高二数学概率复习3

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高二数学教案：随机事件的概率(3)——等可能事件的概率(2)

随机事件的概率（3）——等可能事件的概率（2）一、课题：随机事件的概率（3）——等可能事件的概率（2）二、教学目标：1．巩固等可能性事件及其概率的概念；2．掌握排列组合的基本公式计算等可能性事件概率的基本方法与求解的一般步骤。

三、教学重、难点：等可能性事件概率的定义和计算方法；排列和组合知识的正确运用。

四、教学过程：（一）复习：1．基本事件、等可能性事件的概念；2．等可能性事件的概率公式及一般求解方法；3．练习：（1）甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率。

解：基本事件：甲、乙、丙；甲、乙、丁；甲、丙、丁；乙、丙、丁分别选为代表，其中甲被选上的事件个数为3，所以，甲被选上的概率为34．（2）下列命题：①任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率是16；②自然数中出现奇数的概率小于出现偶数的概率；③三张卡片的正、反面分别写着1、2；2、3；3、4，从中任取一张朝上一面为1的概率为16；④同时投掷三枚硬币，其中“两枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率为38，其中正确的有①③④（请将正确的序号填写在横线上）．（二）新课讲解：例1 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：（1）2件都是合格品的概率；（2）2件是次品的概率；（3）1件是合格品，1件是次品的概率。

解：（1）记事件1A=“任取2件，2件都是合格品”，∴2件都是合格品的概率为29512100893 ()990CP AC==．（2）记事件2A=“任取2件，2件都是次品”，∴2件都是次品的概率为25321001 ()495CP AC==．（3）记事件3A=“任取2件，1件是合格品，1件是次品”∴1件是合格品，1件是次品的概率119553210019 ()198C CP AC⋅==．例2 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可以在0至9这10个数字中选出，（1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对着张储蓄卡的密码的概率是多少？（2）某人未记住储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？解：（1）由分步计数原理，这种四位数字号码共410个，又由于随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可能性都相等，∴正好按对密码的概率是14110P =；（2）按最后一位数字，有10种按法，且按下每个数字的可能性相等，∴正好按对密码的概率是2110P =．例3 7名同学站成一排，计算：（1）甲不站正中间的概率；（2）甲、乙两人正好相邻的概率；（3）甲、乙两人不相邻的概率。

人教版高二数学必修三概率与统计概率与统计在实际问题中的应用

人教版高二数学必修三概率与统计概率与统计在实际问题中的应用概率与统计作为高中数学的重要内容，不仅在理论上具有重要的意义，更在实际问题中有着广泛的应用。

本文将从概率论和统计学的角度来探讨概率与统计在实际问题中的应用。

一、概率与实际问题的关系1.1 概率的基本概念和运算概率是研究随机现象结果的可能性的一门学科。

概率的基本概念包括样本空间、随机事件和概率等。

在实际问题中，我们可以通过概率来描述某些事件发生的可能性大小，并进行预测和决策。

概率的运算包括加法定理、乘法定理和条件概率等。

通过这些运算，我们可以对实际问题中的事件进行复杂的计算和分析，提高对事件发生概率的准确度。

1.2 概率在风险评估中的应用概率在风险评估中有着广泛的应用。

例如，在保险业中，保险公司需要评估被保险人的风险，通过分析历史数据和建立风险模型，计算出不同事件发生的概率，从而确定保险费率和保险赔付金额。

此外，在金融投资领域，投资者需要评估不同投资项目的风险和收益，通过概率分析，可以计算出不同投资策略的预期回报率和风险水平，为投资决策提供科学依据。

二、统计与实际问题的关系2.1 统计的基本概念和方法统计是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科。

