线性代数讲解

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diag线性代数

diag线性代数《Diag线性代数》一、线性代数基础线性代数是数学中一个重要且广泛应用的领域，可用来分析和研究空间、结构及空间中物理量的变化规律。

线性代数主要可以用来解决矩阵和向量、线性系统和线性变换、矩阵分解以及空间和位置等问题。

这些研究对许多学科非常重要，特别是在数学、物理学、经济学和计算机科学等领域。

在高等教育阶段，学生通常需要学习线性代数的基础知识，以帮助他们理解深入学习和实际应用中所用到的各种数学技巧和知识。

在学习线性代数时，其中最常用的工具就是Diag 线性代数，它是一种特殊的离散线性变换系统，由一组基矢量组成的方阵的变换，用来解决矩阵和向量、线性系统和线性变换、矩阵分解以及空间位置等问题。

二、Diag线性代数的基础概念Diag线性代数的基础概念是方阵的变换，它是指由一组基矢量组成的方阵的变换，基矢量可称为特征向量，它们表示了方阵在正交基矢量上的变换。

此外，Diag线性代数还涉及到一些其他概念，如逆变换、交换行列、伴联行列、三角分解以及特征值分解等。

方阵变换有助于对空间物理量的变化规律进行更精确的分析，这对许多学科有重要的意义，特别是在数学、物理学和工程学中。

在实际应用中，例如机器学习中也有许多奇妙的用途，比如特征提取、矩阵计算、数据降维和物体检测等。

三、Diag线性代数的教学资源在高等教育阶段，对于线性代数的学习，除了通过课堂讲解外，还需要同时提供合适的教学资源，以帮助学生更好地理解和掌握线性代数。

米斯特德提供了一些特殊的Diag线性代数教学资源，以帮助学生更好地理解课程的内容，学习Diag线性代数的基础知识，懂得它的原理和技巧，并对矩阵计算、数据降维和物体检测等有一定的了解。

四、结语Diag线性代数是高等教育阶段学习线性代数时最常用的工具，它可以帮助学生更好地理解和掌握线性代数，用于解决矩阵和向量、线性系统和线性变换、矩阵分解以及空间位置等问题。

米斯特德还提供了一些关于Diag线性代数的教学资源，帮助学生更好地理解课程的内容，掌握Diag线性代数的基础知识，懂得它的原理和技巧，并可以在实际应用中发挥重要作用。

线性代数教材讲解ppt课件

a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和列数可以不同.

线性代数要点讲解

基向量顾名思义是支撑该空间的基础，由这些基向量的任意线性组合所形成的集合就是该空间，也就是说该空间是由该组基向量张成的
这组基向量之间是线性无关的，线性无关也就是说空间的张成需要刚刚好不多不少的向量张成，没有产生多余的向量
该组向量的任意线性组合形成的空间的维度恰好和基向量的个数是一致的
linear transformation，线性函数，input vectors 经过线性变换output vectors
1/22
线性组合
在三维空间里面找一个含有某个向量的子空间===》scalar*该向量=span（v）
在三维空间里面找一个含有二个具体向量的子空间===》scalar*向量+scalar*向量2=span（u，v）
也就是 span（V）=linear combination
在一个vector space中，有若干个vectors，这几个vectors的所有线性组合叫做这几个vectors的span
1/23
由于线性变换会涉及区域面积大小的变化===》自然就会问，变化的大小，前后的比例是多少呢？
===》我们给这个比例一个标签就是行列式，线性变换`矩阵，也就矩阵的行列式
===》然而行列式的值可以是negtive也就意味着图像进行了orientation变换
在二维空间里的orienta，我们知道变换有很多种，比如旋转，翻面等等
变换是input一个object，变换后，output a new object
因此，你也可以用function代替transformation，但是transformation更具有动态性的意义在里面
现在，我们仅研究简单的一种变换，叫做linear transformation

线性代数简介

序言1.什么是线性代数：线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

1.1 那么什么是代数呢？代数英文是Algebra ，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。

