线性代数讲解

第八章基本代数结构简介 6
则 和 都是集合 A上的代数运算，这两种 运算 可用运算表的形式表示 为

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常用的是集合A上的代数运算，在这样的代数 运算之下，可以对A中任意两个元素加以运算， 而且所得结果还在A中，所以当 或 是集合A 上的代数运算时，也称集合A对于代数运算 或 是封闭的。
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三、小结
1、代数运算的定义； 结合律 2、代数运算满足的运算律 交换律 左分配律 分配律 右分配律
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通常用“”或“”来表示运算，相应地 称为“乘法”或“加法 ” .于是元素 a A, b B 与c C的对应可以写成 c ab 或 c ab.
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注意：
这里的“乘法”与“加法”并不是通常的乘法与 加法，而仅表示代数运算所确定的对应关系。
例8.1设A 所有整数 ，B 所有不等于零的整数 ， C 所有有理数 。规定 a a A, b B ab b
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定义8.4 设 和 是集合 A上的两种代数运算，如 果 对任意 a, b, c A，都有 a b c a b a c 则称代数运算 和 满足左分配律。如果 b c a b a c a 则称代数运算 对 满足右分配律。如果代 数运算 对 同时满足左分配律和右 分配律，则称 对 满足分配律。
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第八章 基本代数结构简介
第一节 代数运算
第二节 群及其基本性质 第三节 环与域
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第一节 代数运算
代数运算的定义
代数运算的运算律 小结
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一、代数运算的定义
定义8.1 设A, B, C是三个非空集合，如果 按 照某一法则把任意 a A和b B与C中唯一确定 的元素 c对应，则称这一对应为 集合 A和B到C的 一个代数运算。如果 A B C，则称这一对应 为集合 A上的一个代数运算。
则 是从集合A和B到C的代数运算，也就是普通的 除法。
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例8.2 设A K mn , B K n p , C K m p , 规定 A B AB ( A K m n , B K n p )
则 是从集合A和B到C的代数运算，这就是矩阵 的乘法。
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二、运算律
定义8.2 设 是集合 A上的代数运算，如果对 任 意a, b, c A都有 (a b) c a b c 则称代数运算 满足集合律。 定义8.3 设 是集合 A上的代数运算，如果对 任 意a, b A都有 ab ba 则称代数运算 满足交换律。
例8.3 设V是数域 K上的线性空间，则加法 运算是 V 上的代数运算， K中的数与 V中的数乘运算是 K和V到V 的代数运算。 例8.4 设A 0,1, 规定 0 1 1 0 1， 0 0 0， 1 1 0， 0 1 1 0 0 0 0， 1 1 1.