弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计

因此， u、v 在坐标空间应该为一平面。
um
vm
m
m
ui
vi
i
uj
i
vj
j
j
§4.2 单元位移模式
位移写成向量形式：
d u v N Niiu vii N Njju vjj N Nm mv um m
0 N iu u i i 0 N iv v i i N 0 j u u j j N 0 jv v j j N 0 m u u m m N 0 m v v m m
j (xj, yj) uj
vm um
m (xm, ym)
x
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假定位移模式如下所示：
ufu(x,y) vfv(x,y)
三个结点的位移也必定满足 位移场函数，因此有：
ui fu(xi,yi) vi fv(xi,yi) uj fu(xj,yj) vj fv(xj,yj)
umfu(xm,ym) vmfv(xm,ym)
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移； （2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
yj 0
00 1 xj
0 yj
3 4
=
u v
j j
1
xm
ym
0
0
0
5
u
m
0 0 0 1 xm ym 6 vm
§4.2 单元位移模式
位移模式的选取
因此， 1 、 2 、 3 是 u i 、u j 、u m 的线性函数； 同样， 4 、 5 、 5 是 v i 、v j 、v m 的线性函数； 代入位移场函数，则 u是 u i 、u j 、u m 的线性函数，即：
同理，可求得 N j 、N m ，且下标可轮换 ；
注意：i, j, m 必须是逆时针 排列，否则面 积为负。
同理可得：
v 4 5 x 6 y N iv i N jv j N m v m
§4.2 单元位移模式
上式也可以写成：
1x y
1 xj yj
1 Ni 1
xm xi
ym yi
(i, j, m)
§4.2 单元位移模式
位移模式的选取
位移函数的选取是任意的，所选取的位移函数越接近于真实情况，所
求得的形变和内力结果就越准确。
最简单的位移场函数是线性函数，即：
u1 2x3y
v4 5x6y
其中， 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 是系数，由边界条件求得。
边界条件：在三个结点也应满足位移场函数；
有限单元法及程序设计
第四章 平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
• 网格数目 • 网格疏密 • 单元阶次 • 网格质量 • 网格分界面和分界点 • 位移协调性 • 网格布局 • 结点和单元编号 • 网格自动剖分
i 结点
j 结点
12xi3yiui 12xj3yjuj
45xi6yivi 45xj6yjvj
m 结点
12xm3ymum 45xm 6ymvm
§4.2 单元位移模式
• 写成矩阵形式
1 xi 0 0
yi 0 0 0 1 xi
0 1 ui
yi
2
vi
1 0
xj 0
网格数量20万 最小网格尺度150m 最大网格尺度3500m
§4.1 平面问题单元离散
几个重要概念：
平面问题单元： 三角形单元 平面应力： 三角形板 平面应变： 三棱柱
平面问题结点： 绞结点 平面问题约束： 绞支座、链杆 平面问题荷载： 结点荷载和非结点荷载
基本量和方程的矩阵表示
体积力
f
fx
f
y
面力
f
f f
x y
应力
x y
应变
x y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程 简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
ux
v y
xvuyT
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理 方程就可求出应力。
ui
vi
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
um
vm
dNe
N 称为形函数矩阵。
§4.2 单元位移模式
有限元分析中，应力转换矩阵、刚度矩阵都是依赖于位移模式建立 起来的，因此，位移模式必须能够反映弹性体的真实位移形态，才 能得到正确的解答。
位移模式需要满足的条件：
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix ciy2A (i, j, m )
其中：
ai
xj xm
yj ym
1 bi - 1
yj ym
1 ci 1
xj xm
1 A11
2
xi xj
yi yj
1 xm ym
1 xj yj
1 xm ym
N i 、N j 、 N m 是坐标 (x 、y ) 的 线性函数；
N i 、N j 、 N m 表明了单元的位移 形态（位移在单元的变化规律）
—称为形态函数，简称形函数
形函数的性质：
Nii 1 Ni j 0 Nim0
Ni oij
1 2
Nio
1 3
N ids
i j
有限单元法：未知量是结点的位移分量
e u i v i u j v j u mv m T
那么单元内任意一点的位移跟结点位移有什么关系呢？
因此说，只要知道了位移场的分布，即可解决上述问题。
§4.2 单元位移模式
位移模式：单元位移场分布形式
建立一个坐标系，如下图所示：
y
vj
vi ui i (xi, yi)
1 2
ij
ANidxdy
1 3
A
m 1
1/3 i
1/2
j
(i, j, m)
§4.2 单元位移模式
位移函数：
u 1 2 x 3 y N iu i N ju j N m u m v 4 5 x 6 y N iv i N jv j N m v m
由于 N i 、N j 、N m 是坐标 (x 、y ) 的线性函数， 因此， u、v 也是 (ui,uj,um)、(vi,vj,vm) 的线性函数。