统计的基本概念包括总体和样本、参数和统计量等。

通过收集和整理大量的数据样本，可以得出总体的一些特征和规律。

统计的方法包括描述统计和推断统计。

描述统计通过各种图表和统计指标来描述数据的分布和特征；推断统计通过从样本数据中推断总体的一些特征，并进行统计推断和假设检验。

2.2 统计在社会调查中的应用统计在社会调查中有着广泛的应用。

例如，在人口普查中，通过大规模的抽样调查和数据统计，可以获得不同地区的人口数量、年龄结构、教育程度等信息，为政府制定人口政策和社会规划提供依据。

此外，统计在市场调研和消费者行为研究中也有重要作用。

通过对消费者的样本数据进行统计分析，可以了解消费者的购买习惯、偏好和需求，为企业的市场决策和产品设计提供参考。

高二数学概率知识点大总结

高二数学概率知识点大总结概率作为数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的可能性或频率，广泛应用于各个领域。

在高二数学学习中，我们也需要深入理解和掌握概率的相关知识点。

下面将对高二概率知识点进行大总结。

一、基本概念与概率公式概率的基本定义是指某个事件发生的可能性。

在概率论中，常用的概率公式有以下几种：1.乘法原理：当事件 A 和 B 相互独立时，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

2.加法原理：当事件 A 和 B 互不相容时，它们至少发生一个的概率等于它们各自发生的概率之和。

3.条件概率：表示在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

4.全概率公式：用于计算两个事件 A 和 B 关联的概率情况。

二、样本空间与事件样本空间是指一个随机试验中所有可能出现的结果的集合。

事件是样本空间的子集，表示满足某种条件的一组结果。

三、排列与组合排列和组合是概率论中常见的计数方法。

排列表示从一组元素中选出若干个进行排列，考虑元素的顺序；组合表示从一组元素中选出若干个进行组合，不考虑元素的顺序。

四、互斥事件与独立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，其概率为零。

独立事件是指两个事件发生与否相互独立，一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

五、条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

贝叶斯定理是利用条件概率计算逆概率的一种方法。

根据贝叶斯定理，已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率可以通过已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率来计算。

六、独立性判定与一致性判定对于多个事件的互相独立性，可以通过判断它们的联合概率是否等于各事件独立发生时的概率乘积来确定。

对于多个事件的一致性，可以通过判断它们的联合概率是否等于各事件发生时的概率之和来确定。

七、二项分布与泊松分布二项分布是一种离散型的概率分布，适用于重复进行的二项试验中计算成功次数的概率。

高二数学上期末复习3(直线、圆、圆锥曲线、统计、概率)

绵阳市开元中学高2013级第三学期数学试题高2013级第三学期期末数学复习题3（满分100分，50分钟完卷）制卷：王小凤学生姓名一．选择题（本题共6个小题，每小题10分，共60分）1．抛物线28x y =的焦点坐标是( ) A ．()0,2 B ．()2,0C ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,032⎛⎫ ⎪⎝⎭2．一条光线从点()5,3M 射出，遇x 轴反射经过点()1,9N ，则反射光线所在直线方程为( ) A ．312y x =-- B ．312y x =-C ．312y x =-+D ．312y x =+3．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是( )A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=4．直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是（） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不能确定5．某算法的程序框图如图，执行该算法后输出的结果i 的值为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．76．曲线1y =()24y k x =-+有两个不同交点时，实数k 的取值范围是( )A ．34k ≥B ．35412k -≤<-C ．512k >D ．53124k <≤ 二．填空题：（本题共2小题，每小题5分，共10分）7．抛物线2x y =上的一动点M 到直线01:=--y x l 距离的最小值是______________ 8．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率e =________三．解答题（本题共3个小题，每小题15分，共30分）9．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中分组区间是：]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在)90,50[之外的人数。

模块二讲重点概率与统计(3)统计及统计案例小题-2021届高考数学二轮复习课件(新高考版)