也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。

抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。

比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。

也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。

多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。

1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。

线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。

因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。

下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。

“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。

线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。

线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。

北师大二上数学知识点讲解

北师大二上数学知识点讲解北师大二上数学课程包含了许多重要的数学知识点，本文将对其中的几个重要知识点进行讲解。

一、线性代数线性代数是数学中一个非常重要的分支，它研究的是向量空间及其上的线性变换。

在北师大二上的数学课程中，线性代数是一个必修的模块。

1. 向量和矩阵在线性代数中，向量是一个非常基本的概念。

向量可以表示为一个有序的实数或复数数组。

矩阵则是由多个向量组成的矩形数组。

我们可以通过矩阵运算来进行向量的加法、减法、数乘等操作。

2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要概念。

它由多个线性方程组成，方程中的变量之间存在线性关系。

我们可以通过高斯消元法、矩阵运算等方法来求解线性方程组。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。

对于一个线性变换，它的特征值可以表示该变换的特定性质，特征向量则是与该特征值对应的非零向量。

二、概率论与数理统计概率论和数理统计是数学中的重要分支，它们研究随机现象和数据分析的方法。

1. 随机变量和概率分布随机变量是概率论中的关键概念，它表示随机试验的结果。

概率分布则描述了随机变量取值的概率情况，常见的概率分布有离散型分布和连续型分布。

2. 数理统计数理统计是对数据进行分析和推断的数学方法。

它包括参数估计和假设检验等内容。

参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计，假设检验则是根据观察到的样本数据对关于总体的假设进行检验。

三、微分方程微分方程是数学中的一门重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。

1. 常微分方程常微分方程是微分方程中的一个重要类别。

它是指未知函数的一阶或多阶导数与自变量之间的关系。

通过求解常微分方程，我们可以得到函数的解析解或数值解。

2. 高阶线性微分方程高阶线性微分方程是常微分方程的一个重要类型，它由未知函数及其导数组成。

通过特征方程、常数变易法等方法，我们可以求解高阶线性微分方程。

四、数学分析数学分析是数学中的一门基础课程，它研究函数、极限、连续性等概念。

线性代数第一章PPT讲解1-4

aaijij 0 0
D
1 i1
1
a j 1 i1, j
ai1, j1
ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aijj
0
0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在 a11 a1 j a1n
D 0 aaiijj 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
二、行列式按行（列）展开法则
定理３行列式等于它的任一列（行）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j 1,2,, n
证 a11 a1 j 0 0 a1n
D
a21
0 a2 j 0
a2n
an1 0 0 anj ann
1பைடு நூலகம்
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1

线性代数重要知识点讲解

线性代数重要知识点讲解1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基;⇔A 是n R 某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A = ; Ⅱ、11111s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、1 1111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵 A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则 A 可逆,且1x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≠ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =;③、若A B ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果 A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑ ;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:11112---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ; ③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵: ①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程;10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ; ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax ba a a xb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⇔= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数)③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(全部按列分块,其12n b b b β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ); ④、1122n n a x a x a x β+++= (线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα; m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T Tm βββ 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4. ()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义: ①、α线性相关⇔0α=;②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα 线性相关,则121,,,,s s αααα+ 必线性相关;若12,,,s ααα 线性无关,则121,,,s ααα- 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r 维向量组 A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤;向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤; 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解;()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P = ;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价:~c A B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s sA a a a ⨯线性表示为:1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = (B AK =)其K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关; 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++= 成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα< ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-; 16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ; ②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±;③、若 A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a 11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ; 3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与 B 等价⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同⇔=T C AC B ,其可逆;⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数;③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ;5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数; A ⇔的各阶顺序主子式均大于0; 0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。

