固体物理答案第二章

，于是
K
U0
mn 9V0
2.6 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
U r
N 2
αe2 4 0r
β rn
今若排斥项 β r n由 cexp r ρ来代替，且当晶体处于平衡时，
这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与 的关ρ系。
解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为 r0
（ r0 不因求解时排斥势选择不同而不同）
其晶格常数为a，则有 V a3 。可由式(2)直接求出各种格子的 值。所得结果列表如下：
晶格(a)
晶包体积 晶胞中包含粒 离子间最 结构常
（V ） 子数（n） 短距离 数（ β）
简单立方 面心立方
a3
1
4
a3
体心立方
2
a3
金刚石结构
8
a3
氯化钠结构
8
a3
a
1
2 2
a
0.71
3 2
a
0.77
3 4
0
r0
n m
β α
1
nm
（1）
因而
ur0
α rm
β r0n
α r0m
1
m n
其次，对应于 r0 处能量取极小值，应有
于是
2ur
r 2
r0
mm 1α
r0m 2
nn 1β
r0n 2
0
nn 1β mm 1α
r mn 0
1
把（1）式代入，即得
nn 1β mm 1α
nβ mα
1
n1
41
n1
R0
e
U 2e
4N α e2
R0 2e
1
1 n
4n
n1U e
体积弹性模量可按下式求出
K
e
n 1αe2 18R04 e
K 2e
n 1α2e2 18R04 2e
n3
4 n1 K e
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 V0 ，原子间总的互作用能为
U0 。若原子间互作用能由式 ur
由平衡条件
U R R0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
N
αe2 R02
nB R0n1
0
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
R0
e
nB αe2
1
n1
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数
（1）
U R0
U e
N αe2 R0
1
1 n
（2）
由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
R0
2e
nB
α2e2
αe2 nβ
4π0r0 r0n
（3）
将（1）、（3）两式代入（2）式
可得
1 r0
nβ r0n
c ρ
exp
r0
ρ
即
n1
n r0
r0 ρ
ρ
2.7 立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能 Eb J mol 。
解： 已知公式
Eb
Nμ q2 8π ε0 R0
1
1 n
和 μ 1.64 ，
1
1
所以
n 1 1,n m
m1
这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原
子间的距离的变化更陡峭。
2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为
UR
N
αe2 R
B Rn
试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积
弹性模量将受何影响？
解： 按题给
UR
N
αe2 R
B Rn
第二章 晶体中原子的结合
2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为
N Nv Nβ R。3式中，
v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最
短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： (1).简单立方点阵； (2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。
α rn
β rm
表述，试证明晶
体的体积弹性模量为
K
U0
mn 9V0
。
证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为
UR
1 2
ij
u
rij
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，
因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为
UR
N 2
j
u
rij
设最近临原子间的距离为R，则有
再令
rij a j R
数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。
证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应
于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，即当 r r0 时，
ur 0
r r0
且
2 ur
r
r0
0
因为 解之有
ur
α rm
β rn
ur
r r0
α m r0m1
β n r0n1
a
1.54
1 a 1 2
2.2证明有两种离子组成的、间距为 R0 的一维晶格的马德隆常
数 μ 2ln2 。
证明：
C B A O A B C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj α j R 。对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
u0
j
zoz je2 roj
U
N 2
j
zoz je2 roj
N 2R
j
zoz j αj
N 2R
zoz j
j
1 αj
马德隆常数
1 21 1 1 1 2ln2 j αj 2 3 4
2.3
设两原子间的互作用能可由 ur
表述。
rm rn
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常
Am
j
1
a
m j
, An
j
1
a
n j
得到
U
N 2
αAm Rm
βAn Rn
平衡时R R0 ，则由已知条件 U R0 U0 ，得
N 2
αAm R0m
βAn R0n
U0
由平衡条件
dU R
0 dR R0
得
N 2
m α Am R0m1
n β An R0n
U0
由（1）、（2）两式可解得
αAm
已知
β r n cexp r ρ
（1）
由
Ur N
2
αe2
4π
ε0
r
cexp
r
ρ
U r
r0
N 2
αe2 4π0 r02
c ρ
exp
r0
ρ 0
得
αe2 4π0 r02
c ρ
exp
r0
ρ
（2）
又
U
r
N 2
αe2 4 0r
β rn
U
N αe2 nβ
r
r0
2
4π0 r02
r0n1
0
得
N
2U0
m
n
nR0m
βAn
N
2U0
m
n
m
R0n
利用体积弹性模量公式
得
K
R02 9V0
2U R 2
R0
K
1 9V0
N 2
mm
1αAm
R0m
nn
1βAn
R0n
1 9V0
N 2
mm
R0m
1
2U0 nR0m
N m n
nn
R0n
1
N2Um0 mRn0n
U 0
mn 9V0
由于 U0 0 ，因此 U U0
解：题给
N Nv Nβ R3
(1)
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平
均占据的体积。若以 N 表示晶体包含的晶胞数，V 表示晶体
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全
等效于
V N V N nv N nβ R3
于是得
V β nR3
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令