提取频率分布直方图中的数据
(1)组距、频率：频率分布直方图中每个矩形的宽表示
组距，高表示
频率组距
，面积表示该组数据的频率，各个矩形
的面积之和为1；
(2)众数：最高小长方形底边中点的横坐标；
(3)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的
直线与横轴交点的横坐标；
(4)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘
【分析】由茎叶图，可得甲的中位数是65，从而可知乙的中位数也是65，可得到y＝5，再利用二者平均数也相等，可求出x的值，即可得到答案．
【解析】由茎叶图，可知甲的中位数为65，则乙的中位数也是65，故y＝5，
因为甲、乙的平均数相等，所以56＋62＋65＋5 74＋70＋x＝59＋61＋657＋65＋78，解得x＝3.故选D.
小长方形底边中点的横坐标，再求和；
(5)参数：若纵轴上存在参数，则根据所有小长方形的
面积之和为1，列方程即可求得参数值．
用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数； (2)方差和标准差反映了数据波动程度的大小． ①方差：s2＝1n[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]； ②标准差： s＝ n1[（x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2]. 性质：标准差(或方差)越小，说明数据波动越小，越稳定；标准差越大，说明数据越分散，越不稳定．
模块二讲重点第 1 0讲概率与统计（3）统计及统计案例小题 -2021 届高考数学二轮复习课件（新高考版）
模块二讲重点第 1 0讲概率与统计（3）统计及统计案例小题 -2021 届高考数学二轮复习课件（新高考版）

高中数学第五章统计与概率3

古典概型必备知识基础练1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为()A. B. C. D.A,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=.故选B.2.从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为()A. B. C. D.13个数据落在[499,501]内的个数为6,故所求概率为.故选B.3.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为()A. B. C. D..样本空间共包含36个样本点.记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5 ,6),(6,5),(6,6)},共16个样本点.所以他们“心有灵犀”的概率为P(A)=.故选D.4.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是.,样本空间共包含36个样本点.若方程有实根,则Δ=(m+n)2-16≥0,即m+n≥4,其对立事件为m+n<4记为A,则A={(1,1),(1,2),(2,1)},包含3个样本点,故所求概率为P=1-.5.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是;“至少有2枚反面朝上”的概率是.Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=.6.(2020山西长治高一期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.设“甲胜且编号的和为6”为事件A.甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.所以P(A)=.所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5) },共包含13个样本点.所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=,乙胜的概率为P(C)=1-,因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.关键能力提升练7.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是()A. B. C. D.:开始由图可知样本空间中共含有24个样本点,而满足三位数是“凹数”的有214,213,312,314,324,412,413,423,共8个样本点,所以这个三位数为“凹数”的概率为.8.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是()A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为A,从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)},共3个样本点,记A:甲被选中,则A={(甲,乙),(甲,丙)},共2个样本点,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的基本事件为{(3,5,7)},包含1个样本点,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为,故D错误.9.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,上为减函数的概率是() A. B. C. D.a,第二次朝上一面的点数为b,∴a取1,2时,b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4时,b可取2,3,4,5,6;a取5,6时,b可取3,4,5,6,共30种情况.∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,∴所求概率为.10.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为.,所有可能的情况为(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),(甲—西施,丙—貂蝉,丁—昭君),(甲—昭君,丙—西施,丁—貂蝉),(甲—昭君,丙—貂蝉,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—昭君,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—西施,丁—昭君),共6种,其中满足条件的就1种,故所求事件的概率为. 11.已知k∈{-3,-1,1},b∈{-4,-2,2,6},则直线y=kx+b经过第三象限的概率为.k,b)所有的可能结果组成的样本空间Ω={(-3,-4),(-3,-2),(-3,2),(-3,6),(-1,-4),(-1,-2),(-1,2),(-1,6),(1,-4),(1,-2),(1,2),(1,6)},共包含12个样本点.记A:直线不经过第三象限,则当且仅当时符合条件,则A={(-3,2),(-3,6),(-1,2),(-1,6)},A 包含4个样本点.所以直线y=kx+b经过第三象限的概率为1-P(A)=1-.12.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4, 6),(5,6)},共15个样本点.记A:取出球的编号之和为6,则A={(1,5),(2,4)},共2个样本点,故所求概率P(A)=.(2)先后有放回地随机抽取两个球的样本空间共包含36个样本点,记B为“两次取的球的编号之和大于5”,则B={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6 ),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含26个样本点,故所求概率P(B)=.13.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;(2)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率.平均数的估计值=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x, 则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.(2)样本中,年龄在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.则从中任选2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d, y),(x,y)},共包含15个样本点.记A为“至少有1人年龄不低于60岁”,则A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含9个样本点.故所求概率P(A)=.学科素养创新练14.(2020北京高二期末)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和思想政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学和生物的人数是2.(2)由数据可知,已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a 1,a 2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b ;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c 1,c 2.从已确定选考科目的男生中任选2人,样本空间Ω={(a 1,a 2),(a 1,b ),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 2,b ),(a 2,c 1),(a 2,c 2),(b ,c 1),(b ,c 2),(c 1,c 2)},共包含10个样本点.记A :这2名学生选考科目完全相同,则A={(a 1,a 2),(c 1,c 2)},共2个样本点.故P (A )=.。