线性代数重点知识总结

说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。

2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。

3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。

第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。

2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。

总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。

第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。

2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。

4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。

5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。

第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。

《线性代数》课件

《线性代数》PPT课件
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质，包括向量的运算和几何表示。
解释矩阵的概念、矩阵的运算和特殊类型的矩阵。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及如何对角化一个矩阵。
应用物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习动力。
介绍高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征值的几何意义和应用。
3 行列式
探讨行列式的计算和性质，以及行列式在线性代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算，以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和性质，以及数乘对矩阵的影响。
乘法
解释矩阵的乘法运算，包括矩阵乘法的定义和运算法则。
线性方程组
什么是线性方程组？
高斯消元法
解释线性方程组的概念和解法，包括矩阵法和消元法。

高等数学中的线性代数初步讲解

高等数学中的线性代数初步讲解近几年，线性代数已成为高等数学课程中必修的一门学科。

与其他数学分支不同，线性代数在实际生活中占据着重要的角色。

它不仅是数学基础中的重要组成部分，也在计算机科学、化学、物理学、社会科学、经济学等各个领域得到了广泛应用。

本文旨在初步讲解高等数学中的线性代数内容，帮助读者更好地理解这一学科。

一、向量和矩阵线性代数以向量和矩阵为其基本的概念。

向量简单的理解就是有方向的线段。

我们可以使用坐标来描述每个向量的位置。

假设在平面直角坐标系中有两个向量，分别表示为向量$u$和向量$v$，那么它们的坐标表示分别是:$u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2)$两个向量的和是它们的坐标分别相加:$u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$与此同时，矩阵也是线性代数中的重要概念。

矩阵是一个由数值排列成的矩阵。

例如下面的2x2的矩阵:$\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}$矩阵的上下文语境是重要的，它可以表示线性映射、方程组、向量空间等概念。

二、线性变换和线性方程组线性变换是指一种将每个向量映射到另一个向量的映射方法。

它是一种线性的映射方法，遵循以下原则：（1）变换不改变向量的零长度；（2）变换不改变两向量之间的距离或角度；（3）变换不改变向量的方向。

线性变化有一个特殊的矩阵形式，称之为变换矩阵，利用这个矩阵可以表示线性变化。

例如，下面的矩阵：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$其中零在最后一行最后一个位置上。

这个变换矩阵表示将三维空间中的向量映射到二维空间中。

线性方程组在实际应用中也非常广泛。

我们可以使用矩阵和向量表示线性方程组。

例如，下面的二元一次方程：$ax + by = c \\dx + ey = f$可以表达为如下矩阵形式：$\begin{bmatrix}a & b \\d & e\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c \\f\end{bmatrix}$当然，这样表示的优势不仅仅在于简化表达，也在于简化解决问题的方法。

线性代数大一上知识点讲解

线性代数大一上知识点讲解线性代数是一门研究向量空间及其相关运算的数学学科。

它是大学数学课程中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要意义。

本文将对线性代数大一上的一些关键知识点进行讲解。

一、向量与向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以用有序数对或有序数组来表示。

向量空间则是由一组向量所张成的集合，具有加法和数乘两种运算，同时满足一定的性质。

大一上学期主要学习的向量与向量空间的内容包括向量的加法与数乘、线性组合、线性相关与线性无关、子空间等概念和性质。

二、矩阵与行列式矩阵是线性代数中非常重要的概念，它是由数构成的矩阵元按照一定的规则排列而成的矩形数组。

矩阵可以表示线性方程组，并通过矩阵运算实现对线性方程组的求解。

行列式是与矩阵相对应的一个重要概念，它是一个数，可以通过一定的计算规则对给定的矩阵进行求解。

三、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，它是由线性方程构成的方程组。

线性代数的一个重要应用就是求解线性方程组，大一上学期主要学习的方法有高斯消元法、矩阵的逆与克拉默法则等。

四、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在线性代数中有着广泛的应用。

大一上学期主要学习的内容包括特征值与特征向量的定义、求解特征值与特征向量的方法以及特征值与特征向量的性质。

五、线性变换与矩阵的相似性线性变换是线性代数中的另一个重要概念，它是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。

