象交于A 、B 两点，请写出y 1>y 2
时，自变量x 的取值范围.
变式二：一次函数y 1=−2x +m 的图象与反比例函数y 2=−4
x 的图象交于A 、B 两点．已知当
x >2时y 1<y 2 ;当0<x <2时y 1>y 2，求一次函数的解析式.
四、反思小结 1.知识上： 2.方法上： 3.思想上： 五、巩固练习
如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，与双曲线y 2=k
x (x <0) 分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）. (1)分别求出直线AB 及双曲线的解析式； (2)求出△OCD 的面积；
(3)利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，y 1>y 2. 六、课外作业
专题复习学案
x
x
x
x。