随机过程分析

随机过程分析

摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。

关键字通信系统随机过程噪声

通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。

一、随机过程的统计特性

1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，

即均值

⎰∞

∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。

{}⎰∞

∞

--=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数:

衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。

（1）自协方差函数定义

{}

)]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=⎰⎰∞∞-∞

∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x

式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；

用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。

（2）自相关函数

⎰⎰∞∞-∞

∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X

用途：a 用来判断广义平稳；

b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。

二、平稳随机过程

1、定义（广义与狭义）：

则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。

广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。

2、平稳随机过程的数字特征

1、均值：a t a =)(；

2、方差：22)(σσ=t ；

3、自相关函数：)(),(21τR t t R =

4、各态历经性

概念：对于一个平稳的随机过程，如果统计平均＝时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。

即： )()(2

2τσσR R a

a ===

一般来说,在一个随机过程中,不同样本函数的时间平均值是不一定相同的,而集平均则是一定的。因此,一般的随机过程的时间平均≠集平均,只有平稳随机过程才有可能是各态历经的。即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。

3、平稳随机过程的频谱特性

（1）、自相关函数

我们已经知道，平稳随机过程的自相关函数和时间t 无关，而只与时间间隔τ有关，即))()(()(ττ+=t X t X E R

S t X E R ==)]([)0(2

R(0)为X(t )的均方值(平均功率)。

对偶性 R(τ)＝R(－τ)

即自相关函数是τ的偶函数。

（2）、功率谱密度

对于任意的功率信号f(t)的功率谱为：

而对于一个随机过程来说，ξ(t)有许许多多次实现(即许许多多个样本函数，其中某一次实现也是功率信号，其功率谱密度可以用上式表示。 但它不能作为随机过程的功率谱密度。随机过程的功率谱密度可以看作是每一个样本函数的功率谱密度的统计平均（即数学期望）。 设ξ(t)一次实现的截断函数为ξT(t)，ξT(t)的付氏变换为FT(ω)，则该样本函数的功率谱为：])([lim )(2T w X w P T T X ∞→=

这样，整个随机过程的平均功率谱为：

T w X E T w X E w P E w P T T T T x X ])([lim ]])([lim [)]([)(22∞→∞→=== 该随机过程的平均功率为：ωωπd P P X )(21⎰∞

∞-=

且满足：)()(τωR P X ↔

三、通信中如何应用随机过程

在通信系统中，编码过程分为信源编码和信道编码两种，信源编码是为了压缩信息之间的相关性，最大限度提高传信率，目的在于提

高通信效率；而信道编码则相反，通过引入相关性，使信息具有一定的纠错和检错的能力从而提高传输信息的可靠性。

对于信道编码，由于信道中存在随机噪声，或者随机干扰，使得经过信道传输后所接收到的码元与发送码元之间存在差异，这种差异就是传输产生的差错。一般，信道噪声，干扰越大，码元产生差错的概率也就越大。

所以信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗

干扰性能的码字组合。从信道编码的构造方法看，其基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码字。这些码字的引入时信息之间具有相关性，虽然降低了信息所能携带的信息量，但是通过相关性可以克服由于随机噪声引入的误码情况。

四、随机过程在通信中的具体应用

1、马尔可夫过程的应用

马尔可夫随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。下面简略介绍一下马尔可夫随机过程在通信方面的应用情况。

许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。