矩阵的相似性是线性代数中矩阵的重要性质之一，两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征值和特征向量。

总结：通过本文对线性代数大一上的知识点进行讲解，我们可以看到线性代数作为一门重要的数学学科，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要意义。

大一上学期主要学习的内容包括向量与向量空间、矩阵与行列式、线性方程组的求解、特征值与特征向量、线性变换与矩阵的相似性等。

这些知识点的学习有助于我们理解和解决实际问题，为后续学习提供了基础。

introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释

introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释1.引言1.1 概述线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量空间和线性变换的性质及其应用。

它作为一门基础学科，在多个领域如物理学、计算机科学以及工程学等都有广泛的应用。

线性代数的研究对象包括向量、向量空间、矩阵、线性方程组等，通过对其性质和运算法则的研究，可以解决诸如解线性方程组、求特征值与特征向量等问题。

线性代数的基本概念包括向量、向量空间和线性变换。

向量是指在空间中具有大小和方向的量，可以表示为一组有序的实数或复数。

向量空间是一组满足一定条件的向量的集合，对于向量空间中的任意向量，我们可以进行加法和数乘运算，得到的结果仍然属于该向量空间。

线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。

线性方程组与矩阵是线性代数中的重要内容。

在实际问题中，常常需要解决多个线性方程组，而矩阵的运算和性质可以帮助我们有效地解决这些问题。

通过将线性方程组转化为矩阵形式，可以利用矩阵的特殊性质进行求解。

线性方程组的解可以具有唯一解、无解或者有无穷多解等情况，而矩阵的行列式和秩等性质能够帮助我们判断线性方程组的解的情况。

向量空间与线性变换是线性代数的核心内容。

向量空间的性质研究可以帮助我们理解向量的运算和性质，以及解释向量空间的几何意义。

线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算，通过线性变换可以将复杂的向量运算问题转化为简单的矩阵运算问题。

在线性变换中，我们需要关注其核、像以及变换的特征等性质，这些性质可以帮助我们理解线性变换的本质和作用。

综上所述，本章节将逐步介绍线性代数的基本概念、线性方程组与矩阵、向量空间与线性变换的相关内容。

通过深入学习和理解这些内容，我们能够掌握线性代数的基本原理和应用，为进一步研究更高级的线性代数问题打下坚实的基础。

1.2文章结构在文章结构部分，我们将介绍本文的组织结构和各章节的内容概述。

刘金峰线代讲义

刘金峰线代讲义摘要：1.刘金峰线代讲义简介2.线性代数概念与基本概念3.矩阵与向量的基本运算4.线性方程组的解法5.特征值与特征向量6.二次型与正定二次型7.奇异值分解8.广义逆矩阵9.线性变换与线性变换的矩阵表示10.结束语正文：线性代数是数学中一个重要的分支，它主要研究的是向量、矩阵、线性方程组、特征值、特征向量等概念。

刘金峰线代讲义是一本非常优秀的线性代数教材，它对线性代数的基本概念和方法进行了详细的讲解，并且配有丰富的例题和习题，是学习线性代数的好帮手。

首先，让我们来看一下线性代数的基本概念。

线性代数主要研究的是向量和矩阵，向量是既有大小又有方向的量，它可以用来表示空间中的点或者箭头。

矩阵则是由若干个数按照横行和纵列的方式排列而成的矩形阵列，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。