高二数学概率知识点汇总

高二数学概率知识点汇总数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。

以下是小编为您整理的关于高二数学概率知识点汇总的相关资料，供您阅读。

高二数学概率知识点汇总(一)教学内容：1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系;2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算;3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。

教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。

教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。

今天我们要来研究概率的基本性质。

在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。

事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)学生可能回答：﹛出现的点数=1﹜记为C1，﹛出现的点数=2﹜记为C2，﹛出现的点数=3﹜记为C3，﹛出现的点数=4﹜记为C4，﹛出现的点数=5﹜记为C5，﹛出现的点数=6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢?请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答：是)类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。

那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢?学生思考若事件C1发生(即出现点数为1)，那么事件H是否一定也发生?学生回答：是，因为1是奇数我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。

具体说：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作(或)特殊地，不可能事件记为，任何事件都包含。

高二数学概率大题复习

数学概率综合分类第一类：考查相互独立事件同时发生的概率例1.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2珠，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互相不影响，求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率。

练习1为ξ，求练习2摸取（每（1练习3：如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．第二类：利用排列组合计算古典概型例2：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数x的分布列及期望Ex，并求该商家拒收这批产品的概率.练习1：某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．练习2：某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的期望.第三类：例3练习1:练习2：为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。

《高二数学概率复习》课件

条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
P(A|B) ≥ 0。
规范性
当事件B是必然事件时，P(A|B) = P(A)。
条件概率的加法规则
如果两个事件B1和B2是互斥的，那么对于任一事件A，有 P(A|B1∪B2) = P(A|B1) + P(A|B2)。
04
概率的应用
概率在日常生活中的应用
天气预报
通过概率分析，预测未来天气变化，为日常生活和出行提供参考
。
彩票
彩票中奖概率的计算，让人们理性对待，避免盲目投入。
医学诊断
通过概率统计方法，提高疾病诊断的准确率。
概率在科学实验中的应用
物理实验
在物理学中，概率被广泛应用于粒子实验、量子力学等领域。
解析5
进阶题目5的答案是$frac{4}{8} times frac{3}{7} = frac{12}{56} = frac{3}{14}$，因为第一次摸出白球的概率为$frac{4}{8}$，第二次摸出白球的概率为$frac{3}{7}$ 。
解析6
进阶题目6的答案是$frac{7}{10} times frac{3}{9} = frac{21}{90} = frac{7}{30}$，因为第一次摸出红球的概率为$frac{7}{10}$，第二次摸出白球的概率为 $frac{3}{9}$。
《高二数学概率复习》ห้องสมุดไป่ตู้ppt课件
目录
• 概率的基本概念 • 古典概型与几何概型 • 条件概率与独立性 • 概率的应用 • 复习题与答案解析

高二数学教案：等可能事件的概率(3)

随机事件的概率（4）——等可能事件的概率（3）一、课题：随机事件的概率（4）——等可能事件的概率（3）二、教学目标：1．掌握求解等可能性事件的概率的基本方法；2．能正确地对一些较复杂的等可能性事件进行分析。

