小学奥数 7-7-2 容斥原理之重叠问题(二).教师版

1.

了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A

B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，

C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类

的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：

教学目标

知识要点

7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）

1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，

大圆表示C 的元素的个数．

1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

模块一、三量重叠问题

【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，

其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】 总共有（30＋34＋40）÷2＝52户居民，订丙和乙的有52－30＝22户。

【答案】22户

【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共

有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄

两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么

这个班共有多少人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

C B A

【解析】 如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有

红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，

手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943++-++-（）（）

6250⨯=(人)．

【答案】50人

【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4

人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打

篮球又爱打排球的有几人？

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，

4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球的人数

为：49427-=(人)．

【答案】7人

【例 3】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，

参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数

的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小

组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成集

合G ．三者都参加的学生有z 人．有A B C =46，A =24，B =20，C =3.5，A C =7A B C ，B C =2A B C ，A B =10． 因为A B C A B C A B A C B C A B C =++---+， 例题精讲

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，

即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3⨯7=21人．

【答案】21人

【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，

语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

C语文B美术

A自然

【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C．

A=25，B=35，C =27，B C =12，A B=8，A C=9，A B C =4.

A B C=A B C A B A C B C A B C

++---+.

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．

【答案】62人

【巩固】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛

的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛

的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130

++=人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130********

-+++=

（）(人)．

或者根据学过的公式：A B C A B C A B B C A C A B C

=++---+，参加棋类比赛的总人数为：42553318109598

++---+=(人)．

【答案】98人

【例4】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】西城实验

【解析】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040

-=人，即340

x x

+=，得10

x=，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317

---=人．

【答案】17人