接下来，我们来看一下矩阵和向量的基本运算。

矩阵和向量的加法、数乘、点积、叉积等是线性代数中的基本运算，它们在解决线性方程组、特征值、特征向量等问题中都有着重要的应用。

然后，我们来看一下线性方程组的解法。

线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组，它可以用高斯消元法、矩阵求逆法等方法求解。

特征值和特征向量是线性代数中的另一个重要概念。

特征值是指矩阵乘以特征向量后的结果，它可以用来描述线性变换的性质。

二次型和正定二次型是线性代数中的另一个重要概念。

二次型是指一个二次方程在某个变量上的取值，它可以用正定二次型来描述。

奇异值分解是线性代数中的一个重要方法，它可以用来分解矩阵，求解线性方程组等问题。

广义逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来解决矩阵求逆的问题。

最后，我们来看一下线性变换和线性变换的矩阵表示。

线性变换是指把一个向量映射到另一个向量的过程，它可以用矩阵表示。

经济数学基础线性代数之第1章行列式

第一单元行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

即2153-称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；一般用ija 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，512=a ，121-=a ，222=a ．再看一个算式075423011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素423=a ，531=a又如1321403011320---，是一个四阶行列式．而11a 的代数余子式为()07421111111--=-=+M A代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．()43011322332-=-=+M A问题思考：元素ija 的代数余子式ijA 是如何定义的？代数余子式ijA 由符号因子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ijji ijM A +-=1三、例题讲解例题1：计算三阶行列式542303241---=D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和，二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：()()()5233145430112111---⋅-+--⋅=++D ()42031231--⋅++7212294121=⋅+⋅+⋅=四、课堂练习计算行列式hg f ed c b a D 00000004=利用n 阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了．4D =⋅-⋅+11)1(a h f ed c 00+41)1(+-⋅b 000g f ed c ⋅五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）210834021-- （2）3405122010141321---2．计算下列行列式（1）622141531-- （2）612053124200101---3．设00015413010212014=D（1）由定义计算4D ；（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开；（3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；（4）按第四行展开．1．（1）1021)1(32--+ （2）305120121)1(32---+2．（1）20 （2）243．（1）1 （2）1 （3）1 （4）1第二单元行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．二、内容讲解行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD ．如987654321=D ,963852741T =D1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543-==这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543-=-=3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a dc ba333=注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上2113-- 5513-=注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换．问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行，这两个行列式的值有什么关系？答案设n 阶行列式nD ，若将nD 的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n nD 1)1(--问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式dc b a 675081004000--.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：dc b a 675081004000--=dc b a 670800-=d c ab 60=abcdÀ+2Á我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2 计算行列式4977864267984321----分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：4977864267984321----497700067984321----= 0例3 计算行列式2211132011342211----分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211---- 2411142010342011---Â+Ã111142010342011----=111134211)1(433-----⨯+1101312104----⨯=1121)1(412----⨯+12)21(4=---=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1 若d a a a a a a a a a =333231232221131211，求行列式232221131211313231222333a a a a a a a a a ---利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．练习2 计算行列式540554129973219882310391----由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和，再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两À+Á项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式（1）75701510--- （2）253132121-（3） ww w w ww22111 (0≠w ) （4）38790187424321--2．证明（1）0=---------cb b a ac b a a c c b a c c b b a （2）()32211122b a b b a a b ab a -=+1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）02. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．第三单元行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开下面用具体例子说明．d c b a =bc ad -1156)1(5232153=+=-⋅-⋅=-一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．75423011--可以按任何一行（列）展开按第一行展开=752300543107421-⨯+⨯+-⨯=02028+-=8 按第三列展开=231107511475230-⨯+--⨯--⨯=0)57(40++-⨯-=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．问题：试证 2222222211110000d c b a d c b a d c b a d c dc b a b a =答案左边=222211122222111100)1(00)1(d c b a b a bc d c b a d c d a ++-+-222211)1(d c b a ad +-=222211)1(d c b a cb +--22222222)(d c b a d c b a d c b a cb ad =-==右边三、例题讲解例计算行列式214200131000211---分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开214200131000211---=214100211)1(2021315021)1(14313----⨯+----⨯++=1411)1()1(22121)1(33232--⨯-⨯----⨯++==10)41(2)22(3-=+--⨯-四、课堂练习练习1 计算行列式dcb a 100110011001---根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果．dcb a 100110011001--- =dcd cb a 101011101101-----练习2 计算行列式24524288251631220223------为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算．21524288251631220223------111042011631212401----五、课后作业1．计算下列行列式：（1）881441221---- （2）4222232222222221À+Á2 Â+Á(-2（3） 4321651065311021 （4）00312007630050131135362432142．计算n阶行列式xaaa x a a a x/media_file/jjsx/4_1/3/khzy/khzy.htm - #1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402. ])1[()(1x a n a x n +---第四单元克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．二、内容讲解克拉默法则设n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）记行列式nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列的元素njj j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作jD ．克拉默法则如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那么它有惟一解D D x D Dx D D x n n ===,,,2211 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的nx x x ,,,21 中，有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211（3）将（3）中的jD 按第j 列展开，再注意到j D中第j 列元素的代数余子式和D 中第j 列元素的代数余子式ij A是相同的，因此有),,2,1(2211n j A b A b A b D njn j j j =+++= （4）把（4）代入（3），有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211(){1121211111n n i i i A b A b A b A b a D+++=()222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…()}nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211把小括弧打开重新组合得(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D=+++++++++++++++++=2211221122222112112211111因由性质6和性质7⎩⎨⎧=≠=+++k i D ki A a A a A a kn in k i k i 02211 故上式等于i b ，即i n in i i b D D a D Da D D a =+++ 2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nn c x c x c x ===,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ njn j j A b A b A b +++= 2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(n j D c D j j ==因为0≠D ，所以),,2,1(n j DD c j j ==克拉默法则有以下两个推论：推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ，那么它只有零解．推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ．问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．三、例题讲解例利用克拉默法则解下列方程组⎩⎨⎧-=-=+-7526432121x x x x分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解．解：因为系数行列式()()24535243⨯--⨯-=--=D 07815≠=-= 且257461-=--=D ，972632=--=D ，所以7211-==D D x ，7922==D D x四、课堂练习k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=++0211321321321x x x x kx x kx x x对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．2111111--=kk Dkk k k --++2211011五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-12 142 23232121x x x x x x x 2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+-+=---=+++422222837432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x 1．31=x ，42=x ，233-=x ，2. 21-=x ，3352=x ，2103=x ，204-=x。