三、教学重点：等可能性事件及其概率的分析和求解。

四、教学难点：对事件的“等可能性”的准确理解。

四、教学过程：（一）复习：1．等可能性事件的概率公式及一般方法、步骤； 2．练习：（1）10人站成一排，则甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为715；（2）将一枚均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面的概率为38；（3）盒中有100个铁钉，其中90个合格，10个不合格，其中任意抽取10个，其中没有一个是不合格的铁钉的概率为109010100C C ；（4）若以连续抛掷两枚骰子分别得到的点数,m n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆2216x y +=内的概率为82369=．（列举法）（二）新课讲解：例1 4个球投入5个盒子中，求：（1）每个盒子最多1个球的概率；（2）恰有一个盒子放2个球，其余盒子最多放1个球的概率。

解：4个球投入5个盒子中，每个球有5个选法，4个球有45种不同选择结果，（1）相当于从5个盒子中选4个盒子，每个盒子放1个球，有45A 种不同选择结果，∴所求概率为454245125A =．（2）先从5个盒子中选1个，从4个球中选2个放入其中，其余2个球放入剩余的4个盒子中的2个中，有122544C C A ⋅⋅个不同结果，∴所求概率为1225444725125C C A ⋅⋅=．说明：本题属于古典概率的另一基本题型——盒子投球问题，所投的球可以是真实的球，还可以是学生、旅客等，盒子可以是房间、教室、座位等。

例2 袋中有4个白球和5个黑球，连续从中取出3个球，计算：（1）“取后放回，且顺序为黑白黑”的概率；（2）“取后不放回，且取出2黑1白”的概率。

解：（1）每一次取球都有9种方法，共有39种结果，顺序为黑白黑的有111545100A A A ⋅⋅=种，∴所球的概率为11154531009729A A A ⋅⋅=．（2）3次取球，有39A 种结果，2黑1白的取法有213543480C C A ⋅⋅=种，∴所求概率为213543391021C C A A ⋅⋅=．说明：模型中的“球”，可以是一种颜色或几种不同颜色、编号、不编号的真实球，也可以是合格和不合格产品，也可以是不同币值的货币，或几枚骰子、扑克等，解题时要分清“有放回”与“无放回”、“有序”与“无序”，不能混淆。

高二数学概率知识点总结

高二数学概率知识点总结在高二数学的学习中，概率是一个重要的知识点板块。

概率不仅在数学学科中有着广泛的应用，也与我们的日常生活和实际问题紧密相关。

接下来，让我们一起系统地梳理和总结高二数学中概率的相关知识点。

一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

随机事件分为必然事件、不可能事件和随机事件。

必然事件指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件则是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

2、概率概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

对于一个随机事件A，其概率 P(A)的值介于 0 和 1 之间。

当 P(A) ＝ 0 时，事件 A 为不可能事件；当 P(A) ＝ 1 时，事件 A 为必然事件；当 0 ＜ P(A) ＜ 1 时，事件 A 为随机事件。

概率的古典定义：如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，若某个事件 A 包含的结果有 m 个，则事件 A 的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

二、事件的关系与运算1、事件的包含关系若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作 A ⊆ B 。

2、事件的相等若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A ＝ B 。

3、并事件（和事件）事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的并事件，记作 A ∪ B 。

4、交事件（积事件）事件 A 和事件 B 同时发生的事件称为事件 A 与事件 B 的交事件，记作A ∩ B 。

5、互斥事件若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称事件 A 与事件 B 互斥，即A ∩B ＝∅。

6、对立事件若事件 A 和事件 B 满足 A ∪ B 为必然事件，且A ∩ B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互为对立事件。

高中数学概率复习

XXXX 教育学科教师辅导讲义基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=nn A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值nn A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。

