离散数学及其应用01 数理逻辑

第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• • • • • • • • 例1：判断下列语句是否为命题，若是并指出其真值。 （ 1 ）北京是中国的首都。 真命题 （ 2 ）2是偶数且3也是偶数。 假命题 （ 3 ）2+2=5 。 假命题 （ 4 ）请勿吸烟! 不是命题 （ 5 ）乌鸦是黑色的吗？ 不是命题 （ 6 ）这个小男孩多勇敢啊！ 不是命题 （ 7 ）地球外的星球上存在生物 。是命题，真假值客观存 在 • （ 8 ）1+101=110。 二进制中为真命题，二进制中为假 命题 • （ 9 ）x + y=5。 不是命题 • （10 ）我正在说谎。悖论 ，不是命题
• 1.1 命题及其表示 • 1.2 逻辑联结词
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• 定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。 命题的判断结果称为命题的真值，常用 1 （或大写字母 T ） 表示真，用 0 （或大写字母 F ）表示假。凡是与事实相符 的陈述句即真值为真的命题称为真命题，而与事实不符合 的陈述句即真值为假的命题称为假命题。 • 从这个定义可以看出命题有两层含义： (1) 命题是陈述句。 其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题； (2) 这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假， 不能不真也不假，也不能既真又假。
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.3 设P、Q为两个命题，P和Q的析取(Disjunction)是 一个复合命题，记为P∨Q（读作P或ຫໍສະໝຸດ Baidu），称为P与Q的析 取式。规定当且仅当P与Q同时为0时，P∨Q为0，否则 P∨Q均为1。 • 日常用语中的“或”，“要么…要么…‖等可用析取词表 示。
表1-3 联结词“∨”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
P∨Q 0 1 1 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.4 设P、Q为两个命题，P和Q的条件(Conditional)命题是 一个复合命题，记为P→Q（读作若P则Q），其中P称为条件的 前件，Q称为条件的后件。规定当且仅当前件P为1， 后件Q为0 时，P→Q为0，否则P→Q均为1。 • 日常用语中的“若…则…‖，“如果…那么…‖，“只有…才…‖ 等可用条件词表示。
表1-4 联结词“→”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
P→Q 1 1 0 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.5 设P、Q为两个命题，其复合命题PQ称为双条 件(Biconditional)命题，PQ读作P当且仅当Q。规定当且 仅当P与 Q真值相同时，PQ为1，否则PQ均为0。
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.2 设P、Q为两个命题，P和Q的合取 (Conjunction)是一个复合命题，记为P∧Q（读作P与 Q），称为P与Q的合取式。规定P与Q同时为1时， P∧Q为1，其余情况下，P∧Q均为0。 • 日常用语中的“与”、“和”、“也”、“并且”、 “而且”、“既…，又…‖、“一面…，一面…‖等可 用合取词表示。 联结词“∧”的定义见表1-2。 P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
第1篇 数理逻辑
数理逻辑
• 逻辑学分为辨证逻辑与形式逻辑两种 。 • 用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑 • 现代数理逻辑分为四论、两演算
– 四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论， 公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。 – 两演算：命题演算、谓词演算
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第 1 章 命题逻辑
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• 定义1.1.3 表示原子命题的符号称为命题标识符(Identifier)。 • 定义1.1.4 用一个确定的命题代入一个命题标识符（如 P），称为对P进行指派（赋值，或解释）。 • 如果命题标识符P代表命题常元则意味它是某个具体原子 命题的符号化，如果P代表命题变元则意味着它可指代任 何具体原子命题。本书中如果没有特别指明，通常来说命 题标识符P等是指命题变元，即可指代任何原子命题。
表1-5联结词“”的定义
P
Q
PQ
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
第 1 章 命题逻辑－＞1.3 命题公式与翻译
• 定义1.3.1 命题公式归纳定义如下：
– （1）单个命题变元是命题公式； – （2）如果A是命题公式，则┐A也是命题公式； – （3）如果A和B是命题公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)均 是命题公式； – （4）当且仅当能够有限次地应用（1）、（2）、（3）所得到的 包含命题变元、联结词和括号的符号串是命题公式（又称为合式 公式，或简称为公式）。
第 1 章 命题逻辑－＞1.2 逻辑联结词
• 定义1.2.1 设P表示一个命题，P的否定(Negation)是一个 新的命题，记为P（读作非P）。规定若P为1，则P为 0；若P为0，则P为1。 • P的取值情况依赖于P的取值情况，真值情况见表1-1。
表1-1联结词“”的定义
P
P
1
0
0
1
第 1 章 命题逻辑－＞1.1 命题及其表示
• 定义1.1.2 不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原 子命题(Simple Proposition )。由两个或两个以上原子命题 通过联结词组合而成的命题称为复合命题(Compound Proposition )。 • 例1.1.1中的命题(1)(3)(7)(8)为原子命题，而命题(2)是复合 命题，是由“2是偶数。”与“3是偶数。”两个原子命题 由联结词“且”组成的，该命题的真值不仅依赖于这两个 组成它的命题，而且还依赖于这个联结词的意义。像这样 的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。 • 约定用大写字母P，Q，R，S等表示原子命题（为了避免与 真值T及F混淆，建议不用T及F表示原子命题）。例如，用 P表示“北京是中国的首都”，Q表示“5可以被2整除”等。