常微分方程应用案例课件

C x0 ，于是有： 代入上式得：
x(t ) x0e x0 ………………（3） 14 记 C 的半衰期为T，则 x (T ) 2
kx
………………….（2）
ln 2 将（3）带入（2）中得： k T ln 2 x 即有 x(t ) x0e T ，由此解得：
x0 T ……………（4） t ln ln 2 x(t )
由于 x0 , x(t ) 不便于测量，我们改用下面的办法求t:
对（2）式两边求导，得：
x(t ) x0kekt kx(t )
而
x(0) kx(0) kx0
x0 x(0) 上面两式相除得： x(t ) x(t ) T x(0) ……………（5） 将其带入（4）得 t ln ln 2 x(t ) 14 由假设1知，可用现代木炭中 C 的蜕变速度作为 x(0)
案例2 马王堆一号墓年代的确定
年代：西汉 墓主简介：马王堆汉墓是中国西汉初期 长沙国丞相、侯利仓及其家属的墓。位 于湖南长沙东郊。共3座。 1972年发掘马王堆一号墓，一号墓 墓主应是利仓妻子，下葬年代在 文帝十二年以后数年至十几年间。
一、问题背景

考古、地质等方面的专家常用 C （碳—14，碳—12 的同位素）测定法（通常称为碳定年代法），去估 计文物或化石的年代。长沙市的马王堆一号墓于 1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的14C 平均原子蜕变数为29.78次/分，而新看法烧成的木 14 14 C 的 炭中 平均原子蜕变数为 38.37 次 / 分，又知 C 14 半衰期（给定数量的 蜕变到一般数量所需的时间 ） C 为5568年，试估算一下该墓的大致年代？
碳定年代法的根据
由于不断地蜕变而不断 减少。碳定年代法就是 根据蜕变减少量的变化 情况来判定生物死亡时 间的。
问题假设wk.baidu.com

1、现代生物体中 C 的蜕变速度与马王堆墓葬时代 14 生物体中 C 的蜕变速度相同； 2、 C 的蜕变速度与该时刻 C 的含量称正比。 由于地球周围大气中的14C 的百分含量可认为基本不 变（即宇宙线照射大气层的强度自古至今基本不变）， 假设1是合理的，假设2的根据来自原子物理学的理论。
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碳定年代法的根据 宇宙射线不断宏基大气层，使 之产生中子，中子与氮气作用生 14 成具有放射性的 C ，这种放射 性碳可氧化成二氧化碳，二氧化 碳被植物所吸收，而动物又以植 物做食物，于是放射性碳就被带 14 到各种到植物体内。由于 C 是放 射性的，无论存在于空气中或生 物体内它都不断蜕变。活着的生 物通过新陈代谢不断地摄取14C ， 使得生物体内的14C 与空气中的14C 有相同的百分含量。生物死亡后， 它停止摄取 14C ，因而尸体内14C
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而 x(t ) 29.78 次/分（由已知），将它们及T=5568
带入到（5）式，得：
5568 38.37 （年） t ln 2036 ln 2 29.78
这样就估算出马王堆一号墓大约是2000多年前的。

注意：对 C 的半衰期各种书上说法不一，有人测 定为5568，也有人测定为5580年或5730年，本例 是用5586年计算的，若用5580年或5730年计算， 则可分别求得马王堆一号墓存在于2040年或2095年 前左右。
14 14
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数学建模

设在时刻t（年）生物体中 C 的存量为x(t)，由假设2知
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其中k>0为比例常数，k前置负号表示 14C 的存量x递减
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dx kx dt
………………….（1）
kx x ( t ) Ce （1）式的通解为
设生物体的死亡时间为 t0 0 ，其时 C 的含量为 x0