高二数学概率统计知识点总结

高二数学概率统计知识点总结考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高二数学概率统计知识点，希望对大家有所帮助!高二数学概率统计知识点梳理一.算法，概率和统计1.算法初步(约12课时)(1)算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如，二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中(如，三元一次方程组求解等问题)，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

(2)基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

3.概率(约8课时)(1)在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

(2)通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

(3)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

(4)了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义(参见例3)。

(5)通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2.统计(约16课时)(1)随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

(2)用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。

条件概率与全概率公式常考题型训练高二下学期数学人教版(2019)选择性必修第三册

《条件概率与全概率公式》常考题型一、条件概率题型一：求条件概率：1. 若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另一件是一等品的概率为__________.2. 某班组织甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为________.3. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()M N P 等于___________.4. 甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获得胜利的概率均为43，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为_________.5. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是_______.6.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题则通过；若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀的概率_________.题型二：正确区分条件概率与简单随机事件的概率1. 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，取两次.求：（1）两次都取得一等品的概率；（2）第二次取得一等品的概率；（3）已知在第二次取得一等品的条件下，第一次取得二等品的概率.2. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次后还能继续使用到15000次的概率是________.3. 现从4名男医生和3名女医生中抽取两个加入某医疗队，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()=A B P ________.4.从编号为102,1，，⋅⋅⋅的10个大小相同的球中任取4个，在已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________.综合训练:1. 已知()31=A B P ，()52=A P ，则()=AB P _______. 2. 一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为________.3. 某电视台的夏日水上闯关节目的前三关的过关率分别为65，54，53，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为________.4. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取出1个球（每个球取得的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次.设事件A 为“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不同”，事件B 为“三次取到的球颜色都不相同”，则()=A B P ________.5.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为1513，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为__________.6.甲箱中有5个正品和3个次品，乙箱中有4个正品和3个次品.（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率.二、全概率公式1. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1,2车间生产的成品比列为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.2. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌甲乙其它市场占有率50％ 30％ 20％优质率 95％ 90％ 70％3. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡拾白色垃圾活动，参加活动的甲、乙两班的人数之比为3∶2，其中甲班中女生占31，乙班中女生占21，则该社区居民遇到一位进行捡拾白色垃圾活动的同学恰好是女生的概率是_________.4. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回.求：（1）第一次摸到红球的概率；（2）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；第二次摸到红球的概率.。

2022高二数学随机事件的概率关键知识点总结

2022高二数学随机事件的概率关键知识点总结高二数学随机事件的概率知识点总结一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高二数学《导数》知识点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。

4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

高二数学必修三概率知识点

高二数学必修三概率知识点概率是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定性事件的可能性。

在高二数学必修三中，我们将学习概率的相关概念、性质和计算方法。

本篇文章将围绕高二数学必修三概率知识点展开讲解。

一、概率的基本概念概率是描述一个事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。

0表示不可能事件，1表示必然事件。

在概率的计算中，我们利用概率公式来计算事件的概率。

概率公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A 的样本点个数，n(S)表示样本空间中的样本点个数。

二、事件的依赖与独立在概率的计算中，我们需要考虑事件之间的依赖关系。

如果两个事件相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生，则它们的概率相乘。

如果两个事件不独立，即一个事件的发生会影响另一个事件的发生，则需要考虑条件概率的计算。

三、排列与组合在概率的计算中，经常会涉及到排列与组合的问题。

排列是指从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数，符号表示为A(n,m)。

组合是指从n个元素中取出m个元素进行组合的方法数，符号表示为C(n,m)。

在计算概率时，我们需要利用排列与组合的方法来确定样本空间和事件的个数，从而计算事件的概率。

四、加法与乘法法则在概率的计算中，我们可以利用加法法则和乘法法则来计算复杂事件的概率。

加法法则适用于两个事件之一发生的情况，乘法法则适用于两个事件同时发生的情况。

根据事件的情况，我们可以灵活运用这两个法则进行概率计算，从而得到准确的结果。

五、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的重要定理，它用于在已知一些先验概率的情况下，根据新的观察结果来更新概率。

贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。