大一线性代数知识点讲解

大一线性代数知识点讲解线性代数是高等数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，具备一定的线性代数知识是非常必要的。

本文将对大一线性代数的几个重要知识点进行讲解，帮助大家更好地理解和掌握相关内容。

一、向量与矩阵1. 向量的定义与性质向量是由有序数构成的数组，常用箭头表示。

向量的加法、数乘、点乘等运算特性是线性代数中的重要概念，用于描述线性相关与线性无关等概念。

2. 矩阵的定义与运算矩阵由多个行与列组成的矩形阵列，是向量的扩展形式。

矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法是矩阵运算的基本操作，对矩阵的行列式求解可以判断线性相关与线性无关。

二、线性方程组1. 线性方程组的概念与解法线性方程组由多个线性方程构成，其求解是线性代数中的重点内容。

常用的解法包括增广矩阵的行变换、高斯消元法、矩阵求逆等方法，消元后的矩阵可以用于判断方程组的解空间。

2. 线性方程组的解空间与秩线性方程组的解空间是指满足线性方程组所有解构成的集合。

解空间的维数与方程个数与未知数个数的关系紧密相关，可以用秩的概念进行描述。

三、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义矩阵的特征值是指使得矩阵与对应特征向量相乘等于特征值乘以特征向量的数值。

特征值与特征向量对矩阵的性质和变换有着重要的作用。

2. 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算可以通过求解矩阵特征方程来实现，特征方程的解即为特征值，对应的特征向量可通过代入求解得出。

四、行列式1. 行列式的定义与性质行列式是矩阵中的一个标量值，具有很多重要的性质和应用。

行列式的计算可以通过按行展开、按列展开等方法实现，行列式的结果可以判断矩阵的奇偶、可逆性等。

2. 行列式的应用行列式在线性方程组的求解中有着重要的应用，可以用于求解系数矩阵的秩以及判断方程组是否有唯一解。

以上是大一线性代数的一些重要知识点讲解，希望能对大家的学习有所帮助。

线性代数是高等数学中的基础，对于后续学习和应用有着重要的作用，因此在大一阶段要认真学习和掌握相关内容，为以后的学习打下坚实的基础。

线性代数重点及例题讲解

行列式注：逆序 12345678 12346578 65构成一个逆序；求213563748所有的逆序之和 1、行列式的定义n 级行列式1121211121()212221212(1)n n nn j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑2、几种特殊的行列式对角形行列式1212n nd d d d d d =上三角形行列式111212221122000nn nn nn a aa a a a a a a =下三角形行列式112122112212000nn n n nna a a a a a a a a =转置行列式：112111222212n n nn nna a a a a a a a a （原行列式的行与列互换）3、行列式的性质1）行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外 2）对换行列式中两行（列）位置，行列式反号3）把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变由此推出：行列式中某一行（列）为零，则行列式为零如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．行列式中两行（列）成比例，则行列式为0若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+4、行列式安一行一列展开设,ij n D a = ij A 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in ink i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i ==++⎧+++=⎨≠⎩ 按行展开,即11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩按行展开,即 10n i s i ss D k ia A k i==⎧=⎨≠⎩∑ ， 10ns l s j s D l ja A l j==⎧=⎨≠⎩∑ 5、计算n 级行列式对有限级行列式利用初等变换化成三角行列式对n 级行列式一般方法为把某一行化成自有一个非零数，然后按这一行展开。

考研数学一大纲详解线性代数部分重要知识点梳理

考研数学一大纲详解线性代数部分重要知识点梳理线性代数作为数学的一个重要分支，是考研数学一科目中不可或缺的一部分。

在考研备考的过程中，对线性代数的重要知识点进行详细梳理，对于提高考生的备考效果具有重要意义。

本文将详解考研数学一大纲中线性代数部分的重要知识点，并对其进行逐一讲解。

一、行列式及其性质行列式是线性代数中的基础知识，掌握行列式的性质对于解题至关重要。

行列式的性质包括：行列式的定义、行列式的性质、行列式的计算方法等。

行列式的定义是关于n阶行列式的，其中n表示行列式的阶数。

行列式的定义较为复杂，但我们只需熟记其定义即可。

行列式的性质包括：行列式相等的条件、行列式的值与其元素的关系等。

这些性质在解题过程中经常用到，熟悉这些性质不仅可以帮助我们更好地理解行列式的本质，还能够简化计算过程。

行列式的计算方法是解决行列式问题的基础。

行列式的计算采用展开法、按行（列）展开法等多种方法。

我们需要熟练掌握这些计算方法，并灵活运用于解答各类行列式题目。

二、矩阵及其运算矩阵是线性代数中的另一个重要概念，学习矩阵及其运算对于解题具有重要作用。

矩阵的概念包括：矩阵的定义、矩阵的运算等。

矩阵的定义是关于m行n列的矩阵的，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的定义较为简单，但需要我们掌握其基本概念和术语。

矩阵的运算包括：矩阵的加法、矩阵的乘法等。

矩阵的加法和乘法是两种基本的矩阵运算，我们需要熟练掌握其定义和运算法则，并能够应用到实际问题中。

三、向量及其运算向量是线性代数中的重要概念，其运算方法也是考研数学一大纲中的重点内容。

向量的概念包括：向量的定义、向量的运算等。

向量的定义是关于n维向量的，其中n表示向量的维数。

向量的定义较为简单，但需要我们理解其本质和特点。

向量的运算包括：向量的加法、向量的数乘、向量的内积和外积等。

掌握这些运算方法对于解题非常重要，需要注意运算规则和性质。

四、线性相关与线性无关线性相关与线性无关是线性代数中的一个重要概念，其在解决线性方程组和矩阵求逆等问题时经常用到。